성질 부분적분법
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x 부분적분법 이라 한다. 부분적분법은 곱의 미분법 을 적분하여 이항한 식이에요.
학생 ∫ x e x d x \displaystyle\int xe^x\,dx ∫ x e x d x 쌤 한쪽은 미분하고 다른 쪽은 적분해서, 처음보다 쉬운 적분으로 바꿀 수 있어요. x x x 1 1 1 ∫ e x d x \displaystyle\int e^x\,dx ∫ e x d x 부분적분
∫ □ △ ′ d x = □ △ − ∫ □ ′ △ d x \displaystyle \int \square\,\triangle'\,dx=\square\,\triangle-\int \square'\,\triangle\,dx ∫ □ △ ′ d x = □ △ − ∫ □ ′ △ d x □ \square □ △ ′ \triangle\,' △ ′ 외우는 말
( 그대로 ) × ( 적분 ) − ∫ ( 미분 ) × ( 적분 ) d x \displaystyle (\text{그대로})\times(\text{적분})-\int(\text{미분})\times(\text{적분})\,dx ( 그대로 ) × ( 적분 ) − ∫ ( 미분 ) × ( 적분 ) d x 앞의 항에서 미분할 함수는 그대로 두고, 적분할 함수만 적분한다.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ x cos x d x = x sin x − ∫ □ d x \displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\square\,dx ∫ x cos x d x = x sin x − ∫ □ d x □ \square □ sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x x sin x x\sin x x sin x + 펼치기 접기 왜 그런지 외우기 카드 왜 그런가? 두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) { f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) \displaystyle \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) { f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) x x x f ( x ) g ( x ) = ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x + ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x \displaystyle f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)\,dx+\int f(x)g'(x)\,dx f ( x ) g ( x ) = ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x + ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x 이항 하면 위의 공식을 얻어요.
이전 개념 곱의 꼴인 함수 f ( x ) g ′ ( x ) f(x)g'(x) f ( x ) g ′ ( x ) f ′ ( x ) g ( x ) f'(x)g(x) f ′ ( x ) g ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) g ′ ( x ) g'(x) g ′ ( x ) ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x \displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x
부분적분법 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2 곱의 미분법을 적분하여 이항한 식이다.
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ □ d x \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int \square\,dx ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ □ d x 정답 보기
부분적분법에서는 미분하면 간단해지는 함수를 f ( x ) f(x) f ( x ) g ′ ( x ) g'(x) g ′ ( x )
보통 다음 순서에서 앞쪽에 있는 함수를 f ( x ) f(x) f ( x )
① 로그함수
ln x \displaystyle \ln x ln x 적분하기 어렵지만 미분하면 1 x \dfrac{1}{x} x 1 ② 다항함수
x , x 2 , 2 x − 1 \displaystyle x,\ x^2,\ 2x-1 x , x 2 , 2 x − 1 미분할 때마다 차수가 하나씩 낮아진다.
③ 삼각함수
sin x , cos x \displaystyle \sin x,\ \cos x sin x , cos x 미분하거나 적분해도 모양이 크게 바뀌지 않는다.
④ 지수함수
e x , e 3 x \displaystyle e^x,\ e^{3x} e x , e 3 x 적분하기 가장 쉽다. 거의 언제나 g ′ ( x ) g'(x) g ′ ( x ) f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x ↳ ◀ f = x f=x f = x g ′ = e x g'=e^x g ′ = e x f ′ = 1 f'=1 f ′ = 1 g = e x g=e^x g = e x = x e x − e x + C =xe^x-e^x+C = x e x − e x + C ∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ ( − cos x ) d x \int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int(-\cos x)\,dx ∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ ( − cos x ) d x ↳ ◀ g ′ = sin x g'=\sin x g ′ = sin x g = − cos x g=-\cos x g = − cos x = − x cos x + sin x + C =-x\cos x+\sin x+C = − x cos x + sin x + C 학생 ∫ ln x d x \displaystyle\int\ln x\,dx ∫ ln x d x 쌤 네. ln x = ln x × 1 \ln x=\ln x\times1 ln x = ln x × 1 f ( x ) = ln x f(x)=\ln x f ( x ) = ln x g ′ ( x ) = 1 g'(x)=1 g ′ ( x ) = 1 ln x \ln x ln x 1 x \dfrac{1}{x} x 1 f ( x ) = ln x f(x)=\ln x f ( x ) = ln x ∫ ln x d x = x ln x − ∫ 1 x × x d x \int \ln x\,dx=x\ln x-\int\dfrac{1}{x}\times x\,dx ∫ ln x d x = x ln x − ∫ x 1 × x d x ↳ ◀ ln x × 1 \ln x\times1 ln x × 1 g ′ = 1 g'=1 g ′ = 1 g = x g=x g = x = x ln x − x + C =x\ln x-x+C = x ln x − x + C ∫ x ln x d x = x 2 2 ln x − ∫ x 2 d x \int x\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\int\dfrac{x}{2}\,dx ∫ x ln x d x = 2 x 2 ln x − ∫ 2 x d x ↳ ◀ g ′ = x g'=x g ′ = x g = x 2 2 g=\frac{x^2}{2} g = 2 x 2 = x 2 2 ln x − x 2 4 + C =\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C = 2 x 2 ln x − 4 x 2 + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ x e 2 x d x \displaystyle\int xe^{2x}\,dx ∫ x e 2 x d x f ( x ) f(x) f ( x ) e 2 x e^{2x} e 2 x x x x x e 2 x xe^{2x} x e 2 x f ( x ) f(x) f ( x ) g ′ ( x ) g\,'(x) g ′ ( x ) ✗ 틀린 풀이
f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x g ′ ( x ) = x g'(x)=x g ′ ( x ) = x ∫ x e x d x = x 2 2 e x − ∫ x 2 2 e x d x \displaystyle\int xe^x\,dx=\dfrac{x^2}{2}e^x-\int\dfrac{x^2}{2}e^x\,dx ∫ x e x d x = 2 x 2 e x − ∫ 2 x 2 e x d x 왜 틀렸나 부분적분에서는 미분하면 차수가 낮아지는 다항함수를 f ( x ) f(x) f ( x ) ↓ ✓ 바른 풀이
f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x g ′ ( x ) = e x g'(x)=e^x g ′ ( x ) = e x ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x \displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x 왼쪽 식도 계산 자체는 맞지만 남은 적분이 더 어려워진다.x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C 부호와 괄호
✗ 틀린 풀이
∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ cos x d x = − x cos x − sin x + C \displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int\cos x\,dx=-x\cos x-\sin x+C ∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ cos x d x = − x cos x − sin x + C 왜 틀렸나 부분적분 공식의 g ( x ) g(x) g ( x ) − cos x -\cos x − cos x ↓ ✓ 바른 풀이
∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ ( − cos x ) d x = − x cos x + sin x + C \displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int(-\cos x)\,dx=-x\cos x+\sin x+C ∫ x sin x d x = − x cos x − ∫ ( − cos x ) d x = − x cos x + sin x + C 검산: ( − x cos x + sin x ) ′ = − cos x + x sin x + cos x = x sin x (-x\cos x+\sin x)'=-\cos x+x\sin x+\cos x=x\sin x ( − x cos x + sin x ) ′ = − cos x + x sin x + cos x = x sin x + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 예제 부분적분 하는 순서
1 함수가 ln x \ln x ln x g ′ ( x ) = 1 g'(x)=1 g ′ ( x ) = 1 2 g ( x ) g(x) g ( x ) 3 4 ∫ x e x d x \int xe^x\,dx ∫ x e x d x f f f g ′ g' g ′ 공식에 넣으면
∫ x e x d x = f g − ∫ f ′ g d x = x e x − ∫ 1 ⋅ e x d x \int xe^x\,dx=fg-\int f'g\,dx=xe^x-\int 1\cdot e^x\,dx ∫ x e x d x = f g − ∫ f ′ g d x = x e x − ∫ 1 ⋅ e x d x 예요. 미분한
f ′ = 1 f'=1 f ′ = 1 이 간단해져서 남은 적분이 쉬워요.
응용 ∫ ( 2 x − 1 ) e 3 x d x \displaystyle\int(2x-1)e^{3x}\,dx ∫ ( 2 x − 1 ) e 3 x d x ∫ x cos 2 x d x \displaystyle\int x\cos 2x\,dx ∫ x cos 2 x d x ∫ ( 2 x − 1 ) e 3 x d x = 2 x − 1 3 e 3 x − ∫ 2 3 e 3 x d x \int(2x-1)e^{3x}\,dx=\dfrac{2x-1}{3}e^{3x}-\int\dfrac{2}{3}e^{3x}\,dx ∫ ( 2 x − 1 ) e 3 x d x = 3 2 x − 1 e 3 x − ∫ 3 2 e 3 x d x ↳ ◀ f ′ = 2 f'=2 f ′ = 2 g = 1 3 e 3 x g=\frac{1}{3}e^{3x} g = 3 1 e 3 x = 2 x − 1 3 e 3 x − 2 9 e 3 x + C = 6 x − 5 9 e 3 x + C =\dfrac{2x-1}{3}e^{3x}-\dfrac{2}{9}e^{3x}+C=\dfrac{6x-5}{9}e^{3x}+C = 3 2 x − 1 e 3 x − 9 2 e 3 x + C = 9 6 x − 5 e 3 x + C ∫ x cos 2 x d x = x 2 sin 2 x − ∫ 1 2 sin 2 x d x \int x\cos2x\,dx=\dfrac{x}{2}\sin2x-\int\dfrac{1}{2}\sin2x\,dx ∫ x cos 2 x d x = 2 x sin 2 x − ∫ 2 1 sin 2 x d x ↳ ◀ g = 1 2 sin 2 x g=\frac{1}{2}\sin2x g = 2 1 sin 2 x = x 2 sin 2 x + 1 4 cos 2 x + C =\dfrac{x}{2}\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x+C = 2 x sin 2 x + 4 1 cos 2 x + C ⚠ 주의 검산
부정적분의 결과를 미분하여 처음 함수가 되는지 확인해요.( x e x − e x ) ′ = e x + x e x − e x = x e x (xe^x-e^x)'=e^x+xe^x-e^x=xe^x ( x e x − e x ) ′ = e x + x e x − e x = x e x 곱의 미분법 으로 해요. 이전 개념 성질 정적분의 부분적분법
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) [ a , b ] [a,\ b] [ a , b ] ∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a b − ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx ∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a b − ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x 학생 부정적분을 다 구한 다음에 끝값을 넣으면 안 돼요?
쌤 그래도 돼요. 다만 앞의 항 [ f ( x ) g ( x ) ] a b \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b} [ f ( x ) g ( x ) ] a b 정적분 ∫ 0 1 x e x d x \displaystyle\int_{0}^{1}xe^x\,dx ∫ 0 1 x e x d x ∫ 1 e ln x d x \displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx ∫ 1 e ln x d x [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 \Big[xe^x\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^x\,dx=e-(e-1)=1 [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 ↳ ◀ f = x f=x f = x g ′ = e x g'=e^x g ′ = e x [ x ln x ] 1 e − ∫ 1 e 1 d x = e − ( e − 1 ) = 1 \Big[x\ln x\Big]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}1\,dx=e-(e-1)=1 [ x ln x ] 1 e − ∫ 1 e 1 d x = e − ( e − 1 ) = 1 ↳ ◀ f = ln x f=\ln x f = ln x g ′ = 1 g'=1 g ′ = 1 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ 0 π x cos x d x \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx ∫ 0 π x cos x d x 앞의 항에도 끝값을 넣는다
✗ 틀린 풀이
∫ 0 π x sin x d x = − x cos x + ∫ 0 π cos x d x \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=-x\cos x+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx ∫ 0 π x sin x d x = − x cos x + ∫ 0 π cos x d x 왜 틀렸나 정적분의 부분적분에서는 f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f ( x ) g ( x ) ↓ ✓ 바른 풀이
∫ 0 π x sin x d x = [ − x cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π + 0 = π \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0=\pi ∫ 0 π x sin x d x = [ − x cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π + 0 = π 정적분의 값은 수이므로 x x x [ − x cos x ] 0 π = − π cos π − 0 = π \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}=-\pi\cos\pi-0=\pi [ − x cos x ] 0 π = − π cos π − 0 = π + 펼치기 접기 왜 그런지 부정적분을 끝까지 구한 뒤 끝값을 넣어도 되지만, 앞의 항 [ f ( x ) g ( x ) ] a b \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b} [ f ( x ) g ( x ) ] a b
한 번 부분적분한 뒤에도 남은 적분이 곱의 꼴이면 한 번 더 부분적분해요.2 2 2
∫ x 2 e x d x \displaystyle\int x^2e^x\,dx ∫ x 2 e x d x ∫ x 2 e x d x = x 2 e x − ∫ 2 x e x d x \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int 2xe^x\,dx ∫ x 2 e x d x = x 2 e x − ∫ 2 x e x d x ↳ ◀ f = x 2 f=x^2 f = x 2 g ′ = e x g'=e^x g ′ = e x ∫ 2 x e x d x = 2 x e x − 2 e x + C \int 2xe^x\,dx=2xe^x-2e^x+C ∫ 2 x e x d x = 2 x e x − 2 e x + C ∫ x 2 e x d x = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C \int x^2e^x\,dx=(x^2-2x+2)e^x+C ∫ x 2 e x d x = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ x 2 sin x d x \displaystyle\int x^2\sin x\,dx ∫ x 2 sin x d x 학생 부분적분을 두 번 했는데 처음 적분이 다시 나오면요?
쌤 e x sin x e^x\sin x e x sin x I I I I I I ∫ e x sin x d x \displaystyle\int e^x\sin x\,dx ∫ e x sin x d x I = e x sin x − ∫ e x cos x d x I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx I = e x sin x − ∫ e x cos x d x ↳ ◀ f = sin x f=\sin x f = sin x g ′ = e x g'=e^x g ′ = e x ∫ e x cos x d x = e x cos x − ∫ ( − sin x ) e x d x \int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x-\int(-\sin x)e^x\,dx ∫ e x cos x d x = e x cos x − ∫ ( − sin x ) e x d x ↳ ◀ 한 번 더: f = cos x f=\cos x f = cos x g ′ = e x g'=e^x g ′ = e x = e x cos x + I =e^x\cos x+I = e x cos x + I ↳ ◀ ∫ e x sin x d x = I \int e^x\sin x\,dx=I ∫ e x sin x d x = I I = e x sin x − e x cos x − I I=e^x\sin x-e^x\cos x-I I = e x sin x − e x cos x − I I = 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C I=\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C I = 2 1 e x ( sin x − cos x ) + C + 펼치기 접기 왜 그런지 틀리기 쉬운 곳 다항식의 차수가 2 2 2
지수함수와 삼각함수의 곱은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나요.I I I I I I
⚠ 주의 두 번째에도 같은 종류를 f ( x ) f(x) f ( x ) 두 번째 부분적분에서도 첫 번째와 같은 종류의 함수(위의 예에서는 삼각함수)를 f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) I = I I=I I = I