속도와 가속도

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

수직선 위를 움직이는 점의 시각

t

에서의 위치가

x=f(t)

이면 속도는

v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)

, 가속도는

a=\dfrac{dv}{dt}

이에요. 속도의 부호가 바뀌는 시각에 운동 방향이 바뀌어요. 길이·넓이·부피의 시각에 대한 변화율도

t

의 식으로 나타내어 미분해요.

1수직선 위를 움직이는 점의 속도
2가속도
3운동 방향이 바뀌는 시각
4위로 던진 물체의 운동
5시각에 대한 길이·넓이·부피의 변화율
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1수직선 위를 움직이는 점의 속도

수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ 에서의 위치를 $x=f(t)$ 라 해요.
시각이 $t$ 에서 $t+\Delta t$ 까지 변할 때 위치의 변화량은
$\Delta x=f(t+\Delta t)-f(t)$
이 동안의 평균 속도는 $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 이에요.
$\Delta t\to0$ 일 때 평균 속도의 극한을 시각 $t$ 에서의 순간 속도, 줄여서 속도라 해요.

정의속도와 속력

시각

t

에서 점

\mathrm{P}

의 속도

v

는

v=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)

속도의 절댓값

|v|

를 시각

t

에서 점

\mathrm{P}

의 속력이라 한다.

성질속도의 부호와 운동 방향

v>0

이면 점

\mathrm{P}

는 양의 방향(

x

가 커지는 방향)으로 움직인다.

v<0

이면 점

\mathrm{P}

는 음의 방향으로 움직인다.

v=0

이면 점

\mathrm{P}

는 그 순간 정지 한다.

학생

속도가 음수이면 느려지는 거예요?

쌤

아니요. 속도의 부호는 방향이에요.

v=-3

은 음의 방향으로 빠르기

3

으로 움직인다는 뜻이고, 빠르기는 속력

|v|

로 봐요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

수직선 위를 움직이는 점의 위치가

x=t^2-6t

일 때,

t=1

에서의 속력은?

속도와 속력

✗ 틀린 풀이

v=-3

이면 속력은

-3

왜 틀렸나 속력은 속도의 크기이므로 속도의 절댓값으로 구하며 항상

0

이상이다.

✓ 바른 풀이

v=-3

이면 속력은

|-3|=3

속도

-3

은 음의 방향으로 빠르기

3

으로 움직인다는 뜻이다.
부호는 방향, 절댓값은 빠르기이다.

2가속도

정의가속도

속도

v

의 시각

t

에 대한 순간변화율을 시각

t

에서 점

\mathrm{P}

의 가속도 라 한다.

a=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{dv}{dt}

공식위치·속도·가속도

위치

\displaystyle x=f(t)

속도

\displaystyle v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)

위치를

t

에 대하여 미분한다.

가속도

\displaystyle a=\dfrac{dv}{dt}

속도를

t

에 대하여 한 번 더 미분한다.

학생

가속도는 위치를 두 번 미분한 거예요?

쌤

네. 위치를 한 번 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도예요.
가속도는 속도가 변하는 빠르기를 나타내요.

시각

t=t_1

에서의 속도와 가속도 구하기

1
$x$ 를 $t$ 에 대하여 미분하여 $v$ 를 $t$ 의 식으로 구해요.
2
$v$ 를 $t$ 에 대하여 미분하여 $a$ 를 $t$ 의 식으로 구해요.
3
$t=t_1$ 을 넣어요.
반드시 미분한 다음에 값을 넣어요.

x=t^3-6t^2+9t

일 때

t=2

에서의 속도와 가속도

v=\dfrac{dx}{dt}=3t^2-12t+9

↳◀먼저 미분

a=\dfrac{dv}{dt}=6t-12

↳◀한 번 더 미분

v(2)=12-24+9=-3

↳◀음의 방향으로 움직여요

a(2)=12-12=0

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

위치가

x=t^3-3t^2

일 때,

t=2

에서의 가속도는?

값을 먼저 넣으면 안 된다

✗ 틀린 풀이

t=2

일 때

x=2

이므로

v=(2)'=0

왜 틀렸나 속도는 위치

x

를

t

에 대한 식 그대로 미분하여

v

를 구한 뒤

t=2

를 넣어 얻는다.

✓ 바른 풀이

v=3t^2-12t+9

를 먼저 구한 뒤

t=2

를 넣어

v=-3

x=2

는 시각

t=2

에서의 위치일 뿐이다.
순서는 「미분 → 대입」이다.

3운동 방향이 바뀌는 시각

성질운동 방향이 바뀔 조건

점

\mathrm{P}

가 시각

t=t_1

에서 운동 방향을 바꾸면

v(t_1)=0

이고,

t=t_1

의 앞뒤에서

v

의 부호가 바뀐다.

학생

속도가

0

이면 운동 방향이 바뀌어요?

쌤

꼭 그렇지는 않아요.

v=0

인 순간의 앞뒤에서

v

의 부호가 바뀌어야 방향이 바뀌어요.
부호가 그대로면 잠깐 멈췄다가 같은 방향으로 가요.

x=t^3-6t^2+9t

(

t\ge0

) 에서 운동 방향이 바뀌는 시각

$t$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$v$		$+$	0	$-$	0	$+$
방향		→	바뀜	←	바뀜	→

$v$ $3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$
경계 $v=0$ : $t=1,\ 3$

t=1

t=3

의 앞뒤에서

v

의 부호가 바뀌므로 이 두 시각에 운동 방향을 바꿔요.

수직선 위에서 점

\mathrm{P}

의 움직임 (

0\le t\le4

)

x(1)=1-6+9=4

x(3)=27-54+27=0

x(4)=64-96+36=4

이에요.
오른쪽으로

4

갔다가 왼쪽으로

4

돌아오고, 다시 오른쪽으로 가요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

위치가

x=t^3-12t

(

t\ge0

) 인 점이 운동 방향을 바꾸는 시각은?

v=0

이어도 방향이 바뀌지 않을 수 있다

✗ 틀린 풀이

x=t^3-3t^2+3t

에서

v=0

인

t=1

에 운동 방향을 바꾼다.

왜 틀렸나 운동 방향은

v

의 부호가 바뀔 때 바뀌므로

v=0

인 시각의 앞뒤에서 부호를 확인한다.

✓ 바른 풀이

v=3t^2-6t+3=3(t-1)^2\ge0

이므로

t=1

에서 잠깐 정지할 뿐 방향은 바뀌지 않는다.

t=1

의 앞뒤에서

v

가 모두 양수예요.
정지(

v=0

)와 방향 전환(부호 변화)을 구별해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림틀리기 쉬운 곳

점 $\mathrm{P}$ 가 운동 방향을 바꾸려면 속도의 부호가 양에서 음으로, 또는 음에서 양으로 바뀌어야 해요.
속도가 연속이므로(사잇값 정리) 부호가 바뀌는 순간 $v=0$ 이에요.
그러나 $v=0$ 이라고 해서 항상 방향이 바뀌는 것은 아니에요.

⚠ 주의검산

구한 시각의 앞뒤 값을 하나씩

v

에 넣어 부호가 바뀌는지 확인해요.
예:

v=3(t-1)(t-3)

에서

v\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{15}{4}>0

v(2)=-3<0

4위로 던진 물체의 운동

지면에서 수직 위로 던진 물체의 $t$ 초 후의 높이를 $h=f(t)$ 라 하면 속도는 $v=\dfrac{dh}{dt}$ 이에요.
올라가는 동안은 $v>0$ , 내려오는 동안은 $v<0$ 이에요.
올라가다 내려오기 시작하는 순간 $v=0$ 이고, 이때 높이가 가장 높아요.

최고 높이와 지면에 떨어지는 순간

1
$v=\dfrac{dh}{dt}=0$ 인 $t$ 를 구해요.
최고 높이에 이르는 시각이에요.
2
그 $t$ 를 $h$ 에 넣어 최고 높이를 구해요.
3
$h=0$ 인 $t$ ( $t>0$ ) 를 구해요.
지면에 떨어지는 시각이에요.
4
그 $t$ 를 $v$ 에 넣어 지면에 떨어지는 순간의 속도를 구해요.
내려오는 중이므로 속도는 음수예요.

h=40t-5t^2

(높이의 단위는 m)

v=40-10t=0,\ t=4

↳◀최고 높이에 이르는 시각

h(4)=160-80=80

↳◀최고 높이

80

5t(8-t)=0,\ t=8

↳◀

h=0

: 지면에 떨어지는 시각

v(8)=40-80=-40

↳◀그 순간 속도

-40

m/s

학생

지면에 떨어질 때 속도가

-40

인데 음수여도 돼요?

쌤

네. 아래로 내려오는 중이라 음의 방향이어서 음수예요.
빠르기(속력)는

40

m/s 예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

지면에서 위로 던진 물체의

t

초 후 높이가

h=30t-5t^2

(m) 일 때, 최고 높이는?

최고 높이는 시각이 아니라 높이이다

✗ 틀린 풀이

v=40-10t=0

이므로 최고 높이는

4

왜 틀렸나

v=0

을 풀면 최고점에 이르는 시각이 나오므로, 그 시각을 높이

h

의 식에 넣어야 최고 높이가 된다.

✓ 바른 풀이

v=0

인 시각

t=4

를

h

에 넣어 최고 높이는

h(4)=80

이 물체의 가속도는

a=\dfrac{dv}{dt}=-10

으로 항상 일정하다.
최고점에서 속도는

0

이지만 가속도는

0

이 아니다.

자세히 보기펼치기예제

응용

높이

25

m 에서 던진

h=25+20t-5t^2

v=20-10t=0,\ t=2

h(2)=25+40-20=45

↳◀최고 높이

45

t^2-4t-5=0

↳◀

h=0

의 양변을

-5

로 나누기

(t-5)(t+1)=0,\ t=5

↳◀

t>0

v(5)=20-50=-30

↳◀

-30

m/s

5시각에 대한 길이·넓이·부피의 변화율

위치뿐 아니라 길이, 넓이, 부피처럼 시간에 따라 변하는 양도 같은 방법으로 다뤄요.
시각이 $t$ 에서 $t+\Delta t$ 까지 변할 때 길이 $l$ 이 $\Delta l$ 만큼 변하면, 이 동안의 평균변화율은 $\dfrac{\Delta l}{\Delta t}$ 예요.
$\Delta t\to0$ 일 때 $\dfrac{\Delta l}{\Delta t}$ 의 극한이 시각 $t$ 에서의 길이의 변화율이에요.

정의시각에 대한 변화율

시각

t

에서의 길이

l

, 넓이

S

, 부피

V

가

t

의 함수일 때, 시각

t

에서의 길이·넓이·부피의 변화율은 각각 다음과 같다.

\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta l}{\Delta t}=\dfrac{dl}{dt},\quad \lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\dfrac{dS}{dt},\quad \lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta V}{\Delta t}=\dfrac{dV}{dt}

시각에 대한 변화율 구하기

1
변하는 길이(반지름, 한 변 등)를 $t$ 의 식으로 나타내요.
(처음 길이) $+$ (1초에 변하는 길이) $\times t$
2
묻는 양(길이·넓이·부피)을 $t$ 의 식으로 써요.
3
$t$ 에 대하여 미분해요.
4
묻는 시각을 넣어요.
「반지름이 $5$ cm 일 때」처럼 길이로 주어지면 그때의 $t$ 를 먼저 구해요.

반지름이

1

cm 이고 매초

2

cm 씩 늘어나는 원의

3

초 후 넓이의 변화율

r=1+2t

↳◀

t

초 후의 반지름

S=\pi(1+2t)^2=\pi(4t^2+4t+1)

↳◀넓이를

t

의 식으로

\dfrac{dS}{dt}=\pi(8t+4)

↳◀

t

에 대하여 미분

t=3:\ \pi(24+4)=28\pi

↳◀

28\pi\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}

학생

3

초 후 반지름이

7

cm 이니까 넓이

49\pi

를 먼저 구해서 미분하면 안 돼요?

쌤

안 돼요.

49\pi

는 상수라서 미분하면

0

이 나와요.
속도를 구할 때처럼

t

의 식으로 미분한 다음 시각을 넣어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

한 변의 길이가

2

cm 인 정사각형의 각 변의 길이가 매초

1

cm 씩 늘어날 때,

3

초 후 넓이의 변화율은? (단, 단위는

\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}

)

값을 먼저 넣고 미분한 실수

✗ 틀린 풀이

t=3

일 때

S=49\pi

이므로 넓이의 변화율은

(49\pi)'=0

왜 틀렸나 변화율은 넓이를

t

의 식으로 미분한 다음 시각을 넣어 구한다. 시각을 먼저 넣으면 상수가 되어 미분값이

0

이 된다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{dS}{dt}=\pi(8t+4)

를 먼저 구한 뒤

t=3

을 넣어

28\pi

S=\pi(1+2t)^2

에서

\dfrac{dS}{dt}=\pi(8t+4)

이다.

t=3

을 넣으면

28\pi

이다.

자세히 보기펼치기예제

응용

반지름이

2

cm 이고 매초

1

cm 씩 늘어나는 구에서 반지름이

5

cm 가 되는 순간의 부피의 변화율

r=2+t,\ \ 2+t=5,\ t=3

↳◀반지름이

5

cm 가 되는 시각

V=\dfrac{4}{3}\pi(2+t)^3

↳◀구의 부피

\dfrac{dV}{dt}=4\pi(2+t)^2

↳◀

\{(2+t)^3\}'=3(2+t)^2

t=3:\ 4\pi\times25=100\pi

↳◀

100\pi\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1위치 $x=f(t)$ 를 $t$ 에 대하여 미분하면 속도 $v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)$ 이다.
2속도 $v$ 를 $t$ 에 대하여 미분하면 가속도 $a=\dfrac{dv}{dt}$ 이다.
3 $v>0$ 이면 양의 방향, $v<0$ 이면 음의 방향으로 움직이고, $v=0$ 이면 정지한다.
4운동 방향은 $v=0$ 이면서 그 앞뒤로 $v$ 의 부호가 바뀌는 시각에 바뀐다. 위로 던진 물체는 $v=0$ 일 때 최고 높이에 이른다.
5길이 $l$ , 넓이 $S$ , 부피 $V$ 의 시각 $t$ 에서의 변화율은 각각 $\dfrac{dl}{dt}$ , $\dfrac{dS}{dt}$ , $\dfrac{dV}{dt}$ 이다.

✗ 자주 하는 실수

주어진 시각을 위치 $x$ 에 먼저 넣은 다음 미분하여 속도를 $0$ 으로 구해요.
$v=0$ 인 시각이면 항상 운동 방향이 바뀐다고 생각해요. 앞뒤에서 $v$ 의 부호가 바뀌는지 확인해야 해요.
위로 던진 물체의 최고 높이를 물을 때 $v=0$ 인 시각 $t$ 를 답으로 써요.
넓이·부피의 변화율을 구할 때 시각을 먼저 넣어 넓이·부피를 수로 만든 다음 미분해서 $0$ 을 얻어요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ 에서의 위치 $x$ 가 $x=t^3-4t^2+3t$ 일 때, $t=2$ 에서 점 $\mathrm{P}$ 의 속도와 가속도를 구하시오.
예제 2
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ ( $t>0$ ) 에서의 위치 $x$ 가 $x=-2t^3+9t^2-12t$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
예제 3
지면으로부터 $35$ m 높이에서 수직 위로 던진 물체의 $t$ 초 후의 높이 $h$ m 가 $h=35+30t-5t^2$ 일 때, 이 물체의 최고 높이와 지면에 떨어지는 순간의 속도를 구하시오.

다음 공부

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