수학 개념 노트전체 과목

속도와 거리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수직선 위를 움직이는 점의 위치의 변화량은 ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt, 움직인 거리는 ∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt 이에요. 평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리는 속력 (dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} 을 적분하여 구해요.
  1. 1수직선 위를 움직이는 점의 위치와 움직인 거리
  2. 2평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리
  3. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수직선 위를 움직이는 점의 위치와 움직인 거리

성질수직선 위의 운동
수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)v(t) 이고 t=at=a 에서의 위치가 x(a)x(a) 일 때
① 시각 tt 에서의 위치: x(t)=x(a)+∫atv(s) dsx(t)=x(a)+\displaystyle\int_{a}^{t}v(s)\,ds
② t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치의 변화량: ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt
③ t=at=a 에서 t=bt=b 까지 움직인 거리: ∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt
학생
위치의 변화량과 움직인 거리는 뭐가 달라요?
쌤
앞으로 갔다가 뒤로 오면 위치의 변화량에서는 서로 지워져요. 움직인 거리는 간 만큼 모두 더하므로 속도의 절댓값을 적분해요.
속도 v(t)=cos⁡tv(t)=\cos t 로 t=0t=0 에서 t=πt=\pi 까지
∫0πcos⁡t dt=[sin⁡t]0π=0\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt=\Big[\sin t\Big]_{0}^{\pi}=0
↳위치의 변화량
∫0π2cos⁡t dt−∫π2πcos⁡t dt=1+1=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,dt=1+1=2
↳움직인 거리: t=π2t=\frac{\pi}{2} 에서 나누기
점은 출발점으로 돌아왔지만 움직인 거리는 22 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
속도가 v(t)=sin⁡tv(t)=\sin t 일 때 t=0t=0 에서 t=2πt=2\pi 까지 움직인 거리는?
움직인 거리는 절댓값을 적분한다
✗ 틀린 풀이
∫0πcos⁡t dt=0\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt=0 이므로 움직인 거리는 00
왜 틀렸나 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분하므로 vv 의 부호가 바뀌는 t=π2t=\dfrac{\pi}{2} 에서 구간을 나눈다.
✓ 바른 풀이
움직인 거리는 ∫0π∣cos⁡t∣ dt=2\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\cos t|\,dt=2
계산: ∫0π2cos⁡t dt−∫π2πcos⁡t dt=1+1=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,dt=1+1=2
위치와 위치의 변화량
✗ 틀린 풀이
x(0)=1x(0)=1, v(t)=etv(t)=e^t 일 때 x(1)=∫01et dt=e−1x(1)=\displaystyle\int_{0}^{1}e^t\,dt=e-1
왜 틀렸나 속도의 정적분은 위치의 변화량이므로 위치를 구하려면 처음 위치 x(0)x(0) 을 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
x(1)=x(0)+∫01et dt=1+(e−1)=ex(1)=x(0)+\displaystyle\int_{0}^{1}e^t\,dt=1+(e-1)=e
확인: x(t)=etx(t)=e^t 이면 x(0)=1x(0)=1 이고 x′(t)=etx'(t)=e^t 이므로 x(1)=ex(1)=e 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

위치 x(t)x(t) 를 미분하면 속도 v(t)v(t) 이므로, 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화를 알 수 있어요.
이 방법은 다항함수뿐 아니라 지수함수·로그함수·삼각함수로 나타난 속도에서도 그대로 성립해요.

점이 앞으로 갔다가 뒤로 돌아오면 위치의 변화량에서는 두 움직임이 서로 지워지지만, 움직인 거리에서는 모두 더해져요.
그래서 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분해요. 속도가 음수인 구간은 부호를 바꾸어 더해요.

움직인 거리를 구하는 순서
  1. 1
    v(t)=0v(t)=0 을 풀어 운동 방향이 바뀌는 시각을 구해요.
    삼각함수는 구간 안의 해를 모두 찾아요.
  2. 2
    그 시각에서 구간을 나누고, 각 구간에서 v(t)v(t) 의 부호를 정해요.
  3. 3
    v(t)≥0v(t)\ge0 인 구간은 ∫v(t) dt\displaystyle\int v(t)\,dt, v(t)≤0v(t)\le0 인 구간은 −∫v(t) dt\displaystyle-\int v(t)\,dt 를 계산하여 더해요.
∫01(e−et) dt=[et−et]01=1\int_{0}^{1}(e-e^t)\,dt=\Big[et-e^t\Big]_{0}^{1}=1
↳v≤0v\le0 인 구간
∫12(et−e) dt=[et−et]12=e2−2e\int_{1}^{2}(e^t-e)\,dt=\Big[e^t-et\Big]_{1}^{2}=e^2-2e
↳v≥0v\ge0 인 구간
1+e2−2e=(e−1)21+e^2-2e=(e-1)^2
↳움직인 거리
∫02(et−e) dt=e2−2e−1\int_{0}^{2}(e^t-e)\,dt=e^2-2e-1
↳위치의 변화량은 달라요

2평면 위를 움직이는 점이 움직인 거리

성질평면 위의 운동에서 움직인 거리
좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치 (x, y)(x,\ y) 가 x=f(t)x=f(t), y=g(t)y=g(t) 일 때, t=at=a 에서 t=bt=b 까지 점 P 가 움직인 거리 ss 는s=∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt=∫ab{f′(t)}2+{g′(t)}2 dts=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_{a}^{b}\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}\,dt

(dxdt)2+(dydt)2\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2} 은 점 P 의 속력이에요.

학생
속력은 왜 그런 식이에요?
쌤
xx, yy 방향의 속도를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 속력이에요. 그래서 두 성분의 제곱의 합에 근호를 씌워요.
공식수직선과 평면 나란히
수직선
s=∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle s=\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt
∣v(t)∣|v(t)| 는 속력이다.
평면
s=∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt\displaystyle s=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt
근호 안은 속력의 제곱이다.
x=2cos⁡tx=2\cos t, y=2sin⁡ty=2\sin t 로 t=0t=0 에서 t=πt=\pi 까지
dxdt=−2sin⁡t,dydt=2cos⁡t\dfrac{dx}{dt}=-2\sin t,\quad\dfrac{dy}{dt}=2\cos t
(dxdt)2+(dydt)2=4(sin⁡2t+cos⁡2t)=4\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2=4(\sin^2t+\cos^2t)=4
s=∫0π2 dt=2πs=\int_{0}^{\pi}2\,dt=2\pi
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x=3cos⁡tx=3\cos t, y=3sin⁡ty=3\sin t 인 점이 t=0t=0 에서 t=2πt=2\pi 까지 움직인 거리는?
처음과 끝 점 사이의 거리가 아니다
✗ 틀린 풀이
x=2cos⁡tx=2\cos t, y=2sin⁡t (0≤t≤π)y=2\sin t\ (0\le t\le\pi) 에서 처음 점 (2, 0)(2,\ 0), 끝 점 (−2, 0)(-2,\ 0) 이므로 움직인 거리는 44
왜 틀렸나 곡선을 따라 움직인 거리는 처음과 끝 두 점 사이의 거리가 아니라 속력을 적분하여 구한다.
✓ 바른 풀이
s=∫0π(−2sin⁡t)2+(2cos⁡t)2 dt=2πs=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2}\,dt=2\pi
확인: 점은 반지름이 22 인 원의 절반을 돌았으므로 움직인 거리는 12×2π×2=2π\dfrac{1}{2}\times2\pi\times2=2\pi 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드예제 2

왜 그런가? 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 (x, y)=(f(t), g(t))(x,\ y)=(f(t),\ g(t)) 일 때, 짧은 시간 Δt\Delta t 동안 xx, yy 좌표는 각각 약 dxdtΔt\dfrac{dx}{dt}\Delta t, dydtΔt\dfrac{dy}{dt}\Delta t 만큼 변해요.
피타고라스 정리에 의하여 이 동안 움직인 거리는 약
(dxdt)2+(dydt)2 Δt\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,\Delta t
이에요.
이것을 모두 더하고 Δt→0\Delta t\to0 인 극한을 생각하면 정적분이 돼요.
원 위를 돌면 원의 둘레와 비교해 검산할 수 있어요.

움직인 거리 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2속력을 적분한다.
s=∫ab□2+□2 dts=\int_{a}^{b}\sqrt{\square^2+\square^2}\,dt
응용
x=3t2x=3t^2, y=3t−t3y=3t-t^3 으로 t=0t=0 에서 t=1t=1 까지
dxdt=6t,dydt=3−3t2\dfrac{dx}{dt}=6t,\quad\dfrac{dy}{dt}=3-3t^2
36t2+9(1−t2)2=9(1+t2)236t^2+9(1-t^2)^2=9(1+t^2)^2
↳제곱하여 더하기
s=∫013(1+t2) dt=[3t+t3]01=4s=\int_{0}^{1}3(1+t^2)\,dt=\Big[3t+t^3\Big]_{0}^{1}=4
↳근호를 벗기면 3(1+t2)3(1+t^2)
응용
x=etcos⁡tx=e^t\cos t, y=etsin⁡ty=e^t\sin t 로 t=0t=0 에서 t=1t=1 까지
dxdt=et(cos⁡t−sin⁡t),dydt=et(sin⁡t+cos⁡t)\dfrac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t),\quad\dfrac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t)
e2t{(cos⁡t−sin⁡t)2+(sin⁡t+cos⁡t)2}=2e2te^{2t}\{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2\}=2e^{2t}
↳제곱하여 더하기
s=∫012et dt=2(e−1)s=\int_{0}^{1}\sqrt{2}e^t\,dt=\sqrt{2}(e-1)
⚠ 주의검산
움직인 거리는 위치의 변화량의 절댓값보다 작을 수 없어요.
∫ab∣v(t)∣ dt≥∣∫abv(t) dt∣\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt\ge\left|\int_{a}^{b}v(t)\,dt\right|
평면 위의 운동에서도 움직인 거리는 처음 점과 끝 점 사이의 거리보다 작을 수 없어요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t)v(t) 이고 시각 t=at=a 에서의 위치가 x(a)x(a) 이면 시각 tt 에서의 위치는 x(t)=x(a)+∫atv(s) dsx(t)=x(a)+\displaystyle\int_{a}^{t}v(s)\,ds 이다.
  2. 2t=at=a 에서 t=bt=b 까지 위치의 변화량은 ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt, 움직인 거리는 ∫ab∣v(t)∣ dt\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt 이다.
  3. 3좌표평면 위를 움직이는 점 (x, y)(x,\ y) 가 t=at=a 에서 t=bt=b 까지 움직인 거리는 ∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt 이다.
  4. 4속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누어야 움직인 거리를 바르게 구할 수 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 움직인 거리를 구하면서 ∫abv(t) dt\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt 를 계산하여 운동 방향이 바뀐 부분을 지워요.
  • 시각 tt 에서의 위치를 구할 때 처음 위치 x(a)x(a) 를 더하지 않아요.
  • 평면 위의 운동에서 근호 안의 (dxdt)2+(dydt)2\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 를 정리하지 않고 근호를 따로 벗기거나, 처음 점과 끝 점 사이의 거리를 움직인 거리로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 속도가 v(t)=sin⁡tv(t)=\sin t 이고 t=0t=0 에서의 위치가 11 일 때, t=32πt=\dfrac{3}{2}\pi 에서의 위치와 t=0t=0 에서 t=32πt=\dfrac{3}{2}\pi 까지 움직인 거리를 구하시오.
  2. 예제 2
    좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=cos⁡2tx=\cos 2t, y=sin⁡2ty=\sin 2t 일 때, t=0t=0 에서 t=πt=\pi 까지 점 P 가 움직인 거리를 구하시오.
  3. 예제 3
    좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 tt 에서의 위치가 x=t2x=t^2, y=23t3y=\dfrac{2}{3}t^3 일 때, t=0t=0 에서 t=1t=1 까지 점 P 가 움직인 거리를 구하시오.

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