수학 개념 노트전체 과목

정적분과 급수의 합

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
구분구적법은 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 구하는 방법이에요. 연속함수 f(x)f(x) 에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x) dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)\,dx 이므로 급수의 합의 극한을 정적분으로 계산할 수 있어요.
  1. 1구분구적법
  2. 2정적분과 급수의 합
  3. 3급수의 합을 정적분으로 나타내기
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1구분구적법

정의구분구적법
도형을 잘게 나누어 직사각형처럼 넓이를 알 수 있는 도형들의 합을 구하고, 나누는 개수를 한없이 늘린 극한값으로 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라 한다.
학생
왜 nn 을 한없이 늘려요?
쌤
직사각형 nn 개의 넓이의 합은 실제 넓이와 조금 달라요. nn 을 늘릴수록 차이가 줄어서, 그 극한값이 정확한 넓이가 돼요.
직사각형의 넓이의 합 SnS_n
Sn=∑k=1n1n(kn)2=1n3∑k=1nk2S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2
=(n+1)(2n+1)6n2=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}
↳∑k2=n(n+1)(2n+1)6\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
S=lim⁡n→∞Sn=13S=\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{3}
↳n→∞n\to\infty
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x3y=x^3 아래에서 구간 [0, 1][0,\ 1] 을 nn 등분할 때, 오른쪽 끝의 함숫값을 높이로 하는 kk 번째 직사각형의 넓이는?
밑변의 길이를 곱한다
✗ 틀린 풀이
Sn=∑k=1n(kn)2S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2
왜 틀렸나 직사각형의 넓이는 (밑변)×\times(높이)이므로 높이에 밑변의 길이 1n\dfrac{1}{n} 을 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
Sn=∑k=1n1n(kn)2S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2
확인: n→∞n\to\infty 이면 Sn→∫01x2 dx=13S_n\to\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\,dx=\dfrac{1}{3} 이 되어야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2공식 더 보기

예를 들어 곡선 y=x2y=x^2 과 xx 축 및 직선 x=1x=1 로 둘러싸인 도형의 넓이 SS 를 구해 봐요.
구간 [0, 1][0,\ 1] 을 nn 등분하면 작은 구간의 길이는 1n\dfrac{1}{n} 이고, 나누는 점은 1n, 2n, ⋯ , nn\dfrac{1}{n},\ \dfrac{2}{n},\ \cdots,\ \dfrac{n}{n} 이에요.
각 작은 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 높이로 하는 직사각형 nn 개를 만들어요.
kk 번째 직사각형의 넓이는 1n×(kn)2\dfrac{1}{n}\times\left(\dfrac{k}{n}\right)^2 이에요.
넓이의 합은 여러 가지 수열의 합 공식으로 구해요.

왼쪽 끝의 높이로 잡으면
Tn=∑k=0n−11n(kn)2=(n−1)(2n−1)6n2T_n=\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2=\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}
Tn<S<SnT_n<S<S_n
↳곡선 아래와 위에서 끼워요
lim⁡n→∞Tn=lim⁡n→∞Sn=13\lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{3}
↳어느 쪽 끝이든 극한값은 같아요
공식구분구적법에 쓰는 자연수의 거듭제곱의 합
∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}
∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2
응용
곡선 y=x2y=x^2 과 xx 축 및 직선 x=2x=2 로 둘러싸인 넓이
Sn=∑k=1n2n(2kn)2S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2}{n}\left(\dfrac{2k}{n}\right)^2
↳밑변 2n\frac{2}{n}, 높이 (2kn)2\left(\frac{2k}{n}\right)^2
=8n3∑k=1nk2=4(n+1)(2n+1)3n2=\dfrac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}
lim⁡n→∞Sn=83\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{8}{3}

2정적분과 급수의 합

성질정적분과 급수의 합
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x) dx\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)\,dx(단, Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}, xk=a+kΔxx_k=a+k\Delta x)
즉 급수의 합의 극한은 정적분으로 계산할 수 있다.
학생
구분구적법과 정적분은 무슨 관계예요?
쌤
같은 값이에요. 급수의 합의 극한을 정적분으로 바꾸면, 힘든 극한 계산 대신 부정적분으로 바로 계산할 수 있어요.
공식자주 쓰는 꼴
기본
lim⁡n→∞∑k=1nf(a+(b−a)kn)b−an=∫abf(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right)\frac{b-a}{n}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}
[0, 1][0,\ 1]
lim⁡n→∞∑k=1n1nf(kn)=∫01f(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx
kn\dfrac{k}{n} 을 xx 로 바꾼다.
[a, a+p][a,\ a+p]
lim⁡n→∞∑k=1npnf(a+pkn)=∫aa+pf(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{p}{n}f\left(a+\frac{pk}{n}\right)=\int_{a}^{a+p}f(x)\,dx
a+pkna+\dfrac{pk}{n} 을 xx 로 바꾼다.
[0, p][0,\ p] 로 옮기기
lim⁡n→∞∑k=1npnf(a+pkn)=∫0pf(a+x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{p}{n}f\left(a+\frac{pk}{n}\right)=\int_{0}^{p}f(a+x)\,dx
pkn\dfrac{pk}{n} 만 xx 로 바꾼 것이다. 두 값은 같다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡n→∞∑k=1n1n⋅kn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{k}{n} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

구분구적법을 일반적인 연속함수로 넓히면 정적분과 같아져요.
f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때 구간을 nn 등분하면
Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}
나누는 점은
xk=a+kΔx (k=0, 1, 2, ⋯ , n)x_k=a+k\Delta x\ (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)
이고 x0=ax_0=a, xn=bx_n=b 이에요.

f(x)≥0f(x)\ge0 이면 이 값은 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이예요.
구분구적법으로 힘들게 구한 극한을 부정적분을 이용하여 바로 계산할 수 있다는 뜻이에요.
예: ∫01x2 dx=[x33]01=13\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{0}^{1}=\frac{1}{3} 은 위에서 구분구적법으로 구한 넓이와 같아요.
같은 생각으로 단면을 쌓아 입체도형의 부피도 구해요.

급수와 정적분 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2kn\dfrac{k}{n} 은 00 에서 11 까지 움직인다.
lim⁡n→∞∑k=1n1nf(kn)=∫□□f(x) dx\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{\square}^{\square}f(x)\,dx
단계 1 / 2Δx=pn\Delta x=\dfrac{p}{n} 이므로 구간의 길이는 pp 이다.
lim⁡n→∞∑k=1npnf(a+pkn)=∫a□f(x) dx\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{p}{n}f\left(a+\frac{pk}{n}\right)=\int_{a}^{\square}f(x)\,dx

3급수의 합을 정적분으로 나타내기

급수의 극한을 정적분으로 바꾸는 순서
  1. 1
    1n\dfrac{1}{n} 또는 pn\dfrac{p}{n} 을 찾아 Δx\Delta x 로 둬요.
    없으면 1n\dfrac{1}{n} 을 묶어 내도록 식을 변형해요. 예: k2n3=1n(kn)2\dfrac{k^2}{n^3}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2
  2. 2
    ff 안의 kn\dfrac{k}{n} 이 들어간 부분을 xx 로 바꾸어 f(x)f(x) 를 정해요.
  3. 3
    k=1k=1 일 때와 k=nk=n 일 때의 xx 의 값으로 적분 구간을 정해요.
    k=1k=1 일 때의 값은 n→∞n\to\infty 에서의 극한값(아래끝)으로 봐요.
  4. 4
    정적분을 계산해요.
    구간의 길이와 Δx\Delta x 의 분자가 같은지 확인해요.
학생
적분 구간은 항상 00 에서 11 까지예요?
쌤
아니요. xx 로 바꾼 식이 움직이는 범위가 적분 구간이에요. 예를 들어 x=1+2knx=1+\dfrac{2k}{n} 이면 11 에서 33 까지예요.
lim⁡n→∞∑k=1n1n(kn)3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^3
Δx=1n,x=kn\Delta x=\dfrac{1}{n},\quad x=\dfrac{k}{n}
↳xx 는 00 에서 11 까지
∫01x3 dx=14\int_{0}^{1}x^3\,dx=\dfrac{1}{4}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡n→∞∑k=1n3n(3kn)2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{n}\left(\frac{3k}{n}\right)^2 의 값은?
적분 구간은 xx 가 움직이는 범위
✗ 틀린 풀이
lim⁡n→∞∑k=1n2n(1+2kn)2=∫01(1+2x)2 dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2=\int_{0}^{1}(1+2x)^2\,dx
왜 틀렸나 적분 구간은 Δx\Delta x 와 맞는 xx 의 범위이므로 Δx=2n\Delta x=\dfrac{2}{n} 이면 구간의 길이도 22 여야 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡n→∞∑k=1n2n(1+2kn)2=∫13x2 dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2=\int_{1}^{3}x^2\,dx
x=knx=\dfrac{k}{n} 으로 바꾸려면 Δx=1n\Delta x=\dfrac{1}{n} 이어야 하는데, 여기서는 Δx=2n\Delta x=\dfrac{2}{n} 이에요.
x=1+2knx=1+\dfrac{2k}{n} 으로 바꾸면 Δx=2n\Delta x=\dfrac{2}{n} 과 구간의 길이 3−1=23-1=2 가 맞아요.
자세히 보기펼치기예제 3왜 그런지틀리기 쉬운 곳
응용
lim⁡n→∞∑k=1n2n(1+2kn)2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2
Δx=2n,x=1+2kn\Delta x=\dfrac{2}{n},\quad x=1+\dfrac{2k}{n}
↳xx 는 11 에서 33 까지
∫13x2 dx=[x33]13=263\int_{1}^{3}x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_{1}^{3}=\dfrac{26}{3}
∫02(1+x)2 dx=263\int_{0}^{2}(1+x)^2\,dx=\dfrac{26}{3}
↳다른 방법: x=2knx=\frac{2k}{n}
응용
lim⁡n→∞∑k=1nk2n3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^3}
k2n3=1n(kn)2\dfrac{k^2}{n^3}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^2
↳1n\frac{1}{n} 을 묶어 내기
∫01x2 dx=13\int_{0}^{1}x^2\,dx=\dfrac{1}{3}
지수함수·삼각함수
lim⁡n→∞∑k=1n1nekn=∫01ex dx=e−1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}e^{\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1}e^x\,dx=e-1
↳x=knx=\frac{k}{n}
lim⁡n→∞∑k=1nπnsin⁡kπn=∫0πsin⁡x dx=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{k\pi}{n}=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2
↳Δx=πn\Delta x=\frac{\pi}{n}, x=kπnx=\frac{k\pi}{n}

kk 가 11 부터 2n2n 까지 움직이면 kn\dfrac{k}{n} 은 00 에서 22 까지 움직여요.
lim⁡n→∞∑k=12n1n(kn)2=∫02x2 dx=83\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2=\int_{0}^{2}x^2\,dx=\frac{8}{3}

⚠ 주의검산
정적분의 구간의 길이 b−ab-a 가 Δx\Delta x 의 분자와 같은지 확인해요.
예: 2n\dfrac{2}{n} 이면 구간의 길이도 22 여야 해요.
nn 에 큰 수를 넣어 급수의 값을 어림해 보는 것도 검산이 돼요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1구분구적법: 도형을 nn 개의 직사각형으로 나누어 넓이의 합 SnS_n 을 구하고 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n 으로 넓이를 구한다.
  2. 2f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 Δx=b−an\Delta x=\dfrac{b-a}{n}, xk=a+kΔxx_k=a+k\Delta x 이면 lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx=∫abf(x) dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)\,dx 이다.
  3. 3특히 lim⁡n→∞∑k=1n1nf(kn)=∫01f(x) dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx 이다.
  4. 4급수의 극한을 정적분으로 바꿀 때는 Δx\Delta x 를 찾고, xkx_k 를 xx 로 바꾸고, 첫 값과 끝 값으로 적분 구간을 정한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 구분구적법에서 높이 (kn)2\left(\dfrac{k}{n}\right)^2 만 더하고 밑변의 길이 1n\dfrac{1}{n} 을 곱하지 않아요.
  • ∑k=1npnf(a+pkn)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{p}{n}f\left(a+\frac{pk}{n}\right) 를 ∫aa+1f(x) dx\displaystyle\int_{a}^{a+1}f(x)\,dx 처럼 구간의 길이를 11 로 잘못 잡아요.
  • kn\dfrac{k}{n} 을 xx 로 바꾸면서 ff 안에 더해진 상수 aa 를 빠뜨려 적분 구간이나 함수를 틀려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    lim⁡n→∞∑k=1n1n(kn)4\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^4 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    lim⁡n→∞∑k=1n3n(2+3kn)2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{n}\left(2+\frac{3k}{n}\right)^2 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    lim⁡n→∞∑k=1nk2+2knn3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2+2kn}{n^3} 의 값을 구하시오.

다음 공부

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