정의 코시컨트·시컨트·코탄젠트
sin θ ≠ 0 \sin\theta\ne0 sin θ = 0 1 sin θ \dfrac{1}{\sin\theta} sin θ 1 θ \theta θ 코시컨트 라 하고 csc θ \csc\theta csc θ sec θ = 1 cos θ \sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta} sec θ = cos θ 1 ( cos θ ≠ 0 ) (\cos\theta\ne0) ( cos θ = 0 ) cot θ = 1 tan θ \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta} cot θ = tan θ 1 ( tan θ ≠ 0 ) (\tan\theta\ne0) ( tan θ = 0 ) cot θ = cos θ sin θ \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} cot θ = sin θ cos θ 학생 csc \csc csc sec \sec sec sin \sin sin 쌤 짝이 엇갈려요. 이름이 c c c csc \csc csc sin \sin sin s s s sec \sec sec cos \cos cos θ = π 3 \theta=\dfrac{\pi}{3} θ = 3 π csc π 3 = 2 3 = 2 3 3 \csc\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} csc 3 π = 3 2 = 3 2 3 ↳ ◀ sin π 3 = 3 2 \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} sin 3 π = 2 3 sec π 3 = 2 \sec\dfrac{\pi}{3}=2 sec 3 π = 2 ↳ ◀ cos π 3 = 1 2 \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} cos 3 π = 2 1 cot π 3 = 1 3 = 3 3 \cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} cot 3 π = 3 1 = 3 3 ↳ ◀ tan π 3 = 3 \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} tan 3 π = 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
sec π 4 \sec\dfrac{\pi}{4} sec 4 π 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 1 1 1 2 \sqrt{2} 2 성질 삼각함수 사이의 관계
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 의 양변을 cos 2 θ \cos^2\theta cos 2 θ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ \tan^2\theta+1=\sec^2\theta tan 2 θ + 1 = sec 2 θ sin 2 θ \sin^2\theta sin 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 이전 개념 역수의 짝
✗ 틀린 풀이
sec θ = 1 sin θ \sec\theta=\dfrac{1}{\sin\theta} sec θ = sin θ 1 왜 틀렸나 sec θ \sec\theta sec θ cos θ \cos\theta cos θ csc θ \csc\theta csc θ sin θ \sin\theta sin θ ↓ ✓ 바른 풀이
sec θ = 1 cos θ \sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta} sec θ = cos θ 1 확인: 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta 1 + tan 2 θ = sec 2 θ tan \tan tan sec \sec sec cos \cos cos + 펼치기 접기 왜 그런지 외우는 방법: 짝이 엇갈려요.c c c csc \csc csc sin \sin sin s s s sec \sec sec cos \cos cos
성질 삼각함수의 덧셈정리
다음 여섯 공식을 삼각함수의 덧셈정리 라 한다.sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β 사인함수의 미분 에 쓰인다. 이전 개념 학생 sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β ) sin α + sin β \sin\alpha+\sin\beta sin α + sin β 쌤 아니에요. sin \sin sin cos \cos cos sin ( 30 ∘ + 60 ∘ ) = sin 90 ∘ = 1 \sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1 sin ( 3 0 ∘ + 6 0 ∘ ) = sin 9 0 ∘ = 1 sin 30 ∘ + sin 60 ∘ = 1 + 3 2 \sin30^\circ+\sin60^\circ=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} sin 3 0 ∘ + sin 6 0 ∘ = 2 1 + 3 사인
sin ( α ± β ) = sin cos ± cos sin \displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\cos\pm\cos\sin sin ( α ± β ) = sin cos ± cos sin 「사코 코사」, 가운데 부호는 왼쪽과 같게
코사인
cos ( α ± β ) = cos cos ∓ sin sin \displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\cos\mp\sin\sin cos ( α ± β ) = cos cos ∓ sin sin 「코코 사사」, 가운데 부호는 왼쪽과 반대로
탄젠트
tan ( α ± β ) = tan + tan ( ± ) 1 − tan tan ( ∓ ) \displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan+\tan\ (\pm)}{1-\tan\tan\ (\mp)} tan ( α ± β ) = 1 − tan tan ( ∓ ) tan + tan ( ± ) 분자는 같게, 분모는 반대로
sin 75 ∘ \sin75^\circ sin 7 5 ∘ sin 75 ∘ = sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) \sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ) sin 7 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) ↳ ◀ 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ 75^\circ=45^\circ+30^\circ 7 5 ∘ = 4 5 ∘ + 3 0 ∘ = sin 45 ∘ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ sin 30 ∘ =\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ ↳ ◀ 덧셈정리
= 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2} = 2 2 × 2 3 + 2 2 × 2 1 = 6 + 2 4 =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 4 6 + 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
cos 75 ∘ \cos75^\circ cos 7 5 ∘ 6 − 2 4 \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 4 6 − 2 6 + 2 4 \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 4 6 + 2 2 + 3 2 \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} 2 2 + 3 덧셈정리는 각각 더하는 것이 아니다
✗ 틀린 풀이
sin ( α + β ) = sin α + sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta sin ( α + β ) = sin α + sin β 왜 틀렸나 덧셈정리에 따라 sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β ) sin \sin sin cos \cos cos ↓ ✓ 바른 풀이
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 검산: α = β = 30 ∘ \alpha=\beta=30^\circ α = β = 3 0 ∘ sin 30 ∘ cos 30 ∘ + cos 30 ∘ sin 30 ∘ = 3 2 = sin 60 ∘ \sin30^\circ\cos30^\circ+\cos30^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin60^\circ sin 3 0 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 3 = sin 6 0 ∘ cos \cos cos ✗ 틀린 풀이
cos ( α + β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β + sin α sin β 왜 틀렸나 cos \cos cos cos cos \cos\cos cos cos sin sin \sin\sin sin sin ↓ ✓ 바른 풀이
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β 검산: β = − α \beta=-\alpha β = − α cos 0 = 1 \cos0=1 cos 0 = 1 cos 2 α + sin 2 α = 1 \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 cos 2 α + sin 2 α = 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 외우기 카드 왜 그런가? 단위원 위에 두 점 P ( cos α , sin α ) \mathrm{P}(\cos\alpha,\ \sin\alpha) P ( cos α , sin α ) Q ( cos β , sin β ) \mathrm{Q}(\cos\beta,\ \sin\beta) Q ( cos β , sin β ) O P \mathrm{OP} OP O Q \mathrm{OQ} OQ x x x α \alpha α β \beta β ∠ P O Q = α − β \angle\mathrm{POQ}=\alpha-\beta ∠ POQ = α − β
x y α-β O P Q 단위원 위의 점 P ( cos α , sin α ) \mathrm{P}(\cos\alpha,\ \sin\alpha) P ( cos α , sin α ) Q ( cos β , sin β ) \mathrm{Q}(\cos\beta,\ \sin\beta) Q ( cos β , sin β ) ∠ P O Q = α − β \angle\mathrm{POQ}=\alpha-\beta ∠ POQ = α − β P Q \mathrm{PQ} PQ cos ( α − β ) \cos(\alpha-\beta) cos ( α − β ) 1 두 점 사이의 거리 공식과 sin 2 + cos 2 = 1 \sin^2+\cos^2=1 sin 2 + cos 2 = 1 2 삼각형 O P Q \mathrm{OPQ} OPQ 3 이전 개념 나머지 공식 유도
1 β \beta β − β -\beta − β cos ( − β ) = cos β \cos(-\beta)=\cos\beta cos ( − β ) = cos β sin ( − β ) = − sin β \sin(-\beta)=-\sin\beta sin ( − β ) = − sin β 2 sin θ = cos ( π 2 − θ ) \sin\theta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) sin θ = cos ( 2 π − θ ) 3 4 분모, 분자를 cos α cos β \cos\alpha\cos\beta cos α cos β 이전 개념 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2
sin ( α + β ) = sin α cos β □ cos α sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta\ \square\ \cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β □ cos α sin β 정답 보기
단계 1 / 2
cos ( α + β ) = cos α cos β □ sin α sin β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\ \square\ \sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β □ sin α sin β 정답 보기
단계 1 / 2
tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 □ tan α tan β \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1\ \square\ \tan\alpha\tan\beta} tan ( α − β ) = 1 □ tan α tan β tan α − tan β 정답 보기
예 tan 15 ∘ \tan15^\circ tan 1 5 ∘ 15 ∘ = 45 ∘ − 30 ∘ 15^\circ=45^\circ-30^\circ 1 5 ∘ = 4 5 ∘ − 3 0 ∘ tan 15 ∘ = 1 − 3 3 1 + 3 3 = 3 − 3 3 + 3 \tan15^\circ=\dfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} tan 1 5 ∘ = 1 + 3 3 1 − 3 3 = 3 + 3 3 − 3 유리화 하면 tan 15 ∘ = 2 − 3 \tan15^\circ=2-\sqrt{3} tan 1 5 ∘ = 2 − 3 이전 개념 응용 sin ( x + π 3 ) \sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) sin ( x + 3 π ) sin ( x + π 3 ) = sin x cos π 3 + cos x sin π 3 \sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{3} sin ( x + 3 π ) = sin x cos 3 π + cos x sin 3 π ↳ ◀ α = x \alpha=x α = x β = π 3 \beta=\frac{\pi}{3} β = 3 π = 1 2 sin x + 3 2 cos x =\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 2 1 sin x + 2 3 cos x 응용 tan α = 2 \tan\alpha=2 tan α = 2 tan β = 3 \tan\beta=3 tan β = 3 tan ( α + β ) \tan(\alpha+\beta) tan ( α + β ) tan ( α + β ) = 2 + 3 1 − 2 × 3 \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{2+3}{1-2\times3} tan ( α + β ) = 1 − 2 × 3 2 + 3 = 5 − 5 = − 1 =\dfrac{5}{-5}=-1 = − 5 5 = − 1 ⚠ 주의 검산 방법
공식이나 계산 결과에 β = 0 \beta=0 β = 0 sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α tan α \tan\alpha tan α sin 75 ∘ = 0.9659 ⋯ \sin75^\circ=0.9659\cdots sin 7 5 ∘ = 0.9659 ⋯ 6 + 2 4 = 0.9659 ⋯ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=0.9659\cdots 4 6 + 2 = 0.9659 ⋯ 덧셈정리에서 β = α \beta=\alpha β = α 2 α 2\alpha 2 α α \alpha α
사인
sin 2 α = 2 sin α cos α \displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α 코사인
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α cos α \cos\alpha cos α sin α \sin\alpha sin α 탄젠트
tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α \displaystyle \tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} tan 2 α = 1 − tan 2 α 2 tan α 학생 cos 2 α \cos2\alpha cos 2 α 쌤 sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 sin 2 α + cos 2 α = 1 sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α sin α \sin\alpha sin α 1 − 2 sin 2 α 1-2\sin^2\alpha 1 − 2 sin 2 α cos α \cos\alpha cos α 2 cos 2 α − 1 2\cos^2\alpha-1 2 cos 2 α − 1 sin α = 3 5 \sin\alpha=\dfrac{3}{5} sin α = 5 3 ( 0 < α < π 2 ) \left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right) ( 0 < α < 2 π ) cos α = 1 − 9 25 = 4 5 \cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5} cos α = 1 − 25 9 = 5 4 ↳ ◀ cos α > 0 \cos\alpha>0 cos α > 0 sin 2 α = 2 × 3 5 × 4 5 = 24 25 \sin2\alpha=2\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25} sin 2 α = 2 × 5 3 × 5 4 = 25 24 ↳ ◀ 2 sin α cos α 2\sin\alpha\cos\alpha 2 sin α cos α cos 2 α = 1 − 2 × 9 25 = 7 25 \cos2\alpha=1-2\times\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25} cos 2 α = 1 − 2 × 25 9 = 25 7 ↳ ◀ 1 − 2 sin 2 α 1-2\sin^2\alpha 1 − 2 sin 2 α tan 2 α = 24 25 ÷ 7 25 = 24 7 \tan2\alpha=\dfrac{24}{25}\div\dfrac{7}{25}=\dfrac{24}{7} tan 2 α = 25 24 ÷ 25 7 = 7 24 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
cos α = 1 3 \cos\alpha=\dfrac{1}{3} cos α = 3 1 cos 2 α \cos2\alpha cos 2 α 2 3 \dfrac{2}{3} 3 2 − 7 9 -\dfrac{7}{9} − 9 7 7 9 \dfrac{7}{9} 9 7 배각은 2 를 곱하는 것이 아니다
✗ 틀린 풀이
sin 2 α = 2 sin α \sin2\alpha=2\sin\alpha sin 2 α = 2 sin α 왜 틀렸나 배각 공식은 덧셈정리에 β = α \beta=\alpha β = α cos α \cos\alpha cos α ↓ ✓ 바른 풀이
sin 2 α = 2 sin α cos α \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α 검산: α = π 2 \alpha=\dfrac{\pi}{2} α = 2 π sin π = 0 \sin\pi=0 sin π = 0 2 sin π 2 cos π 2 = 0 2\sin\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}{2}=0 2 sin 2 π cos 2 π = 0 직선 y = m x + n y=mx+n y = m x + n x x x α \alpha α m = tan α m=\tan\alpha m = tan α
두 직선이 이루는 각 θ = α − β \theta=\alpha-\beta θ = α − β x y=3x-1 y = 1 2 x + 2 y=\frac{1}{2}x+2 y = 2 1 x + 2 α β θ 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합이므로 α = β + θ \alpha=\beta+\theta α = β + θ θ = α − β \theta=\alpha-\beta θ = α − β y = 3 x − 1 y=3x-1 y = 3 x − 1 y = 1 2 x + 2 y=\dfrac{1}{2}x+2 y = 2 1 x + 2 ( 6 5 , 13 5 ) \left(\dfrac{6}{5},\ \dfrac{13}{5}\right) ( 5 6 , 5 13 ) tan α = 3 \tan\alpha=3 tan α = 3 tan β = 1 2 \tan\beta=\dfrac{1}{2} tan β = 2 1 학생 기울기가 왜 tan α \tan\alpha tan α 쌤 기울기는 ( y 의 증가량 ) ( x 의 증가량 ) \dfrac{(y\text{ 의 증가량})}{(x\text{ 의 증가량})} ( x 의 증가량 ) ( y 의 증가량 ) tan α \tan\alpha tan α tan \tan tan tan θ = ∣ m 1 − m 2 1 + m 1 m 2 ∣ \tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| tan θ = 1 + m 1 m 2 m 1 − m 2 tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β tan α = m 1 \tan\alpha=m_1 tan α = m 1 tan β = m 2 \tan\beta=m_2 tan β = m 2 m 1 m 2 = − 1 m_1m_2=-1 m 1 m 2 = − 1 0 0 0 수직 이다. 이전 개념 두 직선 y = 3 x − 1 y=3x-1 y = 3 x − 1 y = 1 2 x + 2 y=\dfrac{1}{2}x+2 y = 2 1 x + 2 θ \theta θ tan θ = ∣ 3 − 1 2 1 + 3 × 1 2 ∣ = ∣ 5 2 5 2 ∣ = 1 \tan\theta=\left|\dfrac{3-\frac{1}{2}}{1+3\times\frac{1}{2}}\right|=\left|\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right|=1 tan θ = 1 + 3 × 2 1 3 − 2 1 = 2 5 2 5 = 1 ↳ ◀ m 1 = 3 m_1=3 m 1 = 3 m 2 = 1 2 m_2=\frac{1}{2} m 2 = 2 1 θ = π 4 \theta=\dfrac{\pi}{4} θ = 4 π 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
두 직선 y = 2 x y=2x y = 2 x y = − 1 2 x y=-\dfrac{1}{2}x y = − 2 1 x π 4 \dfrac{\pi}{4} 4 π π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π + 펼치기 접기 왜 그런지 직선 y = m x + n y=mx+n y = m x + n x x x α \alpha α m = tan α m=\tan\alpha m = tan α ( y 의 증가량 ) ( x 의 증가량 ) \dfrac{(y\text{ 의 증가량})}{(x\text{ 의 증가량})} ( x 의 증가량 ) ( y 의 증가량 ) tan α \tan\alpha tan α y = m 1 x + n 1 y=m_1x+n_1 y = m 1 x + n 1 y = m 2 x + n 2 y=m_2x+n_2 y = m 2 x + n 2 x x x α \alpha α β \beta β θ \theta θ α − β \alpha-\beta α − β