미분은 함수 F ( x ) F(x) F ( x ) 도함수 F ′ ( x ) F'(x) F ′ ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) 정적분 의 계산에 쓰여요.
이전 개념 정의 부정적분
함수 f ( x ) f(x) f ( x ) F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) 부정적분 이라 한다.f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) 적분 한다고 한다. 학생 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) 쌤 아니요. 상수는 미분하면 0 0 0 1 3 x 3 + 1 \dfrac{1}{3}x^3+1 3 1 x 3 + 1 1 3 x 3 − 5 \dfrac{1}{3}x^3-5 3 1 x 3 − 5 x 2 x^2 x 2 + C +C + C f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 ( 1 3 x 3 ) ′ = x 2 \left(\dfrac{1}{3}x^3\right)'=x^2 ( 3 1 x 3 ) ′ = x 2 ( 1 3 x 3 + 5 ) ′ = x 2 \left(\dfrac{1}{3}x^3+5\right)'=x^2 ( 3 1 x 3 + 5 ) ′ = x 2 ↳ ◀ 상수항을 바꿔도
( 1 3 x 3 − 2 ) ′ = x 2 \left(\dfrac{1}{3}x^3-2\right)'=x^2 ( 3 1 x 3 − 2 ) ′ = x 2 ↳ ◀ 도함수는 같아요
상수항은 미분하면
0 0 0 이 되므로, 부정적분은 상수만 다른 것이 무수히 많아요.
성질 부정적분의 표현
F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) G ( x ) G(x) G ( x ) { G ( x ) − F ( x ) } ′ = f ( x ) − f ( x ) = 0 \{G(x)-F(x)\}'=f(x)-f(x)=0 { G ( x ) − F ( x ) } ′ = f ( x ) − f ( x ) = 0 0 0 0 상수함수 이므로 G ( x ) = F ( x ) + C G(x)=F(x)+C G ( x ) = F ( x ) + C f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx=F(x)+C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C C C C 적분상수 라 한다.∫ \displaystyle\int ∫ f ( x ) f(x) f ( x ) x x x 이전 개념 미분
F ( x ) ⟶ F ′ ( x ) = f ( x ) \displaystyle F(x)\ \longrightarrow\ F'(x)=f(x) F ( x ) ⟶ F ′ ( x ) = f ( x ) 함수 하나에서 도함수 하나가 정해진다.
부정적분
f ( x ) ⟶ F ( x ) + C \displaystyle f(x)\ \longrightarrow\ F(x)+C f ( x ) ⟶ F ( x ) + C 상수 차이만큼 무수히 많으므로 + C +C + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ 2 x d x \displaystyle\int 2x\,dx ∫ 2 x d x 적분상수를 빠뜨린 실수
✗ 틀린 풀이
∫ x 2 d x = 1 3 x 3 \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{1}{3}x^3 ∫ x 2 d x = 3 1 x 3 왜 틀렸나 부정적분은 미분하여 같은 함수가 되는 모든 함수를 나타내므로 적분상수 C C C ↓ ✓ 바른 풀이
∫ x 2 d x = 1 3 x 3 + C \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{1}{3}x^3+C ∫ x 2 d x = 3 1 x 3 + C 확인: 1 3 x 3 + 1 \dfrac{1}{3}x^3+1 3 1 x 3 + 1 1 3 x 3 − 5 \dfrac{1}{3}x^3-5 3 1 x 3 − 5 x 2 x^2 x 2 + C +C + C + 펼치기 접기 그림 n n n 0 0 0 ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C \int x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C ∫ x n d x = n + 1 1 x n + 1 + C n = 0 n=0 n = 0 ∫ 1 d x = x + C \displaystyle\int 1\,dx=x+C ∫ 1 d x = x + C k k k ∫ k d x = k x + C \displaystyle\int k\,dx=kx+C ∫ k d x = k x + C 이전 개념 쌤 미분 공식 ( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n (x^{n+1})'=(n+1)x^n ( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n n + 1 n+1 n + 1 x n x^n x n ∫ x □ d x = 1 □ + 1 x □ + 1 + C \displaystyle \int x^{\square}\,dx=\dfrac{1}{\square+1}x^{\square+1}+C ∫ x □ d x = □ + 1 1 x □ + 1 + C 예
∫ x 3 d x = 1 4 x 4 + C \displaystyle \int x^{3}\,dx=\dfrac{1}{4}x^{4}+C ∫ x 3 d x = 4 1 x 4 + C 예
∫ x 4 d x = 1 5 x 5 + C \displaystyle \int x^{4}\,dx=\dfrac{1}{5}x^{5}+C ∫ x 4 d x = 5 1 x 5 + C 상수
∫ 5 d x = 5 x + C \displaystyle \int 5\,dx=5x+C ∫ 5 d x = 5 x + C 5 = 5 x 0 5=5x^0 5 = 5 x 0 □ = 0 \square=0 □ = 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ x 4 d x \displaystyle\int x^4\,dx ∫ x 4 d x 4 x 3 + C 4x^3+C 4 x 3 + C 1 5 x 5 + C \dfrac{1}{5}x^5+C 5 1 x 5 + C x 5 + C x^5+C x 5 + C 지수와 나누는 수를 틀린 실수
✗ 틀린 풀이
∫ x 3 d x = x 4 + C \displaystyle\int x^3\,dx=x^4+C ∫ x 3 d x = x 4 + C 왜 틀렸나 x n x^n x n 1 1 1 n + 1 n+1 n + 1 ↓ ✓ 바른 풀이
∫ x 3 d x = 1 4 x 4 + C \displaystyle\int x^3\,dx=\dfrac{1}{4}x^4+C ∫ x 3 d x = 4 1 x 4 + C 검산: 결과를 미분해서 피적분함수로 돌아오는지 본다.( 1 4 x 4 ) ′ = x 3 \Big(\dfrac{1}{4}x^4\Big)'=x^3 ( 4 1 x 4 ) ′ = x 3 + 펼치기 접기 예제 외우기 카드 왜 그런가
( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n (x^{n+1})'=(n+1)x^n ( x n + 1 ) ′ = ( n + 1 ) x n ↳ ◀ 미분 공식
( 1 n + 1 x n + 1 ) ′ = x n \left(\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right)'=x^n ( n + 1 1 x n + 1 ) ′ = x n 따라서
1 n + 1 x n + 1 \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} n + 1 1 x n + 1 은
x n x^n x n 의 부정적분이에요.
공식 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2 지수를 하나 올리고, 올린 지수로 나눈다.
∫ x n d x = 1 □ x n + 1 + C \int x^n\,dx=\dfrac{1}{\square}x^{n+1}+C ∫ x n d x = □ 1 x n + 1 + C 정답 보기
단계 1 / 2 상수는 x 를 곱한다.
∫ k d x = k □ + C \int k\,dx=k\square+C ∫ k d x = k □ + C 정답 보기
성질 부정적분의 성질
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \displaystyle\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x k k k 0 0 0 ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x \displaystyle\int\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx ∫ { f ( x ) + g ( x )} d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x ∫ { f ( x ) − g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x \displaystyle\int\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx ∫ { f ( x ) − g ( x )} d x = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x k f ( x ) kf(x) k f ( x ) f ( x ) ± g ( x ) f(x)\pm g(x) f ( x ) ± g ( x ) 쌤 아니요. 이 성질은 상수배와 합·차에만 있어요.( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) (x+1)(3x-1) ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) 다항함수를 적분하는 순서
1 2 3 C 1 + C 2 + ⋯ C_1+C_2+\cdots C 1 + C 2 + ⋯ 4 결과를 미분하여 피적분함수가 나오는지 검산해요.
이전 개념 다항함수의 부정적분
∫ ( 6 x 2 − 4 x + 5 ) d x \displaystyle\int(6x^2-4x+5)\,dx ∫ ( 6 x 2 − 4 x + 5 ) d x = 6 × 1 3 x 3 − 4 × 1 2 x 2 + 5 x + C =6\times\dfrac{1}{3}x^3-4\times\dfrac{1}{2}x^2+5x+C = 6 × 3 1 x 3 − 4 × 2 1 x 2 + 5 x + C ↳ ◀ 항마다 적분
= 2 x 3 − 2 x 2 + 5 x + C =2x^3-2x^2+5x+C = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 x + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∫ ( x + 2 ) ( x − 2 ) d x \displaystyle\int(x+2)(x-2)\,dx ∫ ( x + 2 ) ( x − 2 ) d x ( 1 2 x 2 + 2 x ) ( 1 2 x 2 − 2 x ) + C \left(\dfrac{1}{2}x^2+2x\right)\left(\dfrac{1}{2}x^2-2x\right)+C ( 2 1 x 2 + 2 x ) ( 2 1 x 2 − 2 x ) + C 1 3 x 3 − 4 x + C \dfrac{1}{3}x^3-4x+C 3 1 x 3 − 4 x + C 2 x + C 2x+C 2 x + C 곱을 따로 적분한 실수
✗ 틀린 풀이
∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ( 1 2 x 2 + x ) ( 3 2 x 2 − x ) + C \displaystyle\int(x+1)(3x-1)\,dx=\Big(\dfrac{1}{2}x^2+x\Big)\Big(\dfrac{3}{2}x^2-x\Big)+C ∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ( 2 1 x 2 + x ) ( 2 3 x 2 − x ) + C 왜 틀렸나 곱은 따로 적분할 수 없으므로 먼저 전개하여 다항식으로 만든 뒤 항마다 적분한다.
↓ ✓ 바른 풀이
∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ∫ ( 3 x 2 + 2 x − 1 ) d x = x 3 + x 2 − x + C \displaystyle\int(x+1)(3x-1)\,dx=\int(3x^2+2x-1)\,dx=x^3+x^2-x+C ∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ∫ ( 3 x 2 + 2 x − 1 ) d x = x 3 + x 2 − x + C 적분의 성질은 실수배와 합·차에 대해서만 성립한다.( x 3 + x 2 − x ) ′ = 3 x 2 + 2 x − 1 (x^3+x^2-x)'=3x^2+2x-1 ( x 3 + x 2 − x ) ′ = 3 x 2 + 2 x − 1 + 펼치기 접기 예제 응용
∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ∫ ( 3 x 2 + 2 x − 1 ) d x \displaystyle\int(x+1)(3x-1)\,dx=\displaystyle\int(3x^2+2x-1)\,dx ∫ ( x + 1 ) ( 3 x − 1 ) d x = ∫ ( 3 x 2 + 2 x − 1 ) d x ↳ ◀ 곱은 전개
= x 3 + x 2 − x + C =x^3+x^2-x+C = x 3 + x 2 − x + C ∫ ( 2 x − 1 ) 2 d x = ∫ ( 4 x 2 − 4 x + 1 ) d x \displaystyle\int(2x-1)^2\,dx=\displaystyle\int(4x^2-4x+1)\,dx ∫ ( 2 x − 1 ) 2 d x = ∫ ( 4 x 2 − 4 x + 1 ) d x ↳ ◀ 거듭제곱도 전개
= 4 3 x 3 − 2 x 2 + x + C =\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x+C = 3 4 x 3 − 2 x 2 + x + C ∫ ( 3 t 2 − 2 t ) d t = t 3 − t 2 + C \displaystyle\int(3t^2-2t)\,dt=t^3-t^2+C ∫ ( 3 t 2 − 2 t ) d t = t 3 − t 2 + C ∫ x 3 − 1 x − 1 d x = ∫ ( x 2 + x + 1 ) d x \displaystyle\int\dfrac{x^3-1}{x-1}\,dx=\displaystyle\int(x^2+x+1)\,dx ∫ x − 1 x 3 − 1 d x = ∫ ( x 2 + x + 1 ) d x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + x + C =\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2+x+C = 3 1 x 3 + 2 1 x 2 + x + C 적분한 뒤 미분
d d x ∫ f ( x ) d x = f ( x ) \displaystyle \dfrac{d}{dx}\int f(x)\,dx=f(x) d x d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) 적분상수는 미분하면 0 0 0 C C C 미분한 뒤 적분
∫ { d d x f ( x ) } d x = f ( x ) + C \displaystyle \int\Big\{\dfrac{d}{dx}f(x)\Big\}\,dx=f(x)+C ∫ { d x d f ( x ) } d x = f ( x ) + C 쌤 적분한 뒤 미분하면 C C C f ( x ) f(x) f ( x ) C C C f ( x ) = x 2 − 3 x f(x)=x^2-3x f ( x ) = x 2 − 3 x d d x ∫ ( x 2 − 3 x ) d x = x 2 − 3 x \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int(x^2-3x)\,dx=x^2-3x d x d ∫ ( x 2 − 3 x ) d x = x 2 − 3 x ↳ ◀ 적분 → 미분: 그대로
∫ { d d x ( x 2 − 3 x ) } d x = ∫ ( 2 x − 3 ) d x \displaystyle\int\Big\{\dfrac{d}{dx}(x^2-3x)\Big\}\,dx=\displaystyle\int(2x-3)\,dx ∫ { d x d ( x 2 − 3 x ) } d x = ∫ ( 2 x − 3 ) d x ↳ ◀ 미분 → 적분
= x 2 − 3 x + C =x^2-3x+C = x 2 − 3 x + C 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
d d x ∫ ( x 2 + 5 ) d x \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int(x^2+5)\,dx d x d ∫ ( x 2 + 5 ) d x x 2 + 5 + C x^2+5+C x 2 + 5 + C 2 x 2x 2 x x 2 + 5 x^2+5 x 2 + 5 관계식에서 C 를 잘못 붙인 실수
✗ 틀린 풀이
d d x ∫ ( x 3 − 2 x ) d x = x 3 − 2 x + C \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int(x^3-2x)\,dx=x^3-2x+C d x d ∫ ( x 3 − 2 x ) d x = x 3 − 2 x + C 왜 틀렸나 적분한 뒤 미분하면 원래 함수로 돌아오므로 마지막 계산이 미분이면 C C C ↓ ✓ 바른 풀이
d d x ∫ ( x 3 − 2 x ) d x = x 3 − 2 x \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int(x^3-2x)\,dx=x^3-2x d x d ∫ ( x 3 − 2 x ) d x = x 3 − 2 x 기억 요령: 미분 기호가 바깥이면 C C C + C +C + C ∫ { d d x ( x 3 − 2 x ) } d x = x 3 − 2 x + C \displaystyle\int\Big\{\dfrac{d}{dx}(x^3-2x)\Big\}dx=x^3-2x+C ∫ { d x d ( x 3 − 2 x ) } d x = x 3 − 2 x + C f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ( x ) = F ( x ) + C f(x)=F(x)+C f ( x ) = F ( x ) + C C C C
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 1 f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 2 3 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 f'(x)=3x^2-4x+1 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ( x ) = ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = x 3 − 2 x 2 + x + C f(x)=\displaystyle\int(3x^2-4x+1)\,dx=x^3-2x^2+x+C f ( x ) = ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = x 3 − 2 x 2 + x + C f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 2 f(x)=x^3-2x^2+x+2 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 2 학생 함숫값 조건이 없으면 f ( x ) f(x) f ( x ) 쌤 네. C C C f ( x ) f(x) f ( x ) f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ( x ) f(x) f ( x ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
f ′ ( x ) = 2 x f'(x)=2x f ′ ( x ) = 2 x f ( 1 ) = 4 f(1)=4 f ( 1 ) = 4 f ( x ) f(x) f ( x ) x 2 + 4 x^2+4 x 2 + 4 x 2 x^2 x 2 x 2 + 3 x^2+3 x 2 + 3 적분상수를 정하지 않은 실수
✗ 틀린 풀이
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 f'(x)=3x^2-4x+1 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x f(x)=x^3-2x^2+x f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x 왜 틀렸나 주어진 함숫값 f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 C C C f ( x ) f(x) f ( x ) ↓ ✓ 바른 풀이
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + C f(x)=x^3-2x^2+x+C f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + C f ( 0 ) = C = 2 f(0)=C=2 f ( 0 ) = C = 2 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 2 f(x)=x^3-2x^2+x+2 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 2 검산: 구한 f ( x ) f(x) f ( x ) f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 f'(x)=3x^2-4x+1 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 곡선 위의 점 ( x , f ( x ) ) (x,\ f(x)) ( x , f ( x )) 접선의 기울기 가 주어지면 그것이 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
이전 개념 접선의 기울기로 주어진 경우 기울기 2 x − 3 2x-3 2 x − 3 ( 1 , 0 ) (1,\ 0) ( 1 , 0 ) f ′ ( x ) = 2 x − 3 f'(x)=2x-3 f ′ ( x ) = 2 x − 3 ↳ ◀ 접선의 기울기가 곧 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ( x ) = x 2 − 3 x + C f(x)=x^2-3x+C f ( x ) = x 2 − 3 x + C ↳ ◀ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x f(x)=\int f'(x)\,dx f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x f ( 1 ) = 1 − 3 + C = 0 , C = 2 f(1)=1-3+C=0,\ C=2 f ( 1 ) = 1 − 3 + C = 0 , C = 2 ↳ ◀ 점 ( 1 , 0 ) (1,\ 0) ( 1 , 0 ) f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 f(x)=x^2-3x+2 f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 예 부정적분이 주어진 경우
∫ f ( x ) d x = x 3 − 2 x 2 + C \displaystyle\int f(x)\,dx=x^3-2x^2+C ∫ f ( x ) d x = x 3 − 2 x 2 + C x x x f ( x ) = 3 x 2 − 4 x f(x)=3x^2-4x f ( x ) = 3 x 2 − 4 x