수학 개념 노트전체 과목

확률의 뜻

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
표본공간 SS 의 각 근원사건이 일어날 가능성이 같을 때 사건 AA 의 확률은 P(A)=n(A)n(S)\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)} 이고, 어떤 사건이든 0≤P(A)≤10\le\mathrm{P}(A)\le1 이에요.
  1. 1시행과 사건
  2. 2합사건·곱사건·여사건·배반사건
  3. 3수학적 확률
  4. 4통계적 확률
  5. 5기하적 확률
  6. 6확률의 기본 성질
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1시행과 사건

정의시행·표본공간·사건
같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 정해지는 실험이나 관찰을 시행이라 한다.
어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라 하고, 보통 SS 로 나타낸다.
표본공간의 부분집합을 사건이라 하고, 한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라 한다.
공집합 ∅\varnothing 도 표본공간의 부분집합이므로 사건이다. 절대로 일어나지 않는 사건이다.
예주사위 한 개를 던지는 시행
표본공간은
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}S=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}
짝수의 눈이 나오는 사건은
A={2, 4, 6}A=\{2,\ 4,\ 6\}
근원사건은 {1}, {2}, ⋯ , {6}\{1\},\ \{2\},\ \cdots,\ \{6\} 의 66 개예요.
학생
근원사건이랑 사건은 뭐가 달라요?
쌤
근원사건은 원소가 하나뿐인 사건이에요. 짝수의 눈이 나오는 사건 {2, 4, 6}\{2,\ 4,\ 6\} 은 근원사건 {2}, {4}, {6}\{2\},\ \{4\},\ \{6\} 을 모은 사건이에요.
서로 다른 동전 두 개
HH → HHHH
TT → HTHT
HH
HH → THTH
TT → TTTT
TT
첫째 동전 22 가지마다 둘째 동전 22 가지라 표본공간의 원소는 44 개예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때 표본공간의 원소의 개수는?
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
예서로 다른 동전 두 개를 던지는 시행
앞면을 HH, 뒷면을 TT 로 나타내고 두 동전의 결과를 차례로 쓰면
S={HH, HT, TH, TT}S=\{HH,\ HT,\ TH,\ TT\}
서로 다른 면이 나오는 사건은
{HT, TH}\{HT,\ TH\}

모양이 같은 동전 두 개를 던지더라도 확률을 구할 때는 두 동전을 구별하여 표본공간을 정해요.
그래야 각 근원사건이 일어날 가능성이 같아져요. 이 점은 아래 수학적 확률에서 다시 확인해요.

2합사건·곱사건·여사건·배반사건

정의여러 가지 사건
두 사건 A, BA,\ B 에 대하여 AA 또는 BB 가 일어나는 사건을 AA 와 BB 의 합사건이라 하고, A∪BA\cup B 로 나타낸다.
AA 와 BB 가 동시에 일어나는 사건을 AA 와 BB 의 곱사건이라 하고, A∩BA\cap B 로 나타낸다.
AA 가 일어나지 않는 사건을 AA 의 여사건이라 하고, ACA^{C} 로 나타낸다.
A∩B=∅A\cap B=\varnothing 일 때, 즉 AA 와 BB 가 동시에 일어나지 않을 때 AA 와 BB 는 서로 배반사건이라 한다.
사건을 벤 다이어그램으로
SAB
①
②
③
④
  • A∪BA\cup B합사건 : ①②③ (AA 또는 BB)
  • A∩BA\cap B곱사건 : ② (동시에)
  • ACA^{C}여사건 : ③④ (AA 가 아닌 곳)
  • 배반②가 비어 있어요 (A∩B=∅A\cap B=\varnothing)
짝수의 눈 AA, 33 이하의 눈 BB
SAB
4, 64,\ 6
22
1, 31,\ 3
55
  • A∪BA\cup B{1, 2, 3, 4, 6}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\} : 두 원 안 전체
  • A∩BA\cap B{2}\{2\} : 칠한 곳
  • ACA^{C}{1, 3, 5}\{1,\ 3,\ 5\} : AA 의 원 밖
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 던지는 시행에서 사건 A={1, 2}A=\{1,\ 2\} 의 여사건은?

11 또는 55 의 눈이 나오는 사건을 C={1, 5}C=\{1,\ 5\} 라 하면 A∩C=∅A\cap C=\varnothing 이므로 AA 와 CC 는 서로 배반사건이에요.

학생
배반사건이랑 여사건은 같은 거 아니에요?
쌤
달라요. 배반은 「동시에 일어나지 않는다」만 뜻해요. 여사건은 거기에 더해, 둘을 합치면 표본공간 전체가 되어야 해요.
성질여사건과 배반사건의 관계
A∩AC=∅A\cap A^{C}=\varnothing 이므로 AA 와 ACA^{C} 는 항상 서로 배반사건이다.
그러나 서로 배반사건이라고 해서 여사건인 것은 아니다.
위의 예에서 AA 와 CC 는 서로 배반사건이지만
A∪C={1, 2, 4, 5, 6}≠SA\cup C=\{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}\ne S
이므로 CC 는 AA 의 여사건이 아니다.
A={2, 4, 6}A=\{2,\ 4,\ 6\}, C={1, 5}C=\{1,\ 5\}
SAC
2, 4, 62,\ 4,\ 6
없음
1, 51,\ 5
33
겹치는 곳이 없으니 배반사건이지만, 두 원 밖에 33 이 남아 있어서 CC 는 AA 의 여사건이 아니에요.
배반사건을 여사건으로 착각하기
✗ 틀린 풀이
A∩C=∅A\cap C=\varnothing 이므로
C=ACC=A^{C}
왜 틀렸나 여사건이 되기 위해서는 A∩C=∅A\cap C=\varnothing 뿐 아니라 A∪C=SA\cup C=S 도 함께 성립해야 한다.
✓ 바른 풀이
A∩C=∅A\cap C=\varnothing 이므로
AA 와 CC 는 서로 배반사건
확인 방법: 주사위에서 {1}\{1\} 과 {2}\{2\} 는 동시에 일어나지 않지만 합쳐도 SS 가 아니므로 배반사건일 뿐이다.
자세히 보기펼치기예제
예응용
배반사건의 개수
S={1, 2, 3, 4, 5}S=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 에서 사건 A={1, 2}A=\{1,\ 2\} 와 서로 배반인 사건의 개수를 구해 봐요.
AA 와 배반인 사건은 1, 21,\ 2 를 원소로 갖지 않으므로 AC={3, 4, 5}A^{C}=\{3,\ 4,\ 5\} 의 부분집합이에요.
원소가 33 개인 집합의 부분집합의 개수는
23=82^{3}=8
공집합 ∅\varnothing 도 사건이므로 개수에 포함해요.

3수학적 확률

정의확률과 수학적 확률
어떤 시행에서 사건 AA 가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 사건 AA 의 확률이라 하고, P(A)\mathrm{P}(A) 로 나타낸다.
표본공간 SS 의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때P(A)=n(A)n(S)=(사건 A가 일어나는 경우의 수)(일어날 수 있는 모든 경우의 수)\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{(\text{사건 }A\text{가 일어나는 경우의 수})}{(\text{일어날 수 있는 모든 경우의 수})}이것을 사건 AA 의 수학적 확률이라 한다.
수학적 확률을 구하는 순서
  1. 1
    표본공간을 정하고 n(S)n(S) 를 구해요.
    같은 모양의 동전·공도 서로 구별해야 근원사건이 일어날 가능성이 같아져요.
  2. 2
    사건 AA 가 일어나는 경우의 수 n(A)n(A) 를 구해요.
    직접 세거나 순열·조합을 이용해요. n(S)n(S) 와 같은 방법(구별, 순서 여부)으로 세요.
  3. 3
    n(A)n(S)\frac{n(A)}{n(S)} 를 계산하여 기약분수로 나타내요.
    결과가 00 이상 11 이하인지 확인해요.
학생
같은 모양의 동전 두 개는 왜 구별해서 세요?
쌤
구별하지 않고 「앞면 22 개, 앞면 11 개, 앞면 00 개」로 잡으면 이 세 결과가 일어날 가능성이 같지 않아요. HH, HT, TH, TTHH,\ HT,\ TH,\ TT 로 구별해야 근원사건의 가능성이 모두 같아져요.
예주사위 두 개를 던질 때 눈의 수의 합이 77 일 확률
두 주사위를 구별하면 첫째 66 가지마다 둘째가 66 가지씩이라
n(S)=6×6=36n(S)=6\times6=36
합이 77 인 경우는
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)(1,\ 6),\ (2,\ 5),\ (3,\ 4),\ (4,\ 3),\ (5,\ 2),\ (6,\ 1)
의 66 가지예요.
따라서 구하는 확률은
636=16\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
두 주사위의 3636 가지
칸의 수는 눈의 합
첫째＼둘째112233445566
11223344556677
22334455667788
33445566778899
4455667788991010
556677889910101111
66778899101011111212
칸 하나가 근원사건 하나예요(왼쪽이 첫째, 위가 둘째 주사위). 칠한 66 칸이 합이 77 인 경우라 확률은 636=16\frac{6}{36}=\frac{1}{6} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 두 개를 던질 때 눈의 수의 합이 33 일 확률은?
근원사건의 가능성이 같은지 확인하기
✗ 틀린 풀이
동전 두 개의 결과를 「앞면 22 개, 앞면 11 개, 앞면 00 개」 로 잡으면
서로 다른 면이 나올 확률은 13\frac{1}{3}
왜 틀렸나 n(A)n(S)\frac{n(A)}{n(S)} 는 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때만 쓸 수 있으므로 두 동전을 구별한다.
✓ 바른 풀이
두 동전을 구별하면 S={HH, HT, TH, TT}S=\{HH,\ HT,\ TH,\ TT\}
서로 다른 면이 나올 확률은 24=12\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
바른 계산은 두 동전을 구별한 44 가지 중 HT, THHT,\ TH 의 22 가지를 센다.
확인 방법: 실제로 여러 번 던지면 서로 다른 면은 약 절반의 비율로 나온다.
합의 값을 근원사건으로 잡기
✗ 틀린 풀이
두 눈의 합은 2, 3, ⋯ , 122,\ 3,\ \cdots,\ 12 의 1111 가지이므로
합이 77 일 확률은 111\frac{1}{11}
왜 틀렸나 두 눈의 합의 값들은 일어날 가능성이 서로 다르므로 두 주사위를 구별한 3636 가지로 센다.
✓ 바른 풀이
두 주사위를 구별한 3636 가지 중 합이 77 인 것은 66 가지이므로
636=16\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
합이 22 인 경우는 11 가지, 합이 77 인 경우는 66 가지로 가능성이 서로 달라요.
같은 색의 공을 구별하지 않기
✗ 틀린 풀이
꺼낸 공의 색은 (흰, 흰), (흰, 검), (검, 검) 의 33 가지이므로
모두 흰 공일 확률은 13\frac{1}{3}
왜 틀렸나 같은 색의 공도 서로 다른 것으로 구별해야 근원사건이 일어날 가능성이 같아진다.
✓ 바른 풀이
공을 모두 구별하면
3C25C2=310\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}}=\frac{3}{10}
바른 계산은 공 55 개를 모두 구별하여 5C2=10{}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 가지 중 흰 공 22 개인 3C2=3{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3 가지를 센다.
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기
예경우의 수(조합)를 이용하기
흰 공 33 개, 검은 공 22 개에서 22 개를 동시에 꺼낼 때 모두 흰 공일 확률
공 55 개를 모두 구별하면
n(S)=5C2=10n(S)={}_{5}\mathrm{C}_{2}=10
흰 공 33 개 중 22 개를 꺼내는 경우의 수는
3C2=3{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3
따라서 구하는 확률은 310\frac{3}{10} 이에요.
예경우의 수(순열)를 이용하기
a, b, c, d, ea,\ b,\ c,\ d,\ e 를 일렬로 나열할 때 aa 가 맨 앞에 올 확률
n(S)=5!=120n(S)=5!=120
aa 를 맨 앞에 고정하고 나머지 44 개를 나열하므로
4!=244!=24
따라서 구하는 확률은
24120=15\frac{24}{120}=\frac{1}{5}
성질거꾸로
확률로 개수 구하기
흰 공 nn 개, 검은 공 44 개 중에서 한 개를 꺼낼 때 흰 공일 확률이 23\frac{2}{3} 이면
nn+4=23\frac{n}{n+4}=\frac{2}{3}
양변에 3(n+4)3(n+4) 를 곱하면
3n=2n+83n=2n+8
따라서 n=8n=8
검산: 812=23\frac{8}{12}=\frac{2}{3} 이다.

4통계적 확률

압정을 던지는 시행처럼 근원사건이 일어날 가능성이 같지 않으면 수학적 확률을 쓸 수 없어요.
이때는 실제로 여러 번 반복하여 얻은 상대도수로 확률을 정해요.

정의상대도수와 통계적 확률
같은 시행을 nn 번 반복하여 사건 AA 가 rnr_{n} 번 일어났을 때 rnn\frac{r_{n}}{n} 을 사건 AA 가 일어난 상대도수 라 한다.
nn 을 한없이 크게 할 때 상대도수 rnn\frac{r_{n}}{n} 이 일정한 값 pp 에 가까워지면, 이 값 pp 를 사건 AA 의 통계적 확률이라 한다.
학생
nn 을 한없이 크게 할 수는 없잖아요?
쌤
그래서 실제로는 시행 횟수가 충분히 클 때의 상대도수를 통계적 확률로 봐요. 횟수가 적으면 상대도수가 확률과 꽤 다를 수 있어요.
예압정을 10001000 번 던져 바늘이 위로 향한 횟수가 620620 번일 때
바늘이 위로 향할 통계적 확률은
6201000=0.62\frac{620}{1000}=0.62
상대도수가 확률에 가까우므로 (횟수) ≈\approx (던진 횟수) ×\times (확률)이에요.
이 압정을 500500 번 던지면 바늘이 위로 향하는 횟수는 약
500×0.62=310500\times0.62=310
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
어떤 압정을 200200 번 던져 바늘이 위로 향한 횟수가 120120 번일 때, 바늘이 위로 향할 통계적 확률은?
적은 횟수의 결과를 확률로 보기
✗ 틀린 풀이
동전을 1010 번 던져 앞면이 77 번 나왔으므로
앞면이 나올 확률은 710\frac{7}{10}
왜 틀렸나 확률은 시행 횟수를 충분히 크게 했을 때 상대도수가 가까워지는 값이므로 동전의 앞면은 12\frac{1}{2} 이다.
✓ 바른 풀이
앞면이 나올 확률은 12\frac{1}{2}
710\frac{7}{10} 은 이 1010 번의 상대도수이다.
적은 횟수의 상대도수는 확률과 크게 다를 수 있다.
던지는 횟수를 늘릴수록 상대도수는 12\frac{1}{2} 에 가까워진다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

수학적 확률이 정해진 시행에서도 시행 횟수를 충분히 크게 하면 상대도수는 수학적 확률에 가까워져요.

5기하적 확률

정의기하적 확률
연속적인 영역에서 임의로 한 점을 택할 때처럼 경우의 수를 셀 수 없으면, 영역의 크기(길이, 넓이, 부피)의 비로 확률을 정한다.P(A)=(사건 A에 해당하는 영역의 크기)(전체 영역의 크기)\mathrm{P}(A)=\frac{(\text{사건 }A\text{에 해당하는 영역의 크기})}{(\text{전체 영역의 크기})}이것을 기하적 확률이라 한다. 영역의 어느 곳이 택해질 가능성도 같다고 본다.
연속확률변수의 확률도 이처럼 넓이로 구한다.
학생
점은 셀 수 없이 많은데 왜 길이나 넓이로 나눠도 돼요?
쌤
영역의 어느 곳이 택해질 가능성도 같다고 보니까, 어떤 부분에 떨어질 가능성은 그 부분의 크기에 비례해요. 그래서 크기의 비가 확률이 돼요.
예길이의 비와 넓이의 비
00 이상 55 이하의 실수 중에서 임의로 하나를 택할 때 11 이상 33 이하일 확률은 길이의 비로
3−15−0=25\frac{3-1}{5-0}=\frac{2}{5}
반지름의 길이가 33 인 원 모양의 과녁에 화살을 쏠 때, 중심이 같고 반지름의 길이가 11 인 원 안에 맞을 확률은 넓이의 비로
π×12π×32=19\frac{\pi\times1^{2}}{\pi\times3^{2}}=\frac{1}{9}
(화살은 과녁을 벗어나지 않아요.)
반지름 33 인 과녁과 반지름 11 인 원
31O
넓이의 비로 π×12π×32=19\frac{\pi\times1^{2}}{\pi\times3^{2}}=\frac{1}{9} 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름의 길이가 22 인 원 모양의 과녁에 화살을 쏠 때, 중심이 같고 반지름의 길이가 11 인 원 안에 맞을 확률은? (화살은 과녁을 벗어나지 않는다)
평면 영역에서 길이의 비 쓰기
✗ 틀린 풀이
반지름의 비로
13\frac{1}{3}
왜 틀렸나 화살이 맞는 곳은 평면 위의 점이므로 이 확률은 길이가 아니라 넓이의 비로 구한다.
✓ 바른 풀이
넓이의 비로
π×12π×32=19\frac{\pi\times1^{2}}{\pi\times3^{2}}=\frac{1}{9}
확인 방법: 반지름이 33 배이면 넓이는 32=93^2=9 배이다.
자세히 보기펼치기그림
00 이상 55 이하에서 11 이상 33 이하
전체 길이 55
길이 22
012345
00
11
33
55
길이의 비로 25\frac{2}{5} 예요.

6확률의 기본 성질

사건 AA 는 표본공간의 부분집합이라 0≤n(A)≤n(S)0\le n(A)\le n(S) 예요. 각 변을 n(S)n(S) 로 나누면 확률의 기본 성질이 나와요.

공식확률의 기본 성질
임의의 사건 AA
0≤P(A)≤1\displaystyle 0\le\mathrm{P}(A)\le1
반드시 일어나는 사건
P(S)=1\displaystyle \mathrm{P}(S)=1
절대로 일어나지 않는 사건
P(∅)=0\displaystyle \mathrm{P}(\varnothing)=0
학생
계산한 확률이 11 보다 크게 나오면요?
쌤
계산이 어딘가 틀린 거예요. 겹치는 경우를 두 번 세었거나 n(S)n(S) 를 작게 센 경우가 많아요. 답이 00 이상 11 이하인지 꼭 확인해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 어떤 사건의 확률이 될 수 없는 값은?
자세히 보기펼치기성질 더 보기외우기 카드
성질왜 0≤P(A)≤10\le\mathrm{P}(A)\le1 인가
사건 AA 는 표본공간의 부분집합이므로 ∅⊂A⊂S\varnothing\subset A\subset S 이다.
0≤n(A)≤n(S)0\le n(A)\le n(S)
각 변을 n(S)n(S) 로 나누면
0≤n(A)n(S)≤10\le\frac{n(A)}{n(S)}\le1
즉 0≤P(A)≤10\le\mathrm{P}(A)\le1 이다.
A=SA=S 는 반드시 일어나는 사건이므로 P(S)=n(S)n(S)=1\mathrm{P}(S)=\frac{n(S)}{n(S)}=1
A=∅A=\varnothing 은 절대로 일어나지 않는 사건이므로 P(∅)=0n(S)=0\mathrm{P}(\varnothing)=\frac{0}{n(S)}=0
공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2(사건의 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)
P(A)=n(A)□\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{\square}
단계 1 / 1
P(S)=□\mathrm{P}(S)=\square
단계 1 / 1
P(∅)=□\mathrm{P}(\varnothing)=\square
성질검산하는 방법
구한 확률이 음수이거나 11 보다 크면 계산이 잘못된 것이다.
주사위 두 개처럼 표본공간이 작으면 6×66\times6 표를 그려 직접 세어 확인한다.
분모 n(S)n(S) 와 분자 n(A)n(A) 를 같은 방법(모두 구별, 순서를 생각하는지 여부)으로 셌는지 확인한다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이 표본공간 SS 이고, 그 부분집합이 사건이다.
  2. 2합사건 A∪BA\cup B, 곱사건 A∩BA\cap B, 여사건 ACA^{C} 를 집합으로 다루고, A∩B=∅A\cap B=\varnothing 이면 AA 와 BB 는 서로 배반사건이다.
  3. 3근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때 수학적 확률은 P(A)=n(A)n(S)\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)} 이다.
  4. 4시행을 충분히 많이 반복했을 때의 상대도수가 통계적 확률이고, 어떤 사건이든 0≤P(A)≤10\le\mathrm{P}(A)\le1 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 모양이 같은 동전이나 같은 색의 공을 구별하지 않고 표본공간을 잡아, 일어날 가능성이 다른 결과를 근원사건처럼 세요.
  • 서로 배반인 사건을 여사건과 같은 것으로 생각해요. 여사건은 배반이면서 두 사건의 합사건이 표본공간 전체여야 해요.
  • 공집합 ∅\varnothing 을 사건으로 세지 않거나, 계산한 확률이 11 보다 큰데도 그대로 답해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    서로 다른 주사위 두 개를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 55 일 확률을 구하시오.
  2. 예제 2
    흰 공 44 개, 검은 공 33 개가 들어 있는 주머니에서 22 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공과 검은 공이 11 개씩 나올 확률을 구하시오.
  3. 예제 3
    남학생 33 명, 여학생 22 명을 일렬로 세울 때, 여학생끼리 이웃하여 설 확률을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 확률의 덧셈정리와 여사건 →
이전 개념: 이항정리설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 집합의 연산, 중1 도수분포표와 그래프, 공통수학2 집합의 뜻과 표현, 공통수학2 부분집합의 개수, 중2 확률과 그 기본 성질, 공통수학1 조합, 공통수학1 순열확률과 통계 목차
← 이항정리확률의 덧셈정리와 여사건 →
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