수학 개념 노트전체 과목

순열

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
서로 다른 nn 개에서 rr 개를 택해 일렬로 나열하는 순열의 수는 nPr=n(n−1)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} 이에요.
  1. 1순열의 뜻과 순열의 수
  2. 2계승과 순열의 수의 다른 표현
  3. 3조건이 있는 순열
  4. 4이웃하는 순열과 이웃하지 않는 순열
  5. 5순열의 수가 들어 있는 식 풀기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1순열의 뜻과 순열의 수

정의순열
서로 다른 nn 개에서 rr 개(0<r≤n0<r\le n)를 택하여 일렬로 나열하는 것을 nn 개에서 rr 개를 택하는 순열이라 한다.
이 순열의 수를 기호로 nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 와 같이 나타낸다.
순열의 수는 nn 부터 11 씩 줄여 가며 rr 개를 곱한 것이다.nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1){}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
a, b, c, d, ea,\ b,\ c,\ d,\ e 에서 3 개를 택해 나열하기
첫째\text{첫째}
둘째\text{둘째}
셋째\text{셋째}
55
44
33
5P3=5×4×3=60{}_{5}\mathrm{P}_{3}=5\times4\times3=60
학생
순열의 수는 왜 nn 부터 하나씩 줄여 곱해요?
쌤
자리를 앞에서부터 하나씩 채우는데, 한 번 쓴 것은 다시 못 쓰니 자리마다 가짓수가 하나씩 줄어요.
자리를 잇달아 정하므로 곱의 법칙으로 모두 곱해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
6P2{}_{6}\mathrm{P}_{2} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림성질 더 보기

순서를 생각하지 않고 택하기만 하면 조합, 같은 것을 여러 번 쓸 수 있으면 중복순열이 돼요.

자리마다 올 수 있는 가짓수
1번째1\text{번째}
2번째2\text{번째}
⋯\cdots
r번째r\text{번째}
nn
n−1n-1
⋯\cdots
n−r+1n-r+1
rr 번째 자리에는 앞의 r−1r-1 개를 뺀 n−(r−1)=n−r+1n-(r-1)=n-r+1 가지가 와요.
작은 경우로 검산
a, b, ca,\ b,\ c 에서 22 개를 나열하기
abab
acac
aa
baba
bcbc
bb
caca
cbcb
cc
첫째 자리 33 가지마다 둘째 자리 22 가지씩 갈라져 가지 끝이 66 개예요. 3P2=3×2=6{}_{3}\mathrm{P}_{2}=3\times2=6 과 같아요.
성질틀로 외우기
□P△{}_{□}\mathrm{P}_{△}
□ 부터 11 씩 줄여 가며 △ 개를 곱한다.
마지막으로 곱하는 수는 □−-△+1+1 이다.
8P2=8×7=56{}_{8}\mathrm{P}_{2}=8\times7=56
6P4=6×5×4×3=360{}_{6}\mathrm{P}_{4}=6\times5\times4\times3=360
4P4=4×3×2×1=24{}_{4}\mathrm{P}_{4}=4\times3\times2\times1=24

2계승과 순열의 수의 다른 표현

정의계승
11 부터 nn 까지의 자연수를 모두 곱한 것을 nn 의 계승이라 하고 기호로 n!n! 과 같이 나타낸다.n!=n(n−1)(n−2)⋯3⋅2⋅1n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1서로 다른 nn 개를 모두 일렬로 나열하는 방법의 수는 nPn=n!{}_{n}\mathrm{P}_{n}=n! 이다.
성질0! = 1 로 정하는 이유
nPr=n!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} 이 r=nr=n 일 때도 성립하려면 nPn=n!0!{}_{n}\mathrm{P}_{n}=\frac{n!}{0!} 이어야 한다.
왼쪽은 n!n! 이므로 0!0! 을 1로 정한다.
같은 이유로 r=0r=0 일 때
nP0=n!n!=1{}_{n}\mathrm{P}_{0}=\frac{n!}{n!}=1
따라서 nP0=1{}_{n}\mathrm{P}_{0}=1 로 정한다.
공식순열의 수 공식
순열의 수
nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
rr 개의 곱 (0<r≤n0<r\le n)
계승으로
nPr=n!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}
0≤r≤n0\le r\le n 에서 성립한다.
모두 나열
nPn=n!\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{n}=n!
약속
0!=1,nP0=1\displaystyle 0!=1,\quad {}_{n}\mathrm{P}_{0}=1
첫 자리를 먼저
nPr=n×n−1Pr−1\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}=n\times{}_{n-1}\mathrm{P}_{r-1}
첫 자리 nn 가지를 정한 뒤 남은 n−1n-1 개에서 r−1r-1 개를 나열한다.
1≤r≤n1\le r\le n
학생
n!n! 을 쓰면 뭐가 좋아요?
쌤
nPr=n!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} 처럼 한 식으로 쓸 수 있어서, nn 이 문자일 때 식을 다루기 편해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
5P2{}_{5}\mathrm{P}_{2} 와 값이 같은 것은?
몇 개를 곱하는가
✗ 틀린 풀이
7P3=7×6×5×4×3{}_{7}\mathrm{P}_{3}=7\times6\times5\times4\times3
왜 틀렸나 nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 은 nn 부터 11 씩 줄여 가며 rr 개를 곱한 것이다.
✓ 바른 풀이
7P3=7×6×5=210{}_{7}\mathrm{P}_{3}=7\times6\times5=210
확인: 곱한 수의 개수를 세어 오른쪽 아래 수 33 과 같은지 본다.
0 의 계승
✗ 틀린 풀이
0!=00!=0
왜 틀렸나 nPn=n!0!=n!{}_{n}\mathrm{P}_{n}=\frac{n!}{0!}=n! 이 성립하도록 0!=10!=1 로 정한다.
✓ 바른 풀이
0!=10!=1
0!=10!=1 은 계산해서 나오는 값이 아니라 공식이 항상 성립하도록 정한 약속이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제외우기 카드

nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 의 곱 뒤에 (n−r)(n−r−1)⋯1=(n−r)!(n-r)(n-r-1)\cdots1=(n-r)! 을 곱하고 나누면nPr=n(n−1)⋯(n−r+1)×(n−r)!(n−r)!=n!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)\times(n-r)!}{(n-r)!}=\frac{n!}{(n-r)!}예를 들어
7P3=7!4!=504024=210{}_{7}\mathrm{P}_{3}=\frac{7!}{4!}=\frac{5040}{24}=210
이는 7×6×5=2107\times6\times5=210 과 같아요.

예첫 자리를 먼저 정하는 성질 확인
7P3=7×6P2{}_{7}\mathrm{P}_{3}=7\times{}_{6}\mathrm{P}_{2}
7×6P2=7×30=2107\times{}_{6}\mathrm{P}_{2}=7\times30=210
이는 7P3=210{}_{7}\mathrm{P}_{3}=210 과 같아요.
공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2n 부터 r 개
nPr=n(n−1)⋯(n−□+1){}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)\cdots(n-\square+1)
단계 1 / 2
nPr=n!□{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{\square}
단계 1 / 1
0!=□0!=\square
단계 1 / 1
nPn=□{}_{n}\mathrm{P}_{n}=\square

3조건이 있는 순열

특정한 자리에 조건이 있으면 조건이 걸린 자리를 먼저 채우고, 남은 것을 남은 자리에 나열해요. 그다음 두 단계를 곱해요.

a, b, c, d, ea,\ b,\ c,\ d,\ e 를 일렬로 나열할 때
4!=244!=24
↳aa 가 맨 앞: 나머지 44 개 나열
2!×3!=122!\times3!=12
↳a, ba,\ b 가 양 끝: 양 끝 × 가운데
조건이 걸린 자리(aa, bb 의 자리)를 먼저 채우고 남은 것을 나열해요.
0 이 들어 있는 숫자 카드
백\text{백}
십\text{십}
일\text{일}
44
44
33
0, 1, 2, 3, 40,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 카드 중 33 장으로 세 자리 자연수를 만들어요.
백의 자리에는 00 이 올 수 없어 44 가지, 십·일의 자리는 남은 44 장 중 22 장을 나열해 4P2=12{}_{4}\mathrm{P}_{2}=12 가지예요.
따라서 4×12=484\times12=48
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1, 2, 3, 41,\ 2,\ 3,\ 4 를 일렬로 나열할 때 11 이 맨 앞에 오는 경우의 수는?
맨 앞자리의 0
✗ 틀린 풀이
세 자리 자연수의 개수
5P3=60{}_{5}\mathrm{P}_{3}=60
왜 틀렸나 세 자리 자연수의 맨 앞자리에는 00 이 올 수 없으므로 맨 앞자리부터 따로 센다.
✓ 바른 풀이
세 자리 자연수의 개수
4×4P2=484\times{}_{4}\mathrm{P}_{2}=48
확인: 전체 5P3{}_{5}\mathrm{P}_{3} 에서 00 이 맨 앞에 오는 4P2=12{}_{4}\mathrm{P}_{2}=12 가지를 빼도 4848 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
특정한 자리에 조건이 있을 때
  1. 1
    조건이 걸린 자리를 먼저 채워요.
    조건이 있는 것부터 정해야 나머지가 자유롭게 돼요.
  2. 2
    남은 것을 남은 자리에 일렬로 나열해요.
    순열의 수로 계산해요.
  3. 3
    두 단계를 곱해요.
    곱의 법칙

4이웃하는 순열과 이웃하지 않는 순열

이웃해야 하는 것들은 한 묶음으로 보고 하나의 대상처럼 다뤄요. 그러면 나열할 대상의 개수가 줄어들어요.

남학생 3 명, 여학생 2 명이 일렬로 설 때 여학생끼리 이웃하는 경우
$$
$$
$$
$$
남\text{남}
남\text{남}
남\text{남}
여여\text{여여}
여학생 22 명을 한 묶음(노란 칸)으로 보면 44 개를 나열해요.
4!=244!=24
↳묶음 포함 44 개 나열
2!=22!=2
↳묶음 안에서 자리 바꾸기
24×2=4824\times2=48
↳곱의 법칙
학생
이웃하면 안 되는 경우는 어떻게 세요?
쌤
나머지를 먼저 세우고, 그 사이사이와 양 끝에 넣어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a, b, c, da,\ b,\ c,\ d 를 일렬로 나열할 때 a, ba,\ b 가 이웃하는 경우의 수는?
남학생 3 명, 여학생 2 명이 일렬로 설 때 여학생끼리 이웃하지 않는 경우
∨ 남 ∨ 남 ∨ 남 ∨\vee\ \text{남}\ \vee\ \text{남}\ \vee\ \text{남}\ \vee
↳∨\vee 가 여학생 자리 44 곳
3!=63!=6
↳남학생을 먼저 세워요
4P2=12{}_{4}\mathrm{P}_{2}=12
↳∨\vee 44 곳 중 22 곳에 여학생
6×12=726\times12=72
↳곱의 법칙
검산: 전체 5!=1205!=120 에서 이웃하는 경우 4848 을 빼도 7272 예요.
단, 셋 이상이 「모두 이웃하지 않는」 경우는 「모두 이웃하는」 경우를 빼서 구할 수 없어요.
묶음 안의 순서
✗ 틀린 풀이
여학생 22 명이 이웃하는 경우
4!=244!=24
왜 틀렸나 이웃하는 사람을 한 묶음으로 세운 뒤에는 묶음 안에서 자리를 바꾸는 2!2! 를 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
여학생 22 명이 이웃하는 경우
4!×2!=484!\times2!=48
묶음 문제는 (묶음을 포함한 나열)×\times(묶음 안의 나열)로 센다.
양 끝 자리
✗ 틀린 풀이
여학생끼리 이웃하지 않는 경우
3!×2P2=123!\times{}_{2}\mathrm{P}_{2}=12
왜 틀렸나 남학생을 먼저 세우면 사이와 양 끝을 합해 44 자리가 생기므로 그중 22 자리를 고른다.
✓ 바른 풀이
여학생끼리 이웃하지 않는 경우
3!×4P2=723!\times{}_{4}\mathrm{P}_{2}=72
남학생 33 명을 세운 뒤 사이와 양 끝에 빈자리를 그려 44 개인지 직접 세어 확인한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
이웃하는 순열
  1. 1
    이웃해야 하는 것들을 한 묶음으로 봐요.
    묶음 전체를 하나의 대상처럼 다뤄요.
  2. 2
    묶음을 포함한 전체를 일렬로 나열해요.
    대상의 개수가 줄어들어요.
  3. 3
    묶음 안에서 자리를 바꾸는 방법의 수를 구해요.
    묶음 안의 개수의 계승이에요.
  4. 4
    두 수를 곱해요.
    곱의 법칙
응용
남학생 3 명, 여학생 3 명, 여학생끼리 모두 이웃
4!=244!=24
↳여학생 묶음 포함 44 개 나열
3!=63!=6
↳묶음 안에서 자리 바꾸기
24×6=14424\times6=144
↳곱의 법칙
이웃하지 않는 순열
  1. 1
    이웃해도 되는 것들을 먼저 일렬로 나열해요.
  2. 2
    그 사이사이와 양 끝에 생긴 자리 중에서 골라 이웃하면 안 되는 것들을 나열해요.
    kk 개를 세우면 사이사이와 양 끝을 합쳐 k+1k+1 개의 자리가 생겨요.
    한 자리에 하나씩만 넣으므로 서로 이웃하지 않아요.
  3. 3
    두 수를 곱해요.
    곱의 법칙

5순열의 수가 들어 있는 식 풀기

nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 을 곱의 꼴로 바꾸어 nn 에 대한 방정식을 풀어요.
이때 n≥rn\ge r 인 자연수라는 조건으로 답을 골라요.

nP2=56{}_{n}\mathrm{P}_{2}=56 을 만족시키는 자연수 nn
n(n−1)=56n(n-1)=56
↳nP2=n(n−1){}_{n}\mathrm{P}_{2}=n(n-1)
n2−n−56=(n−8)(n+7)=0n^2-n-56=(n-8)(n+7)=0
↳인수분해
n=8n=8
↳n≥2n\ge2 인 자연수
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
nP2=20{}_{n}\mathrm{P}_{2}=20 을 만족시키는 자연수 nn 은?
⚠ 주의범위 조건
nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 에서 nn 은 자연수이고 r≤nr\le n 이에요.
방정식의 해 중 음수이거나 rr 보다 작은 값은 버려요.
자세히 보기펼치기예제
응용
nP3=5×nP2{}_{n}\mathrm{P}_{3}=5\times{}_{n}\mathrm{P}_{2}
n(n−1)(n−2)=5n(n−1)n(n-1)(n-2)=5n(n-1)
↳곱의 꼴로
n−2=5n-2=5
↳n(n−1)≠0n(n-1)\neq0 으로 나눠요
n=7n=7
↳n≥3n\ge3 ✓
검산: 7P3=210{}_{7}\mathrm{P}_{3}=210 이고 5×7P2=5×42=2105\times{}_{7}\mathrm{P}_{2}=5\times42=210 이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1서로 다른 nn 개에서 rr 개를 택해 일렬로 나열하는 순열의 수는 nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1){}_{n}\mathrm{P}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) 이다. nn 부터 11 씩 줄여 rr 개를 곱한다.
  2. 2n!=n(n−1)⋯2⋅1n!=n(n-1)\cdots2\cdot1 이고 nPr=n!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} 이다. 0!=10!=1, nP0=1{}_{n}\mathrm{P}_{0}=1 로 정한다.
  3. 3조건이 있는 자리를 먼저 채우고 나머지를 나열한다.
  4. 4이웃하는 것은 한 묶음으로 보고, 이웃하지 않는 것은 나머지를 먼저 세운 뒤 사이사이와 양 끝에 넣는다.
✗ 자주 하는 실수
  • nPr{}_{n}\mathrm{P}_{r} 에서 rr 까지 곱하거나 곱하는 개수를 잘못 세요(rr 개를 곱해야 해요).
  • 이웃하는 순열에서 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우를 곱하지 않아요.
  • 이웃하지 않는 순열에서 양 끝 자리를 빠뜨리거나, 00 이 맨 앞에 오는 수를 빼지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    서로 다른 77 권의 책 중에서 33 권을 골라 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수를 구하시오.
  2. 예제 2
    부모와 자녀 44 명, 모두 66 명이 일렬로 설 때, 부모가 이웃하여 서는 방법의 수를 구하시오.
  3. 예제 3
    남학생 44 명, 여학생 33 명이 일렬로 설 때, 여학생끼리는 서로 이웃하지 않도록 서는 방법의 수를 구하시오.

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