확률의 덧셈정리와 여사건

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 사건

A,\ B

에 대하여

\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)

이고, 여사건의 확률은

\mathrm{P}(A^{C})=1-\mathrm{P}(A)

이에요.

1확률의 덧셈정리
2배반사건의 덧셈정리
3여사건의 확률
4「적어도」 문제
5경우의 수로 확률 구하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1확률의 덧셈정리

성질확률의 덧셈정리

표본공간

S

의 두 사건

A,\ B

에 대하여 다음이 성립하고, 이것을 확률의 덧셈정리 라 한다.

\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)

학생

왜

\mathrm{P}(A\cap B)

를 빼요?

쌤

\mathrm{P}(A)

와

\mathrm{P}(B)

에 겹치는 부분

A\cap B

가 한 번씩, 모두 두 번 들어 있어요. 한 번만 세려고 한 번 빼요.

n(A)+n(B)

에서 두 번 세어지는 곳

$n(A)$ ①+②
$n(B)$ ②+③
$n(A)+n(B)$ ①+②+②+③ : 칠한 ②를 두 번 세었어요
$n(A\cup B)$ ①+②+③ $=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

공식확률의 덧셈정리

두 사건

\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)

겹치는 부분

A\cap B

를 한 번 뺀다.

A\cap B=\varnothing

\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)

A

와

B

가 서로 배반사건일 때

거꾸로 쓰기

\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cup B)

합사건의 확률을 알 때 곱사건의 확률을 구한다.

예

1

부터

20

까지의 자연수가 적힌 카드 중 한 장을 뽑을 때,

2

의 배수 또는

3

의 배수일 확률

2

의 배수인 사건을

A

3

의 배수인 사건을

B

라 하면

\mathrm{P}(A)=\frac{10}{20}

\mathrm{P}(B)=\frac{6}{20}

A\cap B

는

6

의 배수인 사건이므로

\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{3}{20}

따라서

\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{10}{20}+\frac{6}{20}-\frac{3}{20}=\frac{13}{20}

카드

20

장

$A$ 에만 $2,\ 4,\ 8,\ 10,\ 14,\ 16,\ 20$ ( $7$ 장)
$A\cap B$ $6,\ 12,\ 18$ ( $3$ 장, 한 번만 세요)
$B$ 에만 $3,\ 9,\ 15$ ( $3$ 장)

A

2

의 배수,

B

3

의 배수예요. 두 원 안의 카드는

7+3+3=13

장이라

\frac{13}{20}

이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\mathrm{P}(A)=\frac{1}{2}

\mathrm{P}(B)=\frac{1}{3}

\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{4}

일 때

\mathrm{P}(A\cup B)

의 값은?

겹치는 부분을 빼지 않기

✗ 틀린 풀이

\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{10}{20}+\frac{6}{20}=\frac{4}{5}

왜 틀렸나 두 사건이 동시에 일어나는 경우가 있으면 두 번 세어진

\mathrm{P}(A\cap B)

를 한 번 빼야 한다.

✓ 바른 풀이

\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{10}{20}+\frac{6}{20}-\frac{3}{20}=\frac{13}{20}

6,\ 12,\ 18

은

2

의 배수이면서

3

의 배수라서 두 번 세어졌어요.

자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제

이 식이 나오는 이유는 다음과 같아요. 표본공간 $S$ 의 두 사건 $A,\ B$ 에 대하여 합집합의 원소의 개수는
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
양변을 $n(S)$ 로 나누면 $\frac{n(A\cup B)}{n(S)}=\frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\cap B)}{n(S)}$ 각 항이 확률이므로 위의 덧셈정리가 돼요.

성질틀로 외우기

\mathrm{P}(□\cup△)

\mathrm{P}(□\cup△)=\mathrm{P}(□)+\mathrm{P}(△)-\mathrm{P}(□\cap△)

「각각 더하고, 겹친 것을 한 번 뺀다」로 외운다.
□, △ 자리에는 여사건이나 다른 문자의 사건도 그대로 들어간다.

\mathrm{P}(A^{C}\cup B)=\mathrm{P}(A^{C})+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A^{C}\cap B)

덧셈정리를 쓰는 순서

1
두 사건 $A,\ B$ 를 정해요.
「또는」 으로 이어진 두 조건이 각각 $A$ 와 $B$ 이에요.
2
$\mathrm{P}(A),\ \mathrm{P}(B),\ \mathrm{P}(A\cap B)$ 를 구해요.
$A\cap B$ 는 두 조건을 동시에 만족시키는 사건이에요.
3
덧셈정리에 대입해요.
결과는 $\mathrm{P}(A)$ , $\mathrm{P}(B)$ 각각보다 작지 않고 $\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$ 보다 크지 않아야 해요.

예응용

주사위 한 개를 던질 때 홀수가 아닌 눈 또는 소수의 눈이 나올 확률

홀수의 눈이 나오는 사건을

A

, 소수의 눈이 나오는 사건을

B

라 하면 구하는 확률은

\mathrm{P}(A^{C}\cup B)

이에요.

A^{C}=\{2,\ 4,\ 6\}

B=\{2,\ 3,\ 5\}

A^{C}\cap B=\{2\}

틀의 □ 에

A^{C}

, △ 에

B

를 넣으면

\mathrm{P}(A^{C}\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2각각 더하고 겹친 것을 뺀다

\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\square

단계 1 / 2

\mathrm{P}(A^{C})=\square-\mathrm{P}(A)

단계 1 / 2드모르간 법칙

\mathrm{P}(A^{C}\cap B^{C})=1-\mathrm{P}(\square)

2배반사건의 덧셈정리

성질서로 배반사건일 때

A

와

B

가 서로 배반사건 이면

A\cap B=\varnothing

이므로

\mathrm{P}(A\cap B)=0

이다.
따라서 덧셈정리는

\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)

가 된다. 동시에 일어나지 않는 경우로 나누어 확률을 더할 수 있는 근거이다.

학생

두 사건이 배반인지는 어떻게 확인해요?

쌤

두 사건에 함께 들어 있는 결과가 하나라도 있는지 찾아봐요. 하나도 없으면

A\cap B=\varnothing

이라 배반이에요. 주사위의 짝수의 눈과

3

의 배수의 눈은

6

이 겹쳐서 배반이 아니에요.

예주사위 두 개를 던질 때 눈의 수의 합이

3

또는

10

일 확률

합이

3

인 사건과 합이

10

인 사건은 동시에 일어나지 않으므로 서로 배반사건이에요.
합이

3

인 경우는

(1,\ 2),\ (2,\ 1)

이므로 확률은

\frac{2}{36}

합이

10

인 경우는

(4,\ 6),\ (5,\ 5),\ (6,\ 4)

이므로 확률은

\frac{3}{36}

따라서 구하는 확률은

\frac{2}{36}+\frac{3}{36}=\frac{5}{36}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 한 개를 던질 때

1

의 눈 또는

6

의 눈이 나올 확률은?

배반이 아닌데 그냥 더하기

✗ 틀린 풀이

주사위 한 개에서 짝수 또는

3

의 배수의 눈이 나올 확률

\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}

왜 틀렸나 그냥 더해도 되는 것은 배반사건일 때뿐이므로, 두 사건에 함께 속하는

6

의 확률을 빼야 한다.

✓ 바른 풀이

주사위 한 개에서 짝수 또는

3

의 배수의 눈이 나올 확률

\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}

확인 방법: 짝수 또는

3

의 배수인 눈은

2,\ 3,\ 4,\ 6

의

4

개이므로

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

이다.

자세히 보기펼치기예제

예거꾸로

곱사건의 확률 구하기

\mathrm{P}(A)=\frac{1}{2}

\mathrm{P}(B)=\frac{1}{3}

이고

\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{2}{3}

일 때

\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cup B)

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}

\mathrm{P}(A\cap B)\ne0

이므로

A

와

B

는 서로 배반사건이 아니에요.

3여사건의 확률

성질

\mathrm{P}(A^{C})=1-\mathrm{P}(A)

인 이유

사건

A

와 그 여사건

A^{C}

는 서로 배반사건이고

A\cup A^{C}=S

이다.
배반사건의 덧셈정리에 의해

\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(A^{C})=\mathrm{P}(S)=1

따라서

\mathrm{P}(A^{C})=1-\mathrm{P}(A)

공식여사건의 확률

여사건

\displaystyle \mathrm{P}(A^{C})=1-\mathrm{P}(A)

합사건의 여사건

\displaystyle \mathrm{P}(A^{C}\cap B^{C})=1-\mathrm{P}(A\cup B)

드모르간 법칙

A^{C}\cap B^{C}=(A\cup B)^{C}

곱사건의 여사건

\displaystyle \mathrm{P}(A^{C}\cup B^{C})=1-\mathrm{P}(A\cap B)

드모르간 법칙

A^{C}\cup B^{C}=(A\cap B)^{C}

예주사위 두 개를 던질 때 서로 다른 눈이 나올 확률

「서로 다른 눈」 의 여사건은 「같은 눈」 이에요.
같은 눈이 나오는 경우는

(1,\ 1),\ (2,\ 2),\ \cdots,\ (6,\ 6)

의

6

가지이므로 그 확률은

\frac{6}{36}=\frac{1}{6}

따라서 구하는 확률은

1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

검산: 서로 다른 눈은

36-6=30

가지이고

\frac{30}{36}=\frac{5}{6}

이에요.

두 주사위의

36

칸

첫째＼둘째	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	같음
$2$		같음
$3$			같음
$4$				같음
$5$					같음
$6$						같음

칠한 대각선

6

칸이 여사건 「같은 눈」이고, 나머지

36-6=30

칸이 「서로 다른 눈」이에요.

학생

여사건은 언제 쓰면 편해요?

쌤

구하는 사건의 경우는 많고 반대쪽 경우는 적을 때예요. 「서로 다른 눈」은

30

가지지만 여사건 「같은 눈」은

6

가지뿐이라 세기 쉬워요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\mathrm{P}(A\cup B)=\frac{3}{5}

일 때

\mathrm{P}(A^{C}\cap B^{C})

의 값은?

4「적어도」 문제

「적어도 한 개」 처럼 경우가 많은 사건은 여사건 「모두 ~ 이 아니다」 의 확률을 구해 $1$ 에서 빼요.
여사건은 경우가 하나뿐이라 세기 쉬운 경우가 많아요.

공식자주 쓰는 여사건

적어도 하나는

A

\displaystyle \text{모두 }A\text{가 아니다}

k

이상

\displaystyle k\text{ 미만}

서로 다르다

\displaystyle \text{모두 같다}

두 개일 때

예동전

3

개를 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률

여사건은 「모두 뒷면」 이에요. 세 동전의 결과

2^{3}=8

가지 중 모두 뒷면은

1

가지이므로 그 확률은

\frac{1}{8}

따라서 구하는 확률은

1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

동전

2

개를 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은?

「적어도 한 명」 을 직접 세기

✗ 틀린 풀이

여학생

1

명을 먼저 뽑고 나머지

6

명 중

2

명을 뽑으면

\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\times{}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}=\frac{45}{35}

왜 틀렸나 「적어도 한 명」은 여사건인 「한 명도 뽑히지 않음」의 확률을

1

에서 빼서 구한다.

✓ 바른 풀이

여사건을 이용하면

1-\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}=\frac{31}{35}

바른 계산에서 여사건은 남학생만

3

명 뽑는 것이고 그 확률은

\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}=\frac{4}{35}

이다.
확인 방법: 확률은 언제나

0

이상

1

이하이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

여사건으로 구하는 순서

1
구하는 사건의 여사건을 말로 써요.
「적어도 하나는 ~」 의 여사건은 「모두 ~ 이 아니다」 이에요.
2
여사건의 확률을 구해요.
여사건은 경우가 하나뿐이라 세기 쉬운 경우가 많아요.
3
$1$ 에서 빼요.
$\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(A^{C})$

예응용

남학생

4

명, 여학생

3

명 중

3

명을 뽑을 때 적어도 한 명은 여학생일 확률

여사건은 「

3

명 모두 남학생」 이에요.

\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}=\frac{4}{35}

따라서 구하는 확률은

1-\frac{4}{35}=\frac{31}{35}

예「이하」 를 여사건으로

주사위 두 개를 던질 때 눈의 수의 합이

10

이하일 확률

여사건은 「합이

11

이상」 이고,

(5,\ 6),\ (6,\ 5),\ (6,\ 6)

의

3

가지예요.
따라서 구하는 확률은

1-\frac{3}{36}=\frac{11}{12}

5경우의 수로 확률 구하기

순열·조합과 덧셈정리를 함께 쓰는 순서

1
모든 경우의 수 $n(S)$ 를 순열이나 조합으로 구해요.
동시에 꺼내면 조합, 일렬로 세우면 순열이에요.
2
구하는 사건을 서로 배반인 경우로 나누거나, 「또는」 이면 두 사건과 곱사건으로 나눠요.
경우가 많으면 여사건을 생각해요.
3
각 경우의 수를 같은 방법으로 세어 확률을 구한 뒤 더하거나 빼요.

예흰 공

3

개, 검은 공

4

개에서

3

개를 동시에 꺼낼 때 모두 같은 색일 확률

n(S)={}_{7}\mathrm{C}_{3}=35

모두 흰 공인 사건과 모두 검은 공인 사건은 서로 배반사건이에요.
모두 흰 공일 확률은

\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{3}}{35}=\frac{1}{35}

모두 검은 공일 확률은

\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}}{35}=\frac{4}{35}

따라서 구하는 확률은

\frac{1}{35}+\frac{4}{35}=\frac{1}{7}

학생

모두 흰 공일 확률과 모두 검은 공일 확률을 왜 더해요?

쌤

두 사건은 동시에 일어나지 않는 서로 배반사건이라 확률을 그대로 더해요. 겹치는 경우가 있는 사건이면 그만큼 빼야 해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

흰 공

2

개, 검은 공

3

개에서

2

개를 동시에 꺼낼 때 두 공이 같은 색일 확률은?

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기

예응용

A,\ B,\ C,\ D,\ E

를 일렬로 세울 때

A

가 맨 앞 또는

B

가 맨 뒤에 설 확률

A

가 맨 앞에 서는 사건을

X

B

가 맨 뒤에 서는 사건을

Y

라 해요.

\mathrm{P}(X)=\frac{4!}{5!}=\frac{1}{5}

\mathrm{P}(Y)=\frac{4!}{5!}=\frac{1}{5}

X\cap Y

는 양 끝이 정해지고 가운데

3

명을 나열하는 사건이므로

\mathrm{P}(X\cap Y)=\frac{3!}{5!}=\frac{1}{20}

따라서

\mathrm{P}(X\cup Y)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\frac{7}{20}

성질검산하는 방법

여사건으로 구한 값과 직접 센 값이 같은지 비교한다.

\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(A^{C})=1

이 되는지 확인한다.
덧셈정리의 결과가

1

보다 크면 겹치는 부분을 빼지 않은 것이다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 사건 $A,\ B$ 에 대하여 $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$ 이다(확률의 덧셈정리).
2 $A$ 와 $B$ 가 서로 배반사건이면 $\mathrm{P}(A\cap B)=0$ 이므로 $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$ 이다.
3사건 $A$ 의 여사건의 확률은 $\mathrm{P}(A^{C})=1-\mathrm{P}(A)$ 이다.
4「적어도 하나」, 「~ 이상」, 「~ 이 아닌」 사건은 여사건의 확률을 $1$ 에서 빼서 구하면 편리하다.

✗ 자주 하는 실수

배반사건이 아닌데 $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$ 로 더하여 겹치는 부분을 두 번 세요.
「적어도 하나」 를 직접 셀 때 하나를 먼저 뽑고 나머지를 뽑아 중복하여 세요. 여사건 「모두 ~ 이 아니다」 를 이용해요.
여사건의 확률을 구해 놓고 $1$ 에서 빼는 것을 잊거나, 「 $k$ 이상」 의 여사건을 「 $k$ 이하」 로 잡아요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
두 사건 $A,\ B$ 에 대하여 $\mathrm{P}(A)=\frac{1}{3}$ , $\mathrm{P}(B)=\frac{1}{2}$ , $\mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{4}$ 일 때, $\mathrm{P}(A\cup B)$ 를 구하시오.
예제 2
$1$ 부터 $30$ 까지의 자연수가 하나씩 적힌 $30$ 장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, $3$ 의 배수 또는 $5$ 의 배수가 적힌 카드가 나올 확률을 구하시오.
예제 3
남학생 $5$ 명, 여학생 $3$ 명 중에서 $3$ 명의 대표를 뽑을 때, 적어도 한 명은 여학생이 뽑힐 확률을 구하시오.

다음 공부

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