수학 개념 노트전체 과목

함수의 증가와 감소

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
어떤 구간에서 f′(x)>0f'(x)>0 이면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 증가하고, f′(x)<0f'(x)<0 이면 감소해요. f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 경계로 f′(x)f'(x) 의 부호를 조사하면 증가·감소하는 구간을 구할 수 있어요.
  1. 1함수의 증가와 감소
  2. 2도함수의 부호와 증가·감소
  3. 3증가·감소하는 구간 구하기
  4. 4실수 전체에서 증가(감소)할 조건
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1함수의 증가와 감소

정의증가와 감소
함수 f(x)f(x) 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 x1x_1, x2x_2 에 대하여
x1<x2x_1<x_2 일 때 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) 이면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 증가 한다고 한다.
x1<x2x_1<x_2 일 때 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2) 이면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 감소한다고 한다.
학생
증가·감소는 그래프로 보면 어떻게 알아봐요?
쌤
증가하는 구간에서는 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가요.
감소하는 구간에서는 내려가요.

예를 들어 f(x)=x2f(x)=x^2 은 구간 (−∞, 0](-\infty,\ 0] 에서 감소하고, 구간 [0, ∞)[0,\ \infty) 에서 증가해요.
경계인 x=0x=0 은 두 구간에 모두 넣어도 정의를 만족해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2 이 감소하는 구간은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

예: f(x)=x3f(x)=x^3 이 실수 전체에서 증가함을 정의로 보여요.
「증가한다」는 「아무 두 수 x1<x2x_1<x_2 를 잡아도 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)」라는 뜻이에요.
그래서 특정한 수가 아니라 아무 두 수 x1<x2x_1<x_2 를 잡고, 차 f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1) 이 양수인지 확인해요.

f(x)=x3f(x)=x^3 은 실수 전체에서 증가한다
x1<x2x_1<x_2
↳아무 두 실수를 잡아요
f(x2)−f(x1)=x23−x13f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3
↳차의 부호를 봐요
=(x2−x1)(x22+x1x2+x12)=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)
↳a3−b3a^3-b^3 인수분해
x22+x1x2+x12=(x2+x12)2+34x12x_2^2+x_1x_2+x_1^2=\left(x_2+\dfrac{x_1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x_1^2
↳완전제곱식으로 바꿔요
(x2+x12)2+34x12>0\left(x_2+\dfrac{x_1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x_1^2>0
↳00 이면 x1=x2=0x_1=x_2=0 인데, x1<x2x_1<x_2 라 불가능
x23−x13>0x_2^3-x_1^3>0
↳x2−x1>0x_2-x_1>0 이고 뒤 인수도 양수
f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)
↳정의에 따라 증가

2도함수의 부호와 증가·감소

성질도함수의 부호와 함수의 증가·감소
함수 f(x)f(x) 가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 모든 xx 에 대하여
f′(x)>0f'(x)>0 이면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 증가한다.
f′(x)<0f'(x)<0 이면 f(x)f(x) 는 그 구간에서 감소한다.
학생
f′(x)>0f'(x)>0 이면 왜 증가해요?
쌤
f′(x)f'(x) 는 접선의 기울기예요.
구간 안의 모든 점에서 접선이 오른쪽 위로 올라가면 그래프도 계속 올라가요.

그 이유는 구간 안의 아무 두 수 x1<x2x_1<x_2 에 평균값 정리를 써 보면 알 수 있어요.

공식도함수의 부호와 함수의 모양
증가
f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0
접선의 기울기가 양수 → 그래프가 올라간다.
감소
f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0
접선의 기울기가 음수 → 그래프가 내려간다.
상수함수
f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0
구간의 모든 점에서 기울기가 00
역(증가이면)
f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge0
미분가능한 함수가 증가하면 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이다. >0>0 은 아니다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 는 구간 (−1, 1)(-1,\ 1) 에서 어떤가?
역은 성립하지 않는다
f(x)=x3f(x)=x^3
✗ 틀린 풀이
f(x)=x3f(x)=x^3 은 실수 전체에서 증가하므로 모든 xx 에서 f′(x)>0f'(x)>0 이다.
왜 틀렸나 f′(x)>0f'(x)>0 은 증가하기 위한 충분조건이므로, 증가하는 함수도 f′(x)=0f'(x)=0 인 점을 가질 수 있다.
✓ 바른 풀이
f′(x)=3x2f'(x)=3x^2 이므로 f′(0)=0f'(0)=0 이다.
그래도 f(x)=x3f(x)=x^3 은 실수 전체에서 증가한다.
f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 따로 떨어져 있으면(고립되어 있으면) 그 점을 지나도 증가는 이어진다.
확인: −1<0<1-1<0<1 이고 (−1)3<03<13(-1)^3<0^3<1^3 이다.
성질증가·감소하는 함수의 도함수
미분가능한 함수 f(x)f(x) 가 어떤 열린구간에서
증가하면 그 구간에서 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이다.
감소하면 그 구간에서 f′(x)≤0f'(x)\le0 이다.
이유: 증가하면 평균변화율 f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} 가 항상 양수이므로 그 극한인 f′(x)f'(x) 는 00 이상이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

평균값 정리에 의해 x1x_1 과 x2x_2 사이에 다음을 만족하는 cc 가 있어요.

f′(x)>0f'(x)>0 이면 증가하는 이유
f(x2)−f(x1)=f′(c)(x2−x1)f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)
↳평균값 정리
f′(c)>0f'(c)>0
↳cc 도 그 구간 안이니까
f(x2)−f(x1)>0f(x_2)-f(x_1)>0
↳(양수)×\times(양수)
f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)
↳그래서 증가

같은 방법으로 f′(c)<0f'(c)<0 이면 감소해요.
또 모든 xx 에서 f′(x)=0f'(x)=0 이면 f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2) 이므로 f(x)f(x) 는 그 구간에서 상수함수예요.

3증가·감소하는 구간 구하기

함수의 증가·감소는 f′(x)f'(x) 의 값의 크기가 아니라 부호로 정해져요.
그래서 f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 경계로 구간을 나누고, 구간마다 f′(x)f'(x) 의 부호를 표(증감표)로 정리해요.

증가·감소하는 구간을 구하는 순서
  1. 1
    f′(x)f'(x) 를 구하여 인수분해해요.
    인수분해하면 f′(x)f'(x) 의 부호를 정하기 쉬워요.
  2. 2
    f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구해요.
    이 값들이 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀔 수 있는 경계예요.
  3. 3
    경계로 나뉜 각 구간에서 f′(x)f'(x) 의 부호를 조사하여 표로 정리해요.
    구간 안의 수 하나를 넣어 보면 돼요.
  4. 4
    f′(x)>0f'(x)>0 인 구간은 증가, f′(x)<0f'(x)<0 인 구간은 감소로 답해요.
    경계의 점은 구간에 포함하여 써요.
f(x)=2x3−9x2+12xf(x)=2x^3-9x^2+12x 의 증가·감소
f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)
↳인수분해
x=1, x=2x=1,\ x=2
↳f′(x)=0f'(x)=0 인 경계
증감표
xx⋯\cdots11⋯\cdots22⋯\cdots
f′(x)f'(x)++0−-0++
f(x)f(x)↗55↘44↗
  • x=0x=0f′(0)=12>0f'(0)=12>0
  • x=32x=\frac{3}{2}f′(32)=−32<0f'\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}<0
  • x=3x=3f′(3)=12>0f'(3)=12>0
  • 값f(1)=5f(1)=5, f(2)=4f(2)=4
증가: (−∞, 1](-\infty,\ 1], [2, ∞)[2,\ \infty)
감소: [1, 2][1,\ 2]
학생
f′(x)=0f'(x)=0 인 x=1x=1, x=2x=2 는 증가 구간에 넣어요, 감소 구간에 넣어요?
쌤
둘 다 넣을 수 있어요.
끝점을 넣어도 증가·감소의 정의를 만족해서 증가 (−∞, 1](-\infty,\ 1], 감소 [1, 2][1,\ 2] 처럼 써요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x 가 감소하는 구간은?
f(x)f(x) 의 감소와 f′(x)f'(x) 의 감소를 헷갈리지 않는다
✗ 틀린 풀이
f′(x)=6x2−18x+12f'(x)=6x^2-18x+12 의 그래프는 x≤32x\le\dfrac{3}{2} 에서 내려가므로 f(x)f(x) 는 x≤32x\le\dfrac{3}{2} 에서 감소한다.
왜 틀렸나 f(x)f(x) 의 증가·감소는 f′(x)f'(x) 의 그래프 모양이 아니라 f′(x)f'(x) 의 값의 부호로 정한다.
✓ 바른 풀이
f′(x)<0f'(x)<0 인 범위는 1<x<21<x<2 이다.
따라서 f(x)f(x) 는 구간 [1, 2][1,\ 2] 에서 감소한다.
바른 계산은 f′(x)=6(x−1)(x−2)<0f'(x)=6(x-1)(x-2)<0 을 풀어 1<x<21<x<2 를 얻는 것이다.
확인: x=32x=\dfrac{3}{2} 이면 f′(x)=−32<0f'(x)=-\dfrac{3}{2}<0 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

다항함수의 도함수는 연속이므로(사잇값 정리) f′(x)f'(x) 의 부호는 f′(x)=0f'(x)=0 인 점을 지날 때만 바뀔 수 있어요.
따라서 f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 경계로 구간을 나누어 조사해요.
이 표(증감표)는 극대·극소를 찾을 때도 그대로 써요.

응용
사차함수 f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2
f′(x)=4x3−16x=4x(x+2)(x−2)f'(x)=4x^3-16x=4x(x+2)(x-2)
↳인수분해
x=−2, 0, 2x=-2,\ 0,\ 2
↳f′(x)=0f'(x)=0 인 경계
증감표
xx⋯\cdots−2-2⋯\cdots00⋯\cdots22⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-0++0−-0++
f(x)f(x)↘−16-16↗00↘−16-16↗
  • x=−3x=-3f′(−3)=−60<0f'(-3)=-60<0
  • x=−1x=-1f′(−1)=12>0f'(-1)=12>0
  • x=1x=1f′(1)=−12<0f'(1)=-12<0
  • x=3x=3f′(3)=60>0f'(3)=60>0
증가: [−2, 0][-2,\ 0], [2, ∞)[2,\ \infty)
감소: (−∞, −2](-\infty,\ -2], [0, 2][0,\ 2]
⚠ 주의검산
① 감소하는 구간의 양 끝 값을 비교해요.
예: f(1)=5f(1)=5, f(2)=4f(2)=4 이므로 f(1)>f(2)f(1)>f(2) 이에요.
② 최고차항의 계수를 확인해요.
x3x^3 의 계수가 양수인 삼차함수는 xx 가 아주 클 때 증가해야 해요.
③ f′(x)f'(x) 의 부호는 표의 각 칸마다 수 하나를 넣어 다시 확인해요.

4실수 전체에서 증가(감소)할 조건

성질다항함수가 실수 전체에서 증가할 조건
다항함수 f(x)f(x) 가 실수 전체에서 증가하려면 모든 실수 xx 에 대하여 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이어야 한다.
반대로 모든 실수 xx 에서 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이면 f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 따로 떨어져 있으므로 f(x)f(x) 는 실수 전체에서 증가한다.
감소할 조건은 모든 실수 xx 에서 f′(x)≤0f'(x)\le0 이다.
학생
f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 있어도 증가할 수 있어요?
쌤
네. f(x)=x3f(x)=x^3 은 f′(0)=0f'(0)=0 이지만 실수 전체에서 증가해요.
f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 따로 떨어져 있으면 증가가 끊기지 않아요.
공식삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d 의 조건
실수 전체에서 증가
a>0 이고 D4=b2−3ac≤0\displaystyle a>0 \text{ 이고 } \dfrac{D}{4}=b^2-3ac\le0
f′(x)=3ax2+2bx+c≥0f'(x)=3ax^2+2bx+c\ge0 이 항상 성립
실수 전체에서 감소
a<0 이고 D4=b2−3ac≤0\displaystyle a<0 \text{ 이고 } \dfrac{D}{4}=b^2-3ac\le0
f′(x)≤0f'(x)\le0 이 항상 성립

f′(x)f'(x) 는 이차함수이므로 모든 실수 xx 에서 f′(x)≥0f'(x)\ge0 일 조건은 판별식으로 판단해요.
x2x^2 의 계수 3a3a 가 양수이고 D≤0D\le0 이면 f′(x)f'(x) 의 그래프가 xx 축 아래로 내려가지 않아요.

f(x)=x3+ax2+axf(x)=x^3+ax^2+ax 가 실수 전체에서 증가할 조건
f′(x)=3x2+2ax+a≥0f'(x)=3x^2+2ax+a\ge0
↳모든 실수 xx 에서
D4=a2−3a≤0\dfrac{D}{4}=a^2-3a\le0
↳x2x^2 의 계수 3>03>0 이니 D≤0D\le0
a(a−3)≤0a(a-3)\le0
0≤a≤30\le a\le3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x 가 실수 전체에서 증가할 때 aa 의 값의 범위는?
등호를 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
D4=a2−3a<0\dfrac{D}{4}=a^2-3a<0 이므로 0<a<30<a<3
왜 틀렸나 f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 고립되어 있으면 여전히 증가하므로 f′(x)≥0f'(x)\ge0 의 조건에는 D=0D=0 도 들어간다.
✓ 바른 풀이
D4=a2−3a≤0\dfrac{D}{4}=a^2-3a\le0 이므로 0≤a≤30\le a\le3
a=3a=3 이면 f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge0 이에요.
f′(x)=0f'(x)=0 인 점은 x=−1x=-1 하나뿐이므로 f(x)f(x) 는 실수 전체에서 증가해요.
a=0a=0 이면 f(x)=x3f(x)=x^3 이어서 역시 증가해요.
자세히 보기펼치기그림예제
응용
f(x)=−x3+kx2−12xf(x)=-x^3+kx^2-12x 가 실수 전체에서 감소할 조건
f′(x)=−3x2+2kx−12≤0f'(x)=-3x^2+2kx-12\le0
↳모든 실수 xx 에서
D4=k2−(−3)×(−12)≤0\dfrac{D}{4}=k^2-(-3)\times(-12)\le0
↳x2x^2 의 계수 −3<0-3<0 이니 D≤0D\le0
k2−36≤0k^2-36\le0
−6≤k≤6-6\le k\le6
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1구간에 속하는 임의의 두 수 x1<x2x_1<x_2 에 대하여 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) 이면 증가, f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2) 이면 감소한다.
  2. 2미분가능한 함수는 f′(x)>0f'(x)>0 인 구간에서 증가하고, f′(x)<0f'(x)<0 인 구간에서 감소한다.
  3. 3역은 성립하지 않는다. f(x)=x3f(x)=x^3 은 증가하지만 f′(0)=0f'(0)=0 이다. 증가하는 미분가능한 함수는 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이다.
  4. 4삼차함수 f(x)f(x) 가 실수 전체에서 증가할 조건은 모든 실수 xx 에서 f′(x)≥0f'(x)\ge0, 즉 (x3x^3 의 계수가 양수이고) f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식 D≤0D\le0 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 증가하는 함수는 항상 f′(x)>0f'(x)>0 이라고 생각해요. f(x)=x3f(x)=x^3 처럼 f′(0)=0f'(0)=0 이어도 증가할 수 있어요.
  • 실수 전체에서 증가할 조건을 D<0D<0 으로 써서 D=0D=0 인 경우를 빠뜨려요. 조건은 f′(x)≥0f'(x)\ge0, 즉 D≤0D\le0 이에요.
  • f′(x)f'(x) 의 그래프가 내려가는 구간을 f(x)f(x) 가 감소하는 구간으로 착각해요. f(x)f(x) 의 감소는 f′(x)<0f'(x)<0 인 곳이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=x3−3x2−9x+1f(x)=x^3-3x^2-9x+1 이 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=−x3+3x2+9x−2f(x)=-x^3+3x^2+9x-2 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=x3+ax2+3axf(x)=x^3+ax^2+3ax 가 실수 전체에서 증가하도록 하는 실수 aa 의 값의 범위를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 함수의 극대와 극소 →
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← 평균값 정리함수의 극대와 극소 →
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