n n n n ≠ − 1 n\ne-1 n = − 1 ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C \int x^n dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C ∫ x n d x = n + 1 1 x n + 1 + C n = − 1 n=-1 n = − 1 ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int\dfrac{1}{x}dx=\ln|x|+C ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C C C C 적분상수 ) 이전 개념 쌤 네, n ≠ − 1 n\ne-1 n = − 1 x 1 2 x^{\frac{1}{2}} x 2 1 x − 3 x^{-3} x − 3 n = − 1 n=-1 n = − 1 n + 1 n+1 n + 1 0 0 0 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ 1 x \dfrac{1}{x} x 1 x < 0 x<0 x < 0 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ 절댓값 기호를 붙여요.
근호·분수는 지수로 바꾸기
∫ x d x = ∫ x 1 2 d x = 2 3 x x + C \int\sqrt{x}\,dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C ∫ x d x = ∫ x 2 1 d x = 3 2 x x + C ↳ ◀ x = x 1 2 \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} x = x 2 1 ∫ 1 x 3 d x = ∫ x − 3 d x = − 1 2 x 2 + C \int\dfrac{1}{x^3}dx=\int x^{-3}dx=-\dfrac{1}{2x^2}+C ∫ x 3 1 d x = ∫ x − 3 d x = − 2 x 2 1 + C ↳ ◀ 1 x 3 = x − 3 \frac{1}{x^3}=x^{-3} x 3 1 = x − 3 ∫ 3 x d x = 3 ln ∣ x ∣ + C \int\dfrac{3}{x}dx=3\ln|x|+C ∫ x 3 d x = 3 ln ∣ x ∣ + C ∫ 1 x 2 3 d x = ∫ x − 2 3 d x = 3 x 3 + C \int\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int x^{-\frac{2}{3}}dx=3\sqrt[3]{x}+C ∫ 3 x 2 1 d x = ∫ x − 3 2 d x = 3 3 x + C ↳ ◀ 1 x 2 3 = x − 2 3 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{-\frac{2}{3}} 3 x 2 1 = x − 3 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ x x d x \displaystyle\int x\sqrt{x}\,dx ∫ x x d x 2 5 x 2 x + C \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}+C 5 2 x 2 x + C 3 2 x + C \dfrac{3}{2}\sqrt{x}+C 2 3 x + C 5 2 x 2 x + C \dfrac{5}{2}x^2\sqrt{x}+C 2 5 x 2 x + C n = − 1 n=-1 n = − 1 ✗ 틀린 풀이
∫ 1 x d x = 1 0 x 0 + C \int\dfrac{1}{x}dx=\dfrac{1}{0}x^{0}+C ∫ x 1 d x = 0 1 x 0 + C 왜 틀렸나 거듭제곱 공식은 n ≠ − 1 n\ne-1 n = − 1 1 x \dfrac{1}{x} x 1 ln ∣ x ∣ + C \ln|x|+C ln ∣ x ∣ + C ↓ ✓ 바른 풀이
∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C \int\dfrac{1}{x}dx=\ln|x|+C ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C 검산: x > 0 x>0 x > 0 ( ln x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\dfrac{1}{x} ( ln x ) ′ = x 1 x < 0 x<0 x < 0 { ln ( − x ) } ′ = 1 x \{\ln(-x)\}'=\dfrac{1}{x} { ln ( − x ) } ′ = x 1 1 x 2 \dfrac{1}{x^2} x 2 1 n = − 2 n=-2 n = − 2 ✗ 틀린 풀이
∫ 1 x 2 d x = ln x 2 + C \int\dfrac{1}{x^2}dx=\ln x^2+C ∫ x 2 1 d x = ln x 2 + C 왜 틀렸나 1 x 2 = x − 2 \dfrac{1}{x^2}=x^{-2} x 2 1 = x − 2 − 1 -1 − 1 ↓ ✓ 바른 풀이
∫ x − 2 d x = 1 − 1 x − 1 + C = − 1 x + C \int x^{-2}dx=\dfrac{1}{-1}x^{-1}+C=-\dfrac{1}{x}+C ∫ x − 2 d x = − 1 1 x − 1 + C = − x 1 + C 검산: ( − 1 x ) ′ = 1 x 2 \left(-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^2} ( − x 1 ) ′ = x 2 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 왜 그런가? ( 1 n + 1 x n + 1 ) ′ = x n \left(\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n ( n + 1 1 x n + 1 ) ′ = x n n = − 1 n=-1 n = − 1 0 0 0 x > 0 x>0 x > 0 ( ln x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\dfrac{1}{x} ( ln x ) ′ = x 1 x < 0 x<0 x < 0 { ln ( − x ) } ′ = − 1 − x = 1 x \{\ln(-x)\}'=\dfrac{-1}{-x}=\dfrac{1}{x} { ln ( − x ) } ′ = − x − 1 = x 1 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ 지수 로 바꾸어 공식을 써요.
이전 개념 성질 지수함수의 부정적분
∫ e x d x = e x + C \int e^{x}dx=e^{x}+C ∫ e x d x = e x + C a > 0 a>0 a > 0 a ≠ 1 a\ne1 a = 1 ∫ a x d x = a x ln a + C \int a^{x}dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C ∫ a x d x = ln a a x + C 학생 왜 a x a^x a x ln a \ln a ln a 쌤 미분할 때 ln a \ln a ln a ln a \ln a ln a e x e^x e x ln e = 1 \ln e=1 ln e = 1 지수함수의 적분
∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C \int2^{x}dx=\dfrac{2^{x}}{\ln2}+C ∫ 2 x d x = ln 2 2 x + C ∫ ( e x + 3 x ) d x = e x + 3 x ln 3 + C \int(e^{x}+3^{x})dx=e^{x}+\dfrac{3^{x}}{\ln3}+C ∫ ( e x + 3 x ) d x = e x + ln 3 3 x + C ∫ 5 e x + 2 d x = ∫ 5 e 2 e x d x = 5 e x + 2 + C \int5e^{x+2}dx=\int5e^{2}e^{x}dx=5e^{x+2}+C ∫ 5 e x + 2 d x = ∫ 5 e 2 e x d x = 5 e x + 2 + C ∫ 2 2 x d x = ∫ 4 x d x = 4 x ln 4 + C \int2^{2x}dx=\int4^{x}dx=\dfrac{4^{x}}{\ln4}+C ∫ 2 2 x d x = ∫ 4 x d x = ln 4 4 x + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ 3 x d x \displaystyle\int3^x\,dx ∫ 3 x d x 3 x ln 3 + C 3^x\ln3+C 3 x ln 3 + C 3 x ln 3 + C \dfrac{3^x}{\ln3}+C ln 3 3 x + C 3 x + 1 x + 1 + C \dfrac{3^{x+1}}{x+1}+C x + 1 3 x + 1 + C a x a^{x} a x x n x^{n} x n ✗ 틀린 풀이
∫ 2 x d x = 2 x + 1 x + 1 + C \int2^{x}dx=\dfrac{2^{x+1}}{x+1}+C ∫ 2 x d x = x + 1 2 x + 1 + C 왜 틀렸나 2 x 2^{x} 2 x ∫ a x d x = a x ln a + C \displaystyle\int a^{x}dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C ∫ a x d x = ln a a x + C ↓ ✓ 바른 풀이
∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C \int2^{x}dx=\dfrac{2^{x}}{\ln2}+C ∫ 2 x d x = ln 2 2 x + C 검산: ( 2 x ln 2 ) ′ = 2 x ln 2 ln 2 = 2 x \left(\dfrac{2^{x}}{\ln2}\right)'=\dfrac{2^{x}\ln2}{\ln2}=2^{x} ( ln 2 2 x ) ′ = ln 2 2 x ln 2 = 2 x + 펼치기 접기 왜 그런지 왜 그런가? ( e x ) ′ = e x (e^{x})'=e^{x} ( e x ) ′ = e x 이므로 첫째 식이 성립해요.( a x ) ′ = a x ln a (a^{x})'=a^{x}\ln a ( a x ) ′ = a x ln a ( a x ln a ) ′ = a x \left(\dfrac{a^{x}}{\ln a}\right)'=a^{x} ( ln a a x ) ′ = a x ln a \ln a ln a ln a \ln a ln a
이전 개념 sin
∫ sin x d x = − cos x + C \displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C ∫ sin x d x = − cos x + C ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x ( cos x ) ′ = − sin x cos
∫ cos x d x = sin x + C \displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C ∫ cos x d x = sin x + C sec²
∫ sec 2 x d x = tan x + C \displaystyle \int\sec^2 x\,dx=\tan x+C ∫ sec 2 x d x = tan x + C ( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)'=\sec^2 x ( tan x ) ′ = sec 2 x csc²
∫ csc 2 x d x = − cot x + C \displaystyle \int\csc^2 x\,dx=-\cot x+C ∫ csc 2 x d x = − cot x + C ( cot x ) ′ = − csc 2 x (\cot x)'=-\csc^2 x ( cot x ) ′ = − csc 2 x sec tan
∫ sec x tan x d x = sec x + C \displaystyle \int\sec x\tan x\,dx=\sec x+C ∫ sec x tan x d x = sec x + C ( sec x ) ′ = sec x tan x (\sec x)'=\sec x\tan x ( sec x ) ′ = sec x tan x csc cot
∫ csc x cot x d x = − csc x + C \displaystyle \int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+C ∫ csc x cot x d x = − csc x + C ( csc x ) ′ = − csc x cot x (\csc x)'=-\csc x\cot x ( csc x ) ′ = − csc x cot x 쌤 미분 공식을 거꾸로 읽으면 돼요. 미분하면 − - − cos \cos cos cot \cot cot csc \csc csc − - − 삼각함수의 적분
∫ ( 3 sin x − 2 cos x ) d x = − 3 cos x − 2 sin x + C \int(3\sin x-2\cos x)dx=-3\cos x-2\sin x+C ∫ ( 3 sin x − 2 cos x ) d x = − 3 cos x − 2 sin x + C ∫ 1 cos 2 x d x = ∫ sec 2 x d x = tan x + C \int\dfrac{1}{\cos^2 x}dx=\int\sec^2 x\,dx=\tan x+C ∫ cos 2 x 1 d x = ∫ sec 2 x d x = tan x + C ∫ 1 sin 2 x d x = ∫ csc 2 x d x = − cot x + C \int\dfrac{1}{\sin^2 x}dx=\int\csc^2 x\,dx=-\cot x+C ∫ sin 2 x 1 d x = ∫ csc 2 x d x = − cot x + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ ( cos x + sin x ) d x \displaystyle\int(\cos x+\sin x)\,dx ∫ ( cos x + sin x ) d x sin x + cos x + C \sin x+\cos x+C sin x + cos x + C − sin x + cos x + C -\sin x+\cos x+C − sin x + cos x + C sin x − cos x + C \sin x-\cos x+C sin x − cos x + C sin x \sin x sin x ✗ 틀린 풀이
∫ sin x d x = cos x + C \int\sin x\,dx=\cos x+C ∫ sin x d x = cos x + C 왜 틀렸나 미분하여 sin x \sin x sin x − cos x -\cos x − cos x sin x \sin x sin x − - − ↓ ✓ 바른 풀이
∫ sin x d x = − cos x + C \int\sin x\,dx=-\cos x+C ∫ sin x d x = − cos x + C 검산: ( − cos x ) ′ = − ( − sin x ) = sin x (-\cos x)'=-(-\sin x)=\sin x ( − cos x ) ′ = − ( − sin x ) = sin x + 펼치기 접기 왜 그런지 외우기 카드 삼각함수의 부정적분은 삼각함수의 도함수 를 거꾸로 읽은 거예요.sin \sin sin csc 2 \csc^2 csc 2 csc cot \csc\cot csc cot − - − − - −
이전 개념 공식 외우기 — 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2
∫ x n d x ( n ≠ − 1 ) = 1 □ x n + 1 + C \int x^n dx\ (n\ne-1)=\dfrac{1}{\square}x^{n+1}+C ∫ x n d x ( n = − 1 ) = □ 1 x n + 1 + C 정답 보기
단계 1 / 2
∫ 1 x d x = ln □ + C \int\dfrac{1}{x}dx=\ln\square+C ∫ x 1 d x = ln □ + C 정답 보기
단계 1 / 2
∫ a x d x = a x □ + C \int a^{x}dx=\dfrac{a^{x}}{\square}+C ∫ a x d x = □ a x + C 정답 보기
단계 1 / 2 부호에 주의
∫ sin x d x = □ cos x + C \int\sin x\,dx=\square\cos x+C ∫ sin x d x = □ cos x + C 정답 보기
단계 1 / 1
∫ sec 2 x d x = □ \int\sec^2 x\,dx=\square ∫ sec 2 x d x = □ 정답 보기
단계 1 / 2
∫ csc 2 x d x = − □ + C \int\csc^2 x\,dx=-\square+C ∫ csc 2 x d x = − □ + C 정답 보기
바로 공식에 맞지 않는 식은 공식 꼴로 바꾼 뒤 적분해요.
분수식은 분자의 각 항을 분모로 나누어 항별로 적분해요.
쌤 곱은 전개하고, 삼각함수는 1 + tan 2 x = sec 2 x 1+\tan^2x=\sec^2x 1 + tan 2 x = sec 2 x 식을 바꾼 뒤 적분하기
∫ x 2 + 3 x − 1 x d x = ∫ ( x + 3 − 1 x ) d x \int\dfrac{x^2+3x-1}{x}dx=\int\left(x+3-\dfrac{1}{x}\right)dx ∫ x x 2 + 3 x − 1 d x = ∫ ( x + 3 − x 1 ) d x ↳ ◀ 나누기
= 1 2 x 2 + 3 x − ln ∣ x ∣ + C =\dfrac{1}{2}x^2+3x-\ln|x|+C = 2 1 x 2 + 3 x − ln ∣ x ∣ + C ∫ ( x + 1 ) 2 x d x = ∫ ( 1 + 2 x − 1 2 + 1 x ) d x \int\dfrac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}dx=\int\left(1+2x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{x}\right)dx ∫ x ( x + 1 ) 2 d x = ∫ ( 1 + 2 x − 2 1 + x 1 ) d x ↳ ◀ 전개
= x + 4 x + ln x + C =x+4\sqrt{x}+\ln x+C = x + 4 x + ln x + C ↳ ◀ x > 0 x>0 x > 0 ln ∣ x ∣ = ln x \ln|x|=\ln x ln ∣ x ∣ = ln x ∫ e 2 x − 4 e x + 2 d x = ∫ ( e x − 2 ) d x = e x − 2 x + C \int\dfrac{e^{2x}-4}{e^{x}+2}dx=\int(e^{x}-2)dx=e^{x}-2x+C ∫ e x + 2 e 2 x − 4 d x = ∫ ( e x − 2 ) d x = e x − 2 x + C ↳ ◀ 인수분해로 약분
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x > 0 x>0 x > 0 ∫ x + 1 x d x \displaystyle\int\frac{x+1}{x}\,dx ∫ x x + 1 d x x + ln x + C x+\ln x+C x + ln x + C 1 2 x 2 + x + C \dfrac{1}{2}x^2+x+C 2 1 x 2 + x + C x − 1 x + C x-\dfrac{1}{x}+C x − x 1 + C 성질 삼각함수 사이의 관계 이용
tan 2 x \tan^2 x tan 2 x 관계 1 + tan 2 x = sec 2 x 1+\tan^2 x=\sec^2 x 1 + tan 2 x = sec 2 x ∫ tan 2 x d x = ∫ ( sec 2 x − 1 ) d x = tan x − x + C \int\tan^2 x\,dx=\int(\sec^2 x-1)dx=\tan x-x+C ∫ tan 2 x d x = ∫ ( sec 2 x − 1 ) d x = tan x − x + C 1 + cot 2 x = csc 2 x 1+\cot^2 x=\csc^2 x 1 + cot 2 x = csc 2 x ∫ cot 2 x d x = ∫ ( csc 2 x − 1 ) d x = − cot x − x + C \int\cot^2 x\,dx=\int(\csc^2 x-1)dx=-\cot x-x+C ∫ cot 2 x d x = ∫ ( csc 2 x − 1 ) d x = − cot x − x + C tan 2 x \tan^2 x tan 2 x ✗ 틀린 풀이
∫ tan 2 x d x = 1 3 tan 3 x + C \int\tan^2 x\,dx=\dfrac{1}{3}\tan^3 x+C ∫ tan 2 x d x = 3 1 tan 3 x + C 왜 틀렸나 거듭제곱 공식은 x x x tan 2 x = sec 2 x − 1 \tan^2 x=\sec^2 x-1 tan 2 x = sec 2 x − 1 ↓ ✓ 바른 풀이
∫ tan 2 x d x = tan x − x + C \int\tan^2 x\,dx=\tan x-x+C ∫ tan 2 x d x = tan x − x + C 검산: ( tan x − x ) ′ = sec 2 x − 1 = tan 2 x (\tan x-x)'=\sec^2 x-1=\tan^2 x ( tan x − x ) ′ = sec 2 x − 1 = tan 2 x + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 틀리기 쉬운 곳 바로 적분할 수 없을 때
1 분수식이면 분자의 각 항을 분모로 나누어 항별로 적분해요.
x 2 + 3 x − 1 x = x + 3 − 1 x \dfrac{x^2+3x-1}{x}=x+3-\dfrac{1}{x} x x 2 + 3 x − 1 = x + 3 − x 1 2 곱이나 거듭제곱이면 전개해요.
( x + 1 ) 2 = x + 2 x + 1 (\sqrt{x}+1)^2=x+2\sqrt{x}+1 ( x + 1 ) 2 = x + 2 x + 1 3 e 2 x − 4 = ( e x + 2 ) ( e x − 2 ) e^{2x}-4=(e^{x}+2)(e^{x}-2) e 2 x − 4 = ( e x + 2 ) ( e x − 2 ) 4 5 적분한 결과를 미분하여 처음 함수가 나오는지 확인해요.
이전 개념 응용 ∫ cos 2 x 1 + sin x d x \int\dfrac{\cos^2 x}{1+\sin x}dx ∫ 1 + sin x cos 2 x d x cos 2 x = ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x ) \cos^2 x=(1+\sin x)(1-\sin x) cos 2 x = ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x ) ↳ ◀ cos 2 x = 1 − sin 2 x \cos^2 x=1-\sin^2 x cos 2 x = 1 − sin 2 x ∫ ( 1 − sin x ) d x = x + cos x + C \int(1-\sin x)dx=x+\cos x+C ∫ ( 1 − sin x ) d x = x + cos x + C ↳ ◀ 약분 후 적분
⚠ 주의 검산
부정적분은 미분하면 바로 확인할 수 있어요.( tan x − x ) ′ = sec 2 x − 1 = tan 2 x (\tan x-x)'=\sec^2 x-1=\tan^2 x ( tan x − x ) ′ = sec 2 x − 1 = tan 2 x ( x + cos x ) ′ = 1 − sin x (x+\cos x)'=1-\sin x ( x + cos x ) ′ = 1 − sin x 성질 정적분의 계산
F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) 정적분 과 계산 방법이 같고, 위의 부정적분 공식으로 F ( x ) F(x) F ( x ) 이전 개념 쌤 구간이 음수이면 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ ln x \ln x ln x 여러 가지 함수의 정적분
[ ln ∣ x ∣ ] 1 e = ln e − ln 1 = 1 \Big[\ln|x|\Big]_1^{e}=\ln e-\ln1=1 [ ln ∣ x ∣ ] 1 e = ln e − ln 1 = 1 ↳ ◀ ∫ 1 e 1 x d x \int_1^{e}\frac{1}{x}dx ∫ 1 e x 1 d x [ sin x ] 0 π 2 = 1 − 0 = 1 \Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1-0=1 [ sin x ] 0 2 π = 1 − 0 = 1 ↳ ◀ ∫ 0 π 2 cos x d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx ∫ 0 2 π cos x d x [ e x ] 0 ln 2 = 2 − 1 = 1 \Big[e^{x}\Big]_0^{\ln2}=2-1=1 [ e x ] 0 l n 2 = 2 − 1 = 1 ↳ ◀ ∫ 0 ln 2 e x d x \int_0^{\ln2}e^{x}dx ∫ 0 l n 2 e x d x [ tan x ] 0 π 4 = 1 − 0 = 1 \Big[\tan x\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}=1-0=1 [ tan x ] 0 4 π = 1 − 0 = 1 ↳ ◀ ∫ 0 π 4 sec 2 x d x \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^2 x\,dx ∫ 0 4 π sec 2 x d x 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ 0 π sin x d x \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx ∫ 0 π sin x d x 구간이 음수이면 절댓값이 꼭 필요하다
✗ 틀린 풀이
∫ − 2 − 1 1 x d x = [ ln x ] − 2 − 1 \int_{-2}^{-1}\dfrac{1}{x}dx=\Big[\ln x\Big]_{-2}^{-1} ∫ − 2 − 1 x 1 d x = [ ln x ] − 2 − 1 왜 틀렸나 x < 0 x<0 x < 0 ln x \ln x ln x 1 x \dfrac{1}{x} x 1 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ ↓ ✓ 바른 풀이
[ ln ∣ x ∣ ] − 2 − 1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2 \Big[\ln|x|\Big]_{-2}^{-1}=\ln1-\ln2=-\ln2 [ ln ∣ x ∣ ] − 2 − 1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2 확인: − 2 ≤ x ≤ − 1 -2\le x\le-1 − 2 ≤ x ≤ − 1 1 x < 0 \dfrac{1}{x}<0 x 1 < 0 − ln 2 -\ln2 − ln 2 + 펼치기 접기 그림