인수분해 공식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

곱셈공식을 거꾸로 쓰면 인수분해 공식이 돼요. 공통인수를 먼저 묶고, 더 분해되지 않을 때까지 분해해요.

1인수분해의 뜻과 공통인수
2인수분해 공식 — 곱셈공식을 거꾸로
3이차식의 인수분해 — 합·곱과 대각선 방법
4응용 — □△ 틀로 보기
5끝까지 분해하고 검산하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (2개 · 핵심 용어 가리기)

1인수분해의 뜻과 공통인수

정의인수분해

하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해 한다고 하고, 곱을 이루는 각 다항식을 처음 식의 「인수」라 한다. 인수분해는 전개의 반대 과정이다.

x^2+5x+6\ \underset{\text{전개}}{\overset{\text{인수분해}}{\rightleftarrows}}\ (x+2)(x+3)

넓이로 보는 인수분해

x^2+5x+6

을 직사각형 하나로

x

3

x

x^2

3x

2

2x

6

조각

x^2,\ 3x,\ 2x,\ 6

을 빈틈없이 붙이면 가로

x+3

, 세로

x+2

인 직사각형이 돼요.
따라서

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

학생

인수분해할 때 가장 먼저 볼 것은 뭐예요?

쌤

모든 항에 들어 있는 공통인수예요.
공통인수를 먼저 꺼내야 남은 식이 간단해져요.

성질공통인수로 묶기

분배법칙의 역

ma+mb=m(a+b)

모든 항에 공통으로 들어 있는 인수(수·문자·식)를 남김없이 앞으로 꺼낸다.
수는 최대공약수, 문자는 가장 낮은 차수로 묶는다.

6x^2y-9xy^2=3xy(2x-3y)

덩어리 공통인수

y-x=-(x-y)

로 바꿔 같은 덩어리를 만든다.

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

4x^2y-6xy

를 인수분해하면?

공통인수를 덜 묶음

✗ 틀린 풀이

6x^2y-9xy^2=3x(2xy-3y^2)

왜 틀렸나 공통인수는 수와 문자를 모두 살펴 남김없이 묶어야 하므로

3xy

를 묶는다.

✓ 바른 풀이

6x^2y-9xy^2=3xy(2x-3y)

확인: 묶은 뒤 괄호 안

2x-3y

의 두 항에 공통인 수나 문자가 더 없는지 본다.

부호를 바꿀 때

✗ 틀린 풀이

a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a+b)

왜 틀렸나

y-x=-(x-y)

이므로

b(y-x)

를

-b(x-y)

로 바꾼 뒤

x-y

로 묶어야 한다.

✓ 바른 풀이

a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b)

확인:

a=1,\ b=1,\ x=1,\ y=0

을 넣으면 처음 식은

0

, 바른 식

(1-0)(1-1)

도

0

이다.

2인수분해 공식 — 곱셈공식을 거꾸로

아래 공식은 모두 곱셈공식의 좌변과 우변을 바꾼 거예요. 그래서 따로 외울 것이 거의 없어요. 곱셈공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 돼요. 공식이 맞는지 의심되면 오른쪽을 전개해 확인해요.

공식기본 공식

공통인수

\displaystyle ma+mb=m(a+b)

완전제곱식(합)

\displaystyle a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

양 끝이 제곱, 가운데가 「두 배의 곱」이면 완전제곱식.

완전제곱식(차)

\displaystyle a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

제곱의 차

\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)

제곱 빼기 제곱은 (합)(차)가 된다.
제곱의 「합」

a^2+b^2

은 유리수 범위에서 인수분해되지 않는다.

합·곱 꼴

\displaystyle x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

곱해서 상수항, 더해서

x

의 계수가 되는 두 수를 찾는다.

대각선 꼴

\displaystyle acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

아래 「이차식의 인수분해」의 대각선(크로스) 방법.

공식세제곱·세 문자 공식

완전세제곱식

\displaystyle a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3

계수

1,3,3,1

완전세제곱식(차)

\displaystyle a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3

부호

+,-,+,-

세제곱의 합

\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

세제곱의 차

\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

세 문자 완전제곱

\displaystyle a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2

세 문자 세제곱

\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

뒤 인수는

\frac12\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}

와 같다.

사차 대칭

\displaystyle a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

유도는 아래.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x^3-8

을 인수분해하면?

공식헷갈리는 식 나란히

세제곱의 합

\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

항이 2개인 식.

합의 세제곱

\displaystyle a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3

항이 4개인 식.

a^3+b^3\neq(a+b)^3

이다.

a=2,\ b=1

을 넣으면

9\neq27

제곱의 차

\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)

분해된다.

제곱의 합

\displaystyle a^2+b^2

유리수 범위에서 분해되지 않는다.

자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기외우기 카드

왜 그런가 ①

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

(a+b)(a^2-ab+b^2)

↳◀오른쪽을 전개

=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3

↳◀분배법칙으로 6개 항

=a^3+b^3

↳◀가운데 네 항이 지워져요

두 번째 인수의 가운데가

-ab

여야 지워져요.

왜 그런가 ②

a^4+a^2b^2+b^4

(더하고 빼서 제곱의 차로)

a^4+a^2b^2+b^4

=(a^4+2a^2b^2+b^4)-a^2b^2

↳◀완전제곱식이 되게

a^2b^2

을 더하고 빼요

=(a^2+b^2)^2-(ab)^2

↳◀□

^2-

△

^2

꼴

=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

↳◀(합)(차)

성질외우는 장치

곱셈공식을 거꾸로: 「인수분해 공식 = 곱셈공식의 오른쪽 → 왼쪽」
세제곱의 합·차의 부호: 「같게 · 반대로 · 항상

+

」

a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

첫 인수는 원래 부호와 같게, 가운데 항은 반대로, 끝 항

b^2

은 항상

+

.
완전제곱식 판별: 「양 끝이 제곱이고 가운데가

2\times

□

\times

△ 인가?」

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2

a^2-b^2=(a+b)(a\ \square\ b)

단계 1 / 3같게 · 반대로 · 항상 +

a^3+b^3=(a+b)(a^2\ \square\ ab+b^2)

단계 1 / 3같게 · 반대로 · 항상 +

a^3-b^3=(a-b)(a^2\ \square\ ab+b^2)

단계 1 / 2

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2\ \square\ ab\ \square\ bc\ \square\ ca)

단계 1 / 2

a^2b^2

을 더하고 빼기

a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+\square+b^2)(a^2-\square+b^2)

3이차식의 인수분해 — 합·곱과 대각선 방법

$x^2$ 의 계수가 $1$ 이 아니면 $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$ 를 거꾸로 써요.
$x^2$ 의 계수를 $a\times c$ , 상수항을 $b\times d$ 로 나누어 세로로 적고, 대각선으로 곱한 두 값의 합이 $x$ 의 계수 $ad+bc$ 가 되는 조합을 찾아요.

대각선 방법

6x^2+x-2

2x

-1

\to -3x

3x

2

\to 4x

x

(더하면 가운데 항)

6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)

① $x^2$ 의 계수 $6=2\times3$ , 상수항 $-2=(-1)\times2$ 로 나누어 세로로 적어요.
②대각선끼리 곱해 더하면 $-3x+4x=x$ — $x$ 의 계수 $1$ 과 같아요. 다르면 짝을 바꿔 다시 해요.
③가로로 읽어요. 윗줄 $2x-1$ , 아랫줄 $3x+2$

검산:

(2x-1)(3x+2)=6x^2+4x-3x-2=6x^2+x-2

✓

학생

x^2

의 계수가

1

이면 더 쉬운 방법이 있어요?

쌤

네. 곱해서 상수항, 더해서

x

의 계수가 되는 두 수만 찾으면 돼요.

x^2-5x+6

은 곱

6

, 합

-5

인

-2,\ -3

을 찾아

(x-2)(x-3)

이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

2x^2+5x-3

을 인수분해하면?

곱은 맞지만 합이 틀린 조합

✗ 틀린 풀이

6x^2+x-2=(2x+1)(3x-2)

왜 틀렸나 양 끝 계수의 곱뿐 아니라 대각선 곱의 합도 가운데 항

x

와 부호까지 같아야 한다.

✓ 바른 풀이

6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)

바른 짝

(2x-1)(3x+2)

의 대각선 합은

4x-3x=x

이다. 반드시 전개하여 확인한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

$x^2$ 의 계수가 $1$ 이면 곱이 상수항, 합이 $x$ 의 계수인 두 수를 찾아요. 예) $x^2-xy-6y^2$ 은 곱이 $-6y^2$ , 합이 $-y$ 인 두 식 $-3y$ , $2y$ 를 찾아요.
따라서 $x^2-xy-6y^2=(x-3y)(x+2y)$

문자가 두 개일 때

6x^2-xy-2y^2

6x^2=2x\cdot3x,\quad -2y^2=y\cdot(-2y)

↳◀양 끝을 나눠요

2x\cdot(-2y)+y\cdot3x=-xy

↳◀대각선 곱의 합 ✓

6x^2-xy-2y^2=(2x+y)(3x-2y)

↳◀가로로 읽어요

4응용 — □△ 틀로 보기

공식의 $a$ , $b$ 는 자리 이름이에요. 수·계수 붙은 문자·다른 문자·덩어리 식 무엇이든 들어가요. 순서는 항상 같아요.

세제곱의 차

8x^3-27y^3

8x^3=(2x)^3,\quad 27y^3=(3y)^3

↳◀□

=2x

, △

=3y

(2x-3y)\{(2x)^2+(2x)(3y)+(3y)^2\}

↳◀틀에 괄호째 넣어요

=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)

↳◀정리해요

□

^3-

△

^3=(

□

-

△

)(

□

^2+

□△

+

△

^2)

틀이에요.

학생

8x^3

은 무엇의 세제곱으로 봐요?

쌤

8x^3=(2x)^3

이에요.
계수까지 함께 세제곱 꼴로 바꾸고,

2x

를 괄호째 넣어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

27x^3+1

을 인수분해하면?

세제곱의 차에서 가운데 부호

✗ 틀린 풀이

8x^3-27y^3=(2x-3y)(4x^2-6xy+9y^2)

왜 틀렸나 세제곱의 차

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

에서 둘째 괄호의 가운데 부호는

+

이다.

✓ 바른 풀이

8x^3-27y^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)

확인:

x=1,\ y=1

을 넣으면 처음 식

8-27=-19

와 바른 식

(-1)(4+6+9)=-19

가 같다.

덩어리가 들어갈 때

(x+1)^2-(y-2)^2

\{(x+1)+(y-2)\}\{(x+1)-(y-2)\}

↳◀(□

+

△)(□

-

△)

=(x+y-1)(x-y+3)

↳◀괄호 안 정리

□

=x+1

, △

=y-2

인 □

^2-

△

^2

꼴이에요.

덩어리를 뺄 때 괄호

✗ 틀린 풀이

(x+1)-(y-2)=x+1-y-2=x-y-1

왜 틀렸나 덩어리를 뺄 때는 괄호째 빼므로 괄호 안의

-2

도 부호가 바뀌어

+2

가 된다.

✓ 바른 풀이

(x+1)-(y-2)=x+1-y+2=x-y+3

치환한 덩어리를 되돌릴 때는 먼저 괄호를 씌운 뒤 괄호를 푼다.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제 3

틀에 넣는 순서

1
각 항을 □ $^2$ , □ $^3$ 처럼 거듭제곱 꼴로 다시 써요.
예) $8x^3=(2x)^3$
2
□, △ 를 먼저 적어요.
3
공식의 오른쪽 틀에 괄호째 넣어요.
4
괄호 안을 정리해요.
5
전개해서(또는 값을 넣어) 검산해요.

검산:

(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)

을 전개하면

8x^3-27y^3

① 공식을 틀로 본다

(\textcolor{#2563eb}{\square} - \textcolor{#ea580c}{\triangle}) (\textcolor{#2563eb}{\square}^{2} + \textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#ea580c}{\triangle} + \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{2})=\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} - \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3}

②

(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})

에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다

\textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{2 x}

\textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{3 y}

③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다

틀의 항	괄호째 넣기	부호	숫자	문자	결과
$\textcolor{#2563eb}{\square}^{3}$	$\textcolor{#2563eb}{(2 x)}^{3}$	+	$8$	$x^{3}$	$8 x^{3}$
$- \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3}$	$- \textcolor{#ea580c}{(3 y)}^{3}$	−	$27$	$y^{3}$	$- 27 y^{3}$

답

(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})=8 x^{3} - 27 y^{3}

✓ 검산:

x=1,\ y=1

을 넣으면 왼쪽

-19

, 오른쪽

-19

완전제곱식 알아보기

4x^2-12xy+9y^2

4x^2=(2x)^2,\quad 9y^2=(3y)^2

↳◀양 끝이 제곱

2(2x)(3y)=12xy

↳◀가운데 항 ✓ (부호

-

)

4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2

↳◀(□

-

△)

^2

완전세제곱식 알아보기

8x^3-36x^2+54x-27

8x^3=(2x)^3,\quad 27=3^3

↳◀양 끝이 세제곱

3(2x)^2\cdot3=36x^2,\quad 3(2x)\cdot3^2=54x

↳◀가운데 두 항 ✓

8x^3-36x^2+54x-27=(2x-3)^3

↳◀부호

+,-,+,-

예세 문자 공식에 넣기

x^2+4y^2+z^2+4xy-4yz-2zx

□

=x

, △

=2y

, ○

=-z

로 보면

2

□△

=4xy

2

△○

=-4yz

2

○□

=-2zx

따라서

x^2+4y^2+z^2+4xy-4yz-2zx=(x+2y-z)^2

a^3+8b^3+c^3-6abc

△

=2b

로 보면

3a(2b)c=6abc

이에요.
따라서

a^3+8b^3+c^3-6abc=(a+2b+c)(a^2+4b^2+c^2-2ab-2bc-ca)

x^4+x^2+1

a=x

b=1

인

a^4+a^2b^2+b^4

꼴이에요.
따라서

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

5끝까지 분해하고 검산하기

⚠ 주의끝까지 분해하기

2x^2-8=2(x^2-4)

에서 멈추면 안 돼요.

x^2-4

를 다시 분해해

2(x+2)(x-2)

까지 써요.
인수분해는 더 이상 분해되지 않을 때까지 계속해요(고등학교 과정에서는 계수가 유리수인 범위까지예요).
그래서

x^2-2

x^2+1

은 그대로 둬요.

학생

끝까지 분해됐는지 어떻게 확인해요?

쌤

인수 하나하나를 다시 보고 공통인수, 공식을 차례로 떠올려요.
어느 것도 맞지 않으면 끝이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

3x^2-12

를 끝까지 인수분해하면?

중간에 멈춤

✗ 틀린 풀이

x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)

왜 틀렸나 인수분해는 끝까지 해야 하므로 제곱의 차 꼴로 남은 인수는 다시 분해한다.

✓ 바른 풀이

x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)

바른 결과의 인수

x^2+1

은 실수 범위에서 더 분해되지 않으므로 여기서 멈춘다.

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기왜 그런지

예두 공식을 이어서

x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)

x^6-y^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)

제곱의 차를 먼저 쓰면 세제곱의 합·차로 바로 끝까지 분해돼요.

성질검산하는 세 가지 방법

① 전개: 인수분해한 식을 전개해 원래 식이 나오는지 본다(인수분해 ↔ 전개).
② 값 넣기:

3x^3-12x=3x(x+2)(x-2)

에

x=1

을 넣는다.
왼쪽

3-12=-9

오른쪽

3\cdot3\cdot(-1)=-9

✓
③ 차수 세기: 인수들의 차수의 합이 원래 식의 차수와 같아야 한다.
예)

1+1+1=3

공식의 꼴이 보이지 않는 삼차 이상의 식은 인수정리와 조립제법으로, 공통부분이 있거나 문자가 여러 개인 식은 치환하거나 한 문자에 대하여 정리하는 방법으로 분해해요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1인수분해는 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것으로, 전개의 반대 과정이다. 곱셈공식의 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식이 된다.
2순서: ① 공통인수를 먼저 묶는다 → ② 공식의 틀(□, △)을 찾는다 → ③ 더 이상 분해되지 않을 때까지 계속한다 → ④ 전개하거나 값을 넣어 검산한다.
3공식의 문자는 「자리 이름」이다. $8x^3-27y^3$ 은 □ $=2x$ , △ $=3y$ 인 □ $^3-$ △ $^3$ 이다.
$(x+1)^2-(y-2)^2$ 는 덩어리째 □ $^2-$ △ $^2$ 이다.
4이차식 $acx^2+(ad+bc)x+bd$ 는 대각선(크로스) 방법으로 분해한다.

✗ 자주 하는 실수

공통인수를 먼저 묶지 않아 계수가 복잡한 채로 공식을 찾아요.
$a^3+b^3$ 의 두 번째 인수를 $(a^2+ab+b^2)$ 로 써요(정답은 $a^2-ab+b^2$ 이에요).
$x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)$ 에서 멈춰요(정답은 $(x^2+1)(x+1)(x-1)$ 이에요).

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$2x^3-16$ 을 인수분해하시오.
예제 2
$6x^2+x-2$ 를 인수분해하시오.
예제 3
$(2x+1)^2-(x-3)^2$ 을 인수분해하시오.

다음 공부

다음 개념: 복잡한 식의 인수분해 →다음 개념: 이차방정식의 풀이 →

이전 개념: 다항식의 곱셈과 곱셈공식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 최대공약수와 최소공배수공통수학1 목차

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