평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

좌표평면 위를 움직이는 점

(x,\ y)

의 속도

\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)

와 가속도

\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)

를 이용하여 속력의 최댓값·최솟값, 속도가 좌표축에 평행한 시각, 운동 방향의 기울기, 정지하는 시각, 원운동, 점이 그리는 곡선을 구해요.

1시각이 주어질 때 속도와 가속도
2속력의 최댓값과 최솟값
3속도의 방향과 정지
4원 위를 움직이는 점
5점이 그리는 곡선
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1시각이 주어질 때 속도와 가속도

정의평면 위의 속도와 가속도

좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각

t

에서의 위치가

x=f(t)

y=g(t)

일 때
속도:

\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)=(f'(t),\ g'(t))

속력:

\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}

가속도:

\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)=(f''(t),\ g''(t))

가속도의 크기:

\sqrt{\{f''(t)\}^2+\{g''(t)\}^2}

학생

왜

x

y

를 따로 미분해요?

쌤

평면에서는

x

방향과

y

방향으로 동시에 움직여요. 그래서 두 방향을 따로

t

에 대하여 미분해 순서쌍으로 쓰고, 가속도는 한 번 더 미분해요.

x=t^2-1

y=2t^3

일 때

t=1

에서의 속도와 가속도

\dfrac{dx}{dt}=2t,\quad\dfrac{dy}{dt}=6t^2

↳◀먼저 미분

(2,\ 6)

↳◀

t=1

에서의 속도

\dfrac{d^2x}{dt^2}=2,\quad\dfrac{d^2y}{dt^2}=12t

↳◀한 번 더 미분

(2,\ 12)

↳◀

t=1

에서의 가속도

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=t^2

y=3t

인 점의

t=2

에서의 속도는?

대입한 다음 미분하지 않는다

✗ 틀린 풀이

t=1

일 때 위치는

(0,\ 2)

이므로 이것을 미분하여 가속도는

(0,\ 0)

왜 틀렸나 가속도는 위치를 시각

t

에 대하여 두 번 미분한 식에 시각을 대입해서 구해야 한다.

✓ 바른 풀이

먼저 미분하면

\dfrac{d^2x}{dt^2}=2

\dfrac{d^2y}{dt^2}=12t

t=1

을 대입하면 가속도는

(2,\ 12)

미분을 모두 끝낸 뒤에 시각을 대입한다. 검산:

t=1

에서의 값은 미분한 식

2

12t

에

t=1

을 넣은 것이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

시각

t=a

에서 속도·가속도를 구하는 순서

1
$x$ , $y$ 를 각각 $t$ 에 대하여 미분해요.
먼저 $t$ 의 식으로 미분하고 대입은 나중에 해요.
2
가속도가 필요하면 한 번 더 미분해요.
3
$t=a$ 를 대입하여 순서쌍 $(x\text{ 성분},\ y\text{ 성분})$ 으로 써요.
앞이 $x$ 성분, 뒤가 $y$ 성분이에요.

2속력의 최댓값과 최솟값

성질속력의 최대·최소

속력

\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}

은

0

이상이므로
속력이 최대(최소)인 시각은 속력의 제곱이 최대(최소)인 시각과 같다.
따라서 근호 안의 식을

t

의 함수로 보고 최댓값·최솟값을 구한 뒤 양의 제곱근을 취한다.
이차식이면 이차함수의 최대·최소로, 삼각함수가 섞이면 삼각함수 사이의 관계로 하나로 모아 구한다.

학생

왜 근호째 미분하지 않아요?

쌤

근호째 미분하면 식이 복잡해져요. 속력이 클수록 그 제곱도 크니까, 근호 안만 보고 최대·최소를 구한 뒤 마지막에 양의 제곱근을 취하면 돼요.

이차식이 나오는 경우

x=2t

y=t^2-4t

(2,\ 2t-4)

↳◀속도

4+(2t-4)^2=4(t-2)^2+4

↳◀속력의 제곱

t=2:\ \sqrt{4}=2

↳◀속력의 최솟값, 속도

(2,\ 0)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

속력의 제곱이

(t-1)^2+9

일 때 속력의 최솟값은?

근호를 잊지 않는다

✗ 틀린 풀이

속력의 제곱

4(t-2)^2+4

의 최솟값

4

가 속력의 최솟값이다.

왜 틀렸나 속력은

\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

이므로 제곱의 최솟값을 구한 뒤 양의 제곱근을 취해야 한다.

✓ 바른 풀이

속력의 제곱의 최솟값이

4

이므로 속력의 최솟값은

\sqrt{4}=2

속력의 제곱으로 계산을 편하게 한 것이므로 마지막에 양의 제곱근을 취해요.

자세히 보기펼치기예제

삼각함수가 나오는 경우

x=3\cos t

y=\sin t

(-3\sin t,\ \cos t)

↳◀속도

9\sin^2 t+\cos^2 t=1+8\sin^2 t

↳◀

\cos^2 t=1-\sin^2 t

1\le1+8\sin^2 t\le9

↳◀

0\le\sin^2 t\le1

\text{최댓값 }3,\quad\text{최솟값 }1

↳◀양의 제곱근

3속도의 방향과 정지

속도 $\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)$ 는 점이 움직이는 방향을 나타내요.
이 방향은 점이 그리는 곡선의 접선 방향이에요.

학생

속도가

(0,\ 5)

이면 점은 어느 쪽으로 움직여요?

쌤

y

축에 평행하게 위쪽으로 움직여요.

x

성분이

0

이라 옆으로는 움직이지 않아요.

공식속도의 방향 정리

x

축에 평행

\displaystyle \dfrac{dy}{dt}=0,\ \dfrac{dx}{dt}\ne0

속도가

(k,\ 0)

(

k\ne0

) 꼴이다.

y

축에 평행

\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=0,\ \dfrac{dy}{dt}\ne0

속도가

(0,\ k)

(

k\ne0

) 꼴이다.

운동 방향의 기울기

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\ \dfrac{dy}{dt}\ }{\dfrac{dx}{dt}}

\dfrac{dx}{dt}\ne0

일 때, 매개변수로 나타낸 함수의 미분법과 같다.

정지

\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=0,\ \dfrac{dy}{dt}=0

속도가

(0,\ 0)

이다.

정의정지하는 시각

속도가

(0,\ 0)

인 시각에 점 P 는 정지 한다.
두 성분

\dfrac{dx}{dt}=0

\dfrac{dy}{dt}=0

을 동시에 만족하는

t

를 찾는다.

x=t^3-3t

y=t^2-2t

의 속도의 방향

(3(t+1)(t-1),\ 2(t-1))

↳◀속도

\left(\frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}\right)

t=-1:\ (0,\ -4)

↳◀

y

축에 평행

t=1:\ (0,\ 0)

↳◀정지

t=2:\ (9,\ 2)

↳◀운동 방향의 기울기

\frac{2}{9}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=t^2-2t

y=t^2-4t

인 점이 정지하는 시각은?

한 성분만 보고 판단하지 않는다

✗ 틀린 풀이

위의 운동에서

t=1

일 때

\dfrac{dy}{dt}=0

이므로 속도는

x

축에 평행하다.

왜 틀렸나 속도가

x

축에 평행하려면

\frac{dy}{dt}=0

이면서

\frac{dx}{dt}\ne0

이어야 한다.

✓ 바른 풀이

t=1

일 때

\dfrac{dx}{dt}=0

이기도 하므로 속도는

(0,\ 0)

점은 정지한 것이고 어느 축에도 평행하지 않다.

축에 평행한지 판단할 때는 다른 성분이

0

이 아닌지 반드시 확인해요.

자세히 보기펼치기그림

4원 위를 움직이는 점

성질원운동

x=r\cos\omega t

y=r\sin\omega t

(

r>0

\omega>0

)

x^2+y^2=r^2

이므로 점은 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가

r

인 원 위를 움직인다.
속도:

(-r\omega\sin\omega t,\ r\omega\cos\omega t)

속력:

\sqrt{r^2\omega^2(\sin^2\omega t+\cos^2\omega t)}=r\omega

가속도:

(-r\omega^2\cos\omega t,\ -r\omega^2\sin\omega t)

가속도의 크기:

r\omega^2

속력과 가속도의 크기는 시각에 관계없이 일정하다.

학생

원 위를 일정한 빠르기로 도는 점은 가속도가

0

이에요?

쌤

아니요. 속력은 일정하지만 방향이 계속 바뀌어요. 가속도는 항상 원의 중심을 향하고 크기는

r\omega^2

이에요.

x=2\cos 3t

y=2\sin 3t

r=2,\ \omega=3

↳◀원운동

r\omega=2\times3=6

↳◀속력

r\omega^2=2\times3^2=18

↳◀가속도의 크기

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=3\cos2t

y=3\sin2t

인 점의 속력은?

자세히 보기펼치기왜 그런지틀리기 쉬운 곳

왜 그런가? $\sin^2\omega t+\cos^2\omega t=1$ 이므로 근호 안에서 $t$ 가 사라져요.
또 가속도는 $-\omega^2(x,\ y)$ 이므로 항상 원의 중심을 향해요.
속력이 일정해도 방향이 계속 바뀌므로 가속도는 $(0,\ 0)$ 이 아니에요.
움직인 거리는 속도와 거리에서 속력을 적분해 구해요.

⚠ 주의검산

속력

r\omega

와 가속도의 크기

r\omega^2

사이에는

\dfrac{(\text{속력})^2}{(\text{가속도의 크기})}=r

가 성립해요.
위의 예에서

\dfrac{6^2}{18}=2

로 반지름의 길이와 같아요.

5점이 그리는 곡선

$x=f(t)$ , $y=g(t)$ 에서 매개변수 $t$ 를 소거 하면 점 P 가 그리는 곡선의 방정식을 얻어요.

매개변수를 없애는 방법

1
$t$ 를 $x$ 로 나타낼 수 있으면 $y$ 에 대입해요.
예: $x=t+1$ , $y=t^2$ 에서 $t=x-1$ 이므로 $y=(x-1)^2$
2
삼각함수이면 $\cos t$ , $\sin t$ 를 각각 $x$ , $y$ 로 나타낸 뒤 $\sin^2 t+\cos^2 t=1$ 에 넣어요.

x=2\cos t+1

y=2\sin t-3

\cos t=\dfrac{x-1}{2},\quad\sin t=\dfrac{y+3}{2}

\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y+3}{2}\right)^2=1

↳◀

\sin^2 t+\cos^2 t=1

(x-1)^2+(y+3)^2=4

↳◀양변에

4

곱하기

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=3\cos t-1

y=3\sin t

인 점이 그리는 곡선의 방정식은?

양변에 곱하는 수를 확인한다

✗ 틀린 풀이

\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y+3}{2}\right)^2=1

에서

(x-1)^2+(y+3)^2=2

왜 틀렸나

\left(\frac{x-1}{2}\right)^2=\frac{(x-1)^2}{4}

이므로 분모를 없애려면 양변에

4

를 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

양변에

2^2=4

를 곱하면

(x-1)^2+(y+3)^2=4

바른 계산은 양변에

2^2=4

를 곱하는 것이다. 이 곡선은 중심이

(1,\ -3)

, 반지름이

2

인 원이다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1점 P $(x,\ y)$ 의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)$ , 가속도는 $\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)$ 이고, 주어진 시각을 대입하면 순서쌍으로 구해진다.
2속력의 최댓값·최솟값은 속력의 제곱 $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2$ 을 $t$ 의 함수로 보고 구한다.
3 $\dfrac{dx}{dt}=0,\ \dfrac{dy}{dt}\ne0$ 이면 속도는 $y$ 축에 평행하고, $\dfrac{dy}{dt}=0,\ \dfrac{dx}{dt}\ne0$ 이면 $x$ 축에 평행하다. 두 성분이 모두 $0$ 이면 점은 정지한다.
4 $x=r\cos\omega t$ , $y=r\sin\omega t$ 인 원운동에서 속력은 $r\omega$ , 가속도의 크기는 $r\omega^2$ 으로 일정하다.

✗ 자주 하는 실수

$\dfrac{dy}{dt}=0$ 이기만 하면 속도가 $x$ 축에 평행하다고 판단해요. 그 시각에 $\dfrac{dx}{dt}\ne0$ 인지 확인해야 해요(둘 다 $0$ 이면 정지).
속력의 제곱의 최솟값(최댓값)을 그대로 속력의 최솟값(최댓값)으로 써요. 마지막에 양의 제곱근을 취해야 해요.
시각을 먼저 대입한 뒤 미분하여 속도나 가속도를 $(0,\ 0)$ 으로 구해요. 미분을 먼저 하고 시각은 마지막에 대입해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x,\ y)$ 가 $x=e^{t}+t$ , $y=e^{-t}$ 일 때, 시각 $t=0$ 에서 점 P 의 속도와 가속도를 구하시오.
예제 2
좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x,\ y)$ 가 $x=1+2\cos 3t$ , $y=-1+2\sin 3t$ 일 때, 점 P 가 그리는 곡선의 방정식과 점 P 의 속력, 가속도의 크기를 구하시오.
예제 3
좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 $t$ ( $0\le t\le2\pi$ ) 에서의 위치 $(x,\ y)$ 가 $x=t-\sin t$ , $y=1-\cos t$ 일 때, 점 P 의 속력의 최댓값과 점 P 가 정지하는 시각을 구하시오.

다음 공부

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← 속도와 가속도 여러 가지 함수의 적분 →

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