수학 개념 노트전체 과목

함수의 몫의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} 이에요. 이 공식으로 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 이 모든 정수 nn 에서 성립함을 보이고, tan⁡x\tan x, sec⁡x\sec x, csc⁡x\csc x, cot⁡x\cot x 의 도함수를 구해요.
  1. 1함수의 몫의 미분법
  2. 2xnx^n (nn 은 정수) 의 도함수
  3. 3삼각함수의 도함수
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1함수의 몫의 미분법

성질함수의 몫의 미분법
두 함수 f(x)f(x), g(x)g(x) (g(x)≠0g(x)\ne0) 가 미분가능할 때{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}특히 f(x)=1f(x)=1 이면{1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}이것을 함수의 몫의 미분법이라 한다.
공식틀로 쓰기
몫의 미분
(□△)′=□′ △−□ △′△2\displaystyle \left(\frac{\square}{\triangle}\right)'=\frac{\square'\,\triangle-\square\,\triangle'}{\triangle^2}
□\square 는 분자, △\triangle 는 분모이다.
역수의 미분
(1△)′=−△′△2\displaystyle \left(\frac{1}{\triangle}\right)'=-\frac{\triangle'}{\triangle^2}
분자가 상수 11 이면 □′=0\square'=0 이 되어 빼는 항만 남는다.
곱의 미분(비교)
(□ △)′=□′ △+□ △′\displaystyle (\square\,\triangle)'=\square'\,\triangle+\square\,\triangle'
곱은 더하기이고 순서가 상관없다. 몫은 빼기이므로 순서가 중요하다.
학생
분자에서 빼는 순서를 바꿔도 돼요?
쌤
안 돼요. 빼기라서 순서를 바꾸면 부호가 반대가 돼요. 「분자 미분 × 분모」를 먼저 써요.
y=2x+1x2+1y=\dfrac{2x+1}{x^2+1}
f′=2,g′=2xf'=2,\quad g'=2x
↳분자·분모를 따로 미분
y′=2(x2+1)−(2x+1)⋅2x(x2+1)2y'=\dfrac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}
↳몫의 미분법
=−2x2−2x+2(x2+1)2=\dfrac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}
↳분자 정리
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(xx+2)′\left(\dfrac{x}{x+2}\right)' 은?
분자의 순서
✗ 틀린 풀이
(2x+1x2+1)′=(2x+1)⋅2x−2(x2+1)(x2+1)2\left(\dfrac{2x+1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{(2x+1)\cdot2x-2(x^2+1)}{(x^2+1)^2}
왜 틀렸나 몫의 미분법의 분자는 「분자 미분 ×\times 분모 −- 분자 ×\times 분모 미분」의 순서로 써야 한다.
✓ 바른 풀이
(2x+1x2+1)′=2(x2+1)−(2x+1)⋅2x(x2+1)2\left(\dfrac{2x+1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}
기억 요령: 분자를 미분한 항이 먼저 오고, 그다음에 빼는 항이 온다.
검산: x=0x=0 이면 바른 식은 2⋅1−1⋅012=2\dfrac{2\cdot1-1\cdot0}{1^2}=2 이다.
분자·분모를 따로 미분하지 않는다
✗ 틀린 풀이
(xx+1)′=(x)′(x+1)′=1\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{(x)'}{(x+1)'}=1
왜 틀렸나 몫의 도함수는 (분자 미분 ×\times 분모 −- 분자 ×\times 분모 미분)을 (분모)2^2 으로 나누어 구한다.
✓ 바른 풀이
(xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}
곱의 도함수가 도함수의 곱이 아니듯이, 몫의 도함수도 도함수의 몫이 아니에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 4틀리기 쉬운 곳

왜 그런가? 두 함수 f(x)f(x), g(x)g(x) 가 미분가능하고 g(x)≠0g(x)\ne0 일 때, 함수 f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)} 의 도함수를 도함수의 정의로 구해 봐요.

1h{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)}\dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}
↳도함수의 정의
=f(x+h)g(x)−f(x)g(x+h)h g(x+h)g(x)=\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)}
↳통분
=f(x+h)−f(x)h g(x)−f(x) g(x+h)−g(x)hg(x+h)g(x)=\dfrac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x)-f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)}
↳분자에 f(x)g(x)f(x)g(x) 를 빼고 더하기
→f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\to\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
↳h→0h\to0 이면 g(x+h)→g(x)g(x+h)\to g(x)
몫의 미분법을 쓰는 순서
  1. 1
    분자 f(x)f(x) 와 분모 g(x)g(x) 를 정하고 f′(x)f'(x), g′(x)g'(x) 를 따로 구해요.
  2. 2
    f′(x)g(x)−f(x)g′(x)f'(x)g(x)-f(x)g'(x) 를 괄호째 넣어 계산해요.
    빼는 항 f(x)g′(x)f(x)g'(x) 전체에 빼기가 걸리므로 괄호를 꼭 써요.
  3. 3
    분모는 {g(x)}2\{g(x)\}^2 을 그대로 둬요.
    분모는 전개하지 않는 것이 보통이에요.
응용
y=ln⁡xxy=\dfrac{\ln x}{x}
y′=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2y'=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}
↳f′=1xf'=\frac{1}{x}, g′=1g'=1
=1−ln⁡xx2=\dfrac{1-\ln x}{x^2}
응용
y=exx+1y=\dfrac{e^x}{x+1}
y′=ex(x+1)−ex⋅1(x+1)2y'=\dfrac{e^x(x+1)-e^x\cdot1}{(x+1)^2}
↳f′=exf'=e^x, g′=1g'=1
=xex(x+1)2=\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}
역수의 미분
y=1x2+3y=\dfrac{1}{x^2+3}
g(x)=x2+3, g′(x)=2xg(x)=x^2+3,\ g'(x)=2x
y′=−2x(x2+3)2y'=-\dfrac{2x}{(x^2+3)^2}
↳−g′g2-\dfrac{g'}{g^2}
⚠ 주의검산
① 특정한 xx 의 값에서 f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} 를 아주 작은 hh 로 계산하여 구한 미분계수와 비교해요.
예: y=x−1x+2y=\dfrac{x-1}{x+2} 이면 y′=3(x+2)2y'=\dfrac{3}{(x+2)^2} 이고, x=1x=1 에서 13\dfrac{1}{3} 이에요.
② 분모가 {g(x)}2\{g(x)\}^2 꼴로 남아 있는지, 분자의 첫 항이 f′(x)g(x)f'(x)g(x) 인지 확인해요.

2xnx^n (nn 은 정수) 의 도함수

성질xnx^n 의 도함수
nn 이 정수 일 때 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} (단, n≤0n\le0 이면 x≠0x\ne0)
학생
1x2\dfrac{1}{x^2} 도 이 공식으로 미분해요?
쌤
네. x−2x^{-2} 로 바꾸면 n=−2n=-2 인 정수라서 −2x−3=−2x3-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3} 이에요.
공식응용 예
(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
(x−3)′=−3x−4=−3x4\displaystyle (x^{-3})'=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}
(2x2)′=(2x−2)′=−4x−3=−4x3\displaystyle \left(\frac{2}{x^2}\right)'=(2x^{-2})'=-4x^{-3}=-\frac{4}{x^3}
상수배는 그대로 두고 x−2x^{-2} 만 미분한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(1x3)′\left(\dfrac{1}{x^3}\right)' 은?
1x2\dfrac{1}{x^2} 의 미분
✗ 틀린 풀이
(1x2)′=12x\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=\dfrac{1}{2x}
왜 틀렸나 1x2=x−2\dfrac{1}{x^2}=x^{-2} 이므로 지수 −2-2 를 앞으로 내리고 지수를 11 줄여 미분한다.
✓ 바른 풀이
(1x2)′=(x−2)′=−2x−3=−2x3\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=(x^{-2})'=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}
검산: 몫의 미분법으로 구해도 0⋅x2−1⋅2xx4=−2x3\dfrac{0\cdot x^2-1\cdot2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3} 이다.
자세히 보기펼치기예제
왜 그런가
n=−mn=-m (mm 은 자연수)
(x−m)′=(1xm)′=−mxm−1x2m(x^{-m})'=\left(\dfrac{1}{x^m}\right)'=-\dfrac{mx^{m-1}}{x^{2m}}
↳역수의 미분법
=−mx−m−1=nxn−1=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}
↳−m=n-m=n
nn 이 자연수일 때는 이미 성립하고, n=0n=0 이면 x0=1x^0=1 이라 도함수는 00 이에요.

3삼각함수의 도함수

공식삼각함수의 도함수
(tan⁡x)′(\tan x)'
sec⁡2x\displaystyle \sec^2x
(sec⁡x)′(\sec x)'
sec⁡xtan⁡x\displaystyle \sec x\tan x
(cot⁡x)′(\cot x)'
−csc⁡2x\displaystyle -\csc^2x
(csc⁡x)′(\csc x)'
−csc⁡xcot⁡x\displaystyle -\csc x\cot x
학생
tan⁡x\tan x 의 도함수는 왜 sec⁡2x\sec^2x 예요?
쌤
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} 로 바꿔 몫의 미분법을 쓰면 cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2x\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x 예요.
이름이 「코」로 시작하는 cot⁡\cot, csc⁡\csc 의 도함수에는 빼기가 붙어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(sec⁡x)′(\sec x)' 은?
cot⁡x\cot x 의 도함수의 부호
✗ 틀린 풀이
(cot⁡x)′=csc⁡2x(\cot x)'=\csc^2x
왜 틀렸나 cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} 를 몫의 미분법으로 미분하면 분자가 −1-1 이 되어 −- 가 붙는다.
✓ 바른 풀이
(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2x
확인: cot⁡x\cot x 는 0<x<π0<x<\pi 에서 감소하므로 도함수가 음수여야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2외우기 카드

왜 그런가? (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x 와 몫의 미분법으로 나머지 삼각함수의 도함수를 구해요.
sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\dfrac{1}{\cos x}, csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\dfrac{1}{\sin x}, cot⁡x=1tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x} 이에요.

tan⁡x\tan x 와 sec⁡x\sec x
(tan⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x(\tan x)'=\dfrac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}
↳tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
=1cos⁡2x=sec⁡2x=\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x
↳sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1
(sec⁡x)′=−−sin⁡xcos⁡2x=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=-\dfrac{-\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x
↳역수의 미분법
cot⁡x\cot x 와 csc⁡x\csc x
(cot⁡x)′=−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡2x=−csc⁡2x(\cot x)'=\dfrac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\csc^2x
↳cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}
(csc⁡x)′=−cos⁡xsin⁡2x=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}=-\csc x\cot x
↳역수의 미분법
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
(fg)′=f′g−□g2\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-\square}{g^2}
단계 1 / 2
(tan⁡x)′=sec⁡□x(\tan x)'=\sec^{\square}x
단계 1 / 2
(sec⁡x)′=sec⁡x □(\sec x)'=\sec x\,\square
단계 1 / 2
(cot⁡x)′=□csc⁡2x(\cot x)'=\square\csc^2x
단계 1 / 2
(csc⁡x)′=−csc⁡x □(\csc x)'=-\csc x\,\square
성질거꾸로 보기
(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)'=\sec^2x 를 거꾸로 읽으면 「미분하여 sec⁡2x\sec^2x 가 되는 함수는 tan⁡x\tan x」이다.
이 관계는 부정적분을 구할 때 그대로 쓰인다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} (단, g(x)≠0g(x)\ne0)
  2. 2{1g(x)}′=−g′(x){g(x)}2\left\{\dfrac{1}{g(x)}\right\}'=-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
  3. 3nn 이 정수이면 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 이다. 예: (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}
  4. 4(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)'=\sec^2x, (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x, (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\csc x\cot x, (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)'=-\csc^2x
✗ 자주 하는 실수
  • 몫의 미분법에서 분자의 순서를 바꾸어 f(x)g′(x)−f′(x)g(x)f(x)g'(x)-f'(x)g(x) 로 써요.
  • (f(x)g(x))′\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' 을 f′(x)g′(x)\dfrac{f'(x)}{g'(x)} 로 계산해요.
  • (cot⁡x)′(\cot x)', (csc⁡x)′(\csc x)' 의 빼기 부호를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 y=3x−1x+2y=\dfrac{3x-1}{x+2} 의 도함수를 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=1x2+1f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} 에 대하여 f′(1)f'(1) 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=sin⁡x1+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} 에 대하여 f′(π3)f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 합성함수의 미분 →
이전 개념: 지수함수와 로그함수의 미분, 사인함수와 코사인함수의 미분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 도함수미적분Ⅱ 목차
← 사인함수와 코사인함수의 미분합성함수의 미분 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기