수학 개념 노트전체 과목

미분가능성과 연속성

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 미분가능하면 x=ax=a 에서 연속이에요. 그러나 역은 성립하지 않아서 y=∣x∣y=|x| 처럼 연속이지만 미분가능하지 않은 점이 있어요. 구간별로 정의된 함수가 미분가능하려면 연속이고 좌우의 미분계수가 같아야 해요.
  1. 1미분가능의 뜻
  2. 2미분가능하면 연속이다
  3. 3연속이지만 미분가능하지 않은 점
  4. 4구간별로 정의된 함수의 미분가능성
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1미분가능의 뜻

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 는 극한이므로, 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 같을 때에만 존재해요.

정의미분가능
함수 f(x)f(x) 에 대하여 극한값 lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 가 존재할 때, f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 미분가능 하다고 한다.
즉, 다음 두 극한값이 모두 존재하고 같아야 한다.lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}함수 f(x)f(x) 가 어떤 열린구간에 속하는 모든 xx 에서 미분가능하면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.
학생
h→0+h\to0+, h→0−h\to0- 일 때의 값은 그래프에서 무엇이에요?
쌤
h→0+h\to0+ 는 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 의 오른쪽 할선의 기울기가, h→0−h\to0- 는 왼쪽 할선의 기울기가 다가가는 값이에요.
두 값이 같아야 그 점에서 접선을 하나로 정할 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=3\lim_{h\to0+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=3, lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=−3\lim_{h\to0-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=-3 일 때, x=1x=1 에서 f(x)f(x) 는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

h→0+h\to0+ 일 때의 값은 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 의 오른쪽 할선의 기울기가 가까워지는 값이고, h→0−h\to0- 일 때의 값은 왼쪽 할선의 기울기가 가까워지는 값이에요.
두 값이 같아야 그 점에서 접선을 하나로 정할 수 있어요.

2미분가능하면 연속이다

성질미분가능성과 연속성
함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 미분가능하면 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 연속이다.
학생
미분가능하면 왜 그래프가 끊어질 수 없어요?
쌤
f(a+h)−f(a)=f(a+h)−f(a)h×hf(a+h)-f(a)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h 에서 앞부분은 f′(a)f'(a) 로, hh 는 00 으로 가요.
그래서 f(a+h)f(a+h) 가 f(a)f(a) 에 가까워지므로 연속이에요.
성질대우로 쓰기
「미분가능하면 연속」의 대우는 다음과 같다.
x=ax=a 에서 연속이 아니면 x=ax=a 에서 미분가능하지 않다.
예: f(x)={x+1(x≥0)x(x<0)f(x)=\begin{cases} x+1 & (x\ge0) \\ x & (x<0) \end{cases} 은 x=0x=0 에서 불연속이므로 미분가능하지 않다.
실제로 lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0−h−1h\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0-}\dfrac{h-1}{h} 은 발산한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x=2x=2 에서 불연속인 함수 f(x)f(x) 에 대하여 옳은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지
왜 그런가
  1. 1
    x≠ax\ne a 일 때 f(x)−f(a)=f(x)−f(a)x−a×(x−a)f(x)-f(a)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times(x-a)
    x−ax-a 로 나누고 다시 곱한 거예요.
  2. 2
    lim⁡x→a{f(x)−f(a)}=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a×lim⁡x→a(x−a)\displaystyle\lim_{x\to a}\{f(x)-f(a)\}=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\times\lim_{x\to a}(x-a)
    두 극한이 모두 존재하므로 곱으로 나눌 수 있어요.
  3. 3
    =f′(a)×0=0=f'(a)\times0=0
    미분가능하므로 f′(a)f'(a) 는 하나의 수예요.
  4. 4
    따라서 lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
    연속의 정의 그대로예요.

3연속이지만 미분가능하지 않은 점

그래프가 원점에서 꺾여 있어 원점에서의 접선을 하나로 정할 수 없어요.
이처럼 그래프가 꺾인 점에서는 연속이어도 미분가능하지 않아요.

학생
꺾인 점이 없으면 미분가능하다고 봐도 돼요?
쌤
다항함수는 꺾이는 점이 없어서 모든 실수에서 미분가능해요.
구간별로 정의된 함수나 절댓값이 든 함수는 경계에서 좌우의 미분계수를 직접 계산해서 확인해요.
공식세 성질의 관계
x=a 에서 미분가능 ⇒ x=a 에서 연속 ⇒ lim⁡x→af(x) 가 존재\displaystyle x=a\text{ 에서 미분가능}\ \Rightarrow\ x=a\text{ 에서 연속}\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}f(x)\text{ 가 존재}
화살표의 반대 방향은 성립하지 않는다.
반례
y=∣x∣ (x=0)\displaystyle y=|x|\ (x=0)
연속이지만 미분가능하지 않다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=∣x−3∣f(x)=|x-3| 은 x=3x=3 에서 어떤가?
연속이면 미분가능하다?
✗ 틀린 풀이
y=∣x−2∣y=|x-2| 는 x=2x=2 에서 연속이므로 미분가능하다.
왜 틀렸나 미분가능한지는 절댓값이 있는지가 아니라 좌우의 미분계수를 직접 계산하여 같은지로 판단한다.
✓ 바른 풀이
y=∣x−2∣y=|x-2| 는 x=2x=2 에서 연속이지만 미분가능하지 않다.
f(h)−f(0)h=h∣h∣h=∣h∣\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h|h|}{h}=|h|
h→0+h\to0+, h→0−h\to0- 일 때 모두 00 에 가까워지므로 f′(0)=0f'(0)=0 이다.
절댓값이 있다고 모두 미분가능하지 않은 것은 아니다
✗ 틀린 풀이
f(x)=x∣x∣f(x)=x|x| 는 절댓값이 있으므로 x=0x=0 에서 미분가능하지 않다.
왜 틀렸나 연속은 미분가능하기 위한 필요조건일 뿐이므로 좌우의 미분계수가 같은지 따로 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
f(x)=x∣x∣f(x)=x|x| 는 x=0x=0 에서 미분가능하고 f′(0)=0f'(0)=0 이다.
y=∣x−2∣y=|x-2| 의 그래프는 x=2x=2 에서 뾰족하게 꺾인다.
좌우의 미분계수가 −1-1, 11 로 다르다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기
공식여러 가지 예
∣x−2∣|x-2|, x=2x=2
좌:−1,우:1\displaystyle \text{좌}:-1,\quad\text{우}:1
연속, 미분가능하지 않다
∣x2−1∣|x^2-1|, x=1x=1
좌:−2,우:2\displaystyle \text{좌}:-2,\quad\text{우}:2
연속, 미분가능하지 않다. x=−1x=-1 에서도 마찬가지이다.
x∣x∣x|x|, x=0x=0
좌:0,우:0\displaystyle \text{좌}:0,\quad\text{우}:0
연속, 미분가능하다. h∣h∣h=∣h∣→0\dfrac{h|h|}{h}=|h|\to0
x≥0x\ge0 에서 x+1x+1, x<0x<0 에서 xx
불연속\displaystyle \text{불연속}
미분가능하지 않다

4구간별로 정의된 함수의 미분가능성

f(x)={g(x)(x≥a)k(x)(x<a)f(x)=\begin{cases} g(x) & (x\ge a) \\ k(x) & (x<a) \end{cases} (gg, kk 는 다항함수) 는 x=ax=a 를 뺀 곳에서는 미분가능해요.
경계 x=ax=a 에서는 다음 두 조건을 확인해요.

성질경계 x=ax=a 에서 미분가능할 조건
① 연속이다.
g(a)=k(a)g(a)=k(a)
② 좌우의 미분계수가 같다.
x≥ax\ge a 쪽 식 gg 의 미분계수와 x<ax<a 쪽 식 kk 의 미분계수가 같다.
두 조건 중 하나라도 깨지면 미분가능하지 않다.
미정계수 구하는 순서
  1. 1
    연속 조건: 경계 x=ax=a 를 두 식에 넣어 같다고 놓아요.
  2. 2
    미분계수 조건: 두 식의 x=ax=a 에서의 미분계수를 같다고 놓아요.
  3. 3
    두 식을 연립하여 풀어요.
  4. 4
    구한 값을 넣어 두 조건을 다시 확인해요.
    검산
f(x)={x2+1(x≥1)2x(x<1)f(x)=\begin{cases} x^2+1 & (x\ge1) \\ 2x & (x<1) \end{cases} 의 x=1x=1 에서
12+1=2,2×1=21^2+1=2,\quad 2\times1=2
↳경계값이 같아 연속
x2+1: 2×1×1+0=2x^2+1:\ 2\times1\times1+0=2
↳오른쪽 식, 2pa+q2pa+q
2x: 22x:\ 2
↳왼쪽 식, 직선의 기울기
두 조건을 모두 만족하므로 x=1x=1 에서 미분가능해요.
학생
연속 조건은 왜 먼저 확인해요?
쌤
미분가능하면 연속이므로, 불연속이면 기울기가 같아 보여도 미분가능하지 않아요.
연속이 깨지면 기울기를 비교할 필요 없이 바로 미분가능하지 않다고 판단해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={x2+ax(x<1)3x+b(x≥1)f(x)=\begin{cases} x^2+ax & (x<1) \\ 3x+b & (x\ge1) \end{cases} 가 x=1x=1 에서 미분가능할 때 aa 의 값은?
연속 조건을 빠뜨린 실수
✗ 틀린 풀이
f(x)={x2(x<1)2x+5(x≥1)f(x)=\begin{cases} x^2 & (x<1) \\ 2x+5 & (x\ge1) \end{cases} 은 좌우의 기울기가 모두 22 이므로 x=1x=1 에서 미분가능하다.
왜 틀렸나 미분가능하면 반드시 연속이므로 기울기를 비교하기 전에 그 점에서 연속인지부터 확인한다.
✓ 바른 풀이
x=1x=1 에서 x2x^2 은 11, 2x+52x+5 는 77 이므로 불연속이다. 따라서 미분가능하지 않다.
불연속이면 lim⁡h→0−(1+h)2−7h\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{(1+h)^2-7}{h} 처럼 분자가 00 으로 가지 않아 극한이 발산한다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기예제틀리기 쉬운 곳
성질다항식 조각의 미분계수
직선 y=mx+ny=mx+n 의 미분계수는 어느 점에서나 mm 이다.
이차함수 y=px2+qx+ry=px^2+qx+r 의 x=ax=a 에서의 미분계수는 정의로 구하면 다음과 같다.
{p(a+h)2+q(a+h)+r}−(pa2+qa+r)=(2pa+q)h+ph2\{p(a+h)^2+q(a+h)+r\}-(pa^2+qa+r)=(2pa+q)h+ph^2
따라서 미분계수는 2pa+q2pa+q 이다.
도함수를 이용하면 이 값을 바로 구할 수 있다.
연속일 때, 경계에서 h→0+h\to0+ (또는 h→0−h\to0-)로 구한 미분계수는 그쪽 식의 미분계수와 같다.
응용
미정계수
f(x)={ax2+1(x<1)bx−2(x≥1)f(x)=\begin{cases} ax^2+1 & (x<1) \\ bx-2 & (x\ge1) \end{cases}
↳x=1x=1 에서 미분가능
a+1=b−2a+1=b-2
↳① 연속: x=1x=1 을 두 식에 넣기
2a=b2a=b
↳② 미분계수: 2a×12a\times1 과 bb
a+1=2a−2a+1=2a-2
↳b=2ab=2a 를 넣어요
a=3, b=6a=3,\ b=6
⚠ 주의검산
구한 값을 넣은 함수에서 경계값과 기울기를 다시 확인해요.
a=3, b=6a=3,\ b=6 이면
3x2+13x^2+1 과 6x−26x-2 는 x=1x=1 에서 모두 44
x=1x=1 에서의 미분계수는 모두 66
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1f′(a)f'(a) 가 존재하려면 lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)h\displaystyle\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 와 lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 가 모두 존재하고 같아야 한다.
  2. 2x=ax=a 에서 미분가능하면 x=ax=a 에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다.
  3. 3y=∣x∣y=|x| 는 x=0x=0 에서 연속이지만 그래프가 꺾여 있어 미분가능하지 않다.
  4. 4구간별로 정의된 함수가 경계 x=ax=a 에서 미분가능할 조건은 ① 연속 ② 좌우의 미분계수가 같음, 두 가지이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 연속이면 미분가능하다고 생각해요. y=∣x∣y=|x| 는 x=0x=0 에서 연속이지만 미분가능하지 않아요.
  • 구간별로 정의된 함수에서 좌우의 기울기만 비교하고 연속 조건을 확인하지 않아요.
  • 절댓값 기호가 있으면 무조건 미분가능하지 않다고 판단해요. y=x∣x∣y=x|x| 는 x=0x=0 에서 미분가능해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=∣x−1∣f(x)=|x-1| 의 x=1x=1 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)={x2+1(x≥1)2x(x<1)f(x)=\begin{cases} x^2+1 & (x\ge1) \\ 2x & (x<1) \end{cases} 의 x=1x=1 에서의 미분가능성을 조사하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)={ax2+1(x<1)bx−2(x≥1)f(x)=\begin{cases} ax^2+1 & (x<1) \\ bx-2 & (x\ge1) \end{cases} 이 x=1x=1 에서 미분가능할 때, 상수 aa, bb 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 평균값 정리 →
이전 개념: 평균변화율과 미분계수, 함수의 연속설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건, 중2 연립일차방정식미적분Ⅰ 목차
← 평균변화율과 미분계수도함수 →
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