수학 개념 노트전체 과목

집합의 뜻과 표현

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
대상이 분명한 것들의 모임이 집합이고, 집합은 원소나열법·조건제시법·벤 다이어그램으로 나타내요. 집합 AA 의 모든 원소가 집합 BB 에 속하면 A⊂BA\subset B 이고, A⊂BA\subset B 이고 B⊂AB\subset A 이면 A=BA=B 이에요.
  1. 1집합과 원소
  2. 2집합을 나타내는 방법
  3. 3유한집합, 무한집합, 공집합
  4. 4부분집합
  5. 5서로 같은 집합
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1집합과 원소

정의집합과 원소
어떤 기준에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임을 집합이라 한다.
집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소 라 한다.
학생
아무 모임이나 집합이라고 해요?
쌤
아니요. 어떤 대상이 그 모임에 속하는지 아닌지를 누구나 똑같이 판단할 수 있어야 집합이에요. 「1010 이하의 소수의 모임」은 집합이지만 「키가 큰 학생의 모임」은 아니에요.
성질원소를 나타내는 기호
aa 가 집합 AA 의 원소일 때 「aa 는 집합 AA 에 속한다」고 하며, 기호로 다음과 같이 나타낸다.a∈Aa\in Abb 가 집합 AA 의 원소가 아닐 때 「bb 는 집합 AA 에 속하지 않는다」고 하며, 기호로 다음과 같이 나타낸다.b∉Ab\notin A예를 들어 AA 가 1010 이하의 소수의 집합이면
3∈A3\in A
4∉A4\notin A
집합은 보통 대문자 A, B, C, ⋯A,\ B,\ C,\ \cdots 로, 원소는 소문자 a, b, c, ⋯a,\ b,\ c,\ \cdots 로 나타낸다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 집합인 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

「1010 이하의 소수의 모임」은 2, 3, 5, 72,\ 3,\ 5,\ 7 로 대상이 분명하므로 집합이에요.
「키가 큰 학생의 모임」은 「크다」의 기준이 사람마다 달라 대상을 분명하게 정할 수 없으므로 집합이 아니에요.
집합인지 아닌지는 「어떤 대상이 그 모임에 속하는지 아닌지를 누구나 똑같이 판단할 수 있는가」로 정해요.

2집합을 나타내는 방법

정의원소나열법과 조건제시법
집합에 속하는 모든 원소를 기호 { }\{\ \} 안에 나열하여 나타내는 방법을 원소나열법이라 한다.
A={2, 3, 5, 7}A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7\}
집합의 원소들이 갖는 공통된 성질을 조건으로 제시하여 나타내는 방법을 조건제시법이라 한다.
A={x∣x는 10 이하의 소수}A=\{x \mid x\text{는 }10\text{ 이하의 소수}\}
성질원소나열법의 약속
원소를 나열하는 순서는 생각하지 않는다.
{1, 2, 3}\{1,\ 2,\ 3\} 과 {3, 1, 2}\{3,\ 1,\ 2\} 는 같은 집합이다.
같은 원소는 한 번만 쓴다.
{1, 1, 2}\{1,\ 1,\ 2\} 로 쓰지 않고 {1, 2}\{1,\ 2\} 로 쓴다.
원소가 많고 규칙이 분명하면 「⋯\cdots」를 써서 줄여 쓴다.
{1, 2, 3, ⋯ , 100}\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100\}
{2, 4, 6, ⋯ }\{2,\ 4,\ 6,\ \cdots\}
한 집합을 세 가지로 나타내기
UA
1, 2, 3, 61,\ 2,\ 3,\ 6
  • 원소나열법A={1, 2, 3, 6}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\} — 원소를 직접 보여 줘요.
  • 조건제시법A={x∣x는 6의 양의 약수}A=\{x \mid x\text{는 }6\text{의 양의 약수}\} — 원소가 많거나 무수히 많을 때 편해요.
  • 벤 다이어그램왼쪽 그림 — 집합 사이의 관계를 한눈에 보여 줘요.
학생
원소나열법과 조건제시법 중 어느 것을 써야 해요?
쌤
원소가 적으면 원소나열법이 한눈에 보여요. 원소가 많거나 무수히 많으면 조건제시법으로 공통된 성질을 쓰는 게 편해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x∣x는 8의 양의 약수}\{x \mid x\text{는 }8\text{의 양의 약수}\} 를 원소나열법으로 나타낸 것은?
조건을 만족시키는 원소 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
{x∣x는 12의 양의 약수}={2, 3, 4, 6}\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\}=\{2,\ 3,\ 4,\ 6\}
왜 틀렸나 1212 의 양의 약수에는 11 과 1212 자신도 들어가므로 조건을 만족시키는 원소를 빠짐없이 쓴다.
✓ 바른 풀이
{x∣x는 12의 양의 약수}={1, 2, 3, 4, 6, 12}\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}
확인 방법: 12=1×12=2×6=3×412=1\times12=2\times6=3\times4 처럼 곱해서 1212 가 되는 짝을 모두 찾으면 빠뜨리지 않는다.
같은 원소를 여러 번 쓰기
✗ 틀린 풀이
B={0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4}B=\{0,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 3,\ 4\}
n(B)=9n(B)=9
왜 틀렸나 집합에서 같은 원소는 한 번만 쓰므로 원소의 개수는 서로 다른 원소만 세어야 한다.
✓ 바른 풀이
B={0, 1, 2, 3, 4}B=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}
n(B)=5n(B)=5
확인 방법: 원소를 작은 수부터 차례로 늘어놓으면 겹치는 것이 바로 보인다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기왜 그런지예제
성질조건제시법의 모양
{x∣x에 대한 조건}\{x \mid x\text{에 대한 조건}\}세로선 앞의 xx 는 원소를 대표하는 문자이고, 세로선 뒤는 xx 가 만족시켜야 할 조건이다.
세로선 앞에 식이 올 수도 있다. 이때는 조건에 맞는 값을 식에 넣은 결과가 원소이다.{2k−1∣k는 자연수}={1, 3, 5, ⋯ }\{2k-1 \mid k\text{는 자연수}\}=\{1,\ 3,\ 5,\ \cdots\}k=1, 2, 3, ⋯k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 차례로 2k−12k-1 에 넣은 것이다.
정의벤 다이어그램
집합을 원이나 직사각형 같은 도형으로 나타내고, 그 안에 원소를 적어 나타낸 그림을 벤 다이어그램이라 한다.
A={2, 3, 5, 7}A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7\} 을 벤 다이어그램으로 나타내려면 원 하나를 그리고 이름을 AA 라 붙인 뒤, 원 안에 2, 3, 5, 72,\ 3,\ 5,\ 7 을 적는다.
원 안에 적힌 것만 AA 의 원소이고, 원 밖에 있는 것은 AA 의 원소가 아니다.
두 집합 사이의 관계도 벤 다이어그램으로 나타낸다.
조건제시법을 원소나열법으로 바꾸기
  1. 1
    조건을 만족시키는 값을 작은 것부터 빠짐없이 찾아요.
    약수라면 11 과 자기 자신도 넣어요.
  2. 2
    세로선 앞이 식이면 가능한 값을 모두 식에 넣어 계산해요.
    문자가 둘이면 한 문자를 고정하고 다른 문자를 바꾸어 가며 계산해요.
  3. 3
    같은 값은 한 번만 써요.
    그래야 원소의 개수를 바르게 셀 수 있어요.
예응용
원소가 식으로 주어진 집합
A={0, 1, 2}A=\{0,\ 1,\ 2\} 일 때 B={x+y∣x∈A, y∈A}B=\{x+y \mid x\in A,\ y\in A\} 를 원소나열법으로 나타내 봐요.
아래 표에서 나온 99 개의 값 중 같은 값은 한 번만 쓰면
B={0, 1, 2, 3, 4}B=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}
x+yx+y 의 값 모두 구하기
x\yx\backslash y001122
00001122
11112233
22223344
왼쪽에서 xx, 위에서 yy 를 골라 더한 99 칸이에요. 같은 값은 한 번만 세요.

3유한집합, 무한집합, 공집합

정의유한집합과 무한집합
원소가 유한개인 집합을 유한집합, 원소가 무수히 많은 집합을 무한집합이라 한다.
원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하고, 기호로 ∅\varnothing 과 같이 나타낸다.
공집합은 원소가 00 개이므로 유한집합으로 생각한다.
정의원소의 개수 n(A)n(A)
유한집합 AA 의 원소의 개수를 기호로 n(A)n(A) 와 같이 나타낸다.n(∅)=0n(\varnothing)=0
학생
n(A)n(A) 는 무한집합에도 써요?
쌤
아니요. n(A)n(A) 는 유한집합의 원소의 개수를 나타내는 기호라서 무한집합에는 쓰지 않아요.
예유한집합·무한집합·공집합 구별하기
n({1, 2, 3, 6})=4n(\{1,\ 2,\ 3,\ 6\})=4 이므로 유한집합이에요.
{2, 4, 6, ⋯ }\{2,\ 4,\ 6,\ \cdots\} 는 원소가 무수히 많으므로 무한집합이에요.
{x∣1<x<2, x는 실수}\{x \mid 1<x<2,\ x\text{는 실수}\} 는 11 과 22 사이의 실수가 무수히 많으므로 무한집합이에요.
{x∣x2<0, x는 실수}\{x \mid x^2<0,\ x\text{는 실수}\} 는 제곱이 음수인 실수가 없으므로 공집합이에요.
n({0})=1n(\{0\})=1
n({∅})=1n(\{\varnothing\})=1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
n({0})n(\{0\}) 의 값은?
{0}\{0\} 과 ∅\varnothing
✗ 틀린 풀이
n({0})=0n(\{0\})=0
{0}=∅\{0\}=\varnothing
왜 틀렸나 {0}\{0\} 은 수 00 을 원소로 하나 가진 집합이므로 원소가 없는 공집합과 다르다.
✓ 바른 풀이
n({0})=1n(\{0\})=1
{0}≠∅\{0\}\ne\varnothing
원소가 하나도 없는 집합만 ∅\varnothing 이다.
{∅}\{\varnothing\} 도 ∅\varnothing 하나를 원소로 가지므로 공집합이 아니다.
⚠ 주의원소의 개수가 같다고 같은 집합은 아니다
n({1, 2})=n({3, 4})=2n(\{1,\ 2\})=n(\{3,\ 4\})=2 이에요.
그러나 {1, 2}≠{3, 4}\{1,\ 2\}\ne\{3,\ 4\} 이에요.
n(A)=n(B)n(A)=n(B) 는 개수만 같다는 뜻이에요.

4부분집합

정의부분집합
집합 AA 의 모든 원소가 집합 BB 에 속할 때, AA 를 BB 의 부분집합이라 한다.
이것을 기호로 A⊂BA\subset B 와 같이 나타내고, 「AA 는 BB 에 포함된다」 또는 「BB 는 AA 를 포함한다」고 읽는다.
AA 가 BB 의 부분집합이 아닐 때는 A⊄BA\not\subset B 로 나타낸다.
벤 다이어그램에서 A⊂BA\subset B 는 AA 의 원이 BB 의 원 안에 통째로 들어가 있는 모양이다.
A={1, 2}, B={1, 2, 3}A=\{1,\ 2\},\ B=\{1,\ 2,\ 3\}
BB
33
AA
1, 21,\ 2
AA 가 BB 안에 통째로 들어가 있으므로 A⊂BA\subset B 예요. 아래처럼 AA 에만 있는 원소가 하나라도 있으면 A⊄BA\not\subset B 예요.
A={1, 4}, B={1, 2, 3}A=\{1,\ 4\},\ B=\{1,\ 2,\ 3\}
UAB
44
11
2, 32,\ 3
칠한 곳(AA 에만 있는 곳)에 44 가 있으므로 A⊄BA\not\subset B 예요. A⊂BA\subset B 이려면 이 곳이 비어 있어야 해요.
학생
A⊄BA\not\subset B 는 어떻게 보여요?
쌤
AA 에는 있고 BB 에는 없는 원소를 하나만 찾으면 돼요. 그림에서 44 가 그런 원소예요.
성질포함 관계의 성질
임의의 집합 A, B, CA,\ B,\ C 에 대하여 다음이 성립한다.
∅⊂A\varnothing\subset A
공집합에는 원소가 없으므로 「AA 에 속하지 않는 원소」도 없다. 따라서 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
A⊂AA\subset A
AA 의 원소는 당연히 AA 에 속하므로 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.
A⊂BA\subset B 이고 B⊂CB\subset C 이면 A⊂CA\subset C
x∈Ax\in A 이면 x∈Bx\in B 이고, x∈Bx\in B 이면 x∈Cx\in C 이기 때문이다.
정의진부분집합
A⊂BA\subset B 이고 A≠BA\ne B 일 때, AA 를 BB 의 진부분집합이라 한다.
즉 BB 의 부분집합 중에서 BB 자신을 뺀 것이 BB 의 진부분집합이다.
{1, 2}\{1,\ 2\} 의 부분집합은 ∅, {1}, {2}, {1, 2}\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,\ 2\} 이고, 이 중 진부분집합은 ∅, {1}, {2}\varnothing,\ \{1\},\ \{2\} 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
B={1, 2, 3}B=\{1,\ 2,\ 3\} 일 때 옳은 것은?
∈\in 와 ⊂\subset 구별하기
✗ 틀린 풀이
1⊂{1, 2}1\subset\{1,\ 2\}
왜 틀렸나 ∈\in 는 원소와 집합 사이에, ⊂\subset 는 집합과 집합 사이에 쓰므로 수 11 에는 ∈\in 를 쓴다.
✓ 바른 풀이
1∈{1, 2}1\in\{1,\ 2\}
{1}⊂{1, 2}\{1\}\subset\{1,\ 2\}
확인 방법: 기호 왼쪽이 {1}\{1\} 처럼 중괄호로 묶인 집합이면 ⊂\subset, 11 처럼 원소 하나이면 ∈\in 를 쓴다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

B={1, 2, 3}B=\{1,\ 2,\ 3\} 일 때 {1, 2}⊂B\{1,\ 2\}\subset B 이지만 {1, 4}⊄B\{1,\ 4\}\not\subset B 예요.
A⊄BA\not\subset B 임을 보이려면 「AA 에는 있고 BB 에는 없는 원소」를 하나만 찾으면 돼요.

예응용
원소가 집합인 집합
A={∅, 1, {1, 2}}A=\{\varnothing,\ 1,\ \{1,\ 2\}\} 의 원소는 ∅\varnothing, 11, {1, 2}\{1,\ 2\} 의 33 개예요.
∅\varnothing 이 원소로 들어 있으므로
∅∈A\varnothing\in A
공집합은 모든 집합의 부분집합이므로
∅⊂A\varnothing\subset A
1∈A1\in A 이므로
{1}⊂A\{1\}\subset A
{1, 2}\{1,\ 2\} 가 원소로 들어 있으므로
{1, 2}∈A\{1,\ 2\}\in A
그러나 수 22 는 AA 의 원소가 아니므로
{1, 2}⊄A\{1,\ 2\}\not\subset A

5서로 같은 집합

정의서로 같은 집합
두 집합 A, BA,\ B 에 대하여 A⊂BA\subset B 이고 B⊂AB\subset A 일 때, AA 와 BB 는 서로 같다고 하며 A=BA=B 로 나타낸다.
두 집합 A, BA,\ B 가 서로 같지 않을 때는 A≠BA\ne B 로 나타낸다.
학생
A⊂BA\subset B 만 확인하면 안 돼요?
쌤
안 돼요. {1}⊂{1, 2}\{1\}\subset\{1,\ 2\} 이지만 두 집합은 같지 않아요. 거꾸로 B⊂AB\subset A 까지 확인해야 원소가 완전히 같아요.
공식기호 정리
원소이다
a∈A\displaystyle a\in A
aa 는 집합 AA 에 속한다.
원소가 아니다
a∉A\displaystyle a\notin A
부분집합
A⊂B\displaystyle A\subset B
AA 의 모든 원소가 BB 에 속한다.
진부분집합
A⊂B, A≠B\displaystyle A\subset B,\ A\ne B
A=BA=B
A⊂B 이고 B⊂A\displaystyle A\subset B\text{ 이고 }B\subset A
서로 같은 집합
예{2, a+1, 5}={2, 3, b+2}\{2,\ a+1,\ 5\}=\{2,\ 3,\ b+2\}
두 집합이 같으면 왼쪽의 원소는 모두 오른쪽에도 있어야 해요.
왼쪽의 55 는 오른쪽의 22, 33 과 다르므로 5=b+25=b+2 이어야 해요.
그러면 남은 a+1a+1 은 33 과 같아야 하므로
a+1=3a+1=3
b+2=5b+2=5
따라서 a=2, b=3a=2,\ b=3
확인: 두 집합 모두 {2, 3, 5}\{2,\ 3,\ 5\} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{3, a+2}={3, 7}\{3,\ a+2\}=\{3,\ 7\} 일 때 aa 의 값은?
예응용
A={1, a2+1}, B={a+3, 5}A=\{1,\ a^2+1\},\ B=\{a+3,\ 5\} 이고 A=BA=B
A=BA=B 이면 BB 의 원소 55 가 AA 에도 있어야 하고, 1≠51\ne5 이므로
a2+1=5a^2+1=5
a=2a=2 또는 a=−2a=-2
a=2a=2 이면 A={1, 5}A=\{1,\ 5\}, B={5}B=\{5\} 이므로 A≠BA\ne B
a=−2a=-2 이면 A={1, 5}A=\{1,\ 5\}, B={1, 5}B=\{1,\ 5\} 이므로 A=BA=B
따라서 a=−2a=-2
구한 값을 확인하지 않기
✗ 틀린 풀이
a2+1=5a^2+1=5 에서
a=2a=2 또는 a=−2a=-2
왜 틀렸나 식에서 구한 값은 후보일 뿐이므로 두 집합에 넣어 조건에 맞는지 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
a=2a=2 를 넣으면 B={5}B=\{5\} 가 되어 맞지 않으므로
a=−2a=-2
확인 방법: 각 후보를 넣어 두 집합의 원소를 실제로 써 보고, 조건에 맞는 값만 답으로 남긴다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

A⊂BA\subset B 이면 AA 의 원소는 모두 BB 에 있고, B⊂AB\subset A 이면 BB 의 원소는 모두 AA 에 있어요.
따라서 두 조건이 함께 성립하면 두 집합의 원소가 완전히 같아요.
원소나열법으로 나타냈을 때 나열 순서와 상관없이 원소가 모두 같으면 서로 같은 집합이에요.
이차방정식 x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 의 해를 모으면
{x∣x2−3x+2=0}={1, 2}\{x \mid x^2-3x+2=0\}=\{1,\ 2\}
{x∣x는 4의 양의 약수}={1, 2, 4}\{x \mid x\text{는 }4\text{의 양의 약수}\}=\{1,\ 2,\ 4\}

두 집합이 같아지도록 미지수 정하기
  1. 1
    한쪽 집합에만 보이는 원소가 다른 집합의 어느 원소와 같아야 하는지 찾아요.
    원소의 개수가 같아야 함도 함께 생각해요.
  2. 2
    식을 세워 미지수의 값을 구해요.
  3. 3
    구한 값을 넣어 두 집합을 원소나열법으로 다시 쓰고, 정말 같은지 확인해요.
    값을 넣으면 원소가 겹쳐 개수가 줄어드는 경우가 있어요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1기준이 분명하여 대상을 정할 수 있는 것들의 모임을 집합, 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소라 한다.
  2. 2aa 가 집합 AA 의 원소이면 a∈Aa\in A, 원소가 아니면 a∉Aa\notin A 로 나타낸다.
  3. 3집합은 원소나열법, 조건제시법, 벤 다이어그램으로 나타내고, 유한집합 AA 의 원소의 개수를 n(A)n(A) 로 나타낸다.
  4. 4AA 의 모든 원소가 BB 에 속하면 A⊂BA\subset B 이고, A⊂BA\subset B 이고 B⊂AB\subset A 이면 A=BA=B 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 원소와 집합 사이에 ⊂\subset 를 쓰거나(1⊂{1, 2}1\subset\{1,\ 2\}), 집합과 집합 사이에 ∈\in 를 써요.
  • {0}\{0\} 이나 {∅}\{\varnothing\} 을 공집합으로 생각하여 n({0})=0n(\{0\})=0 이라고 해요.
  • 원소나열법으로 바꿀 때 같은 원소를 여러 번 쓰거나 조건을 만족시키는 원소를 빠뜨리고, 미지수를 구한 뒤 두 집합에 다시 넣어 확인하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    A={x∣x는 18의 양의 약수}A=\{x \mid x\text{는 }18\text{의 양의 약수}\} 를 원소나열법으로 나타내고, n(A)n(A) 를 구하시오.
  2. 예제 2
    A={−1, 1, 2}A=\{-1,\ 1,\ 2\} 일 때, 집합 B={xy∣x∈A, y∈A}B=\{xy \mid x\in A,\ y\in A\} 를 원소나열법으로 나타내고 n(B)n(B) 를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 집합 A={2, a2−1}A=\{2,\ a^2-1\}, B={a, 3}B=\{a,\ 3\} 에 대하여 A=BA=B 일 때, 실수 aa 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 부분집합의 개수 →다음 개념: 집합의 연산 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 소수와 거듭제곱, 중3 제곱근과 실수, 중3 이차방정식공통수학2 목차
← 대칭이동부분집합의 개수 →
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학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

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