미분계수 f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) a a a x x x f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
정의 도함수
미분가능한 함수 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 정의역 에 속하는 각 x x x f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) 도함수 라 하고, 기호로 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) y ′ y' y ′ d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y d d x f ( x ) \dfrac{d}{dx}f(x) d x d f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) x x x 미분 한다고 한다. 이전 개념 lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h \displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a ) 하나의 수
lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h \displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) x x x x = a x=a x = a f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) 쌤 미분계수 f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) x x x x = a x=a x = a 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
f ′ ( x ) = 2 x + 3 f'(x)=2x+3 f ′ ( x ) = 2 x + 3 x = 4 x=4 x = 4 + 펼치기 접기 예제 정의로 f ( x ) = x 2 − 3 x f(x)=x^2-3x f ( x ) = x 2 − 3 x f ( x + h ) = ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) = x 2 + 2 x h + h 2 − 3 x − 3 h f(x+h)=(x+h)^2-3(x+h)=x^2+2xh+h^2-3x-3h f ( x + h ) = ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) = x 2 + 2 x h + h 2 − 3 x − 3 h f ( x + h ) − f ( x ) = 2 x h + h 2 − 3 h f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-3h f ( x + h ) − f ( x ) = 2 x h + h 2 − 3 h ↳ ◀ x 2 − 3 x x^2-3x x 2 − 3 x f ( x + h ) − f ( x ) h = 2 x + h − 3 \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h-3 h f ( x + h ) − f ( x ) = 2 x + h − 3 f ′ ( x ) = lim h → 0 ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-3)=2x-3 f ′ ( x ) = lim h → 0 ( 2 x + h − 3 ) = 2 x − 3 f ′ ( 2 ) = 4 − 3 = 1 f'(2)=4-3=1 f ′ ( 2 ) = 4 − 3 = 1 ↳ ◀ 정의로 구한 미분계수와 같아요
( x + h ) n (x+h)^n ( x + h ) n 전개 하면 ( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( h 2 이상이 곱해진 항 ) (x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+(h^2\text{ 이상이 곱해진 항}) ( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( h 2 이상이 곱해진 항 ) h h h h h h h → 0 h\to0 h → 0 0 0 0 n n n ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)'=nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 0 이다. 이전 개념 y ′ = n x n − 1 \displaystyle y'=nx^{n-1} y ′ = n x n − 1 지수를 앞으로 내리고, 지수는 1 1 1 왜? 이유 보기
y ′ = 1 \displaystyle y'=1 y ′ = 1 왜? 이유 보기
y ′ = 0 \displaystyle y'=0 y ′ = 0 상수는 변하지 않으므로 변화율이 0
왜? 이유 보기
쌤 아니요. 공식 ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)'=nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 1 1 1 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
6 x 6 6x^6 6 x 6 x 5 x^5 x 5 6 x 5 6x^5 6 x 5 지수를 줄이지 않은 실수
✗ 틀린 풀이
( x 5 ) ′ = 5 x 5 (x^5)'=5x^5 ( x 5 ) ′ = 5 x 5 ( 7 ) ′ = 7 (7)'=7 ( 7 ) ′ = 7 왜 틀렸나 x n x^n x n n n n 1 1 1 0 0 0 ↓ ✓ 바른 풀이
( x 5 ) ′ = 5 x 4 (x^5)'=5x^4 ( x 5 ) ′ = 5 x 4 ( 7 ) ′ = 0 (7)'=0 ( 7 ) ′ = 0 상수함수의 그래프는 수평선이어서 기울기가 0 0 0 ( x 2 ) ′ = 2 x (x^2)'=2x ( x 2 ) ′ = 2 x + 펼치기 접기 예제 외우기 카드 정의로 확인하기 f ( x + h ) − f ( x ) f(x+h)-f(x) f ( x + h ) − f ( x ) ↳ ◀ y = c y=c y = c y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 ( x + h ) − x = h (x+h)-x=h ( x + h ) − x = h ↳ ◀ y = x y=x y = x y ′ = 1 y'=1 y ′ = 1 ( x + h ) 2 − x 2 = 2 x h + h 2 (x+h)^2-x^2=2xh+h^2 ( x + h ) 2 − x 2 = 2 x h + h 2 ↳ ◀ y = x 2 y=x^2 y = x 2 y ′ = 2 x y'=2x y ′ = 2 x ( x + h ) 3 − x 3 = 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 (x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3 ( x + h ) 3 − x 3 = 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ↳ ◀ y = x 3 y=x^3 y = x 3 y ′ = 3 x 2 y'=3x^2 y ′ = 3 x 2 왼쪽 식을
h h h 로 나누고
h → 0 h\to0 h → 0 으로 보내면 오른쪽 결과가 나와요.
공식 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2 지수를 앞으로, 지수는 하나 줄인다.
( x n ) ′ = □ x n − 1 (x^n)'=\square\, x^{n-1} ( x n ) ′ = □ x n − 1 정답 보기
단계 1 / 2 하나씩 번갈아 미분한다.
{ f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) □ + f ( x ) □ \{f(x)g(x)\}'=f'(x)\square+f(x)\square { f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) □ + f ( x ) □ 정답 보기
단계 1 / 2 괄호 속도 미분해서 곱한다.
[ { f ( x ) } n ] ′ = n { f ( x ) } n − 1 × □ [\{f(x)\}^n]'=n\{f(x)\}^{n-1}\times\square [{ f ( x ) } n ] ′ = n { f ( x ) } n − 1 × □ 정답 보기
성질 미분법 1
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) { c f ( x ) } ′ = c f ′ ( x ) \{cf(x)\}'=cf'(x) { c f ( x ) } ′ = c f ′ ( x ) c c c { f ( x ) + g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) \{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x) { f ( x ) + g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) { f ( x ) − g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) \{f(x)-g(x)\}'=f'(x)-g'(x) { f ( x ) − g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) 극한의 성질 에 의해 상수배와 합·차의 극한은 극한의 상수배와 합·차이다. 이전 개념 다항함수의 미분
y = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 7 y=2x^3-5x^2+3x-7 y = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 7 y ′ = 2 × 3 x 2 − 5 × 2 x + 3 − 0 y'=2\times3x^2-5\times2x+3-0 y ′ = 2 × 3 x 2 − 5 × 2 x + 3 − 0 ↳ ◀ 항마다 미분
= 6 x 2 − 10 x + 3 =6x^2-10x+3 = 6 x 2 − 10 x + 3 쌤 상수함수의 도함수는 0 0 0 2 2 2 − 5 -5 − 5 x n x^n x n 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = 4 x 3 − x 2 + 5 y=4x^3-x^2+5 y = 4 x 3 − x 2 + 5 12 x 2 − 2 x + 5 12x^2-2x+5 12 x 2 − 2 x + 5 12 x 2 − 2 x 12x^2-2x 12 x 2 − 2 x 4 x 2 − 2 x 4x^2-2x 4 x 2 − 2 x 성질 곱의 미분법
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) { f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) { f ( x ) g ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) { f ( x ) g ( x ) k ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) k ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) k ( x ) + f ( x ) g ( x ) k ′ ( x ) \{f(x)g(x)k(x)\}'=f'(x)g(x)k(x)+f(x)g'(x)k(x)+f(x)g(x)k'(x) { f ( x ) g ( x ) k ( x ) } ′ = f ′ ( x ) g ( x ) k ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) k ( x ) + f ( x ) g ( x ) k ′ ( x ) . 이전 개념 y = ( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) y=(2x+1)(x^2-3) y = ( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) f = 2 x + 1 , g = x 2 − 3 f=2x+1,\ g=x^2-3 f = 2 x + 1 , g = x 2 − 3 ↳ ◀ f ′ = 2 , g ′ = 2 x f'=2,\ g'=2x f ′ = 2 , g ′ = 2 x y ′ = 2 ( x 2 − 3 ) + ( 2 x + 1 ) × 2 x y'=2(x^2-3)+(2x+1)\times2x y ′ = 2 ( x 2 − 3 ) + ( 2 x + 1 ) × 2 x ↳ ◀ 곱의 미분법
= 6 x 2 + 2 x − 6 =6x^2+2x-6 = 6 x 2 + 2 x − 6 y = 2 x 3 + x 2 − 6 x − 3 ⇒ y ′ = 6 x 2 + 2 x − 6 y=2x^3+x^2-6x-3\ \Rightarrow\ y'=6x^2+2x-6 y = 2 x 3 + x 2 − 6 x − 3 ⇒ y ′ = 6 x 2 + 2 x − 6 ↳ ◀ 검산: 전개 후 미분
쌤 네. 결과는 같아요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = x ( x 2 + 1 ) y=x(x^2+1) y = x ( x 2 + 1 ) y ′ y' y ′ 2 x 2x 2 x 3 x 2 + 1 3x^2+1 3 x 2 + 1 2 x 2 + 1 2x^2+1 2 x 2 + 1 곱의 미분은 미분의 곱이 아니다
✗ 틀린 풀이
{ ( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) } ′ = 2 × 2 x = 4 x \{(2x+1)(x^2-3)\}'=2\times2x=4x {( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) } ′ = 2 × 2 x = 4 x 왜 틀렸나 곱의 미분법은 「앞 미분 × \times × + + + × \times × ↓ ✓ 바른 풀이
{ ( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) } ′ = 2 ( x 2 − 3 ) + ( 2 x + 1 ) × 2 x = 6 x 2 + 2 x − 6 \{(2x+1)(x^2-3)\}'=2(x^2-3)+(2x+1)\times2x=6x^2+2x-6 {( 2 x + 1 ) ( x 2 − 3 ) } ′ = 2 ( x 2 − 3 ) + ( 2 x + 1 ) × 2 x = 6 x 2 + 2 x − 6 검산: 3 3 3 2 2 2 2 x 3 + x 2 − 6 x − 3 2x^3+x^2-6x-3 2 x 3 + x 2 − 6 x − 3 6 x 2 + 2 x − 6 6x^2+2x-6 6 x 2 + 2 x − 6 + 펼치기 접기 예제 곱의 미분법이 나오는 과정
f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) ↳ ◀ f ( x ) g ( x + h ) f(x)g(x+h) f ( x ) g ( x + h ) = { f ( x + h ) − f ( x ) } g ( x + h ) =\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h) = { f ( x + h ) − f ( x )} g ( x + h ) ↳ ◀ 두 묶음으로
+ f ( x ) { g ( x + h ) − g ( x ) } \quad+f(x)\{g(x+h)-g(x)\} + f ( x ) { g ( x + h ) − g ( x )} → f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) \to f'(x)g(x)+f(x)g'(x) → f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) g g g 는 미분가능하므로 연속이고,
g ( x + h ) → g ( x ) g(x+h)\to g(x) g ( x + h ) → g ( x ) 예요.
성질 { f ( x ) } n \{f(x)\}^n { f ( x ) } n n n n [ { f ( x ) } n ] ′ = n { f ( x ) } n − 1 f ′ ( x ) [\{f(x)\}^n]'=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x) [{ f ( x ) } n ] ′ = n { f ( x ) } n − 1 f ′ ( x ) 합성함수의 미분법 으로 넓혀진다.□ \square □ ( □ n ) ′ = n □ n − 1 × ( □ 의 도함수 ) (\square^n)'=n\square^{n-1}\times(\square\text{ 의 도함수}) ( □ n ) ′ = n □ n − 1 × ( □ 의 도함수 ) 이전 개념 학생 ( 2 x − 1 ) 3 (2x-1)^3 ( 2 x − 1 ) 3 쌤 전개하지 않아도 돼요. 이 공식으로 괄호를 한 덩어리로 보고 미분한 뒤, 괄호 속을 미분한 2 2 2 응용
y = ( 2 x − 1 ) 3 y=(2x-1)^3 y = ( 2 x − 1 ) 3 ↳ ◀ □ = 2 x − 1 , □ ′ = 2 \square=2x-1,\ \square'=2 □ = 2 x − 1 , □ ′ = 2 y ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 × 2 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 y'=3(2x-1)^2\times2=6(2x-1)^2 y ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 × 2 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 y = ( x 2 + 1 ) 2 y=(x^2+1)^2 y = ( x 2 + 1 ) 2 ↳ ◀ □ = x 2 + 1 , □ ′ = 2 x \square=x^2+1,\ \square'=2x □ = x 2 + 1 , □ ′ = 2 x y ′ = 2 ( x 2 + 1 ) × 2 x = 4 x ( x 2 + 1 ) y'=2(x^2+1)\times2x=4x(x^2+1) y ′ = 2 ( x 2 + 1 ) × 2 x = 4 x ( x 2 + 1 ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = ( 3 x + 1 ) 2 y=(3x+1)^2 y = ( 3 x + 1 ) 2 2 ( 3 x + 1 ) 2(3x+1) 2 ( 3 x + 1 ) 3 ( 3 x + 1 ) 2 3(3x+1)^2 3 ( 3 x + 1 ) 2 6 ( 3 x + 1 ) 6(3x+1) 6 ( 3 x + 1 ) 괄호 속 미분을 빠뜨린 실수
✗ 틀린 풀이
{ ( 2 x − 1 ) 3 } ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 \{(2x-1)^3\}'=3(2x-1)^2 {( 2 x − 1 ) 3 } ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 왜 틀렸나 괄호 안이 x x x 2 x − 1 2x-1 2 x − 1 2 2 2 ↓ ✓ 바른 풀이
{ ( 2 x − 1 ) 3 } ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 × 2 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 \{(2x-1)^3\}'=3(2x-1)^2\times2=6(2x-1)^2 {( 2 x − 1 ) 3 } ′ = 3 ( 2 x − 1 ) 2 × 2 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 검산: 전개하면 ( 2 x − 1 ) 3 = 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1 (2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1 ( 2 x − 1 ) 3 = 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1 24 x 2 − 24 x + 6 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 24x^2-24x+6=6(2x-1)^2 24 x 2 − 24 x + 6 = 6 ( 2 x − 1 ) 2 + 펼치기 접기 예제 [ { f ( x ) } 2 ] ′ = f ′ ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ′ ( x ) [\{f(x)\}^2]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x) [{ f ( x ) } 2 ] ′ = f ′ ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ′ ( x ) ↳ ◀ 두 개의 곱
= 2 f ( x ) f ′ ( x ) =2f(x)f'(x) = 2 f ( x ) f ′ ( x ) [ { f ( x ) } 2 × f ( x ) ] ′ = 2 f ( x ) f ′ ( x ) × f ( x ) + { f ( x ) } 2 f ′ ( x ) [\{f(x)\}^2\times f(x)]'=2f(x)f'(x)\times f(x)+\{f(x)\}^2f'(x) [{ f ( x ) } 2 × f ( x ) ] ′ = 2 f ( x ) f ′ ( x ) × f ( x ) + { f ( x ) } 2 f ′ ( x ) ↳ ◀ { f ( x ) } 3 \{f(x)\}^3 { f ( x ) } 3 [ { f ( x ) } 3 ] ′ = 3 { f ( x ) } 2 f ′ ( x ) [\{f(x)\}^3]'=3\{f(x)\}^2f'(x) [{ f ( x ) } 3 ] ′ = 3 { f ( x ) } 2 f ′ ( x ) ↳ ◀ 같은 항끼리 더하기
같은 방법을 되풀이하면 위의 공식을 얻어요.
미분계수 f ′ ( a ) f'(a) f ′ ( a ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) x = a x=a x = a 접선의 기울기 로 바로 쓰여요.
이전 개념 정의 꼴의 극한 f ( x ) = x 3 − x f(x)=x^3-x f ( x ) = x 3 − x f ′ ( x ) = 3 x 2 − 1 , f ′ ( 1 ) = 2 f'(x)=3x^2-1,\ f'(1)=2 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 1 , f ′ ( 1 ) = 2 lim h → 0 f ( 1 + 2 h ) − f ( 1 ) h = 2 f ′ ( 1 ) = 4 \lim_{h\to0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{h}=2f'(1)=4 lim h → 0 h f ( 1 + 2 h ) − f ( 1 ) = 2 f ′ ( 1 ) = 4 쌤 네. 극한을 2 f ′ ( 1 ) 2f'(1) 2 f ′ ( 1 ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) x = 1 x=1 x = 1 조건으로 계수 정하기
1 2 x → a x\to a x → a 0 0 0 0 0 0 f ( a ) = k f(a)=k f ( a ) = k f ′ ( a ) = m f'(a)=m f ′ ( a ) = m 3 f ( x ) = x 3 + a x 2 + b f(x)=x^3+ax^2+b f ( x ) = x 3 + a x 2 + b f ( 1 ) = 3 f(1)=3 f ( 1 ) = 3 f ′ ( 1 ) = 7 f'(1)=7 f ′ ( 1 ) = 7 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x f'(x)=3x^2+2ax f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x ↳ ◀ 먼저 미분
f ′ ( 1 ) = 3 + 2 a = 7 , a = 2 f'(1)=3+2a=7,\ a=2 f ′ ( 1 ) = 3 + 2 a = 7 , a = 2 f ( 1 ) = 1 + a + b = 3 , b = 0 f(1)=1+a+b=3,\ b=0 f ( 1 ) = 1 + a + b = 3 , b = 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 f(x)=x^3-2x^2 f ( x ) = x 3 − 2 x 2 f ′ ( 2 ) f'(2) f ′ ( 2 ) 미분하기 전에 대입한 실수
✗ 틀린 풀이
f ( x ) = x 3 + a x 2 + b f(x)=x^3+ax^2+b f ( x ) = x 3 + a x 2 + b f ′ ( 1 ) = ( 1 + a + b ) ′ = 0 f'(1)=(1+a+b)'=0 f ′ ( 1 ) = ( 1 + a + b ) ′ = 0 왜 틀렸나 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) x = 1 x=1 x = 1 b b b ↓ ✓ 바른 풀이
f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x f'(x)=3x^2+2ax f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x x = 1 x=1 x = 1 f ′ ( 1 ) = 3 + 2 a f'(1)=3+2a f ′ ( 1 ) = 3 + 2 a f ( 1 ) f(1) f ( 1 ) 0 0 0