수학 개념 노트전체 과목

정적분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
정적분 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 사이의 넓이로 정하며, xx 축 아래 부분은 넓이에 −- 를 붙여요. 미적분의 기본정리에 의해 f(x)f(x) 의 한 부정적분 F(x)F(x) 로 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a) 와 같이 계산하고, 실수배·합·차, 구간 나누기, 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀌는 성질을 써요.
  1. 1정적분의 뜻
  2. 2미적분의 기본정리
  3. 3정적분의 계산
  4. 4정적분의 성질
  5. 5구간별로 정의된 함수와 절댓값 함수의 정적분
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1정적분의 뜻

함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 부분을 생각해요.
곡선이 xx 축 위에 있으면 둘러싸인 부분의 넓이를, 아래에 있으면 넓이에 −- 를 붙인 값을 하나의 수로 정해요.
곡선과 xx 축 사이의 넓이로 정한 수를 정적분이라 해요.

정의정적분
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때
① f(x)≥0f(x)\ge0 이면 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이를 f(x)f(x) 의 aa 에서 bb 까지의 정적분이라 하고, 기호로 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx 와 같이 나타낸다.
② f(x)≤0f(x)\le0 이면 둘러싸인 도형의 넓이를 SS 라 할 때 ∫abf(x) dx=−S\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-S 이다.
③ f(x)f(x) 가 양의 값과 음의 값을 모두 가지면 f(x)≥0f(x)\ge0 인 부분의 넓이를 S1S_1, f(x)≤0f(x)\le0 인 부분의 넓이를 S2S_2 라 할 때 ∫abf(x) dx=S1−S2\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=S_1-S_2 이다.
학생
곡선이 xx 축 아래에 있으면 넓이가 음수가 돼요?
쌤
넓이는 항상 00 이상이에요. 정적분이 그 넓이에 −- 를 붙인 값이라서 음수가 될 수 있어요.
그래서 정적분과 넓이는 같을 때도 있고 다를 때도 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫02(−3) dx\displaystyle\int_{0}^{2} (-3)\,dx 의 값은?
정적분을 넓이의 합으로 계산한 실수
✗ 틀린 풀이
∫03(x−1) dx=2+12=52\displaystyle\int_{0}^{3} (x-1)\,dx=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}
왜 틀렸나 정적분은 xx 축 위 부분의 넓이에서 xx 축 아래 부분의 넓이를 빼서 정한다.
✓ 바른 풀이
∫03(x−1) dx=2−12=32\displaystyle\int_{0}^{3} (x-1)\,dx=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}
xx 축 아래 부분의 넓이 12\dfrac{1}{2} 은 빼야 한다.
두 넓이를 더한 값은 ∫03∣x−1∣ dx\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx 이다.
정의위끝과 아래끝
∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx 에서 bb 를 위끝, aa 를 아래끝이라 한다.
정적분의 값을 구하는 것을 「aa 에서 bb 까지 적분한다」고 한다.
성질위끝과 아래끝이 같거나 순서가 바뀐 경우
정적분은 a≥ba\ge b 일 때에도 다음과 같이 정한다.∫aaf(x) dx=0\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_{b}^{a} f(x)\,dx=-\int_{a}^{b} f(x)\,dx예를 들어
∫33x2 dx=0\displaystyle\int_{3}^{3} x^2\,dx=0
∫20x dx=−∫02x dx=−2\displaystyle\int_{2}^{0} x\,dx=-\int_{0}^{2} x\,dx=-2

2미적분의 기본정리

넓이로 정한 정적분을 매번 도형의 넓이로 구할 수는 없어요.
아래끝 aa 를 고정하고 위끝을 xx 로 바꾸면 정적분의 값은 xx 에 따라 정해지므로 xx 의 함수가 돼요.
∫axf(t) dt\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt 를 xx 에 대하여 미분하면 f(x)f(x) 가 된다는 사실에서, 부정적분으로 정적분을 계산하는 방법이 나와요.

성질정적분과 미분의 관계
함수 f(t)f(t) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때ddx∫axf(t) dt=f(x)(a<x<b)\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x)\quad(a<x<b)
자세히 보기펼치기왜 그런지

S(x)=∫axf(t) dtS(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt 로 놓으면, xx 가 Δx\Delta x 만큼 커질 때 SS 는 폭이 Δx\Delta x 인 가는 띠의 넓이만큼 커져요.
띠의 넓이는 f(x)Δxf(x)\Delta x 에 가까우므로 ΔSΔx\dfrac{\Delta S}{\Delta x} 는 f(x)f(x) 에 가까워져요.
Δx→0\Delta x\to0 이면 S′(x)=f(x)S'(x)=f(x) 예요.
자세한 쓰임은 정적분으로 정의된 함수에서 다뤄요.

성질미적분의 기본정리
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 F(x)F(x) 가 f(x)f(x) 의 한 부정적분일 때∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)이것을 미적분의 기본정리 라 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

정적분과 미분의 관계에서 S′(x)=f(x)S'(x)=f(x) 이므로 S(x)S(x) 도 f(x)f(x) 의 한 부정적분이에요.
그래서 상수 CC 에 대하여 S(x)=F(x)+CS(x)=F(x)+C 로 쓸 수 있어요.
x=ax=a 를 넣으면 S(a)=0S(a)=0 이므로 C=−F(a)C=-F(a) 예요.
x=bx=b 를 넣으면 ∫abf(x) dx=S(b)=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=S(b)=F(b)-F(a) 예요.

학생
정적분은 넓이로 정했는데, 왜 부정적분으로 계산해요?
쌤
미적분의 기본정리 덕분에 넓이를 도형으로 구하지 않아도 부정적분의 두 값의 차로 바로 구할 수 있어서예요.
부정적분은 식이지만 정적분은 하나의 수예요. 어느 부정적분 F(x)+CF(x)+C 를 써도 빼는 동안 CC 가 지워져요.
∫12x2 dx\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,dx
∫12x2 dx=[13x3]12\int_{1}^{2} x^2\,dx=\Big[\dfrac{1}{3}x^3\Big]_{1}^{2}
↳한 부정적분 13x3\dfrac{1}{3}x^3
=83−13=73=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}
↳위끝 값 −- 아래끝 값
∫12t2 dt=73\int_{1}^{2} t^2\,dt=\dfrac{7}{3}
↳적분변수를 바꿔도 같아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫032x dx\displaystyle\int_{0}^{3} 2x\,dx 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

부정적분은 함수(식)이지만 정적분은 하나의 수예요.
어느 부정적분을 골라도 값이 같아요.
F(x)+CF(x)+C 를 쓰면
{F(b)+C}−{F(a)+C}=F(b)−F(a)\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)
이므로 적분상수 CC 는 지워져요.
그래서 정적분을 계산할 때는 C=0C=0 인 부정적분을 써요.

넓이 계산은 곡선과 xx 축 사이의 넓이에서 자세히 다뤄요.

3정적분의 계산

공식틀로 쓰기
정적분
∫◯△f(x) dx=F(△)−F(◯)\displaystyle \int_{\bigcirc}^{\triangle} f(x)\,dx=F(\triangle)-F(\bigcirc)
△\triangle 는 위끝, ◯\bigcirc 는 아래끝. 「위끝 넣은 값 − 아래끝 넣은 값」
예
∫12x2 dx=13⋅23−13⋅13\displaystyle \int_{1}^{2} x^2\,dx=\dfrac{1}{3}\cdot2^3-\dfrac{1}{3}\cdot1^3
△=2\triangle=2, ◯=1\bigcirc=1
정적분을 계산하는 순서
  1. 1
    피적분함수가 곱이나 거듭제곱 꼴이면 먼저 전개해요.
  2. 2
    적분상수를 뺀 부정적분 F(x)F(x) 를 구하여 [F(x)]ab\Big[F(x)\Big]_{a}^{b} 로 써요.
  3. 3
    위끝을 넣은 값 F(b)F(b) 와 아래끝을 넣은 값 F(a)F(a) 를 각각 괄호로 묶어 계산해요.
    음수를 넣을 때는 (−1)2=1(-1)^2=1, (−1)3=−1(-1)^3=-1 처럼 괄호를 씌워요.
  4. 4
    F(b)−F(a)F(b)-F(a) 를 계산해요.
    순서를 바꾸면 부호가 반대가 돼요.
∫−12(3x2−2x+1) dx\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2-2x+1)\,dx
=[x3−x2+x]−12=\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2}
=(8−4+2)−(−1−1−1)=(8-4+2)-(-1-1-1)
↳음수는 괄호를 씌워 넣기
=6−(−3)=9=6-(-3)=9
학생
정적분 계산에서 가장 많이 틀리는 곳은 어디예요?
쌤
음수를 넣을 때 괄호를 빠뜨리는 것과, 위끝·아래끝의 순서를 바꾸는 거예요.
항상 「위끝 넣은 값 −- 아래끝 넣은 값」으로 계산해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫−113x2 dx\displaystyle\int_{-1}^{1} 3x^2\,dx 의 값은?
아래끝에 음수를 넣을 때의 실수
✗ 틀린 풀이
[x3−x2+x]−12=6−(−1+1−1)=7\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2}=6-(-1+1-1)=7
왜 틀렸나 음수를 대입할 때는 괄호를 씌워 (−1)3(-1)^3, (−1)2(-1)^2 처럼 계산해야 부호가 바르게 나온다.
✓ 바른 풀이
[x3−x2+x]−12=6−{(−1)3−(−1)2+(−1)}=6−(−3)=9\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2}=6-\{(-1)^3-(-1)^2+(-1)\}=6-(-3)=9
−x2-x^2 에 x=−1x=-1 을 넣으면 −(−1)2=−1-(-1)^2=-1 이다.
아래끝의 값은 (−1)3−(−1)2+(−1)=−3(-1)^3-(-1)^2+(-1)=-3 이다.
위끝과 아래끝의 순서를 바꾼 실수
✗ 틀린 풀이
∫12x2 dx=13−83=−73\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,dx=\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{7}{3}
왜 틀렸나 정적분은 위끝 22 를 넣은 값에서 아래끝 11 을 넣은 값을 빼는 순서로 계산한다.
✓ 바른 풀이
∫12x2 dx=83−13=73\displaystyle\int_{1}^{2} x^2\,dx=\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}
검산: [1, 2][1,\ 2] 에서 x2>0x^2>0 이므로 값이 양수여야 한다.
자세히 보기펼치기예제 2
응용
곱의 꼴
∫02(2t−1)(t+1) dt=∫02(2t2+t−1) dt\int_{0}^{2} (2t-1)(t+1)\,dt=\int_{0}^{2}(2t^2+t-1)\,dt
↳먼저 전개
=[23t3+12t2−t]02=\Big[\dfrac{2}{3}t^3+\dfrac{1}{2}t^2-t\Big]_{0}^{2}
=163+2−2=163=\dfrac{16}{3}+2-2=\dfrac{16}{3}
응용
거듭제곱 꼴
∫13(x−1)2 dx=∫13(x2−2x+1) dx\int_{1}^{3} (x-1)^2\,dx=\int_{1}^{3}(x^2-2x+1)\,dx
↳먼저 전개
=[13x3−x2+x]13=\Big[\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x\Big]_{1}^{3}
=3−13=83=3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}

4정적분의 성질

성질실수배·합·차
두 함수 f(x)f(x), g(x)g(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때
∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} kf(x)\,dx=k\int_{a}^{b} f(x)\,dx (단, kk 는 상수)
∫ab{f(x)+g(x)} dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} \{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx+\int_{a}^{b} g(x)\,dx
∫ab{f(x)−g(x)} dx=∫abf(x) dx−∫abg(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} \{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx-\int_{a}^{b} g(x)\,dx
이유: 부정적분의 성질에서 kF(x)kF(x), F(x)±G(x)F(x)\pm G(x) 가 각각의 부정적분이므로 bb, aa 를 넣어 빼면 된다.
성질구간 나누기
함수 f(x)f(x) 가 세 수 aa, bb, cc 를 포함하는 구간에서 연속일 때∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx이유: 왼쪽은
{F(c)−F(a)}+{F(b)−F(c)}=F(b)−F(a)\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}=F(b)-F(a)
cc 가 aa 와 bb 사이에 있지 않아도 성립한다.
학생
cc 가 aa 와 bb 사이에 있지 않아도 정말 돼요?
쌤
네. ∫ba=−∫ab\displaystyle\int_{b}^{a}=-\int_{a}^{b} 로 정했기 때문에 넘어갔다 되돌아온 부분이 서로 지워져요.
∫03+∫31=∫01\displaystyle\int_{0}^{3}+\int_{3}^{1}=\int_{0}^{1} 처럼요.
공식구간 나누기를 틀로 쓰기
이어 붙이기
∫◯□f(x) dx+∫□△f(x) dx=∫◯△f(x) dx\displaystyle \int_{\bigcirc}^{\square} f(x)\,dx+\int_{\square}^{\triangle} f(x)\,dx=\int_{\bigcirc}^{\triangle} f(x)\,dx
앞 정적분의 위끝 □\square 와 뒤 정적분의 아래끝 □\square 가 같아야 한다.
예
∫01x2 dx+∫13x2 dx=∫03x2 dx=9\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\,dx+\int_{1}^{3} x^2\,dx=\int_{0}^{3} x^2\,dx=9
13+263=9\dfrac{1}{3}+\dfrac{26}{3}=9
구간 밖의 cc
∫03x2 dx+∫31x2 dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_{0}^{3} x^2\,dx+\int_{3}^{1} x^2\,dx=\int_{0}^{1} x^2\,dx
9−263=139-\dfrac{26}{3}=\dfrac{1}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫02f(x) dx=5\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx=5, ∫24f(x) dx=−1\displaystyle\int_{2}^{4} f(x)\,dx=-1 일 때 ∫04f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx 의 값은?
끝이 이어지지 않는데 합친 실수
✗ 틀린 풀이
∫01f(x) dx+∫23f(x) dx=∫03f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx+\int_{2}^{3} f(x)\,dx=\int_{0}^{3} f(x)\,dx
왜 틀렸나 정적분을 하나로 합치려면 앞 구간의 위끝과 뒤 구간의 아래끝이 같아 구간이 이어져야 한다.
✓ 바른 풀이
∫01f(x) dx+∫13f(x) dx=∫03f(x) dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx+\int_{1}^{3} f(x)\,dx=\int_{0}^{3} f(x)\,dx
∫03\displaystyle\int_{0}^{3} 에는 11 에서 22 까지의 부분도 들어 있다.
구간을 수직선에 그려 빈틈이 없는지 확인한다.
자세히 보기펼치기예제 2외우기 카드
성질을 거꾸로 쓰기(합치기)
∫01(x2+2x) dx+∫01(2x2−2x) dx\int_{0}^{1} (x^2+2x)\,dx+\int_{0}^{1} (2x^2-2x)\,dx
↳끝이 같으면
=∫013x2 dx=\int_{0}^{1} 3x^2\,dx
↳하나로 합치기
=[x3]01=1=\Big[x^3\Big]_{0}^{1}=1
따로 계산해도 43+(−13)=1\dfrac{4}{3}+\Big(-\dfrac{1}{3}\Big)=1 로 같아요.
예값만 주어진 경우
∫02f(x) dx=3\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx=3, ∫02g(x) dx=−2\displaystyle\int_{0}^{2} g(x)\,dx=-2 이면
∫02{2f(x)−g(x)} dx=2×3−(−2)=8\displaystyle\int_{0}^{2} \{2f(x)-g(x)\}\,dx=2\times3-(-2)=8
성질 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2위끝 넣은 값 − 아래끝 넣은 값
∫abf(x) dx=F(□)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(\square)-F(a)
단계 1 / 2순서를 바꾸면 부호가 바뀐다.
∫baf(x) dx=□∫abf(x) dx\int_{b}^{a} f(x)\,dx=\square\int_{a}^{b} f(x)\,dx
단계 1 / 2가운데 끝이 같으면 이어 붙인다.
∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫□bf(x) dx\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx=\int_{\square}^{b} f(x)\,dx

5구간별로 정의된 함수와 절댓값 함수의 정적분

구간에 따라 식이 다른 함수는 하나의 식으로 적분할 수 없어요.
식이 바뀌는 점에서 구간을 나누고, 구간마다 그 구간의 식으로 적분하여 더해요.
절댓값 함수는 절댓값 안이 00 이 되는 점에서 식이 바뀌므로 같은 방법으로 계산해요.

구간을 나누어 적분하는 순서
  1. 1
    식이 바뀌는 점을 찾아요.
    절댓값 함수는 (절댓값 안)=0=0 인 xx 이에요.
  2. 2
    그 점에서 적분 구간을 나눠요.
    구간 나누기 성질을 써요.
  3. 3
    구간마다 절댓값을 없앤 식(또는 그 구간의 식)으로 적분해요.
    절댓값 안이 음수인 구간에서는 −- 를 붙여 꺼내요.
  4. 4
    구한 값을 더해요.
절댓값 함수
∫03∣x−1∣ dx\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx
=∫01(1−x) dx+∫13(x−1) dx=\int_{0}^{1} (1-x)\,dx+\int_{1}^{3} (x-1)\,dx
↳x<1x<1 이면 ∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x
=[x−12x2]01+[12x2−x]13=\Big[x-\dfrac{1}{2}x^2\Big]_{0}^{1}+\Big[\dfrac{1}{2}x^2-x\Big]_{1}^{3}
=12+2=52=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}
학생
x<1x<1 에서는 왜 ∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x 예요?
쌤
x<1x<1 이면 x−1x-1 이 음수라서, 절댓값을 벗길 때 −- 를 붙여요.
−(x−1)=1−x-(x-1)=1-x 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫02∣x−1∣ dx\displaystyle\int_{0}^{2} |x-1|\,dx 의 값은?
절댓값을 그냥 떼어 낸 실수
✗ 틀린 풀이
∫03∣x−1∣ dx=∫03(x−1) dx=32\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx=\int_{0}^{3} (x-1)\,dx=\dfrac{3}{2}
왜 틀렸나 절댓값 안의 식이 음수인 구간에서는 부호를 바꾸어야 하므로 x=1x=1 을 기준으로 구간을 나눈다.
✓ 바른 풀이
∫03∣x−1∣ dx=∫01(1−x) dx+∫13(x−1) dx=52\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|\,dx=\int_{0}^{1} (1-x)\,dx+\int_{1}^{3} (x-1)\,dx=\dfrac{5}{2}
0≤x<10\le x<1 에서 x−1<0x-1<0 이므로 ∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x 이에요.
검산: ∣x−1∣≥0|x-1|\ge0 이므로 정적분은 넓이와 같고, 두 삼각형의 넓이 12+2\dfrac{1}{2}+2 와 같아야 해요.
자세히 보기펼치기예제 2그림
구간별로 정의된 함수
f(x)={x2(x≤1)2x−1(x>1)f(x)=\begin{cases} x^2 & (x\le1) \\ 2x-1 & (x>1) \end{cases}
∫02f(x) dx=∫01x2 dx+∫12(2x−1) dx\int_{0}^{2} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} x^2\,dx+\int_{1}^{2} (2x-1)\,dx
↳x=1x=1 에서 나누기
=[13x3]01+[x2−x]12=\Big[\dfrac{1}{3}x^3\Big]_{0}^{1}+\Big[x^2-x\Big]_{1}^{2}
=13+2=73=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}
응용
∣x∣|x|, 아래끝이 음수
∫−21∣x∣ dx=∫−20(−x) dx+∫01x dx\int_{-2}^{1} |x|\,dx=\int_{-2}^{0} (-x)\,dx+\int_{0}^{1} x\,dx
↳x=0x=0 에서 나누기
=[−12x2]−20+[12x2]01=\Big[-\dfrac{1}{2}x^2\Big]_{-2}^{0}+\Big[\dfrac{1}{2}x^2\Big]_{0}^{1}
=2+12=52=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1f(x)≥0f(x)\ge0 이면 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 사이의 넓이, f(x)≤0f(x)\le0 이면 그 넓이에 −- 를 붙인 값이다.
  2. 2미적분의 기본정리: F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) 이면 ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)
  3. 3∫aaf(x) dx=0\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0, ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx=-\int_{a}^{b} f(x)\,dx
  4. 4∫ab{kf(x)±lg(x)} dx=k∫abf(x) dx±l∫abg(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b} \{kf(x)\pm lg(x)\}\,dx=k\int_{a}^{b} f(x)\,dx\pm l\int_{a}^{b} g(x)\,dx
  5. 5∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{b} f(x)\,dx (구간별·절댓값 함수는 이것으로 나누어 적분)
✗ 자주 하는 실수
  • F(b)−F(a)F(b)-F(a) 를 F(a)−F(b)F(a)-F(b) 로 거꾸로 빼거나, 음수 아래끝을 넣을 때 괄호를 씌우지 않아 (−1)2(-1)^2 을 −1-1 로 계산해요.
  • 절댓값 함수를 적분할 때 절댓값 안의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나누지 않고 절댓값을 그냥 떼어 내요.
  • ∫01+∫23\displaystyle\int_{0}^{1}+\int_{2}^{3} 처럼 끝이 이어지지 않는 정적분을 하나로 합치거나, ∫ba=−∫ab\displaystyle\int_{b}^{a}=-\int_{a}^{b} 의 부호를 빠뜨려요.
  • xx 축 아래에 있는 부분이 있는데도 정적분을 넓이의 합으로 생각하여 S1+S2S_1+S_2 로 계산해요. 정적분은 S1−S2S_1-S_2 예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    정적분 ∫−11(4x3−3x2+2) dx\displaystyle\int_{-1}^{1} (4x^3-3x^2+2)\,dx 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    정적분 ∫03(x+2)(x−1) dx\displaystyle\int_{0}^{3} (x+2)(x-1)\,dx 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    정적분 ∫−14∣x−2∣ dx\displaystyle\int_{-1}^{4} |x-2|\,dx 의 값을 구하시오.

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← 부정적분정적분으로 정의된 함수 →
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