수학 개념 노트전체 과목

접선의 방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선의 기울기는 f′(a)f'(a) 이므로 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a) 이에요. 기울기가 주어지거나 곡선 밖의 점이 주어지면 접점을 (t, f(t))(t,\ f(t)) 로 놓고 풀어요.
  1. 1곡선 위의 점에서의 접선의 방정식
  2. 2기울기가 주어진 접선의 방정식
  3. 3곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
  4. 4법선의 방정식
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1곡선 위의 점에서의 접선의 방정식

곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))\mathrm{P}(a,\ f(a)) 에서의 접선의 기울기는 x=ax=a 에서의 미분계수 f′(a)f'(a) 이에요.

성질접선의 방정식
곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a)이때 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 를 접점이라 한다.
학생
접선의 방정식은 왜 이런 꼴이에요?
쌤
점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선은 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 이에요.
접선은 접점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 를 지나고 기울기가 f′(a)f'(a) 인 직선이라 그대로 넣은 거예요.
공식틀로 쓰기
접선
y−□=△(x−◯)\displaystyle y-\square=\triangle(x-\bigcirc)
◯\bigcirc 은 접점의 xx 좌표 aa, □\square 는 접점의 yy 좌표 f(a)f(a), △\triangle 는 기울기 f′(a)f'(a)
접선의 방정식 구하는 순서
  1. 1
    접점의 좌표 (a, f(a))(a,\ f(a)) 를 구해요.
    xx 좌표만 주어지면 f(a)f(a) 를 계산해요.
  2. 2
    도함수 f′(x)f'(x) 를 구하고 x=ax=a 를 넣어 기울기 f′(a)f'(a) 를 구해요.
  3. 3
    y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a) 에 넣고 y=mx+ny=mx+n 꼴로 정리해요.
곡선 y=x2−3x+1y=x^2-3x+1 위의 점 (1, −1)(1,\ -1)
f′(x)=2x−3, f′(1)=−1f'(x)=2x-3,\ f'(1)=-1
↳기울기
y−(−1)=−1×(x−1)y-(-1)=-1\times(x-1)
↳접선의 방정식에 넣기
y=−xy=-x
↳정리
x2−3x+1=−x  ⟺  (x−1)2=0x^2-3x+1=-x\iff(x-1)^2=0
↳검산: x=1x=1 에서 중근
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2+1y=x^2+1 위의 점 (1, 2)(1,\ 2) 에서의 접선의 방정식은?
기울기에는 f′(a)f'(a) 의 값을 넣는다
✗ 틀린 풀이
y−(−1)=(2x−3)(x−1)y-(-1)=(2x-3)(x-1)
왜 틀렸나 접선의 기울기는 도함수에 접점의 xx 좌표를 넣은 수 f′(1)f'(1) 이어야 직선의 방정식이 된다.
✓ 바른 풀이
y−(−1)=f′(1)(x−1)=−(x−1)y-(-1)=f'(1)(x-1)=-(x-1)
확인: 접선의 방정식은 일차식이어야 한다.
바른 접선은 y=−xy=-x 이고 점 (1, −1)(1,\ -1) 을 지난다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림틀리기 쉬운 곳

점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 을 지나고 기울기가 mm 인 직선은 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 이므로, 접점과 기울기 f′(a)f'(a) 를 넣으면 접선의 방정식이 돼요.

⚠ 주의검산
① 접점의 좌표를 접선의 식에 넣어 성립하는지 확인해요.
② 접선의 기울기가 f′(a)f'(a) 와 같은지 확인해요.
곡선이 이차함수이면 곡선과 접선을 연립한 이차방정식이 중근을 가져요.
지수·로그·삼각함수의 곡선도 같은 방법으로 접선을 구해요.

2기울기가 주어진 접선의 방정식

기울기 mm 이 주어지면 접점을 (t, f(t))(t,\ f(t)) 로 놓고 f′(t)=mf'(t)=m 을 풀어 접점의 xx 좌표를 구해요.

기울기가 mm 인 접선
  1. 1
    접점을 (t, f(t))(t,\ f(t)) 로 놓아요.
  2. 2
    f′(t)=mf'(t)=m 을 풀어 tt 를 구해요.
    tt 가 여러 개이면 접선도 여러 개예요.
  3. 3
    y−f(t)=m(x−t)y-f(t)=m(x-t) 에 넣어 정리해요.
곡선 y=x2−4xy=x^2-4x 에 접하고 기울기가 22 인 직선
f′(t)=2t−4=2, t=3f'(t)=2t-4=2,\ t=3
↳접점의 xx 좌표
f(3)=−3f(3)=-3
↳접점 (3, −3)(3,\ -3)
y−(−3)=2(x−3)y-(-3)=2(x-3)
y=2x−9y=2x-9
학생
tt 가 두 개 나오면 어떻게 해요?
쌤
접선도 두 개예요.
예를 들어 y=x3−3xy=x^3-3x 에서 기울기가 99 인 접선은 t=2t=2, t=−2t=-2 에서 하나씩, 모두 두 개예요.
성질평행·수직 조건으로 주어질 때
직선 y=mx+ny=mx+n 에 평행한 접선의 기울기는 mm 이다.
직선 y=mx+ny=mx+n (m≠0m\ne0) 에 수직인 접선의 기울기는 −1m-\dfrac{1}{m} 이다.
예: 직선 y=3x+1y=3x+1 에 수직인 접선의 기울기는 −13-\dfrac{1}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2+2xy=x^2+2x 에 접하고 기울기가 66 인 직선의 접점의 xx 좌표는?
자세히 보기펼치기예제그림공식 더 보기
응용
삼차함수 y=x3−3xy=x^3-3x, 기울기 99
f′(t)=3t2−3=9, t2=4f'(t)=3t^2-3=9,\ t^2=4
↳t=2t=2 또는 t=−2t=-2
t=2: (2, 2), y=9x−16t=2:\ (2,\ 2),\ y=9x-16
t=−2: (−2, −2), y=9x+16t=-2:\ (-2,\ -2),\ y=9x+16
공식직선 y=2x+ky=2x+k 가 곡선 y=x2y=x^2 에 접할 때 kk 구하기
두 방법 비교
미분 이용
2t=2, t=1, 접선 y=2x−1\displaystyle 2t=2,\ t=1,\ \text{접선 } y=2x-1
모든 다항함수에 쓸 수 있다. 따라서 k=−1k=-1
판별식 이용
x2−2x−k=0, D4=1+k=0\displaystyle x^2-2x-k=0,\ \dfrac{D}{4}=1+k=0
곡선이 이차함수일 때만 쓸 수 있다. 따라서 k=−1k=-1

3곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

곡선 밖의 점 (p, q)(p,\ q) 에서 그은 접선은 접점을 (t, f(t))(t,\ f(t)) 로 따로 놓고 접선의 방정식을 세운 뒤, 그 접선이 점 (p, q)(p,\ q) 를 지난다는 식으로 tt 를 구해요.

곡선 밖의 점 (p, q)(p,\ q) 에서 그은 접선
  1. 1
    접점을 (t, f(t))(t,\ f(t)) 로 놓고 접선의 방정식을 tt 로 써요.
    y−f(t)=f′(t)(x−t)y-f(t)=f'(t)(x-t)
  2. 2
    이 직선이 점 (p, q)(p,\ q) 를 지나므로 x=px=p, y=qy=q 를 넣어요.
    tt 에 대한 방정식이 나와요.
  3. 3
    tt 를 구하고 다시 접선의 방정식에 넣어요.
점 (1, −3)(1,\ -3) 에서 곡선 y=x2y=x^2 에 그은 접선
y−t2=2t(x−t)y-t^2=2t(x-t)
↳접점 (t, t2)(t,\ t^2), 기울기 f′(t)=2tf'(t)=2t
y=2tx−t2y=2tx-t^2
↳정리
−3=2t−t2-3=2t-t^2
↳점 (1, −3)(1,\ -3) 을 지나요
(t−3)(t+1)=0(t-3)(t+1)=0
↳t=3t=3 또는 t=−1t=-1
t=3: y=6x−9,t=−1: y=−2x−1t=3:\ y=6x-9,\quad t=-1:\ y=-2x-1
학생
곡선 밖의 점에서는 접선이 항상 두 개예요?
쌤
점의 위치에 따라 달라요.
y=x2y=x^2 에서는 곡선 아래쪽 점에서 두 개를 그을 수 있지만, 곡선 위쪽(안쪽) 점에서는 하나도 그을 수 없어요. tt 에 대한 방정식의 실근의 개수가 접선의 개수예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (0, −1)(0,\ -1) 에서 곡선 y=x2y=x^2 에 그은 접선의 접점의 xx 좌표를 모두 구하면?
곡선 밖의 점은 접점이 아니다
✗ 틀린 풀이
점 (1, −3)(1,\ -3) 에서 f′(1)=2f'(1)=2 이므로 접선은 y+3=2(x−1)y+3=2(x-1)
왜 틀렸나 f′(a)f'(a) 가 접선의 기울기가 되는 것은 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 가 곡선 위의 접점일 때뿐이다.
✓ 바른 풀이
접점 (t, t2)(t,\ t^2) 을 따로 놓고, 접선이 점 (1, −3)(1,\ -3) 을 지나는 조건으로 tt 를 구한다.
먼저 주어진 점이 곡선 위에 있는지 확인한다.
12≠−31^2\ne-3 이므로 점 (1, −3)(1,\ -3) 은 곡선 밖의 점이다.

4법선의 방정식

정의법선
곡선 위의 한 점을 지나고 그 점에서의 접선에 수직인 직선을 그 점에서의 법선이라 한다.
공식점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선과 법선
접선
y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)
법선
y−f(a)=−1f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)
f′(a)≠0f'(a)\ne0 일 때. f′(a)=0f'(a)=0 이면 법선은 직선 x=ax=a
학생
f′(a)=0f'(a)=0 이면 −1f′(a)-\dfrac{1}{f'(a)} 를 계산할 수 없잖아요?
쌤
그때는 접선이 xx 축에 평행하니 법선은 yy 축에 평행한 직선 x=ax=a 예요.
곡선 y=x2y=x^2 위의 점 (1, 1)(1,\ 1) 에서의 법선
f′(1)=2f'(1)=2
↳접선의 기울기
−12-\dfrac{1}{2}
↳법선의 기울기
y−1=−12(x−1)y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)
x+2y−3=0x+2y-3=0
↳양변에 22 를 곱해 정리
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기가 33 일 때, 그 점에서의 법선의 기울기는?
수직인 기울기
✗ 틀린 풀이
접선의 기울기가 22 이면 법선의 기울기는 −2-2
왜 틀렸나 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1-1 이므로 법선의 기울기는 접선 기울기의 역수에 −- 를 붙인 값이다.
✓ 바른 풀이
접선의 기울기가 22 이면 법선의 기울기는 −12-\dfrac{1}{2}
검산: 2×(−12)=−12\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1 이 되는지 곱해 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

수직인 두 직선의 기울기의 곱은 −1-1 이므로 법선의 기울기는 −1f′(a)-\dfrac{1}{f'(a)} 이에요.
f′(a)=0f'(a)=0 이면 접선이 xx 축에 평행하므로 법선은 직선 x=ax=a 이에요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1곡선 y=f(x)y=f(x) 위의 점 (a, f(a))(a,\ f(a)) 에서의 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)y-f(a)=f'(a)(x-a) 이다.
  2. 2기울기 mm 이 주어진 접선: f′(t)=mf'(t)=m 을 풀어 접점 (t, f(t))(t,\ f(t)) 를 구한다.
  3. 3곡선 밖의 점 (p, q)(p,\ q) 에서 그은 접선: 접점 (t, f(t))(t,\ f(t)) 에서의 접선이 점 (p, q)(p,\ q) 를 지난다고 놓고 tt 를 구한다.
  4. 4법선(접점을 지나고 접선에 수직인 직선)의 기울기는 −1f′(a)-\dfrac{1}{f'(a)} 이다. (f′(a)≠0f'(a)\ne0)
✗ 자주 하는 실수
  • 접선의 기울기 자리에 f′(a)f'(a) 의 값 대신 f′(x)f'(x) 식을 그대로 넣어요.
  • 곡선 밖의 점 (p, q)(p,\ q) 를 접점으로 착각하여 f′(p)f'(p) 를 기울기로 써요.
  • 법선의 기울기를 −f′(a)-f'(a) 또는 1f′(a)\dfrac{1}{f'(a)} 로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    곡선 y=x3−2x+1y=x^3-2x+1 위의 x=1x=1 인 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.
  2. 예제 2
    곡선 y=x2−4x+1y=x^2-4x+1 에 접하고 기울기가 22 인 직선의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    점 (1, −2)(1,\ -2) 에서 곡선 y=x2+xy=x^2+x 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 도함수설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 두 직선의 위치 관계, 공통수학2 직선의 방정식, 공통수학1 이차방정식의 판별식, 공통수학1 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 미적분Ⅱ 여러 가지 곡선의 접선 (나중에)미적분Ⅰ 목차
← 도함수평균값 정리 →
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