수학 개념 노트전체 과목

평균변화율과 미분계수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
xx 의 값이 aa 에서 bb 까지 변할 때 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 를 평균변화율이라 하고, Δx→0\Delta x\to0 일 때의 극한값 f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 x=ax=a 에서의 미분계수라 해요. 평균변화율은 할선의 기울기, 미분계수는 접선의 기울기예요.
  1. 1평균변화율
  2. 2미분계수(순간변화율)
  3. 3미분계수의 여러 가지 표현
  4. 4미분계수의 기하적 의미
  5. 5미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1평균변화율

정의증분과 평균변화율
함수 y=f(x)y=f(x) 에서 xx 의 값이 aa 에서 bb 까지 변할 때
xx 의 증분 Δx=b−a\Delta x=b-a
yy 의 증분 Δy=f(b)−f(a)\Delta y=f(b)-f(a)
이고, ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=f(a+Δx)−f(a)Δx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} 를 xx 의 값이 aa 에서 bb 까지 변할 때의 함수 f(x)f(x) 의 평균변화율이라 한다.
성질평균변화율의 기하적 의미
평균변화율 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 두 점 A(a, f(a))\mathrm{A}(a,\ f(a)), B(b, f(b))\mathrm{B}(b,\ f(b)) 를 지나는 직선 AB\mathrm{AB} 의 기울기이다.
곡선 위의 두 점을 지나는 직선을 할선이라 한다.
학생
평균변화율이 44 라는 건 무슨 뜻이에요?
쌤
xx 가 11 에서 33 까지 변하는 동안 xx 가 11 늘 때마다 yy 가 평균 44 만큼 늘었다는 뜻이에요.
실제로는 처음엔 덜, 나중엔 더 늘지만 평균이 44 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x2+xf(x)=x^2+x 에서 xx 의 값이 00 에서 22 까지 변할 때의 평균변화율은?
분자와 분모의 순서를 맞춘다
✗ 틀린 풀이
f(3)−f(1)1−3=8−2=−4\dfrac{f(3)-f(1)}{1-3}=\dfrac{8}{-2}=-4
왜 틀렸나 평균변화율은 분자와 분모 모두 「나중 값 −- 처음 값」의 같은 순서로 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
f(3)−f(1)3−1=82=4\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4
확인: f(3)−f(1)=8>0f(3)-f(1)=8>0 이면 함숫값이 늘어난 것이므로 평균변화율은 양수여야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

b=a+Δxb=a+\Delta x 이므로 두 식은 같은 값을 나타내요.
Δ\Delta 는 「차이」를 뜻하는 기호로, Δx\Delta x 는 Δ\Delta 와 xx 의 곱이 아니에요.

2미분계수(순간변화율)

평균변화율에서 Δx\Delta x 를 00 에 한없이 가까이 하면 「x=ax=a 바로 그 순간의 변화율」을 얻어요(예: 순간 속도).
Δx\Delta x 대신 hh 를 쓰는 경우가 많아요.

정의미분계수
함수 y=f(x)y=f(x) 에 대하여 극한값 f′(a)=lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 가 존재하면 함수 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 미분가능하다고 한다.
이 극한값 f′(a)f'(a) 를 x=ax=a 에서의 순간변화율 또는 미분계수 라 한다.
정의로 미분계수 f′(a)f'(a) 구하기
  1. 1
    f(a+h)f(a+h) 를 계산해요.
    xx 자리에 a+ha+h 를 통째로 넣어요.
  2. 2
    f(a+h)−f(a)f(a+h)-f(a) 를 정리해요(곱셈 공식으로 전개).
    상수항이 지워져 모든 항에 hh 가 곱해져요.
  3. 3
    hh 로 나누어 약분해요.
    h≠0h\ne0 이므로 약분할 수 있어요.
  4. 4
    h→0h\to0 일 때의 극한값을 구해요.
f(x)=x2f(x)=x^2 의 x=1x=1 에서의 미분계수
f(1+h)−f(1)=(1+h)2−1=2h+h2f(1+h)-f(1)=(1+h)^2-1=2h+h^2
↳전개
2h+h2h=2+h\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h
↳hh 로 약분
f′(1)=lim⁡h→0(2+h)=2f'(1)=\lim_{h\to0}(2+h)=2
↳h→0h\to0
학생
hh 로 약분해도 돼요? hh 가 00 으로 가잖아요.
쌤
h→0h\to0 은 hh 가 00 에 가까워질 뿐 00 은 아니라서 약분해도 돼요.
약분한 2+h2+h 에서 hh 를 00 에 가까이 하면 22 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 에 대하여 lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} 의 값은?
f(a+h)f(a+h) 는 통째로 넣는다
✗ 틀린 풀이
f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x 에서 f(2+h)=22−3×2+hf(2+h)=2^2-3\times2+h
왜 틀렸나 f(2+h)f(2+h) 는 xx 가 있는 모든 자리에 2+h2+h 를 괄호째 넣어 계산해야 한다.
✓ 바른 풀이
f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=h2+h−2f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)=h^2+h-2
검산: h=1h=1 을 넣으면 f(3)=9−9=0f(3)=9-9=0 이고 h2+h−2=1+1−2=0h^2+h-2=1+1-2=0 으로 같다.
자세히 보기펼치기예제
응용
f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x 의 x=2x=2 에서의 미분계수
f(2)=4−6=−2f(2)=4-6=-2
f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=h2+h−2f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)=h^2+h-2
↳xx 자리에 2+h2+h
f(2+h)−f(2)=h2+hf(2+h)-f(2)=h^2+h
h2+hh=h+1\dfrac{h^2+h}{h}=h+1
↳h≠0h\ne0 이라 약분
f′(2)=lim⁡h→0(h+1)=1f'(2)=\lim_{h\to0}(h+1)=1
↳h→0h\to0

3미분계수의 여러 가지 표현

공식x=ax=a 에서의 미분계수 f′(a)f'(a)
증분 꼴
lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}
hh 꼴
lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
변하는 양 hh 가 00 으로 간다.
x→ax\to a 꼴
lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
h=x−ah=x-a 로 바꾼 것
틀로 쓰기
lim⁡□→0f(a+□)−f(a)□\displaystyle \lim_{\square\to0}\dfrac{f(a+\square)-f(a)}{\square}
세 자리의 □\square 가 모두 같으면 f′(a)f'(a) 이다.
학생
미분계수 식이 여러 가지인데 다 같은 거예요?
쌤
네. a+h=xa+h=x 로 놓으면 h=x−ah=x-a 이고, h→0h\to0 일 때 x→ax\to a 라서 같은 값이에요.
더한 양과 나누는 양이 같기만 하면 돼요.
f(x)=x3f(x)=x^3 의 x=1x=1 에서의 미분계수
f′(1)=lim⁡x→1x3−1x−1f'(1)=\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}
↳x→ax\to a 꼴
=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)x−1=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}
↳인수분해
=lim⁡x→1(x2+x+1)=3=\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=3
↳약분하고 대입
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x2f(x)=x^2 일 때 lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3\lim_{x\to3}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

x→ax\to a 꼴은 a+h=xa+h=x 로 놓은 거예요.
이때 h=x−ah=x-a 이고, h→0h\to0 일 때 x→ax\to a 이므로 hh 꼴과 같은 값이에요.
분자는 인수분해 공식으로 x−ax-a 를 꺼내 약분해요.

미분계수의 정의 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2더한 양과 나누는 양이 같다.
f′(a)=lim⁡h→0f(a+□)−f(a)□f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+\square)-f(a)}{\square}
단계 1 / 2
f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)□f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{\square}

4미분계수의 기하적 의미

점 A(a, f(a))\mathrm{A}(a,\ f(a)) 를 고정하고 곡선 위의 점 B(a+h, f(a+h))\mathrm{B}(a+h,\ f(a+h)) 를 A\mathrm{A} 쪽으로 움직이면(h→0h\to0) 할선 AB\mathrm{AB} 는 점 A\mathrm{A} 에서 곡선에 접하는 직선(접선)에 한없이 가까워져요.
할선의 기울기 f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 의 극한이 f′(a)f'(a) 이므로 다음이 성립해요.
이 접선의 식은 접선의 방정식에서 구해요.

성질미분계수와 접선
f′(a)f'(a) 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선의 기울기이다.
학생
점 B\mathrm{B} 가 왼쪽에서 다가와도(h<0h<0) 할선이 접선에 가까워져요?
쌤
네. 미분가능하면 오른쪽에서 다가오든 왼쪽에서 다가오든 할선의 기울기가 같은 값 f′(a)f'(a) 로 가까워져요.
그래서 접선이 하나로 정해져요.
공식평균변화율과 미분계수 비교
평균변화율
f(a+h)−f(a)h\displaystyle \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
두 점 사이의 변화율, 할선의 기울기, hh 에 따라 값이 바뀐다.
미분계수
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
한 점에서의 변화율, 접선의 기울기, 하나의 수이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (2, 5)(2,\ 5) 에서의 접선의 기울기가 33 일 때, f′(2)f'(2) 의 값은?

5미분계수의 정의를 이용한 극한값 계산

f′(a)f'(a) 의 값만 알고 f(x)f(x) 의 식을 모를 때에도 극한값을 구할 수 있어요.
주어진 극한을 lim⁡□→0f(a+□)−f(a)□\displaystyle\lim_{\square\to0}\dfrac{f(a+\square)-f(a)}{\square} 꼴로 맞추면 돼요.

정의 꼴로 맞추는 순서
  1. 1
    f(a+□)f(a+\square) 의 □\square 를 확인해요.
    예: f(a+2h)f(a+2h) 이면 □=2h\square=2h
  2. 2
    분모를 □\square 로 만들고, 바꾼 만큼 앞에 곱하거나 나눠요.
  3. 3
    분자에 f(a+□)f(a+\square) 가 두 개이면 f(a)f(a) 를 빼고 더해 두 덩어리로 나눠요.
  4. 4
    각 덩어리를 f′(a)f'(a) 로 바꿔요.
공식자주 쓰는 꼴 (f′(a)f'(a) 가 존재할 때)
더한 양이 2h2h
lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)h=2f′(a)\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}=2f'(a)
2×lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)2h2\times\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{2h}
더한 양이 −h-h
lim⁡h→0f(a−h)−f(a)h=−f′(a)\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}=-f'(a)
−lim⁡h→0f(a−h)−f(a)−h-\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h}
분자에 ff 가 두 개
lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)h=2f′(a)\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=2f'(a)
f(a)f(a) 를 빼고 더하면 f′(a)−(−f′(a))f'(a)-(-f'(a))
분모가 x2−a2x^2-a^2
lim⁡x→af(x)−f(a)x2−a2=f′(a)2a\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x^2-a^2}=\dfrac{f'(a)}{2a}
x2−a2=(x−a)(x+a)x^2-a^2=(x-a)(x+a), a≠0a\ne0
학생
f(a−h)f(a-h) 이면 왜 −f′(a)-f'(a) 예요?
쌤
더한 양이 −h-h 이니 분모도 −h-h 로 맞춰요.
f(a−h)−f(a)h=−f(a−h)−f(a)−h\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}=-\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h} 이므로 극한값은 −f′(a)-f'(a) 예요.
응용
f′(1)=2f'(1)=2 일 때
lim⁡h→0f(1+3h)−f(1)2h\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+3h)-f(1)}{2h}
=32lim⁡h→0f(1+3h)−f(1)3h=\dfrac{3}{2}\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+3h)-f(1)}{3h}
↳분모를 3h3h 로 맞추기
=32f′(1)=3=\dfrac{3}{2}f'(1)=3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f′(2)=5f'(2)=5 일 때 lim⁡h→0f(2+3h)−f(2)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h} 의 값은?
분모를 맞추지 않은 실수
✗ 틀린 풀이
lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)h=f′(a)\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}=f'(a)
왜 틀렸나 미분계수의 정의에서는 aa 에 더한 양과 분모가 같아야 하므로 분모를 2h2h 로 맞춘다.
✓ 바른 풀이
lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)h=2lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)2h=2f′(a)\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}=2\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{2h}=2f'(a)
검산: f(x)=x2f(x)=x^2, a=1a=1 이면 (1+2h)2−1h=4+4h\dfrac{(1+2h)^2-1}{h}=4+4h 이므로 극한값은 44 이고, f′(1)=2f'(1)=2 의 22 배이다.
자세히 보기펼치기예제틀리기 쉬운 곳
분자에 ff 가 두 개인 꼴
lim⁡h→0f(a+3h)−f(a−h)h\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+3h)-f(a-h)}{h}
=lim⁡h→0f(a+3h)−f(a)h=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+3h)-f(a)}{h}
↳f(a)f(a) 를 빼고 더하기
−lim⁡h→0f(a−h)−f(a)h\quad-\lim_{h\to0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{h}
=3lim⁡h→0f(a+3h)−f(a)3h+lim⁡h→0f(a−h)−f(a)−h=3\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+3h)-f(a)}{3h}+\lim_{h\to0}\dfrac{f(a-h)-f(a)}{-h}
↳분모를 3h3h, −h-h 로 맞추기
=3f′(a)+f′(a)=4f′(a)=3f'(a)+f'(a)=4f'(a)
↳각각 정의 꼴
⚠ 주의검산하는 방법
정의 꼴로 맞춘 결과가 맞는지 모를 때는 f(x)=x2f(x)=x^2 처럼 간단한 함수를 넣어 직접 극한값을 구해 비교해요.
예: f(x)=x2f(x)=x^2, a=1a=1 이면 f′(1)=2f'(1)=2 이고
lim⁡h→0(1+h)2−(1−h)2h=lim⁡h→04hh=4\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{(1+h)^2-(1-h)^2}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{4h}{h}=4
따라서 lim⁡h→0f(a+h)−f(a−h)h=2f′(a)\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=2f'(a) 가 맞아요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1평균변화율은 ΔyΔx=f(b)−f(a)b−a=f(a+Δx)−f(a)Δx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} 이고, 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기이다.
  2. 2x=ax=a 에서의 미분계수(순간변화율)는 f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 이다.
  3. 3f′(a)f'(a) 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선의 기울기이다.
  4. 4미분계수의 정의를 쓸 때는 f(a+□)−f(a)f(a+\square)-f(a) 의 □\square 와 분모가 같아야 한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f(a+h)f(a+h) 를 f(a)+hf(a)+h 로 계산하거나, xx 자리에 a+ha+h 를 넣을 때 괄호를 빠뜨려요.
  • lim⁡h→0f(a+2h)−f(a)h\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h} 처럼 더한 양과 분모가 다른데 그대로 f′(a)f'(a) 라고 써요.
  • 평균변화율의 분자와 분모에서 빼는 순서를 다르게 하여 부호가 반대로 나와요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=x2+xf(x)=x^2+x 에서 xx 의 값이 11 에서 33 까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
  2. 예제 2
    미분계수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x 의 x=2x=2 에서의 미분계수를 구하시오.
  3. 예제 3
    미분가능한 함수 f(x)f(x) 에 대하여 f′(2)=3f'(2)=3 일 때, lim⁡h→0f(2+3h)−f(2−h)h\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h} 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 미분가능성과 연속성 →다음 개념: 도함수 →
이전 개념: 함수의 극한값의 계산설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수와 그래프, 중3 다항식의 곱셈, 공통수학1 인수분해 공식미적분Ⅰ 목차
← 최대·최소 정리와 사잇값 정리미분가능성과 연속성 →
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