정의 전개
다항식의 곱셈은 분배법칙 을 이용하여 괄호를 풀고 동류항을 정리한다.( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d 넓이로 보는 ( a + b ) ( c + d ) (a+b)(c+d) ( a + b ) ( c + d ) 큰 직사각형의 넓이 ( a + b ) ( c + d ) (a+b)(c+d) ( a + b ) ( c + d ) a c + a d + b c + b d ac+ad+bc+bd a c + a d + b c + b d 학생 항이 몇 개 나오는지 미리 알 수 있어요?
쌤 네. 항이 2 2 2 2 2 2 2 × 2 = 4 2\times2=4 2 × 2 = 4 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( x + 2 ) ( x − 3 ) (x+2)(x-3) ( x + 2 ) ( x − 3 ) x 2 − x − 6 x^2-x-6 x 2 − x − 6 x 2 − 6 x^2-6 x 2 − 6 x 2 + x − 6 x^2+x-6 x 2 + x − 6 + 펼치기 접기 그림 항이 3개인 식과 곱하기 ( x + 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) (x+2)(x^2-3x+1) ( x + 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) 2 × 3 = 6 2\times3=6 2 × 3 = 6 x 3 + ( − 3 x 2 + 2 x 2 ) + ( x − 6 x ) + 2 = x 3 − x 2 − 5 x + 2 x^3+(-3x^2+2x^2)+(x-6x)+2=x^3-x^2-5x+2 x 3 + ( − 3 x 2 + 2 x 2 ) + ( x − 6 x ) + 2 = x 3 − x 2 − 5 x + 2 아래 공식은 모두 분배법칙으로 전개한 결과예요. 공식이 생각나지 않으면 분배법칙으로 다시 만들면 돼요.
완전제곱식(합)
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 \displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 완전제곱식(차)
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 \displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 따로 외우지 않아도 된다.( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 b b b − b -b − b 합과 차의 곱
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 \displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 가운데 항 − a b + a b -ab+ab − ab + ab 일차식의 곱
( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b \displaystyle (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab 두 수의 합이 x x x 일차식의 곱(계수)
( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d \displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd ( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d 넓이로 보는 ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 노란 칸 a b ab ab a 2 + 2 a b + b 2 a^2+2ab+b^2 a 2 + 2 ab + b 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( x − 2 ) 2 (x-2)^2 ( x − 2 ) 2 x 2 + 4 x^2+4 x 2 + 4 x 2 − 4 x + 4 x^2-4x+4 x 2 − 4 x + 4 x 2 − 2 x + 4 x^2-2x+4 x 2 − 2 x + 4 합의 세제곱
( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 \displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 계수가 1 , 3 , 3 , 1 1,\ 3,\ 3,\ 1 1 , 3 , 3 , 1 a a a b b b 차의 세제곱
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 \displaystyle (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 부호가 + , − , + , − +,\ -,\ +,\ - + , − , + , − ( a + b ) 3 (a+b)^3 ( a + b ) 3 b b b − b -b − b 세제곱의 합
( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 + b 3 \displaystyle (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 세제곱의 차
( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 − b 3 \displaystyle (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 세 문자의 제곱
( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a \displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 b c + 2 c a 제곱 세 개 + 두 개씩 짝지은 곱의 2배 세 개.
괄호 전체를 세제곱
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 \displaystyle (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 전개하면 항이 4개.
각각 세제곱한 차
a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) \displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ( a − b ) 3 (a-b)^3 ( a − b ) 3 a = 2 , b = 1 a=2,\ b=1 a = 2 , b = 1 ( a − b ) 3 = 1 (a-b)^3=1 ( a − b ) 3 = 1 a 3 − b 3 = 7 a^3-b^3=7 a 3 − b 3 = 7 + 펼치기 접기 공식 더 보기 예제 성질 더 보기 일차식 세 개의 곱
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x 3 + ( a + b + c ) x 2 + ( a b + b c + c a ) x + a b c \displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x 3 + ( a + b + c ) x 2 + ( ab + b c + c a ) x + ab c x 2 x^2 x 2 x x x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 (x+1)(x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 세 문자의 세제곱
( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) = a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c \displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − b c − c a ) = a 3 + b 3 + c 3 − 3 ab c 인수분해에서 거꾸로 자주 쓴다.
사차식
( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 4 + a 2 b 2 + b 4 \displaystyle (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4 ( a 2 + ab + b 2 ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 4 + a 2 b 2 + b 4 ( a 2 + b 2 ) + a b (a^2+b^2)+ab ( a 2 + b 2 ) + ab ( a 2 + b 2 ) − a b (a^2+b^2)-ab ( a 2 + b 2 ) − ab ( a + b ) 3 (a+b)^3 ( a + b ) 3 ( a + b ) 3 = ( a + b ) 2 ( a + b ) (a+b)^3=(a+b)^2(a+b) ( a + b ) 3 = ( a + b ) 2 ( a + b ) ↳ ◀ 제곱 × 한 번 더
= ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a + b ) =(a^2+2ab+b^2)(a+b) = ( a 2 + 2 ab + b 2 ) ( a + b ) ↳ ◀ 완전제곱식
= a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2 a b 2 + a b 2 + b 3 =a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3 = a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2 a b 2 + a b 2 + b 3 ↳ ◀ 분배법칙으로 6개 항
= a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ↳ ◀ 동류항 정리
동류항을 정리하면 계수
1 , 3 , 3 , 1 1,\ 3,\ 3,\ 1 1 , 3 , 3 , 1 이 나와요.
성질 외우는 규칙
계수·차수·부호
계수는 파스칼 삼각형 을 따른다.1 , 2 , 1 1,2,1 1 , 2 , 1 1 , 3 , 3 , 1 1,3,3,1 1 , 3 , 3 , 1 이전 개념 2 2 2 1 , 2 , 1 1,\ 2,\ 1 1 , 2 , 1 ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 3 3 3 1 , 3 , 3 , 1 1,\ 3,\ 3,\ 1 1 , 3 , 3 , 1 ( a + b ) 3 (a+b)^3 ( a + b ) 3 만들기 윗줄 이웃한 두 수의 합 1 + 2 = 3 1+2=3 1 + 2 = 3 공식 외우기 — 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2
( a + b ) 2 = a 2 + □ a b + b 2 (a+b)^2=a^2+\square ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + □ ab + b 2 정답 보기
단계 1 / 2
( a + b ) ( a − b ) = a 2 □ b 2 (a+b)(a-b)=a^2\ \square\ b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 □ b 2 정답 보기
단계 1 / 3 일삼삼일
( a + b ) 3 = a 3 + □ a 2 b + □ a b 2 + b 3 (a+b)^3=a^3+\square a^2b+\square ab^2+b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + □ a 2 b + □ a b 2 + b 3 정답 보기
단계 1 / 2
( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 □ b 3 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3\ \square\ b^3 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 □ b 3 정답 보기
단계 1 / 2
( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 □ b 3 (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3\ \square\ b^3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 □ b 3 정답 보기
단계 1 / 2
( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + □ ( a b + b c + c a ) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+\square(ab+bc+ca) ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + □ ( ab + b c + c a ) 정답 보기
공식의 a a a b b b 3 a 3a 3 a − 2 b -2b − 2 b 2 x 2x 2 x − 1 -1 − 1
( a − b ) 3 (a-b)^3 ( a − b ) 3 − b -b − b ① 공식을 틀로 본다
( □ + △ ) 3 = □ 3 + 3 □ 2 △ + 3 □ △ 2 + △ 3 (\textcolor{#2563eb}{\square} + \textcolor{#ea580c}{\triangle})^{3}=\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} + 3 \textcolor{#2563eb}{\square}^{2} \textcolor{#ea580c}{\triangle} + 3 \textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{2} + \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3} ( □ + △ ) 3 = □ 3 + 3 □ 2 △ + 3 □ △ 2 + △ 3 ②
( a − b ) 3 (a - b)^{3} ( a − b ) 3 에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다
□ = a \textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{a} □ = a △ = − b \textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{- b} △ = − b ③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다
답 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a - b)^{3}=a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 − b -b − b + , − , + , − +,-,+,- + , − , + , − 계수까지 제곱하기
✗ 틀린 풀이
3 ⋅ 3 a 2 ⋅ ( − 2 b ) = − 18 a 2 b 3\cdot 3a^2\cdot(-2b)=-18a^2b 3 ⋅ 3 a 2 ⋅ ( − 2 b ) = − 18 a 2 b 왜 틀렸나 a a a 3 a 3a 3 a ( 3 a ) 2 = 9 a 2 (3a)^2=9a^2 ( 3 a ) 2 = 9 a 2 3 3 3 ↓ ✓ 바른 풀이
3 ( 3 a ) 2 ( − 2 b ) = 3 ⋅ 9 a 2 ⋅ ( − 2 b ) = − 54 a 2 b 3(3a)^2(-2b)=3\cdot 9a^2\cdot(-2b)=-54a^2b 3 ( 3 a ) 2 ( − 2 b ) = 3 ⋅ 9 a 2 ⋅ ( − 2 b ) = − 54 a 2 b 문자에 식을 넣을 때는 먼저 괄호를 씌운 뒤 계산하는 습관을 들인다.
음수의 거듭제곱
✗ 틀린 풀이
( − 2 b ) 3 = 8 b 3 (-2b)^3=8b^3 ( − 2 b ) 3 = 8 b 3 왜 틀렸나 음수를 홀수 번 곱하면 음수이므로 − 2 b -2b − 2 b ( − 2 b ) 3 (-2b)^3 ( − 2 b ) 3 − 8 b 3 -8b^3 − 8 b 3 ↓ ✓ 바른 풀이
( − 2 b ) 3 = − 8 b 3 (-2b)^3=-8b^3 ( − 2 b ) 3 = − 8 b 3 부호를 먼저 정한다. 음수를 짝수 번 곱하면 + + + − - − ( − 2 b ) 2 = 4 b 2 (-2b)^2=4b^2 ( − 2 b ) 2 = 4 b 2 예 제곱 공식에도 똑같이
( 2 x − 3 y ) 2 (2x-3y)^2 ( 2 x − 3 y ) 2 □= 2 x =2x = 2 x = − 3 y =-3y = − 3 y ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( − 3 y ) + ( − 3 y ) 2 = 4 x 2 − 12 x y + 9 y 2 (2x)^2+2(2x)(-3y)+(-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2 ( 2 x ) 2 + 2 ( 2 x ) ( − 3 y ) + ( − 3 y ) 2 = 4 x 2 − 12 x y + 9 y 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( x − 3 y ) 2 (x-3y)^2 ( x − 3 y ) 2 x y xy x y + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 성질 더 보기 공식에 식을 넣는 순서
1 2 □, △ 에 들어갈 것을 먼저 적어요.
빼기는 음수를 더하는 것으로 봐요.
3 4 5 ( 3 a − 2 b ) 3 (3a-2b)^3 ( 3 a − 2 b ) 3 ① 공식을 틀로 본다
( □ + △ ) 3 = □ 3 + 3 □ 2 △ + 3 □ △ 2 + △ 3 (\textcolor{#2563eb}{\square} + \textcolor{#ea580c}{\triangle})^{3}=\textcolor{#2563eb}{\square}^{3} + 3 \textcolor{#2563eb}{\square}^{2} \textcolor{#ea580c}{\triangle} + 3 \textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{2} + \textcolor{#ea580c}{\triangle}^{3} ( □ + △ ) 3 = □ 3 + 3 □ 2 △ + 3 □ △ 2 + △ 3 ②
( 3 a − 2 b ) 3 (3 a - 2 b)^{3} ( 3 a − 2 b ) 3 에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다
□ = 3 a \textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{3 a} □ = 3 a △ = − 2 b \textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{- 2 b} △ = − 2 b ③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다
답 ( 3 a − 2 b ) 3 = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3 (3 a - 2 b)^{3}=27 a^{3} - 54 a^{2} b + 36 a b^{2} - 8 b^{3} ( 3 a − 2 b ) 3 = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3 ✓ 검산:
a = 1 , b = 1 a=1,\ b=1 a = 1 , b = 1 1 1 1 1 1 1 성질 거꾸로 보기
전개된 식에서 틀 찾기
27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3 27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3 3 = 27 a 3 ^3=27a^3 3 = 27 a 3 = 3 a =3a = 3 a 3 = − 8 b 3 ^3=-8b^3 3 = − 8 b 3 = − 2 b =-2b = − 2 b 3 □ 2 △ = 3 ( 3 a ) 2 ( − 2 b ) = − 54 a 2 b 3□^2△=3(3a)^2(-2b)=-54a^2b 3 □ 2 △ = 3 ( 3 a ) 2 ( − 2 b ) = − 54 a 2 b ( 3 a − 2 b ) 3 (3a-2b)^3 ( 3 a − 2 b ) 3 인수분해 공식 이다. 이전 개념 성질 공통부분은 한 문자로 놓는다
( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + x − 3 ) (x^2+x+1)(x^2+x-3) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + x − 3 ) x 2 + x x^2+x x 2 + x x 2 + x = A x^2+x=A x 2 + x = A ( A + 1 ) ( A − 3 ) = A 2 − 2 A − 3 (A+1)(A-3)=A^2-2A-3 ( A + 1 ) ( A − 3 ) = A 2 − 2 A − 3 A = x 2 + x A=x^2+x A = x 2 + x ( x 2 + x ) 2 − 2 ( x 2 + x ) − 3 = x 4 + 2 x 3 − x 2 − 2 x − 3 (x^2+x)^2-2(x^2+x)-3=x^4+2x^3-x^2-2x-3 ( x 2 + x ) 2 − 2 ( x 2 + x ) − 3 = x 4 + 2 x 3 − x 2 − 2 x − 3 성질 특정한 항의 계수만 구할 때는 필요한 곱만
( x 2 + 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) (x^2+2x-1)(3x-2) ( x 2 + 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) x 2 x^2 x 2 x 2 x^2 x 2 x 2 × ( − 2 ) x^2\times(-2) x 2 × ( − 2 ) 2 x × 3 x 2x\times3x 2 x × 3 x x 2 x^2 x 2 − 2 + 6 = 4 -2+6=4 − 2 + 6 = 4 쌤 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( x 2 + 3 x − 1 ) ( 2 x + 5 ) (x^2+3x-1)(2x+5) ( x 2 + 3 x − 1 ) ( 2 x + 5 ) x x x + 펼치기 접기 성질 더 보기 성질 공통부분이 생기도록 짝짓는다
( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) 1 + 4 = 2 + 3 1+4=2+3 1 + 4 = 2 + 3 ( x + 1 ) ( x + 4 ) = x 2 + 5 x + 4 (x+1)(x+4)=x^2+5x+4 ( x + 1 ) ( x + 4 ) = x 2 + 5 x + 4 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 5 x + 6 (x+2)(x+3)=x^2+5x+6 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 5 x + 6 x 2 + 5 x x^2+5x x 2 + 5 x a a a b b b a + b a+b a + b a b ab ab 근과 계수의 관계 와 함께 자주 써요.
이전 개념 제곱의 합
a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b \displaystyle a^2+b^2=(a+b)^2-2ab a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 ab 차의 제곱
( a − b ) 2 = ( a + b ) 2 − 4 a b \displaystyle (a-b)^2=(a+b)^2-4ab ( a − b ) 2 = ( a + b ) 2 − 4 ab ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 a b (a-b)^2=a^2+b^2-2ab ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 ab a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b a^2+b^2=(a+b)^2-2ab a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 ab − 2 a b -2ab − 2 ab − 4 a b -4ab − 4 ab 세제곱의 합
a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) \displaystyle a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 ab ( a + b ) ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b ) (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=a^3+b^3+3ab(a+b) ( a + b ) 3 = a 3 + b 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 = a 3 + b 3 + 3 ab ( a + b ) 3 a b ( a + b ) 3ab(a+b) 3 ab ( a + b ) 세제곱의 차
a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 a b ( a − b ) \displaystyle a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b) a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 ab ( a − b ) 역수와의 합
x 2 + 1 x 2 = ( x + 1 x ) 2 − 2 \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 x 2 + x 2 1 = ( x + x 1 ) 2 − 2 x ⋅ 1 x = 1 x\cdot\frac1x=1 x ⋅ x 1 = 1 2 a b 2ab 2 ab 2 2 2 역수와의 차
x 2 + 1 x 2 = ( x − 1 x ) 2 + 2 \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2 x 2 + x 2 1 = ( x − x 1 ) 2 + 2 역수와의 세제곱
x 3 + 1 x 3 = ( x + 1 x ) 3 − 3 ( x + 1 x ) \displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right) x 3 + x 3 1 = ( x + x 1 ) 3 − 3 ( x + x 1 ) a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 ab ( a + b ) a b = x ⋅ 1 x = 1 ab=x\cdot\frac1x=1 ab = x ⋅ x 1 = 1 세 문자의 제곱의 합
a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) 2 − 2 ( a b + b c + c a ) \displaystyle a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) 2 − 2 ( ab + b c + c a ) 제곱의 합 꼴
a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a = 1 2 { ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 } \displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} a 2 + b 2 + c 2 − ab − b c − c a = 2 1 {( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 } 오른쪽을 전개해 보면 확인된다. 세 제곱이 모두 0 0 0 0 0 0 왜 이렇게 되나요? ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − a^2+b^2=(a+b)^2- a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b 2ab 2 ab
a + b = 3 , a b = 1 a+b=3,\ ab=1 a + b = 3 , ab = 1 a 2 + b 2 = 3 2 − 2 ⋅ 1 = 7 a^2+b^2=3^2-2\cdot1=7 a 2 + b 2 = 3 2 − 2 ⋅ 1 = 7 ↳ ◀ ( a + b ) 2 − 2 a b (a+b)^2-2ab ( a + b ) 2 − 2 ab a 3 + b 3 = 3 3 − 3 ⋅ 1 ⋅ 3 = 18 a^3+b^3=3^3-3\cdot1\cdot3=18 a 3 + b 3 = 3 3 − 3 ⋅ 1 ⋅ 3 = 18 ↳ ◀ ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) (a+b)^3-3ab(a+b) ( a + b ) 3 − 3 ab ( a + b ) x 2 + 1 x 2 = 3 2 − 2 = 7 x^2+\tfrac{1}{x^2}=3^2-2=7 x 2 + x 2 1 = 3 2 − 2 = 7 ↳ ◀ x + 1 x = 3 x+\frac1x=3 x + x 1 = 3 x 3 + 1 x 3 = 3 3 − 3 ⋅ 3 = 18 x^3+\tfrac{1}{x^3}=3^3-3\cdot3=18 x 3 + x 3 1 = 3 3 − 3 ⋅ 3 = 18 x x x 와
1 x \frac1x x 1 의 곱은
1 1 1 이므로
a , b a,\ b a , b 자리에 넣고
a b = 1 ab=1 ab = 1 로 계산해요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
a + b = 4 , a b = 3 a+b=4,\ ab=3 a + b = 4 , ab = 3 a 2 + b 2 a^2+b^2 a 2 + b 2 곱셈공식에서 가장 많이 틀리는 것은 가운데 항 2 a b 2ab 2 ab
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( 3 x + 1 ) 2 (3x+1)^2 ( 3 x + 1 ) 2 3 x 2 + 6 x + 1 3x^2+6x+1 3 x 2 + 6 x + 1 9 x 2 + 1 9x^2+1 9 x 2 + 1 9 x 2 + 6 x + 1 9x^2+6x+1 9 x 2 + 6 x + 1 ✗ 틀린 풀이
( a + b ) 2 = a 2 + b 2 (a+b)^2=a^2+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 왜 틀렸나 ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) (a+b)^2=(a+b)(a+b) ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) a b ab ab 2 a b 2ab 2 ab ↓ ✓ 바른 풀이
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 확인: a = 1 , b = 1 a=1,\ b=1 a = 1 , b = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 4 (1+1)^2=4 ( 1 + 1 ) 2 = 4 1 + 2 + 1 = 4 1+2+1=4 1 + 2 + 1 = 4 ✗ 틀린 풀이
( 2 x + 3 ) 2 = 2 x 2 + 12 x + 9 (2x+3)^2=2x^2+12x+9 ( 2 x + 3 ) 2 = 2 x 2 + 12 x + 9 왜 틀렸나 ( 2 x ) 2 (2x)^2 ( 2 x ) 2 2 2 2 4 x 2 4x^2 4 x 2 ↓ ✓ 바른 풀이
( 2 x + 3 ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9 (2x+3)^2=4x^2+12x+9 ( 2 x + 3 ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9 확인: x = 1 x=1 x = 1 ( 2 + 3 ) 2 = 25 (2+3)^2=25 ( 2 + 3 ) 2 = 25 4 + 12 + 9 = 25 4+12+9=25 4 + 12 + 9 = 25