수학 개념 노트전체 과목

함수의 극한값의 계산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
두 함수가 수렴하면 합·차·곱·몫·상수배의 극한은 각 극한값으로 계산해요. 00\dfrac{0}{0} 꼴은 인수분해·유리화로 약분하고, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴은 분모의 최고차항으로 나누며, ∞−∞\infty-\infty 꼴은 유리화·통분해요. 극한값이 주어지면 미정계수를 정할 수 있고, 대소 관계로 극한값을 구할 수도 있어요.
  1. 1함수의 극한에 대한 성질
  2. 200\dfrac{0}{0} 꼴의 극한
  3. 3∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴의 극한
  4. 4∞−∞\infty-\infty 꼴의 극한
  5. 5극한값이 주어질 때 미정계수 구하기
  6. 6함수의 극한의 대소 관계
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1함수의 극한에 대한 성질

공식lim⁡x→af(x)=α\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, lim⁡x→ag(x)=β\lim_{x\to a}g(x)=\beta (α\alpha, β\beta 는 실수)일 때
상수배
lim⁡x→acf(x)=cα\displaystyle \lim_{x\to a}cf(x)=c\alpha
cc 는 상수
합
lim⁡x→a{f(x)+g(x)}=α+β\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta
차
lim⁡x→a{f(x)−g(x)}=α−β\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta
곱
lim⁡x→af(x)g(x)=αβ\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta
몫
lim⁡x→af(x)g(x)=αβ\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}
단, β≠0\beta\ne0

이 성질은 x→a+x\to a+, x→a−x\to a-, x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty 일 때도 똑같이 성립해요.
두 함수가 모두 수렴 할 때만 쓸 수 있다는 점에 주의해요.

학생
몫의 성질은 아무 때나 써도 돼요?
쌤
분모의 극한 β\beta 가 00 이 아닐 때만 써요.
β=0\beta=0 이면 αβ\dfrac{\alpha}{\beta} 를 계산할 수 없으니 식을 바꿔서 구해요.
성질다항함수의 극한
lim⁡x→ax=a\lim_{x\to a}x=a 이고 상수의 극한은 그 상수이다.
곱의 성질을 되풀이하면 lim⁡x→axn=an\lim_{x\to a}x^n=a^n 이다.
여기에 상수배와 합의 성질을 쓰면, 다항함수 f(x)f(x) 에 대하여lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)예: lim⁡x→2(x2−3x+5)=4−6+5=3\lim_{x\to 2}(x^2-3x+5)=4-6+5=3
분모의 극한이 00 이 아닌 유리함수도 몫의 성질로 대입하여 구한다.
예: lim⁡x→1x+3x2+1=42=2\lim_{x\to 1}\dfrac{x+3}{x^2+1}=\dfrac{4}{2}=2
성질을 이용한 계산
lim⁡x→af(x)=2\lim_{x\to a}f(x)=2, lim⁡x→ag(x)=−1\lim_{x\to a}g(x)=-1
lim⁡x→a{3f(x)+g(x)}=3×2+(−1)=5\lim_{x\to a}\{3f(x)+g(x)\}=3\times2+(-1)=5
↳상수배와 합
lim⁡x→af(x)g(x)=2×(−1)=−2\lim_{x\to a}f(x)g(x)=2\times(-1)=-2
↳곱
lim⁡x→af(x)g(x)=2−1=−2\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{2}{-1}=-2
↳몫
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→af(x)=3\lim_{x\to a}f(x)=3, lim⁡x→ag(x)=−2\lim_{x\to a}g(x)=-2 일 때 lim⁡x→a{2f(x)−g(x)}\lim_{x\to a}\{2f(x)-g(x)\} 의 값은?
⚠ 주의각각 수렴할 때만 나눌 수 있다
f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}, g(x)=−1xg(x)=-\dfrac{1}{x} 이면 x→0+x\to0+ 일 때 두 함수는 모두 발산해요.
그러나 f(x)+g(x)=0f(x)+g(x)=0 이므로 lim⁡x→0+{f(x)+g(x)}=0\lim_{x\to0+}\{f(x)+g(x)\}=0 이에요.
즉 lim⁡{f(x)+g(x)}\lim\{f(x)+g(x)\} 가 존재해도 lim⁡f(x)\lim f(x), lim⁡g(x)\lim g(x) 가 각각 존재한다고 할 수 없어요.

200\dfrac{0}{0} 꼴의 극한

x=ax=a 를 넣었을 때 분자와 분모가 모두 00 이 되는 꼴을 00\dfrac{0}{0} 꼴이라 해요.
다항식이면 분자·분모를 인수분해 하여 공통인수 x−ax-a 를 찾고, 근호가 있으면 유리화해요.

학생
x−ax-a 로 약분해도 돼요? x=ax=a 이면 00 으로 나누는 거잖아요.
쌤
x→ax\to a 는 xx 가 aa 에 가까워질 뿐 x≠ax\ne a 라서 x−a≠0x-a\ne0 이에요.
그래서 약분해도 돼요.
00\dfrac{0}{0} 꼴 극한 구하기
  1. 1
    x=ax=a 를 넣어 00\dfrac{0}{0} 꼴인지 확인해요.
  2. 2
    다항식이면 분자·분모를 인수분해해요.
    근호가 있으면 근호가 있는 쪽을 유리화해요.
  3. 3
    공통인수 x−ax-a 로 약분해요.
    x≠ax\ne a 이므로 약분할 수 있어요.
  4. 4
    남은 식에 x=ax=a 를 넣어요.
인수분해하여 약분
lim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}
↳00\frac{0}{0} 꼴
=lim⁡x→2(x+2)(x−2)x−2=\lim_{x\to 2}\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}
↳인수분해
=lim⁡x→2(x+2)=4=\lim_{x\to 2}(x+2)=4
↳약분하고 대입
분자를 유리화
lim⁡x→0x+4−2x\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}
↳00\frac{0}{0} 꼴
=lim⁡x→0(x+4)−4x(x+4+2)=\lim_{x\to 0}\dfrac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}
↳위아래에 x+4+2\sqrt{x+4}+2 곱하기
=lim⁡x→01x+4+2=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}
↳xx 로 약분
=14=\dfrac{1}{4}
↳대입
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→3x2−2x−3x−3\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-2x-3}{x-3} 의 값은?
00\dfrac{0}{0} 은 값이 아니다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→2x2−4x−2=00=1\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{0}{0}=1
왜 틀렸나 00\dfrac{0}{0} 꼴이면 분자를 인수분해하여 x−2x-2 를 약분한 뒤 극한을 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4
검산: x=2.01x=2.01 을 넣으면 0.04010.01=4.01\dfrac{0.0401}{0.01}=4.01 로 44 에 가깝다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

분자와 분모에 x=ax=a 를 넣으면 모두 00 이 되는 꼴이에요.
몫의 성질은 분모의 극한이 00 이면 쓸 수 없으므로, 식을 바꾸어 분모가 00 이 되게 하는 인수를 없애요.
이 꼴은 미분계수를 구할 때도 계속 나와요.

분자가 삼차식인 경우
lim⁡x→1x3−1x2−1\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}
↳00\frac{0}{0} 꼴
=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}
↳인수분해
=lim⁡x→1x2+x+1x+1=32=\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{3}{2}
↳약분하고 대입
분모를 유리화
lim⁡x→3x−3x+1−2\lim_{x\to 3}\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}
↳00\frac{0}{0} 꼴
=lim⁡x→3(x−3)(x+1+2)(x+1)−4=\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1)-4}
↳위아래에 x+1+2\sqrt{x+1}+2 곱하기
=lim⁡x→3(x+1+2)=4=\lim_{x\to 3}(\sqrt{x+1}+2)=4
↳x−3x-3 으로 약분하고 대입

3∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴의 극한

성질00 으로 가는 식
nn 이 자연수, cc 가 상수이면lim⁡x→∞cxn=0\lim_{x\to\infty}\dfrac{c}{x^n}=0
학생
x→∞x\to\infty 에서 분자·분모가 둘 다 커지면 어떻게 해요?
쌤
분모의 최고차항으로 분자와 분모를 각각 나눠요.
그러면 1x\dfrac{1}{x}, 1x2\dfrac{1}{x^2} 처럼 00 으로 가는 항이 생겨서 값을 구할 수 있어요.
차수가 같을 때
lim⁡x→∞2x2+3xx2−1\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+3x}{x^2-1}
↳∞∞\frac{\infty}{\infty} 꼴
=lim⁡x→∞2+3x1−1x2=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}
↳위아래를 x2x^2 으로 나누기
=21=2=\dfrac{2}{1}=2
↳3x, 1x2→0\frac{3}{x},\ \frac{1}{x^2}\to0
공식∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴 (다항식) 정리
(분자의 차수)<(분모의 차수)(\text{분자의 차수})<(\text{분모의 차수})
0\displaystyle 0
(분자의 차수)=(분모의 차수)(\text{분자의 차수})=(\text{분모의 차수})
분자의 최고차항의 계수분모의 최고차항의 계수\displaystyle \frac{\text{분자의 최고차항의 계수}}{\text{분모의 최고차항의 계수}}
(분자의 차수)>(분모의 차수)(\text{분자의 차수})>(\text{분모의 차수})
∞ 또는 −∞\displaystyle \infty \text{ 또는 } -\infty
발산한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→∞3x2−x6x2+5\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-x}{6x^2+5} 의 값은?
x→−∞x\to-\infty 에서 근호
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→−∞4x2+1x+3=lim⁡x→−∞4+1x21+3x=2\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=2
왜 틀렸나 x<0x<0 이면 x=−x2x=-\sqrt{x^2} 이므로 xx 를 근호 안으로 넣을 때 음의 부호가 붙어야 한다.
✓ 바른 풀이
x=−tx=-t 로 놓으면
lim⁡x→−∞4x2+1x+3=lim⁡t→∞4t2+1−t+3=lim⁡t→∞4+1t2−1+3t=−2\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}=\lim_{t\to\infty}\dfrac{\sqrt{4t^2+1}}{-t+3}=\lim_{t\to\infty}\dfrac{\sqrt{4+\frac{1}{t^2}}}{-1+\frac{3}{t}}=-2
x<0x<0 이면 4x2+1\sqrt{4x^2+1} 을 xx 로 나눈 값은 음수예요.
분자는 양수, 분모 x+3x+3 은 음수이므로 극한값도 음수여야 해요.
참고로 x→∞x\to\infty 이면 극한값은 22 이에요.
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분모의 차수가 클 때·분자의 차수가 클 때
lim⁡x→∞3x+1x2+2=lim⁡x→∞3x+1x21+2x2\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}
↳위아래를 x2x^2 으로 나누기
=01=0=\dfrac{0}{1}=0
↳분자 →0\to0, 분모 →1\to1
lim⁡x→∞x2+1x−1=lim⁡x→∞x+1x1−1x\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}
↳위아래를 xx 로 나누기
=∞=\infty
↳분자 →∞\to\infty, 분모 →1\to1
성질x→−∞x\to-\infty 와 근호
x→−∞x\to-\infty 일 때는 x=−tx=-t 로 놓으면 t→∞t\to\infty 가 되어 같은 방법을 쓸 수 있다.
근호 안의 식을 xx 로 나눌 때는 x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x| 에 주의한다.
x>0x>0 이면 x2=x\sqrt{x^2}=x
x<0x<0 이면 x2=−x\sqrt{x^2}=-x

4∞−∞\infty-\infty 꼴의 극한

두 식이 모두 발산하면서 빼는 꼴이에요. ∞−∞\infty-\infty 는 00 이 아니에요.
근호가 있으면 유리화하여 ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴로, 분수식이면 통분하여 00\dfrac{0}{0} 꼴로 바꿔요.

근호가 있으면 유리화
lim⁡x→∞(x2+4x−x)\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)
↳∞−∞\infty-\infty 꼴
=lim⁡x→∞4xx2+4x+x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}
↳위아래에 x2+4x+x\sqrt{x^2+4x}+x 곱하기
=lim⁡x→∞41+4x+1=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}
↳위아래를 xx 로 나누기
=42=2=\dfrac{4}{2}=2
학생
같은 ∞\infty 끼리 빼는데 왜 00 이 아니에요?
쌤
∞\infty 는 수가 아니라 한없이 커지는 상태예요.
두 식이 커지는 빠르기가 조금씩 달라서 차가 22 처럼 어떤 값에 가까워질 수도 있어요.
분수식이면 통분
lim⁡x→1(1x−1−2x2−1)\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x^2-1}\right)
↳∞−∞\infty-\infty 꼴
=lim⁡x→1(x+1)−2(x−1)(x+1)=\lim_{x\to 1}\dfrac{(x+1)-2}{(x-1)(x+1)}
↳통분
=lim⁡x→11x+1=12=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}
↳x−1x-1 로 약분하고 대입
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→∞(x2+6x−x)\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+6x}-x) 의 값은?
∞−∞\infty-\infty 는 00 이 아니다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→∞(x2+4x−x)=∞−∞=0\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)=\infty-\infty=0
왜 틀렸나 ∞−∞\infty-\infty 꼴은 값이 정해지지 않으므로 유리화하여 다른 꼴로 바꾼 뒤 극한을 구한다.
✓ 바른 풀이
유리화하면
lim⁡x→∞(x2+4x−x)=2\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)=2
두 식이 커지는 빠르기가 조금 달라 차가 22 에 가까워져요.
검산: x=10000x=10000 을 넣으면 100040000−10000≈1.9998\sqrt{100040000}-10000\approx1.9998
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∞×0\infty\times0 꼴도 통분
lim⁡x→01x(1−1x+1)\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)
↳∞×0\infty\times0 꼴
=lim⁡x→01x×xx+1=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x}{x+1}
↳괄호 안 통분
=lim⁡x→01x+1=1=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x+1}=1
↳약분하고 대입

5극한값이 주어질 때 미정계수 구하기

성질분모가 0 으로 가면 분자도 0 으로 간다
lim⁡x→af(x)g(x)=α\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\alpha (α\alpha 는 실수)이고 lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x\to a}g(x)=0 이면 lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0이유: f(x)=f(x)g(x)×g(x)f(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\times g(x) 이므로 곱의 성질에 의해
lim⁡x→af(x)=α×0=0\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\times0=0
거꾸로, lim⁡x→af(x)g(x)=α\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\alpha (α≠0\alpha\ne0)이고 lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0 이면 lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x\to a}g(x)=0 이다.
미정계수 구하기
  1. 1
    분모의 극한이 00 인지 확인해요.
  2. 2
    분자의 극한도 00 이라는 식을 세워요.
    분자에 x=ax=a 를 넣은 값이 00
  3. 3
    그 식으로 문자 하나를 없애고 00\dfrac{0}{0} 꼴을 약분하여 극한을 계산해요.
  4. 4
    계산한 극한이 주어진 값과 같다는 식을 풀어요.
lim⁡x→1x2+ax+bx−1=3\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3
1+a+b=01+a+b=0
↳분모 →0\to0 이니 분자 →0\to0
x2+ax−a−1=(x−1)(x+a+1)x^2+ax-a-1=(x-1)(x+a+1)
↳b=−a−1b=-a-1 을 넣고 인수분해
lim⁡x→1(x+a+1)=a+2=3\lim_{x\to 1}(x+a+1)=a+2=3
↳약분하고 극한
a=1, b=−2a=1,\ b=-2
학생
분자가 00 으로 간다는 식 하나로 aa, bb 를 다 구할 수 있어요?
쌤
식이 하나라서 문자 하나만 없앨 수 있어요.
b=−a−1b=-a-1 을 넣어 약분한 뒤, 극한값이 33 이라는 식을 하나 더 세워 풀어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→2x2+ax−6x−2\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+ax-6}{x-2} 의 값이 존재할 때 aa 의 값은?
분모가 0 으로 간다고 극한이 없는 것은 아니다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→1x2+ax+bx−1=3\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3 에서 분모가 00 이 되므로 조건을 만족하는 a, ba,\ b 는 없다.
왜 틀렸나 분모가 00 으로 갈 때 극한값이 존재하려면 분자도 00 으로 가야 하며, 이 조건으로 a, ba,\ b 를 구한다.
✓ 바른 풀이
분모 →0\to0 이므로 분자 →0\to0
1+a+b=01+a+b=0 을 이용해 약분하면 a=1, b=−2a=1,\ b=-2
확인: a=1, b=−2a=1,\ b=-2 이면 x2+x−2x−1=x+2\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=x+2 이므로 극한값은 33 이다.
자세히 보기펼치기예제 2
근호가 있는 경우
lim⁡x→2x+a−3x−2=b\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x+a}-3}{x-2}=b
lim⁡x→2(x+a−3)=2+a−3=0\lim_{x\to 2}(\sqrt{x+a}-3)=\sqrt{2+a}-3=0
↳분모 →0\to0 이니 분자 →0\to0
a=7a=7
↳2+a=3\sqrt{2+a}=3
x+7−3x−2=(x+7)−9(x−2)(x+7+3)\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\dfrac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}
↳위아래에 x+7+3\sqrt{x+7}+3 곱하기
=1x+7+3=\dfrac{1}{\sqrt{x+7}+3}
↳x−2x-2 로 약분
b=13+3=16b=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}
↳x=2x=2 대입
∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴
lim⁡x→∞ax2+bx+12x+1=3\lim_{x\to\infty}\dfrac{ax^2+bx+1}{2x+1}=3
a=0a=0
↳a≠0a\ne0 이면 분자 차수가 커서 발산
lim⁡x→∞bx+12x+1=b2\lim_{x\to\infty}\dfrac{bx+1}{2x+1}=\dfrac{b}{2}
↳차수가 같으면 계수의 비
b2=3, b=6\dfrac{b}{2}=3,\ b=6

6함수의 극한의 대소 관계

성질극한의 대소 관계
lim⁡x→af(x)=α\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, lim⁡x→ag(x)=β\lim_{x\to a}g(x)=\beta (α\alpha, β\beta 는 실수)일 때, aa 에 가까운 모든 xx 에 대하여
① f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) 이면 α≤β\alpha\le\beta
② 함수 h(x)h(x) 가 f(x)≤h(x)≤g(x)f(x)\le h(x)\le g(x) 이고 α=β\alpha=\beta 이면 lim⁡x→ah(x)=α\lim_{x\to a}h(x)=\alpha②는 양쪽에서 같은 값으로 조여 들어가므로 가운데 함수도 그 값으로 간다는 뜻이다.
x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty 일 때도 성립한다.
이 성질은 삼각함수의 극한에서도 쓴다.
학생
함수 식을 몰라도 극한을 구할 수 있어요?
쌤
네. 위아래 두 함수가 같은 값으로 가면 가운데 f(x)f(x) 도 그 값으로 가요.
그래서 f(x)f(x) 의 식을 몰라도 극한값은 구할 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모든 실수 xx 에 대하여 4x−4≤f(x)≤x24x-4\le f(x)\le x^2 일 때 lim⁡x→2f(x)\lim_{x\to2}f(x) 의 값은?
부등호 < 는 극한에서 ≤ 가 된다
✗ 틀린 풀이
f(x)<g(x)f(x)<g(x) 이면 lim⁡f(x)<lim⁡g(x)\lim f(x)<\lim g(x)
왜 틀렸나 극한을 취하면 두 값이 같아질 수 있으므로 부등호 << 는 등호를 포함한 ≤\le 로 바뀐다.
✓ 바른 풀이
f(x)<g(x)f(x)<g(x) 이면 lim⁡f(x)≤lim⁡g(x)\lim f(x)\le\lim g(x)
x>0x>0 일 때 1x+1<1x\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{x} 이지만
lim⁡x→∞1x+1=lim⁡x→∞1x=0\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 으로 같아요.
자세히 보기펼치기예제
x→∞x\to\infty 에서 조이기
3x2−1<x2f(x)<3x2+23x^2-1<x^2f(x)<3x^2+2
↳모든 양수 xx
3−1x2<f(x)<3+2x23-\dfrac{1}{x^2}<f(x)<3+\dfrac{2}{x^2}
↳각 변을 x2 (>0)x^2\ (>0) 으로 나누기
lim⁡x→∞f(x)=3\lim_{x\to\infty}f(x)=3
↳양 끝의 극한이 모두 33
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1lim⁡x→af(x)=α\lim_{x\to a}f(x)=\alpha, lim⁡x→ag(x)=β\lim_{x\to a}g(x)=\beta (α\alpha, β\beta 는 실수)이면 합·차·곱·상수배의 극한은 극한값끼리 계산하고, 몫은 β≠0\beta\ne0 일 때 αβ\dfrac{\alpha}{\beta} 이다.
  2. 200\dfrac{0}{0} 꼴은 인수분해 또는 유리화로 약분하고, ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} 꼴은 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나눈다.
  3. 3∞−∞\infty-\infty 꼴은 근호가 있으면 유리화, 분수식이면 통분한다.
  4. 4lim⁡x→af(x)g(x)=α\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\alpha 이고 lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x\to a}g(x)=0 이면 lim⁡x→af(x)=0\lim_{x\to a}f(x)=0 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 00\dfrac{0}{0} 이나 ∞−∞\infty-\infty 를 00 또는 11 로 계산해요.
  • x→−∞x\to-\infty 일 때 x2=x\sqrt{x^2}=x 로 놓아 극한값의 부호를 틀려요.
  • 극한값이 주어졌는데 분모의 극한이 00 이라는 이유로 극한이 없다고 하거나, 「분자 →0\to0」 조건을 쓰지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    lim⁡x→3x2−2x−3x2−9\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-9} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    lim⁡x→−∞x2+1+3x2x−1\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+3x}{2x-1} 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    lim⁡x→2x2+ax+bx2−4=54\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+ax+b}{x^2-4}=\dfrac{5}{4} 일 때, 상수 aa, bb 의 값을 구하시오.

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이전 개념: 함수의 극한설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 인수분해 공식, 중3 근호를 포함한 식의 계산, 공통수학2 유리식과 유리함수, 중3 제곱근과 실수, 미적분Ⅱ 삼각함수의 극한 (나중에)미적분Ⅰ 목차
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