합성함수의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

y=f(g(x))

의 도함수는

y'=f'(g(x))g'(x)

이에요. 이 공식으로

\{f(x)\}^n

e^{f(x)}

\ln|f(x)|

\sin f(x)

등을 미분하고,

(x^r)'=rx^{r-1}

이 모든 실수

r

에서 성립함을 보여요.

1합성함수의 미분법
2여러 가지 함수의 합성함수 미분
3 $x^r$ ( $r$ 은 실수) 의 도함수
4로그미분법
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1합성함수의 미분법

성질합성함수의 미분법

두 함수

y=f(u)

u=g(x)

가 미분가능할 때 합성함수

y=f(g(x))

의 도함수는

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)

이것을 합성함수의 미분법이라 한다.

학생

식이 길어요. 쉽게 기억하는 방법이 있어요?

쌤

「겉미분 곱하기 속미분」이에요. 겉함수를 미분하되 속은 그대로 두고, 마지막에 속함수의 도함수를 곱해요.

공식틀로 쓰기

합성함수

\displaystyle \{f(\square)\}'=f'(\square)\cdot\square'

\square

는 속함수이다. 겉함수

f

를 미분할 때

\square

는 그대로 둔다.

거듭제곱

\displaystyle (\square^n)'=n\,\square^{n-1}\cdot\square'

겉미분 곱하기 속미분

y=(2x+1)^5

↳◀속

2x+1

, 겉

u^5

y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4

y=\sin3x

↳◀속

3x

, 겉

\sin u

y'=\cos3x\cdot3=3\cos3x

y=e^{x^2}

↳◀속

x^2

, 겉

e^u

y'=e^{x^2}\cdot2x=2xe^{x^2}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=(3x-1)^4

의 도함수는?

속미분을 빠뜨리지 않는다

✗ 틀린 풀이

\{(2x+1)^5\}'=5(2x+1)^4

왜 틀렸나 합성함수는 겉함수를 미분한 뒤 속함수

2x+1

의 도함수

2

를 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

\{(2x+1)^5\}'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4

속함수가

x

일 때만 속미분이

1

이어서 생략된다.
검산: 전개하면

(2x+1)^5=1+10x+\cdots

이므로

x=0

에서 기울기는

10

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지틀리기 쉬운 곳

왜 그런가? 두 함수 $y=f(u)$ , $u=g(x)$ 가 미분가능할 때 합성함수 $y=f(g(x))$ 의 도함수를 구해 봐요.
$x$ 의 증분 $\Delta x$ 에 대한 $u$ 의 증분을 $\Delta u$ , $y$ 의 증분을 $\Delta y$ 라 하면 $\Delta u\ne0$ 일 때

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}$ 분모와 분자에 같은 $\Delta u$ 를 곱한 것이라 등호가 성립해요.
$g$ 가 연속이므로 $\Delta x\to0$ 이면 $\Delta u\to0$ 이에요. 따라서 양변의 극한을 구하면 위의 공식을 얻어요.

합성함수의 미분법을 쓰는 순서

1
속함수 $u=g(x)$ 를 정해요.
괄호 안, 지수, $\sin$ 이나 $\ln$ 뒤에 있는 식이 속함수예요.
2
겉함수 $f(u)$ 를 $u$ 에 대하여 미분하고 $u$ 자리에 $g(x)$ 를 그대로 써요.
3
속함수의 도함수 $g'(x)$ 를 곱해요.

\sin 3x

의 미분

✗ 틀린 풀이

(\sin 3x)'=\cos 3x

왜 틀렸나

\sin 3x

는 합성함수이므로 겉미분

\cos 3x

에 속미분

(3x)'=3

을 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

(\sin 3x)'=\cos 3x\cdot3=3\cos 3x

확인:

y=\sin3x

의 그래프는

y=\sin x

보다

3

배 빠르게 오르내리므로 기울기도

3

배가 된다.

⚠ 주의검산

① 전개할 수 있는 식은 전개하여 미분한 결과와 비교해요.
예:

(2x+1)^2=4x^2+4x+1

의 도함수

8x+4

는

2(2x+1)\cdot2

와 같아요.
② 특정한

x

에서 아주 작은

h

로

\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

를 계산하여 비교해요.
예:

y=(2x+1)^5

의

x=0

에서의 미분계수는

10

이에요.

2여러 가지 함수의 합성함수 미분

공식합성함수의 도함수

거듭제곱

\displaystyle [\{f(x)\}^n]'=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)

지수함수

\displaystyle \{e^{f(x)}\}'=e^{f(x)}f'(x)

\displaystyle \{a^{f(x)}\}'=a^{f(x)}\ln a\cdot f'(x)

a>0

a\ne1

로그함수

\displaystyle \{\ln|f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}

분모는 속함수, 분자는 속함수의 도함수

\displaystyle \{\log_a|f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)\ln a}

삼각함수

\displaystyle \{\sin f(x)\}'=\cos f(x)\cdot f'(x)

\displaystyle \{\cos f(x)\}'=-\sin f(x)\cdot f'(x)

\displaystyle \{\tan f(x)\}'=\sec^2f(x)\cdot f'(x)

학생

공식이 많아요. 다 따로 외워야 해요?

쌤

아니요. 겉함수의 도함수는 이미 아는 공식 그대로고, 속미분만 곱하면 돼요.
예를 들어

\{\ln(x^2+1)\}'=\dfrac{2x}{x^2+1}

이에요.

지수·로그·삼각함수가 겉함수일 때

\{\ln(x^2+1)\}'=\dfrac{2x}{x^2+1}

↳◀속미분

2x

(2^{3x})'=2^{3x}\ln2\cdot3

↳◀속미분

3

(\cos5x)'=-\sin5x\cdot5=-5\sin5x

(\tan2x)'=\sec^22x\cdot2=2\sec^22x

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(e^{3x})'

은?

공식

\sin^2x

와

\sin x^2

비교

\sin^2x=(\sin x)^2

\displaystyle (\sin^2x)'=2\sin x\cos x

겉함수가 제곱, 속함수가

\sin x

\sin x^2=\sin(x^2)

\displaystyle (\sin x^2)'=\cos x^2\cdot2x

겉함수가

\sin

, 속함수가

x^2

지수에

x

가 있는 함수

✗ 틀린 풀이

(e^{x^2})'=x^2e^{x^2-1}

왜 틀렸나 밑이 상수

e

인 지수함수이므로

e^{x^2}

을 그대로 쓰고 속미분

(x^2)'=2x

를 곱한다.

✓ 바른 풀이

(e^{x^2})'=e^{x^2}\cdot2x

기억 요령:

(e^{u})'=e^{u}\cdot u'

이다. 지수 부분은 그대로 두고 지수를 미분한 것을 곱한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

$\ln|x|$ 는 $x>0$ 이면 $\ln x$ , $x<0$ 이면 $\ln(-x)$ 이에요.
$x<0$ 일 때 $\{\ln(-x)\}'=\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac{1}{x}$ 이므로 $(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}$ 이에요.

세 겹

y=\sin^2 3x=(\sin 3x)^2

y'=2\sin3x\cdot(\sin3x)'

↳◀바깥

\square^2

부터

(\sin3x)'=\cos3x\cdot3

↳◀다음 겹

y'=6\sin3x\cos3x

3 $x^r$ ( $r$ 은 실수) 의 도함수

성질

x^r

의 도함수

r

이 실수 일 때

(x^r)'=rx^{r-1}

(단,

x>0

)

학생

\sqrt{x}

처럼 근호가 있어도 이 공식을 써요?

쌤

네. 근호는 먼저

x^{\frac{1}{2}}

처럼 지수로 고친 뒤 공식을 써요.

공식응용 예

\displaystyle (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

\displaystyle (\sqrt[3]{x^2})'=(x^{\frac{2}{3}})'=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}

\displaystyle (x^{\sqrt{2}})'=\sqrt{2}\,x^{\sqrt{2}-1}

지수가 무리수여도 같은 공식이다.

\displaystyle (\sqrt{x^2+1})'=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

속함수

x^2+1

의 도함수

2x

를 곱한다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(\sqrt[3]{x})'

은?

자세히 보기펼치기예제

왜 그런가

x>0

일 때

x^r=e^{r\ln x}

↳◀

x=e^{\ln x}

이므로

(x^r)'=e^{r\ln x}\cdot\dfrac{r}{x}

↳◀합성함수의 미분법

=x^r\cdot\dfrac{r}{x}=rx^{r-1}

4로그미분법

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있으면 양변에 자연로그를 취한 다음 양변을 $x$ 에 대하여 미분해요. 이 방법을 로그미분법이라 해요.

학생

x^x

는 왜 공식으로 바로 미분이 안 돼요?

쌤

거듭제곱 공식은 지수가 상수일 때, 지수함수 공식은 밑이 상수일 때만 써요.

x^x

는 밑과 지수가 모두

x

라서 어느 쪽도 쓸 수 없어요.

y=x^x

(

x>0

) 의 도함수

\ln y=x\ln x

↳◀양변에 자연로그

\dfrac{y'}{y}=\ln x+1

↳◀양변을

x

에 대하여 미분

y'=x^x(\ln x+1)

↳◀양변에

y=x^x

곱하기

\ln y

는

y

의 함수이므로 합성함수의 미분법으로

(\ln y)'=\dfrac{y'}{y}

예요.

x^x

의 미분

✗ 틀린 풀이

(x^x)'=x\cdot x^{x-1}

왜 틀렸나 밑과 지수가 모두 변수이므로 양변에 자연로그를 취하여

\ln y=x\ln x

를 미분해야 한다.

✓ 바른 풀이

(x^x)'=x^x(\ln x+1)

\ln y=x\ln x

의 양변을 미분하면

\dfrac{y'}{y}=\ln x+1

이므로

y'=x^x(\ln x+1)

이다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\ln y=x\ln x

의 양변을

x

에 대하여 미분하면 좌변은?

자세히 보기펼치기성질 더 보기외우기 카드

성질거꾸로 보기

f'(g(x))g'(x)

꼴의 식은

f(g(x))

를 미분한 결과이다.
예:

2xe^{x^2}

은

e^{x^2}

의 도함수이고,

\dfrac{2x}{x^2+1}

은

\ln(x^2+1)

의 도함수이다.
이 관계는 치환적분에서 그대로 쓰인다.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2

\{f(g(x))\}'=f'(g(x))\cdot\square

단계 1 / 2

\{e^{f(x)}\}'=e^{f(x)}\cdot\square

단계 1 / 2

\{\ln|f(x)|\}'=\dfrac{\square}{f(x)}

단계 1 / 2

(x^r)'=rx^{\square}

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1 $y=f(u)$ , $u=g(x)$ 이면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ , 즉 $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$
2겉함수를 미분하고 (속은 그대로) 속함수의 도함수를 곱한다.
3 $\{e^{f(x)}\}'=e^{f(x)}f'(x)$ , $\{\ln|f(x)|\}'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ , $\{\sin f(x)\}'=\cos f(x)\cdot f'(x)$
4 $r$ 이 실수이면 $(x^r)'=rx^{r-1}$ ( $x>0$ ). 지수에 $x$ 가 있는 $x^x$ 꼴은 양변에 로그를 취하여 미분한다.