수학 개념 노트전체 과목

치환적분법

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
g(x)=tg(x)=t 로 놓으면 ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(t)dt\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt 이에요. 특히 ∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C 이고, 정적분에서 치환할 때는 적분 구간도 tt 의 값으로 바꿔요. a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 꼴은 x=asin⁡θx=a\sin\theta 로 치환해요.
  1. 1치환적분법
  2. 2f′(x)f(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} 꼴의 적분
  3. 3정적분의 치환적분법
  4. 4x=asin⁡θx=a\sin\theta 꼴의 치환
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1치환적분법

성질치환적분법
미분가능한 함수 g(x)g(x) 에 대하여 g(x)=tg(x)=t 로 놓으면 ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(t)dt\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt이와 같이 적분하는 방법을 치환적분법이라 한다.
학생
어떤 식을 tt 로 놓아요?
쌤
속에 있는 식을 tt 로 놓아요. 그 식의 도함수가 곱해져 있으면 dtdt 로 바뀌어서 tt 에 대한 쉬운 적분이 돼요.
기본형
∫2x(x2+1)3dx\int2x(x^2+1)^3dx
x2+1=t,2x dx=dtx^2+1=t,\quad 2x\,dx=dt
↳속을 tt 로
∫t3dt=14t4+C\int t^3dt=\dfrac{1}{4}t^4+C
=14(x2+1)4+C=\dfrac{1}{4}(x^2+1)^4+C
↳tt 를 xx 로 되돌리기
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫3x2(x3+1)4 dx\displaystyle\int3x^2(x^3+1)^4\,dx 는?
성질일차식을 치환하는 경우
F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) 이고 a≠0a\ne0 일 때 ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C\int f(ax+b)dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+Cax+b=tax+b=t 로 놓으면 a dx=dta\,dx=dt 이므로 1a\dfrac{1}{a} 이 곱해진다.
공식일차식 치환의 예
거듭제곱
∫(2x+1)5dx=112(2x+1)6+C\displaystyle \int(2x+1)^5dx=\dfrac{1}{12}(2x+1)^6+C
16\dfrac{1}{6} 에 12\dfrac{1}{2} 이 더 곱해진다.
지수
∫e3xdx=13e3x+C\displaystyle \int e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}e^{3x}+C
삼각
∫cos⁡2x dx=12sin⁡2x+C\displaystyle \int\cos2x\,dx=\dfrac{1}{2}\sin2x+C
분수
∫12x+3dx=12ln⁡∣2x+3∣+C\displaystyle \int\dfrac{1}{2x+3}dx=\dfrac{1}{2}\ln|2x+3|+C
속미분을 나누어 주어야 한다
✗ 틀린 풀이
∫(2x+1)5dx=16(2x+1)6+C\int(2x+1)^5dx=\dfrac{1}{6}(2x+1)^6+C
왜 틀렸나 (2x+1)6(2x+1)^6 을 미분하면 속미분 22 가 곱해지므로 적분할 때는 12\dfrac{1}{2} 을 더 곱한다.
✓ 바른 풀이
∫(2x+1)5dx=112(2x+1)6+C\int(2x+1)^5dx=\dfrac{1}{12}(2x+1)^6+C
검산: {112(2x+1)6}′=6×212(2x+1)5=(2x+1)5\left\{\dfrac{1}{12}(2x+1)^6\right\}'=\dfrac{6\times2}{12}(2x+1)^5=(2x+1)^5 이다.
dxdx 를 그대로 dtdt 로 바꾸지 않는다
✗ 틀린 풀이
x2+1=tx^2+1=t 로 놓으면 ∫x(x2+1)3dx=∫t3dt\int x(x^2+1)^3dx=\int t^3dt
왜 틀렸나 치환하면 dt=2x dxdt=2x\,dx 이므로 x dxx\,dx 를 12dt\dfrac{1}{2}dt 로 바꾸어야 한다.
✓ 바른 풀이
2x dx=dt2x\,dx=dt 이므로 x dx=12dtx\,dx=\dfrac{1}{2}dt
∫x(x2+1)3dx=12∫t3dt=18(x2+1)4+C\int x(x^2+1)^3dx=\dfrac{1}{2}\int t^3dt=\dfrac{1}{8}(x^2+1)^4+C
검산: {18(x2+1)4}′=18⋅4(x2+1)3⋅2x=x(x2+1)3\left\{\dfrac{1}{8}(x^2+1)^4\right\}'=\dfrac{1}{8}\cdot4(x^2+1)^3\cdot2x=x(x^2+1)^3 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2틀리기 쉬운 곳

왜 그런가? F′(t)=f(t)F'(t)=f(t) 라 하면 합성함수의 미분법에 의하여
{F(g(x))}′=f(g(x))g′(x)\{F(g(x))\}'=f(g(x))g'(x)
따라서 ∫f(g(x))g′(x)dx=F(g(x))+C=F(t)+C=∫f(t)dt\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C=F(t)+C=\int f(t)dt
dtdx=g′(x)\dfrac{dt}{dx}=g'(x) 를 dt=g′(x)dxdt=g'(x)dx 처럼 생각하면 기억하기 쉬워요.

치환적분법의 순서
  1. 1
    속에 있는 식 하나를 tt 로 놓아요.
    그 식의 도함수(또는 그 상수배)가 곱해져 있는 것을 골라요.
  2. 2
    dtdx=g′(x)\dfrac{dt}{dx}=g'(x) 를 구하여 g′(x)dxg'(x)dx 를 dtdt 로 바꿔요.
    xx 가 남지 않도록 모두 tt 로 나타내요.
  3. 3
    tt 에 대한 적분을 해요.
  4. 4
    tt 를 다시 xx 에 대한 식으로 바꿔요.
계수를 맞추는 꼴
∫xex2dx\int xe^{x^2}dx
x2=t,x dx=12dtx^2=t,\quad x\,dx=\dfrac{1}{2}dt
↳2x dx=dt2x\,dx=dt
∫et⋅12dt=12et+C\int e^{t}\cdot\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}e^{t}+C
=12ex2+C=\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C
응용
∫sin⁡2xcos⁡x dx\int\sin^2 x\cos x\,dx, ∫ln⁡xxdx\int\dfrac{\ln x}{x}dx
sin⁡x=t, cos⁡x dx=dt: ∫t2dt=13sin⁡3x+C\sin x=t,\ \cos x\,dx=dt:\ \int t^2dt=\dfrac{1}{3}\sin^3 x+C
ln⁡x=t, 1xdx=dt: ∫t dt=12(ln⁡x)2+C\ln x=t,\ \dfrac{1}{x}dx=dt:\ \int t\,dt=\dfrac{1}{2}(\ln x)^2+C
⚠ 주의검산
치환적분의 결과는 합성함수의 미분법으로 미분하여 확인해요.
{12ex2}′=12ex2⋅2x=xex2\left\{\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right\}'=\dfrac{1}{2}e^{x^2}\cdot2x=xe^{x^2} ✓

2f′(x)f(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} 꼴의 적분

성질f′(x)f(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)} 의 부정적분
∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+Cf(x)=tf(x)=t 로 놓으면 f′(x)dx=dtf'(x)dx=dt 이므로 ∫1tdt=ln⁡∣t∣+C\int\dfrac{1}{t}dt=\ln|t|+C 이기 때문이다.
분자가 분모의 도함수 인지 먼저 확인한다.
분자가 분모의 도함수인 꼴
∫2xx2+1dx=ln⁡(x2+1)+C\int\dfrac{2x}{x^2+1}dx=\ln(x^2+1)+C
↳(x2+1)′=2x(x^2+1)'=2x, x2+1>0x^2+1>0
∫tan⁡x dx=−∫−sin⁡xcos⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int\tan x\,dx=-\int\dfrac{-\sin x}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C
↳(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x
∫cot⁡x dx=∫cos⁡xsin⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int\cot x\,dx=\int\dfrac{\cos x}{\sin x}dx=\ln|\sin x|+C
↳(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x
∫exex+1dx=ln⁡(ex+1)+C\int\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}dx=\ln(e^{x}+1)+C
↳(ex+1)′=ex(e^x+1)'=e^x
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫2x+1x2+x+3 dx\displaystyle\int\frac{2x+1}{x^2+x+3}\,dx 는?
분자가 도함수의 상수배일 때
✗ 틀린 풀이
∫xx2+1dx=ln⁡(x2+1)+C\int\dfrac{x}{x^2+1}dx=\ln(x^2+1)+C
왜 틀렸나 분모의 도함수는 2x2x 이므로 분자를 2x2x 로 맞추고 12\dfrac{1}{2} 을 곱해야 ln⁡\ln 꼴이 된다.
✓ 바른 풀이
∫xx2+1dx=12∫2xx2+1dx=12ln⁡(x2+1)+C\int\dfrac{x}{x^2+1}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2+1}dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)+C
검산: {12ln⁡(x2+1)}′=12⋅2xx2+1=xx2+1\left\{\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\right\}'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x}{x^2+1} 이다.

3정적분의 치환적분법

성질정적분의 치환적분법
g(x)=tg(x)=t 로 놓을 때 x=ax=a 이면 t=g(a)t=g(a), x=bx=b 이면 t=g(b)t=g(b) 이므로 ∫abf(g(x))g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(t)dt\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dttt 로 바꾸면 적분 구간도 tt 의 값으로 바꾼다. 그러면 xx 로 되돌릴 필요가 없다.
바뀐 끝값이 거꾸로 되면 위끝과 아래끝을 바꾸고 부호를 바꾼다.
학생
끝값을 바꾸지 않고 xx 로 되돌려서 계산하면 안 돼요?
쌤
그래도 돼요. 하지만 끝값을 tt 의 값으로 바꾸면 xx 로 되돌리는 단계가 없어져 실수가 줄어요.
∫012x(x2+1)3dx\int_0^{1}2x(x^2+1)^3dx
x2+1=t,2x dx=dtx^2+1=t,\quad 2x\,dx=dt
x:0→1 ⇒ t:1→2x:0\to1\ \Rightarrow\ t:1\to2
↳끝값도 바꾸기
∫12t3dt=[14t4]12=4−14=154\int_1^{2}t^3dt=\Big[\dfrac{1}{4}t^4\Big]_1^{2}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫02xex2 dx\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{x^2}\,dx 에서 x2=tx^2=t 로 놓으면 tt 의 적분 구간은?
적분 구간을 바꾸지 않는 실수
✗ 틀린 풀이
∫012x(x2+1)3dx=∫01t3dt=14\int_0^{1}2x(x^2+1)^3dx=\int_0^{1}t^3dt=\dfrac{1}{4}
왜 틀렸나 치환적분에서는 적분 구간도 t=x2+1t=x^2+1 에 넣어 tt 의 값으로 바꾸어야 한다.
✓ 바른 풀이
∫012x(x2+1)3dx=∫12t3dt=154\int_0^{1}2x(x^2+1)^3dx=\int_1^{2}t^3dt=\dfrac{15}{4}
x=0x=0 이면 t=1t=1, x=1x=1 이면 t=2t=2 이다.
계산: [t44]12=4−14=154\Big[\dfrac{t^4}{4}\Big]_{1}^{2}=4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}
자세히 보기펼치기예제 2
끝값의 순서가 바뀌는 꼴
∫0π2sin⁡xcos⁡2x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2 x\,dx
cos⁡x=t,−sin⁡x dx=dt\cos x=t,\quad -\sin x\,dx=dt
sin⁡x dx=−dt\sin x\,dx=-dt
↳양변에 −1-1 을 곱해요
x:0→π2 ⇒ t:1→0x:0\to\dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ t:1\to0
∫10t2⋅(−1)dt=∫01t2dt=13\int_1^{0}t^2\cdot(-1)dt=\int_0^{1}t^2dt=\dfrac{1}{3}
↳끝을 바꾸면 부호도 바뀌어요
응용
∫1eln⁡xxdx\int_1^{e}\dfrac{\ln x}{x}dx
ln⁡x=t,1xdx=dt\ln x=t,\quad\dfrac{1}{x}dx=dt
x:1→e ⇒ t:0→1x:1\to e\ \Rightarrow\ t:0\to1
∫01t dt=12\int_0^{1}t\,dt=\dfrac{1}{2}

4x=asin⁡θx=a\sin\theta 꼴의 치환

성질a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 꼴의 치환
a2−x2\sqrt{a^2-x^2} (a>0a>0) 이 있으면 x=asin⁡θx=a\sin\theta (−π2≤θ≤π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}\right) 로 치환한다.
a2−a2sin⁡2θ=a2cos⁡2θ=acos⁡θ\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}=\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta
이 범위에서 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge0 이므로 근호가 사라진다.
cos⁡2θ\cos^2\theta 가 나오면 배각공식으로 1+cos⁡2θ2\dfrac{1+\cos2\theta}{2} 로 바꾼다.
x=asin⁡θx=a\sin\theta 를 그림으로
ax
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}
θOHP
빗변이 aa, 높이가 xx 인 직각삼각형에서 sin⁡θ=xa\sin\theta=\dfrac{x}{a} 이므로 x=asin⁡θx=a\sin\theta 예요.
밑변 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 은 acos⁡θa\cos\theta 가 되어 근호가 사라져요.
학생
왜 하필 sin⁡θ\sin\theta 로 놓아요?
쌤
1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta=\cos^2\theta 라서 4−4sin⁡2θ=2cos⁡θ\sqrt{4-4\sin^2\theta}=2\cos\theta 처럼 근호가 사라져요. −π2≤θ≤π2-\dfrac{\pi}{2}\le\theta\le\dfrac{\pi}{2} 에서는 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge0 이라 절댓값도 필요 없어요.
∫0114−x2dx\int_0^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx
x=2sin⁡θ,dx=2cos⁡θ dθx=2\sin\theta,\quad dx=2\cos\theta\,d\theta
x:0→1 ⇒ θ:0→π6x:0\to1\ \Rightarrow\ \theta:0\to\dfrac{\pi}{6}
↳sin⁡θ=12\sin\theta=\frac{1}{2}
∫0π62cos⁡θ2cos⁡θdθ=π6\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{2\cos\theta}{2\cos\theta}d\theta=\dfrac{\pi}{6}
↳4−4sin⁡2θ=2cos⁡θ\sqrt{4-4\sin^2\theta}=2\cos\theta
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∫03219−x2 dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\,dx 에서 x=3sin⁡θx=3\sin\theta 로 놓으면 θ\theta 의 위끝은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림
x=asin⁡θx=a\sin\theta 로 치환하는 순서
  1. 1
    x=asin⁡θx=a\sin\theta 로 놓고 dx=acos⁡θ dθdx=a\cos\theta\,d\theta 를 구해요.
  2. 2
    적분 구간의 xx 의 값을 θ\theta 의 값으로 바꿔요.
    x=0x=0 이면 θ=0\theta=0, x=a2x=\dfrac{a}{2} 이면 θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 처럼 sin⁡θ=xa\sin\theta=\dfrac{x}{a} 를 풀어요.
  3. 3
    a2−x2=acos⁡θ\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta 로 바꾸어 θ\theta 에 대한 정적분을 계산해요.
응용
∫011−x2 dx\int_0^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx
x=sin⁡θ,dx=cos⁡θ dθx=\sin\theta,\quad dx=\cos\theta\,d\theta
↳θ:0→π2\theta:0\to\frac{\pi}{2}
∫0π2cos⁡2θ dθ=∫0π21+cos⁡2θ2dθ\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\,d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\cos2\theta}{2}d\theta
↳배각공식
=[θ2+sin⁡2θ4]0π2=π4=\Big[\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin2\theta}{4}\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1g(x)=tg(x)=t 로 놓으면 g′(x)dx=dtg'(x)dx=dt 이므로 ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(t)dt\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(t)dt 이다.
  2. 2분자가 분모의 도함수이면 ∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C 이다.
  3. 3정적분에서 치환하면 적분 구간도 바꾼다. ∫abf(g(x))g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(t)dt\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt
  4. 4a2−x2\sqrt{a^2-x^2} (a>0a>0) 이 있으면 x=asin⁡θx=a\sin\theta 로 치환하여 근호를 없앤다.
✗ 자주 하는 실수
  • g(x)=tg(x)=t 로 놓고 dxdx 를 그대로 dtdt 로 바꾸거나, 일차식 치환에서 1a\dfrac{1}{a} 을 곱하지 않아요.
  • ∫xx2+1dx\int\dfrac{x}{x^2+1}dx 처럼 분자가 분모의 도함수의 상수배일 때 계수를 맞추지 않고 ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) 로 써요.
  • 정적분에서 치환한 뒤 적분 구간을 tt 의 값으로 바꾸지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    부정적분 ∫x2(x3−1)4dx\int x^2(x^3-1)^4dx 를 구하시오.
  2. 예제 2
    부정적분 ∫2x+1x2+x+1dx\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx 를 구하시오.
  3. 예제 3
    정적분 ∫0314−x2dx\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx 의 값을 구하시오.

다음 공부

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