함수의 뜻과 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

X

의 각 원소에

Y

의 원소가 오직 하나씩 대응하는 대응을 함수

f:X\to Y

라 하고, 정의역·공역·치역과 함숫값, 서로 같은 함수, 함수의 그래프를 다뤄요. 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프는 범위를 나누거나 대칭이동을 이용해 그려요.

1대응과 함수
2정의역·공역·치역
3함숫값 구하기
4서로 같은 함수
5함수의 그래프
6절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (6개 · 핵심 용어 가리기)

1대응과 함수

공집합이 아닌 두 집합 $X,\ Y$ 에서 $X$ 의 원소에 $Y$ 의 원소를 짝 지어 주는 것을 $X$ 에서 $Y$ 로의 대응이라 해요.
$X$ 의 원소 $x$ 에 $Y$ 의 원소 $y$ 가 짝 지어지면 「 $x$ 에 $y$ 가 대응한다」고 하고, 기호로 $x\to y$ 와 같이 나타내요.

정의함수

두 집합

X,\ Y

에 대하여

X

의 각 원소에

Y

의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을

X

에서

Y

로의 함수 라 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.

f:X\to Y

「각 원소에」는

X

의 원소 중 대응하지 않는 것이 하나도 없다는 뜻이다.
「오직 하나씩」은

X

의 한 원소에

Y

의 원소가 두 개 이상 대응하지 않는다는 뜻이다.

학생

모든 대응이 함수예요?

쌤

아니요.

X

의 원소마다 화살표가 꼭 하나씩 나가야 함수예요. 안 나가거나 두 개 나가는 원소가 있으면 함수가 아니에요.

Y

쪽은 남아도 돼요.

$X=\{1,\ 2,\ 3\}$ , $Y=\{4,\ 5,\ 6,\ 7\}$ 일 때 $X$ 에서 $Y$ 로의 네 대응을 화살표로 나타내면 다음과 같아요.

함수인 대응

(가), (나)

X

의 원소마다 화살표가 꼭 하나씩 나가요. (나)처럼

Y

의 한 원소에 화살표가 여러 개 와도 되고, 화살표를 받지 않는

Y

의 원소가 있어도 돼요.

함수가 아닌 대응

(다), (라)

(다)는

1

에서 화살표가 두 개 나가고, (라)는

3

에서 화살표가 하나도 나가지 않아서 함수가 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

X=\{1,\ 2\}

Y=\{a,\ b\}

일 때

X

에서

Y

로의 함수인 것은?

공역에 남는 원소가 있는 경우

✗ 틀린 풀이

(나) 에서

4,\ 6,\ 7

에 대응하는

X

의 원소가 없다.
따라서 함수가 아니다.

왜 틀렸나 함수는

X

의 각 원소에

Y

의 원소가 하나씩 대응하면 되고,

Y

에 남는 원소가 있어도 된다.

✓ 바른 풀이

(나) 에서

X

의 원소

1,\ 2,\ 3

에 각각

5

하나씩 대응한다.
따라서 함수이다.

확인 방법: 화살표가

X

의 모든 원소에서 정확히 하나씩 나가는지만 본다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

함수인지 판별하는 순서

1
$X$ 의 원소를 하나씩 차례로 봐요.
$Y$ 쪽이 아니라 정의역 $X$ 쪽에서 출발해요.
2
대응하는 원소가 없는 $X$ 의 원소가 있으면 함수가 아니에요.
3
$Y$ 의 원소가 두 개 이상 대응하는 $X$ 의 원소가 있으면 함수가 아니에요.
4
모든 원소가 통과하면 함수예요.
$Y$ 에 남는 원소가 있거나, $Y$ 의 한 원소에 여러 원소가 대응하는 것은 상관없어요.

예식으로 주어진 대응

X=\{-1,\ 0,\ 1\}

Y=\{0,\ 1,\ 2\}

일 때 대응

x\to x^2

을 표로 나타내면

\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline x^2 & 1 & 0 & 1 \end{array}

대응하는 값이 모두

Y

의 원소이고 하나씩 대응하므로 함수예요.
대응

x\to x+2

를 표로 나타내면

\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline x+2 & 1 & 2 & 3 \end{array}

1

에 대응하는

3

은

Y

의 원소가 아니에요.
따라서

1

에 대응하는

Y

의 원소가 없으므로 함수가 아니에요.

2정의역·공역·치역

정의정의역과 공역, 함숫값

함수

f:X\to Y

에서 집합

X

를 함수

f

의 정의역, 집합

Y

를 함수

f

의 공역이라 한다.
정의역의 원소

x

에 대응하는

Y

의 원소를

f(x)

로 나타내고,

x

에서의 함숫값이라 한다.
이때 함수를

y=f(x)

와 같이 나타내기도 한다.

정의치역

함숫값 전체의 집합을 함수

f

의 치역이라 한다.

\{f(x)\mid x\in X\}

함숫값은 모두

Y

의 원소이므로 치역은 공역의 부분집합이다.

\{f(x)\mid x\in X\}\subset Y

$X=\{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}$ , $Y=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$ 에서 $f(x)=x^2+1$ 의 함숫값은
$f(-1)=2$ , $f(0)=1$ , $f(1)=2$ , $f(2)=5$ 예요.

f(x)=x^2+1

의 대응

정의역 $X=\{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}$
공역 $Y=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$
치역화살표를 받는 $\{1,\ 2,\ 5\}$ — 두 번 받은 $2$ 도 한 번만 써요.

공역의

0,\ 3,\ 4

는 화살표를 받지 않아요.

학생

공역과 치역은 어떻게 달라요?

쌤

공역은 함숫값이 들어갈 수 있도록 처음에 정한 집합

Y

이고, 치역은 실제로 나온 함숫값만 모은 집합이에요.

f(x)=x^2+1

의 대응에서 공역은

\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}

, 치역은

\{1,\ 2,\ 5\}

예요.

공식정의역·공역·치역 정리

정의역

\displaystyle X

x

의 값으로 넣는 집합

공역

\displaystyle Y

함숫값이 들어갈 수 있도록 처음에 정한 집합

치역

\displaystyle \{f(x)\mid x\in X\}

실제로 나온 함숫값 전체의 집합

관계

\displaystyle \{f(x)\mid x\in X\}\subset Y

치역은 공역과 같을 수도 있고, 공역보다 작을 수도 있다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

X=\{0,\ 1,\ 2\}

Y=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}

일 때 함수

f:X\to Y

f(x)=2x

의 치역은?

공역과 치역

✗ 틀린 풀이

치역

=Y=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}

왜 틀렸나 치역은 공역 전체가 아니라 정의역의 원소에 대응한 함숫값만 실제로 모은 집합이다.

✓ 바른 풀이

치역

=\{1,\ 2,\ 5\}

확인 방법: 정의역의 원소마다 함숫값을 구해 나온 값만 중복 없이 모은다. 치역은 항상 공역의 부분집합이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

정의역과 공역을 따로 말하지 않고 함수를 $y=f(x)$ 로만 나타내면, 정의역은 $f(x)$ 가 정의되는 실수 전체의 집합으로, 공역은 실수 전체의 집합으로 생각해요.
예를 들어 $f(x)=x^2$ 의 정의역은 실수 전체의 집합이에요.
$x^2\ge 0$ 이고, $0$ 이상인 수 $k$ 는 모두 $x=\sqrt{k}$ 의 함숫값이 되므로 치역은 $\{y\mid y\ge 0\}$ 이에요.

3함숫값 구하기

함숫값 $f(\square)$ 는 식 $f(x)$ 의 $x$ 자리에 $\square$ 를 넣어 계산한 값이에요.
$f(x)=x^2-2x$ 는 다음과 같은 틀로 볼 수 있어요. $f(\square)=\square^2-2\times\square$

공식틀

f(\square)=\square^2-2\times\square

에 넣기

\square=-3

\displaystyle f(-3)=(-3)^2-2\times(-3)=15

음수는 괄호째 넣는다.

\square=a+1

\displaystyle f(a+1)=(a+1)^2-2(a+1)=a^2-1

다른 문자를 포함한 식도 괄호째 넣는다.

\square=2x

\displaystyle f(2x)=(2x)^2-2\times 2x=4x^2-4x

x

자리에

2x

를 넣는다.

학생

f(a+1)

처럼 식을 넣을 때도 똑같아요?

쌤

네,

\square

자리에

a+1

을 통째로 넣어요. 음수나 식은 꼭 괄호째 넣어야 부호와 거듭제곱이 틀리지 않아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=x^2+3x

일 때

f(-2)

의 값은?

음수를 넣을 때

✗ 틀린 풀이

f(-3)=-3^2-2\times(-3)=-3

왜 틀렸나

x

에 음수를 넣을 때는 괄호째 넣어야

(-3)^2=9

처럼 부호까지 함께 제곱된다.

✓ 바른 풀이

f(-3)=(-3)^2-2\times(-3)=15

검산:

x=-3

이면

x^2

도

-2x

도 양수이므로

f(-3)

은 양수여야 한다.

식을 넣을 때

✗ 틀린 풀이

f(a+1)=a+1^2-2a+1

왜 틀렸나

x

자리에 식을 넣을 때는

a+1

을 한 덩어리로 보고 괄호째 넣어야 한다.

✓ 바른 풀이

f(a+1)=(a+1)^2-2(a+1)=a^2-1

검산:

a=0

이면

f(1)=1-2=-1

이고,

a^2-1

에

a=0

을 넣어도

-1

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

함숫값을 구하는 순서

1
식 $f(x)$ 의 $x$ 를 모두 $\square$ 로 봐요.
2
$\square$ 자리에 넣을 수나 식을 괄호째 넣어요.
음수나 덩어리 식을 괄호 없이 넣으면 부호와 거듭제곱이 틀려요.
3
거듭제곱, 곱셈, 덧셈과 뺄셈의 순서로 계산해요.

예괄호 안이

x

가 아닌 꼴

모든 실수

x

에 대하여

f(x+1)=3x-2

일 때

f(4)

를 구해요.
괄호 안

x+1

이

4

가 되는

x

를 찾아요.

x+1=4

x=3

이 값을 오른쪽 식에 넣으면

f(4)=3\times 3-2=7

예거꾸로

함숫값이 주어질 때

f(x)=2x+5

에서

f(a)=-1

을 만족시키는

a

를 구해요.

x

자리에

a

를 넣어 방정식을 세워요.

2a+5=-1

a=-3

검산:

x=-3

을 넣으면

f(-3)=2\times(-3)+5=-1

이에요.

4서로 같은 함수

정의서로 같은 함수

두 함수

f,\ g

가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 두 함수

f

와

g

를 서로 같은 함수 라 하고

f=g

로 나타낸다.
① 정의역과 공역이 각각 같다.
② 정의역의 모든 원소

x

에 대하여

f(x)=g(x)

이다.
정의역의 원소 중 하나라도 함숫값이 다르면

f\ne g

이다.

예식이 달라도 같은 함수

정의역과 공역이

X=\{-1,\ 0,\ 1\}

인 두 함수

f(x)=x

g(x)=x^3

의 함숫값을 비교하면

\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline f(x) & -1 & 0 & 1 \\ \hline g(x) & -1 & 0 & 1 \end{array}

모든 원소에서 함숫값이 같으므로

f=g

이에요.

학생

그럼 정의역을 바꾸면

x

와

x^3

은 어떻게 돼요?

쌤

정의역을 실수 전체로 넓히면

f(2)=2

g(2)=8

처럼 함숫값이 달라져 같은 함수가 아니에요. 그래서 같은 함수인지는 정의역까지 함께 봐야 해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

정의역과 공역이

\{0,\ 1\}

일 때

f(x)=x

와 서로 같은 함수는?

식의 모양으로 판단하기

✗ 틀린 풀이

f(x)=x

와

g(x)=x^3

은 식이 다르다.
따라서

f\ne g

왜 틀렸나 두 함수가 같은지는 식의 모양이 아니라 정의역의 모든 원소에서 함숫값이 같은지로 판단한다.

✓ 바른 풀이

정의역

\{-1,\ 0,\ 1\}

의 모든 원소에서 함숫값이 같다.
따라서

f=g

정의역이 실수 전체의 집합이면

f(2)=2,\ g(2)=8

이므로

f\ne g

이다.

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기

예같지 않은 함수

정의역이

X=\{-1,\ 0,\ 1\}

인 두 함수

f(x)=x^2

g(x)=x

의 함숫값을 비교하면

\begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 1 \\ \hline f(x) & 1 & 0 & 1 \\ \hline g(x) & -1 & 0 & 1 \end{array}

f(-1)=1

이고

g(-1)=-1

이에요.
따라서

f\ne g

이에요.

성질같은 식이라도 정의역이 다르면

f(x)=2x

의 정의역이

\{1,\ 2\}

이고

g(x)=2x

의 정의역이

\{1,\ 2,\ 3\}

이면
식은 같지만 정의역이 다르므로

f\ne g

이다.
함수는 정의역·공역·대응 규칙을 모두 갖추어야 정해진다.

5함수의 그래프

정의함수의 그래프

함수

f:X\to Y

에서 정의역의 원소

x

와 그 함숫값

f(x)

의 순서쌍 전체의 집합

\{(x,\ f(x))\mid x\in X\}

를 함수

f

의 그래프 라 한다.
정의역과 공역이 실수의 집합이면 그래프를 좌표평면 위에 나타낼 수 있다.

성질함수의 그래프 판별

함수에서는 정의역의 원소

a

에 대응하는 함숫값이

f(a)

하나뿐이다.
그래서 그래프 위에서

x

좌표가

a

인 점은

(a,\ f(a))

하나뿐이다.
따라서 함수의 그래프는 정의역의 각 원소

a

에 대하여

y

축에 평행한 직선

x=a

와 오직 한 점에서 만난다.
어떤

a

에 대하여 직선

x=a

와 두 점 이상에서 만나면 함수의 그래프가 아니다.
가로선

y=k

로는 일대일함수인지를 판별한다.

x^2+y^2=1

과 직선

x=\frac{1}{2}

세로선 하나가 두 점에서 만나요.

x=\frac{1}{2}

에 대응하는

y

가 두 개라 함수의 그래프가 아니에요.

학생

원은 왜 함수의 그래프가 아니에요?

쌤

직선

x=\frac{1}{2}

이 원과 두 점에서 만나요.

x=\frac{1}{2}

에 대응하는

y

가 두 개라서 함수의 그래프가 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 함수의 그래프가 아닌 것은?

어느 직선으로 판별하는가

✗ 틀린 풀이

y=x^2

의 그래프는 직선

y=1

과 두 점에서 만난다.
따라서 함수의 그래프가 아니다.

왜 틀렸나 함수의 그래프인지는

y

축에 평행한 직선

x=a

와 한 점에서만 만나는지로 판별한다.

✓ 바른 풀이

y=x^2

의 그래프는 모든 직선

x=a

와 한 점에서 만난다.
따라서 함수의 그래프이다.

x

축에 평행한 직선

y=k

는 다음에 배울 일대일함수를 판별할 때 쓴다.

자세히 보기펼치기예제 2그림

예정의역에 따라 달라지는 그래프

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서 정의된 함수

f(x)=2x-1

의 함숫값은

\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 5 \end{array}

그래프는 세 점의 집합이에요.

\{(1,\ 1),\ (2,\ 3),\ (3,\ 5)\}

정의역이 실수 전체의 집합이면 그래프는 직선

y=2x-1

이 돼요.

예직선

x=a

로 판별하기

y=x^2

직선

x=a

와 점

(a,\ a^2)

하나에서 만나므로 함수의 그래프예요.

y=3

직선

x=a

와 점

(a,\ 3)

하나에서 만나므로 함수의 그래프예요.

x^2+y^2=1

직선

x=0

과 두 점

(0,\ 1),\ (0,\ -1)

에서 만나므로 함수의 그래프가 아니에요.

x=y^2

직선

x=1

과 두 점

(1,\ 1),\ (1,\ -1)

에서 만나므로 함수의 그래프가 아니에요.

6절댓값 기호를 포함한 식의 그래프

절댓값 기호가 있는 식은 절댓값 안이 $0$ 이 되는 $x$ 의 값을 경계로 범위를 나누어 절댓값 기호를 없애고 그려요.
$y=|f(x)|$ , $y=f(|x|)$ 꼴은 대칭이동을 이용하면 빠르게 그릴 수 있어요.

성질절댓값 기호를 포함한 식의 그래프

y=|f(x)|

y=f(x)

의 그래프에서

y<0

인 부분을

x

축에 대하여 대칭이동한다.

y=f(|x|)

y=f(x)

의 그래프에서

x\ge0

인 부분만 남기고, 그 부분을

y

축에 대하여 대칭이동한 것을 더한다.

|y|=f(x)

y=f(x)

의 그래프에서

y\ge0

인 부분만 남기고, 그 부분을

x

축에 대하여 대칭이동한 것을 더한다.

|y|=f(|x|)

x\ge0,\ y\ge0

인 부분을

x

축,

y

축, 원점에 대하여 각각 대칭이동한 것을 더한다.

학생

y=|f(x)|

와

y=f(|x|)

는 무엇이 달라요?

쌤

y=|f(x)|

는 함숫값에 절댓값을 씌워서 그래프가

x

축 아래로 내려가지 않아요.

y=f(|x|)

는

x

에 절댓값을 씌워서

x

와

-x

의 함숫값이 같고, 그래프가

y

축에 대하여 대칭이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

함수

y=|x^2-4|

의 그래프와 직선

y=3

의 교점의 개수는?

예범위를 나누어 그리기

y=|x-1|+|x+2|

절댓값 안이

0

이 되는

x=-2

x=1

을 경계로 나눠요.

x<-2

일 때

y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

-2\le x<1

일 때

y=-(x-1)+(x+2)=3

x\ge1

일 때

y=(x-1)+(x+2)=2x+1

그래프는 가운데가 평평한 모양이고, 최솟값은

3

이에요.

자세히 보기펼치기예제그림

예

|x|+|y|=2

의 그래프

x\ge0,\ y\ge0

이면

x+y=2

로 선분이에요.
이 선분을

x

축,

y

축, 원점에 대하여 각각 대칭이동한 것을 더하면 네 꼭짓점이

(\pm2,\ 0)

(0,\ \pm2)

인 정사각형이에요.
둘러싸인 부분의 넓이는

\dfrac{1}{2}\times4\times4=8

|x|+|y|=2

제

1

사분면의 선분

x+y=2

를 네 사분면으로 옮긴 모양이에요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 집합 $X,\ Y$ 에서 $X$ 의 각 원소에 $Y$ 의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수라 하고 $f:X\to Y$ 로 나타낸다.
2 $X$ 를 정의역, $Y$ 를 공역이라 하고, 함숫값 전체의 집합 $\{f(x)\mid x\in X\}$ 를 치역이라 한다. 치역은 공역의 부분집합이다.
3두 함수는 정의역과 공역이 각각 같고, 정의역의 모든 원소에서 함숫값이 같을 때 서로 같다.
4함수의 그래프는 순서쌍 $(x,\ f(x))$ 전체의 집합이고, 정의역의 각 원소 $a$ 에 대하여 직선 $x=a$ 와 오직 한 점에서 만난다.
5절댓값 기호를 포함한 식의 그래프는 절댓값 안이 $0$ 이 되는 값을 경계로 범위를 나누어 그리고, $y=|f(x)|$ , $y=f(|x|)$ 꼴은 대칭이동으로 그린다.

✗ 자주 하는 실수

공역의 원소가 모두 대응받아야 함수라고 생각하거나, 공역의 한 원소에 정의역의 여러 원소가 대응하면 함수가 아니라고 생각해요.
치역과 공역을 같은 것으로 생각하여, 치역을 물을 때 공역을 그대로 답해요.
$f(-3)$ , $f(a+1)$ 처럼 음수나 식을 넣을 때 괄호 없이 넣어 부호나 거듭제곱을 틀려요.
$y=f(|x|)$ 를 그릴 때 $x<0$ 인 부분을 지우지 않고 대칭인 부분을 겹쳐 그려요. $x\ge0$ 인 부분만 남긴 다음 대칭이동해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
두 집합 $X=\{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}$ , $Y=\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $Y$ 로의 대응 $x\to x^2-1$ 이 함수인지 말하고, 함수이면 치역을 구하시오.
예제 2
함수 $f(x)=x^2-3x+1$ 에 대하여 $f(-2)$ 와 $f(a+1)$ 을 구하시오.
예제 3
정의역과 공역이 각각 $X=\{1,\ 2\}$ , 실수 전체의 집합인 두 함수 $f(x)=x^2+1$ , $g(x)=ax+b$ 가 서로 같을 때, 상수 $a,\ b$ 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 여러 가지 함수 →

설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수와 그래프, 중1 좌표평면과 그래프공통수학2 목차

← 절대부등식 여러 가지 함수 →

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