수학 개념 노트전체 과목

지수함수와 로그함수의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a} 이에요. 도함수의 정의와 극한 lim⁡h→0eh−1h=1\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1, lim⁡t→0ln⁡(1+t)t=1\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 로 얻어요.
  1. 1지수함수의 도함수
  2. 2로그함수의 도함수
  3. 3곱의 미분법과 함께 쓰기
  4. 4미분계수 계산
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1지수함수의 도함수

성질지수함수의 도함수
함수 y=exy=e^x 의 도함수는 exe^x 이다.
(ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a (a>0, a≠1)(a>0,\ a\ne1)
a=ea=e 이면 ln⁡e=1\ln e=1 이므로 두 공식은 하나로 이어진다.
학생
왜 밑을 ee 로 쓰는 경우가 많아요?
쌤
exe^x 는 미분해도 자기 자신이 되는 함수라 계산이 가장 간단해요. 밑이 aa 이면 ln⁡a\ln a 가 하나 더 곱해질 뿐이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(5x)′(5^x)' 은?
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
왜 그런가
(ex)′=ex(e^x)'=e^x
(ex)′=lim⁡h→0ex+h−exh(e^x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}
↳도함수의 정의
ex+h−exh=ex×eh−1h\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\times\dfrac{e^h-1}{h}
↳ex+h=exehe^{x+h}=e^x e^h 로 묶기
→ex×1=ex\to e^x\times1=e^x
↳h→0h\to0

h→0h\to0 일 때 eh−1h→1\dfrac{e^h-1}{h}\to1 이에요.
y=exy=e^x 은 미분해도 자기 자신이 되는 함수라서 밑 ee 를 기본으로 써요.

같은 방법
(ax)′(a^x)'
ax+h−axh=ax×ah−1h\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\times\dfrac{a^h-1}{h}
↳axa^x 로 묶기
→axln⁡a\to a^x\ln a
↳ah−1h→ln⁡a\dfrac{a^h-1}{h}\to\ln a

2로그함수의 도함수

성질로그함수의 도함수
함수 y=ln⁡xy=\ln x 의 도함수는 1x\frac{1}{x} 이다.
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a} (a>0, a≠1)(a>0,\ a\ne1)
학생
log⁡ax\log_a x 는 왜 분모에 ln⁡a\ln a 가 붙어요?
쌤
log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a} 로 고치면 1ln⁡a\dfrac{1}{\ln a} 는 상수예요. 그래서 (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x} 에 1ln⁡a\dfrac{1}{\ln a} 가 곱해져요.
공식공식 정리
자연지수
(ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x
미분해도 그대로
지수
(ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^x)'=a^x\ln a
ln⁡a\ln a 를 곱한다
자연로그
(ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
로그
(log⁡ax)′=1xln⁡a\displaystyle (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}
ln⁡a\ln a 를 분모에 붙인다
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(log⁡2x)′(\log_2 x)' 은?
지수함수에 거듭제곱의 미분법을 쓰지 않는다
✗ 틀린 풀이
(3x)′=x⋅3x−1(3^x)'=x\cdot3^{x-1}
왜 틀렸나 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 은 지수가 상수일 때만 쓰고, 지수함수는 (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a 로 미분한다.
✓ 바른 풀이
(3x)′=3xln⁡3(3^x)'=3^x\ln3
기억 요령: 밑이 변수이면 지수를 앞으로 내리고, 지수가 변수이면 자기 자신에 ln⁡a\ln a 를 곱한다.
ln⁡a\ln a 의 자리
✗ 틀린 풀이
(log⁡3x)′=ln⁡3x(\log_3 x)'=\dfrac{\ln3}{x}
왜 틀렸나 log⁡3x=ln⁡xln⁡3\log_3 x=\dfrac{\ln x}{\ln3} 이므로 미분해도 ln⁡3\ln3 은 분모에 그대로 남는다.
✓ 바른 풀이
(log⁡3x)′=1xln⁡3(\log_3 x)'=\dfrac{1}{x\ln3}
기억 요령: 지수함수는 (3x)′=3xln⁡3(3^x)'=3^x\ln3 처럼 ln⁡3\ln3 을 곱하고, 로그함수는 ln⁡3\ln3 으로 나눈다.
⚠ 주의상수의 미분
ln⁡2\ln2, e2e^2 같은 수는 상수이므로 미분하면 00 이에요.
(ln⁡2)′=0(\ln2)'=0, (e2)′=0(e^2)'=0
xx 가 들어 있는지 먼저 확인해요.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지외우기 카드
왜 그런가
(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
ln⁡(x+h)−ln⁡xh=1hln⁡(1+hx)\dfrac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\dfrac{1}{h}\ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)
↳로그의 성질
=1x×ln⁡(1+t)t=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln(1+t)}{t}
↳hx=t\dfrac{h}{x}=t 로 놓아 기본 극한 꼴로
→1x×1=1x\to\dfrac{1}{x}\times1=\dfrac{1}{x}
↳h→0h\to0 이면 t→0t\to0

밑이 aa 인 로그는 밑의 변환으로 log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a} 이에요.
1ln⁡a\dfrac{1}{\ln a} 은 상수이므로
(log⁡ax)′=1ln⁡a×1x=1xln⁡a(\log_a x)'=\dfrac{1}{\ln a}\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln a}
e2xe^{2x}, ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) 처럼 안에 식이 있으면 합성함수의 미분법을 함께 써요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1
(ex)′=□(e^x)'=\square
단계 1 / 2
(ax)′=ax×□(a^x)'=a^x\times\square
단계 1 / 1
(ln⁡x)′=□(\ln x)'=\square
단계 1 / 2
(log⁡ax)′=1x×□(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\times\square}
공식헷갈리는 두 함수
xnx^n 과 axa^x
거듭제곱 함수
(x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2
밑이 변수, 지수가 상수: 지수를 앞으로 내리고 하나 줄인다
지수함수
(3x)′=3xln⁡3\displaystyle (3^x)'=3^x\ln3
밑이 상수, 지수가 변수: 그대로 쓰고 ln⁡\ln 밑을 곱한다

3곱의 미분법과 함께 쓰기

xexxe^x 처럼 곱으로 된 함수는 곱의 미분법에 지수·로그 공식을 넣어 미분해요. 마지막에 공통인수로 묶어 정리해요.

y=xexy=xe^x, y=xln⁡xy=x\ln x
(xex)′=(x)′ex+x(ex)′(xe^x)'=(x)'e^x+x(e^x)'
↳곱의 미분법
=ex+xex=(x+1)ex=e^x+xe^x=(x+1)e^x
↳exe^x 로 묶기
(xln⁡x)′=(x)′ln⁡x+x(ln⁡x)′(x\ln x)'=(x)'\ln x+x(\ln x)'
↳곱의 미분법
=ln⁡x+x×1x=ln⁡x+1=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}=\ln x+1
학생
왜 마지막에 exe^x 로 묶어요?
쌤
exe^x 는 00 이 되지 않아서, 묶어 두면 f′(x)=0f'(x)=0 을 풀거나 값을 넣을 때 편해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(x2ex)′(x^2e^x)' 은?
곱의 미분은 각각 미분해서 곱하는 것이 아니다
✗ 틀린 풀이
(xex)′=(x)′×(ex)′=ex(xe^x)'=(x)'\times(e^x)'=e^x
왜 틀렸나 곱의 미분법은 「앞 미분 ×\times 뒤 ++ 앞 ×\times 뒤 미분」이므로 두 항을 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
(xex)′=ex+xex=(x+1)ex(xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x
검산: x=0x=0 에서 바른 결과는 (0+1)e0=1(0+1)e^0=1 이고, 정의로 구한 lim⁡h→0hehh=1\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{he^h}{h}=1 과 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
미분하는 순서
  1. 1
    식을 더하기·빼기로 이어진 항과, 곱으로 이어진 부분으로 나눠요.
  2. 2
    곱이면 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 를 써요.
    ff, gg 각각에 이번 공식을 써요.
  3. 3
    공통인수로 묶어 정리해요.
    exe^x 은 00 이 되지 않으므로 묶어 두면 값 계산이 쉬워요.
응용
y=x2⋅2xy=x^2\cdot2^x, y=exln⁡xy=e^x\ln x
(x2⋅2x)′=2x⋅2x+x2⋅2xln⁡2(x^2\cdot2^x)'=2x\cdot2^x+x^2\cdot2^x\ln2
=2x(2x+x2ln⁡2)=2^x(2x+x^2\ln2)
↳2x2^x 로 묶기
(exln⁡x)′=exln⁡x+ex×1x(e^x\ln x)'=e^x\ln x+e^x\times\dfrac{1}{x}
=ex(ln⁡x+1x)=e^x\left(\ln x+\dfrac{1}{x}\right)
↳exe^x 로 묶기

4미분계수 계산

f′(a)f'(a) 는 도함수 f′(x)f'(x) 를 먼저 구한 뒤 x=ax=a 를 넣어요.
ln⁡e=1\ln e=1, ln⁡1=0\ln1=0, e0=1e^0=1 을 자주 써요.

f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x 일 때 f′(e)f'(e)
f′(x)=ln⁡x+1f'(x)=\ln x+1
↳먼저 미분
f′(e)=ln⁡e+1=2f'(e)=\ln e+1=2
↳ln⁡e=1\ln e=1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=exln⁡xf(x)=e^x\ln x 일 때 f′(1)f'(1) 은?
자세히 보기펼치기틀리기 쉬운 곳
⚠ 주의검산
xx 에 00 에 가까운 hh 를 넣어 f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 계산기로 구하면 f′(a)f'(a) 에 가까워요.
예: (2x)′(2^x)' 의 x=0x=0 에서의 값은 ln⁡2=0.6931⋯\ln2=0.6931\cdots 이에요.
h=0.001h=0.001 이면 20.001−10.001=0.6933⋯\dfrac{2^{0.001}-1}{0.001}=0.6933\cdots 이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1(ex)′=ex(e^x)'=e^x, (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a
  2. 2(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}
  3. 3밑이 ee 가 아닐 때는 ln⁡a\ln a 가 곱해지거나(지수) 분모에 붙는다(로그).
  4. 4곱의 미분법 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 와 함께 쓴다.
✗ 자주 하는 실수
  • (3x)′(3^x)' 을 x⋅3x−1x\cdot3^{x-1} 로 계산해요. 지수함수는 (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a 이에요.
  • (log⁡3x)′(\log_3 x)' 을 ln⁡3x\dfrac{\ln3}{x} 로 써요. ln⁡3\ln3 은 분모에 있어야 해요.
  • (ln⁡2)′(\ln2)' 을 12\dfrac{1}{2} 로 계산해요. ln⁡2\ln2 는 상수이므로 미분하면 00 이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=3ex−2ln⁡x+x2f(x)=3e^x-2\ln x+x^2 의 도함수를 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=x2exf(x)=x^2e^x 에 대하여 f′(1)f'(1) 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=xlog⁡2xf(x)=x\log_2 x 에 대하여 f′(2)f'(2) 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 함수의 몫의 미분 →
이전 개념: 지수함수와 로그함수의 극한설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 도함수, 대수 로그의 밑 변환, 중3 인수분해미적분Ⅱ 목차
← 지수함수와 로그함수의 극한삼각함수의 덧셈정리 →
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