수학 개념 노트전체 과목

집합의 연산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
합집합 A∪BA\cup B, 교집합 A∩BA\cap B, 여집합 ACA^C, 차집합 A−B=A∩BCA-B=A\cap B^C 의 뜻을 알고, 벤 다이어그램의 영역으로 연산 결과를 구해요.
  1. 1합집합과 교집합
  2. 2전체집합과 여집합
  3. 3차집합
  4. 4벤 다이어그램의 영역으로 연산하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1합집합과 교집합

정의합집합과 교집합
두 집합 A, BA,\ B 에 대하여 AA 에 속하거나 BB 에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 AA 와 BB 의 합집합이라 하고, 기호로 A∪BA\cup B 와 같이 나타낸다.A∪B={x∣x∈A 또는 x∈B}A\cup B=\{x \mid x\in A\text{ 또는 }x\in B\}AA 에도 속하고 BB 에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 AA 와 BB 의 교집합이라 하고, 기호로 A∩BA\cap B 와 같이 나타낸다.A∩B={x∣x∈A 그리고 x∈B}A\cap B=\{x \mid x\in A\text{ 그리고 }x\in B\}
A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ B=\{3,\ 4,\ 5,\ 6\}
UAB
1, 21,\ 2
3, 43,\ 4
5, 65,\ 6
  • A∪BA\cup B두 원 안을 한 번씩 모두 모아요. {1, 2, 3, 4, 5, 6}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}
  • A∩BA\cap B두 원이 겹친 곳(칠한 곳)만 모아요. {3, 4}\{3,\ 4\}
합집합은 두 원이 차지하는 부분 전체, 교집합은 겹치는 부분이에요.
학생
「또는」이면 둘 다에 속하는 원소도 들어가요?
쌤
네. A∪BA\cup B 에는 AA 에만, BB 에만, 둘 다에 속하는 원소가 모두 들어가요. 그림에서 3, 43,\ 4 도 A∪BA\cup B 의 원소예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A={1, 2, 3}A=\{1,\ 2,\ 3\}, B={2, 3, 4}B=\{2,\ 3,\ 4\} 일 때 A∩BA\cap B 는?
합집합에서 겹치는 원소
✗ 틀린 풀이
A∪B={1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6}A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}
왜 틀렸나 합집합은 두 집합의 원소를 모두 모으되, 두 집합에 함께 있는 원소는 한 번만 쓴다.
✓ 바른 풀이
A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}A\cup B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}
확인 방법: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) 로 원소의 개수가 맞는지 본다.
정의서로소
두 집합 A, BA,\ B 에서 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 A∩B=∅A\cap B=\varnothing 일 때 AA 와 BB 는 서로 서로소 라 한다.
벤 다이어그램에서 두 원이 겹치지 않는다.
{1, 3, 5}\{1,\ 3,\ 5\} 와 {2, 4}\{2,\ 4\} 는 서로소이다.
서로소
{1, 3, 5}\{1,\ 3,\ 5\} 와 {2, 4}\{2,\ 4\}
UAB
1, 3, 51,\ 3,\ 5
없음
2, 42,\ 4
겹친 곳에 원소가 하나도 없으면 서로소예요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질합집합과 교집합의 기본 성질
교집합의 원소는 AA 에도 있으므로 A∩B⊂AA\cap B\subset A 이다.
AA 의 원소는 합집합에도 있으므로 A⊂A∪BA\subset A\cup B 이다.A∩B⊂A⊂A∪BA\cap B\subset A\subset A\cup BA∩B⊂B⊂A∪BA\cap B\subset B\subset A\cup B같은 집합끼리 연산하면 자기 자신이다.
A∪A=AA\cup A=A
A∩A=AA\cap A=A
공집합은 원소가 없으므로 더해도 그대로이고, 겹치는 원소도 없다.
A∪∅=AA\cup\varnothing=A
A∩∅=∅A\cap\varnothing=\varnothing

2전체집합과 여집합

정의전체집합과 여집합
어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음의 집합을 전체집합이라 하고 보통 UU 로 나타낸다.
전체집합 UU 의 원소 중에서 집합 AA 에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 AA 의 여집합이라 하고, 기호로 ACA^C 와 같이 나타낸다.AC={x∣x∈U 그리고 x∉A}A^C=\{x \mid x\in U\text{ 그리고 }x\notin A\}벤 다이어그램에서 UU 는 직사각형으로, AA 는 그 안의 원으로 그린다. ACA^C 는 직사각형 안에서 원 밖의 부분이다.
ACA^C
UAB
AA 의 원 밖(칠한 곳)이 모두 ACA^C 예요. BB 의 원이라도 AA 와 겹친 곳은 빠져요.
학생
여집합은 무엇을 기준으로 구해요?
쌤
전체집합 UU 를 기준으로 해요. UU 의 원소 중 AA 에 없는 것을 모은 게 ACA^C 라서, UU 가 바뀌면 여집합도 바뀌어요.
예전체집합에 따라 달라지는 여집합
A={2, 4, 6, 8}A=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\} 일 때
U={1, 2, 3, ⋯ , 8}U=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 8\} 이면
AC={1, 3, 5, 7}A^C=\{1,\ 3,\ 5,\ 7\}
U={1, 2, 3, ⋯ , 10}U=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 10\} 이면
AC={1, 3, 5, 7, 9, 10}A^C=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 10\}
여집합은 전체집합이 정해져야 구할 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
U={1, 2, 3, 4, 5}U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}, A={1, 3}A=\{1,\ 3\} 일 때 ACA^C 는?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질전체집합과 여집합의 성질
AA 와 ACA^C 는 UU 를 겹치지 않게 둘로 나눈다.
A∪AC=UA\cup A^C=U
A∩AC=∅A\cap A^C=\varnothing
AA 밖의 밖은 다시 AA 이다.
(AC)C=A(A^C)^C=A
UU 밖에는 원소가 없고, ∅\varnothing 밖은 UU 전체이다.
UC=∅U^C=\varnothing
∅C=U\varnothing^C=U
AA 는 UU 의 부분집합이므로
A∪U=UA\cup U=U
A∩U=AA\cap U=A

3차집합

정의차집합
두 집합 A, BA,\ B 에 대하여 AA 에는 속하지만 BB 에는 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 AA 에 대한 BB 의 차집합이라 하고, 기호로 A−BA-B 와 같이 나타낸다.A−B={x∣x∈A 그리고 x∉B}A-B=\{x \mid x\in A\text{ 그리고 }x\notin B\}벤 다이어그램에서 AA 의 원에서 BB 와 겹치는 부분을 뺀 부분이다.
A−BA-B
UAB
AA 의 원에서 BB 와 겹친 곳을 뺀 부분이에요.
예A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ B=\{3,\ 4,\ 5,\ 6\} 의 차집합
AA 에서 BB 에도 있는 3, 43,\ 4 를 빼요.
A−B={1, 2}A-B=\{1,\ 2\}
BB 에서 AA 에도 있는 3, 43,\ 4 를 빼요.
B−A={5, 6}B-A=\{5,\ 6\}
따라서 A−B≠B−AA-B\ne B-A 이에요. 차집합은 순서를 바꾸면 결과가 달라져요.
학생
A−BA-B 와 B−AB-A 가 같을 때도 있어요?
쌤
A=BA=B 일 때만 같아요. A−BA-B 는 AA 에만, B−AB-A 는 BB 에만 있는 원소라서 겹치는 원소가 없거든요. 둘이 같으려면 둘 다 ∅\varnothing 이어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A={1, 2, 3, 4}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}, B={2, 4, 6}B=\{2,\ 4,\ 6\} 일 때 B−AB-A 는?
차집합의 뜻
✗ 틀린 풀이
A−B={1, 2, 5, 6}A-B=\{1,\ 2,\ 5,\ 6\}
왜 틀렸나 A−BA-B 는 AA 의 원소 중에서 BB 에 없는 것만 모은 집합이므로 AA 밖의 원소는 들어가지 않는다.
✓ 바른 풀이
A−B={1, 2}A-B=\{1,\ 2\}
확인 방법: 구한 원소가 모두 AA 에 있고 BB 에는 없는지 하나씩 확인한다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질A−B=A∩BCA-B=A\cap B^C
x∉Bx\notin B 는 x∈BCx\in B^C 와 같은 뜻이다.
따라서 「x∈Ax\in A 그리고 x∉Bx\notin B」는 「x∈Ax\in A 그리고 x∈BCx\in B^C」와 같다.A−B=A∩BCA-B=A\cap B^C특히 BB 대신 AA, AA 대신 UU 를 넣으면U−A=U∩AC=ACU-A=U\cap A^C=A^C
성질차집합의 기본 성질
A−BA-B 의 원소는 모두 AA 의 원소이다.
A−B⊂AA-B\subset A
자기 자신을 빼면 남는 것이 없고, 공집합을 빼면 그대로이다.
A−A=∅A-A=\varnothing
A−∅=AA-\varnothing=A
A−U=∅A-U=\varnothing
AA 와 BB 가 서로소이면 뺄 원소가 없다.
A∩B=∅A\cap B=\varnothing 이면 A−B=AA-B=A

4벤 다이어그램의 영역으로 연산하기

전체집합 UU 안에 두 집합 A, BA,\ B 를 겹치게 그리면 UU 는 네 영역으로 나뉘고, 모든 원소는 네 영역 중 정확히 한 곳에 들어가요.
여러 연산의 법칙도 이 영역으로 확인해요.

두 집합이 만드는 네 영역
UAB
①
②
③
④
  • ①AA 에만 — A−BA-B
  • ②A, BA,\ B 둘 다 — A∩BA\cap B
  • ③BB 에만 — B−AB-A
  • ④어디에도 없음 — (A∪B)C(A\cup B)^C
연산 결과를 영역 번호로
연산영역연산영역
AA①②ACA^C③④
BB②③BCB^C①④
A∪BA\cup B①②③A−BA-B①
A∩BA\cap B②B−AB-A③
∪\cup 는 번호를 모두 모으고, ∩\cap 는 공통인 번호만 남겨요. 그래서 A−B=A∩BCA-B=A\cap B^C(①), B−A=AC∩BB-A=A^C\cap B(③), (A−B)∪(B−A)(A-B)\cup(B-A) 는 ①, ③ 이에요.
학생
영역 번호로 바꾸면 뭐가 편해요?
쌤
복잡한 식도 번호를 모으거나 공통인 번호만 남기는 계산으로 바뀌어요. 두 식이 같은지도 번호가 같은지만 보면 돼요.
응용
원소를 영역에 나누어 적기
UAB
2,4,8,102,4,8,10
66
3, 93,\ 9
1, 5, 71,\ 5,\ 7
  • UU{1, 2, 3, ⋯ , 10}\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 10\}
  • AA짝수 2, 4, 6, 8, 102,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10
  • BB33 의 배수 3, 6, 93,\ 6,\ 9
  • ③AC∩B={3, 9}A^C\cap B=\{3,\ 9\} (칠한 곳)
  • ④(A∪B)C={1, 5, 7}(A\cup B)^C=\{1,\ 5,\ 7\}
두 집합에 함께 있는 66 은 겹친 곳 ② 에 한 번만 적어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
영역 ① (AA 에만), ② (A∩BA\cap B), ③ (BB 에만), ④ (바깥) 중 (A∪B)∩BC(A\cup B)\cap B^C 에 해당하는 것은?
여집합과 교집합 섞기
✗ 틀린 풀이
AC∩BA^C\cap B 를 AA 와 BB 의 바깥 영역 ④ 로 읽기
AC∩B={1, 5, 7}A^C\cap B=\{1,\ 5,\ 7\}
왜 틀렸나 AC∩BA^C\cap B 는 AA 밖이면서 동시에 BB 안인 영역이므로 두 영역의 공통 부분을 읽어야 한다.
✓ 바른 풀이
AC=A^C= ③, ④ 와 B=B= ②, ③ 의 공통 영역
AC∩B={3, 9}A^C\cap B=\{3,\ 9\}
∩\cap 는 공통인 영역만 남겨요.
먼저 각 집합을 영역 번호로 바꾸면 실수가 줄어들어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
여러 연산이 섞인 집합을 영역으로 구하기
  1. 1
    각 집합을 영역 번호의 모임으로 써요.
  2. 2
    괄호 안의 연산부터 해요.
    ∪\cup 는 번호를 모두 모으고, ∩\cap 는 공통인 번호만 남겨요.
  3. 3
    여집합은 빠진 번호를, 차집합은 앞의 번호에서 뒤의 번호를 뺀 것을 써요.
  4. 4
    원소가 주어지면 원소를 영역에 나누어 적은 뒤 해당 영역의 원소를 모아요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1A∪B={x∣x∈A 또는 x∈B}A\cup B=\{x \mid x\in A\text{ 또는 }x\in B\} 이고 A∩B={x∣x∈A 그리고 x∈B}A\cap B=\{x \mid x\in A\text{ 그리고 }x\in B\} 이다.
  2. 2A∩B=∅A\cap B=\varnothing 이면 AA 와 BB 는 서로소이다.
  3. 3전체집합 UU 에 대하여 AC={x∣x∈U 그리고 x∉A}A^C=\{x \mid x\in U\text{ 그리고 }x\notin A\} 이고, A−B={x∣x∈A 그리고 x∉B}=A∩BCA-B=\{x \mid x\in A\text{ 그리고 }x\notin B\}=A\cap B^C 이다.
  4. 4두 집합의 벤 다이어그램은 네 영역으로 나뉘고, 모든 연산 결과는 이 영역들의 모임으로 나타난다.
✗ 자주 하는 실수
  • 합집합을 구할 때 두 집합에 함께 들어 있는 원소를 두 번 쓰거나, ∪\cup 와 ∩\cap 를 바꿔 써요.
  • A−BA-B 를 「두 집합에서 겹치는 원소를 뺀 나머지 전체」로 생각하여 BB 에만 있는 원소까지 넣거나, A−BA-B 와 B−AB-A 를 같다고 생각해요.
  • 전체집합을 확인하지 않고 여집합을 구하거나, AC∩BA^C\cap B 처럼 여집합이 섞인 연산에서 영역을 잘못 골라요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 집합 A={x∣x는 12의 양의 약수}A=\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\}, B={x∣x는 18의 양의 약수}B=\{x \mid x\text{는 }18\text{의 양의 약수}\} 에 대하여 A∪BA\cup B, A∩BA\cap B 를 구하시오.
  2. 예제 2
    전체집합 U={1, 2, 3, ⋯ , 9}U=\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9\} 의 두 부분집합 A={1, 2, 3, 4, 5}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}, B={2, 4, 6, 8}B=\{2,\ 4,\ 6,\ 8\} 에 대하여 ACA^C, A−BA-B, A∩BCA\cap B^C 를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 집합 A={1, 3, a2}A=\{1,\ 3,\ a^2\}, B={a−1, 4, 5}B=\{a-1,\ 4,\ 5\} 에 대하여 A∩B={4}A\cap B=\{4\} 일 때, A∪BA\cup B 를 구하시오. (단, aa 는 실수)

다음 공부

다음 개념: 집합의 연산 법칙과 원소의 개수 →다음 개념: 명제와 조건 →
이전 개념: 집합의 뜻과 표현설명에서 참고한 다른 과목 개념: 확률과 통계 확률의 덧셈정리와 여사건 (나중에)공통수학2 목차
← 부분집합의 개수집합의 연산 법칙과 원소의 개수 →
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