수학 개념 노트전체 과목

부분집합의 개수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
원소가 nn 개인 집합의 부분집합의 개수는 2n2^n, 진부분집합의 개수는 2n−12^n-1 이고, 특정한 원소 kk 개를 반드시 포함하는(또는 포함하지 않는) 부분집합의 개수는 2n−k2^{n-k} 이에요.
  1. 1부분집합을 모두 구하기
  2. 2부분집합의 개수
  3. 3특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합
  4. 4A⊂X⊂BA\subset X\subset B 인 집합 XX 의 개수
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1부분집합을 모두 구하기

집합 {a, b, c}\{a,\ b,\ c\} 의 부분집합을 원소의 개수가 적은 것부터 빠짐없이 나열해 봐요.
원소가 많아지면 빠뜨리기 쉬우므로 원소의 개수별로 나누어 써요.

공식{a, b, c}\{a,\ b,\ c\} 의 부분집합
원소 00 개
∅\displaystyle \varnothing
11 개
원소 11 개
{a}, {b}, {c}\displaystyle \{a\},\ \{b\},\ \{c\}
33 개
원소 22 개
{a, b}, {a, c}, {b, c}\displaystyle \{a,\ b\},\ \{a,\ c\},\ \{b,\ c\}
33 개
원소 33 개
{a, b, c}\displaystyle \{a,\ b,\ c\}
11 개
합계
1+3+3+1=8\displaystyle 1+3+3+1=8
⚠ 주의빠뜨리기 쉬운 부분집합
공집합 ∅\varnothing 은 모든 집합의 부분집합이에요.
자기 자신도 자기 자신의 부분집합이에요.
부분집합을 나열할 때 이 두 개를 빠뜨리지 않아요.
학생
빠뜨린 게 없는지 어떻게 확인해요?
쌤
개수를 세어 확인해요. 원소가 33 개면 부분집합은 1+3+3+1=81+3+3+1=8 개예요. 개수별로 나눠 썼다면 각 줄의 개수를 더해 맞춰 봐요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{a, b}\{a,\ b\} 의 부분집합을 모두 쓴 것은?

2부분집합의 개수

성질부분집합의 개수가 2n2^n 인 이유
부분집합 하나를 만드는 것은 원소마다 「넣는다」와 「넣지 않는다」 중 하나를 고르는 것과 같다.
{a, b, c}\{a,\ b,\ c\} 에서 aa 를 넣을지 정하는 방법은 22 가지이다.
bb, cc 도 각각 22 가지이다.
세 원소에 대한 선택은 잇달아 일어나므로 곱의 법칙에 의해
2×2×2=23=82\times2\times2=2^3=8
세 원소를 모두 넣지 않으면 ∅\varnothing, 모두 넣으면 {a, b, c}\{a,\ b,\ c\} 이므로 두 집합도 빠짐없이 세어진다.
일반적으로 원소가 nn 개이면 22 를 nn 번 곱하므로 부분집합의 개수는 2n2^n 이다.
{a, b, c}\{a,\ b,\ c\}
원소마다 넣을지(○) 뺄지(×)
cc ○ → {a, b, c}\{a,\ b,\ c\}
cc × → {a, b}\{a,\ b\}
bb ○
cc ○ → {a, c}\{a,\ c\}
cc × → {a}\{a\}
bb ×
aa ○
cc ○ → {b, c}\{b,\ c\}
cc × → {b}\{b\}
bb ○
cc ○ → {c}\{c\}
cc × → ∅\varnothing
bb ×
aa ×
가지가 2×2×2=82\times2\times2=8 개이고, 가지 끝 하나가 부분집합 하나예요. 모두 ○ 이면 {a, b, c}\{a,\ b,\ c\}, 모두 × 이면 ∅\varnothing 이에요.
성질진부분집합의 개수
진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신 하나만 뺀 것이므로 원소가 nn 개인 집합의 진부분집합의 개수는 다음과 같다.2n−12^n-1공집합은 자기 자신이 아닌 부분집합이므로 진부분집합에 들어간다.
공식원소가 nn 개인 집합 AA 에 대하여
부분집합의 개수
2n\displaystyle 2^n
원소마다 22 가지씩 선택한다.
진부분집합의 개수
2n−1\displaystyle 2^n-1
AA 자신만 뺀다.
n=0n=0 일 때
20=1\displaystyle 2^0=1
공집합의 부분집합은 ∅\varnothing 하나뿐이다.
학생
원소가 00 개인 집합도 부분집합이 있어요?
쌤
네. ∅\varnothing 의 부분집합은 ∅\varnothing 하나뿐이라 20=12^0=1 개예요. 진부분집합은 20−1=02^0-1=0 개예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 의 진부분집합의 개수는?
곱하기와 거듭제곱
✗ 틀린 풀이
{1, 2, 3, 4}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 의 부분집합의 개수
2×4=82\times4=8
왜 틀렸나 원소마다 넣거나 빼는 22 가지씩 정하므로 22 를 원소의 개수만큼 거듭 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
{1, 2, 3, 4}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 의 부분집합의 개수
24=162^4=16
확인 방법: 원소가 11 개, 22 개일 때 부분집합을 직접 써 보면 22 개, 44 개로 212^1, 222^2 와 맞는다.
진부분집합에서 공집합 빼기
✗ 틀린 풀이
{1, 2, 3, 4}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 의 진부분집합의 개수
24−2=142^4-2=14
왜 틀렸나 진부분집합은 부분집합 중 자기 자신만 뺀 것이며, 공집합은 진부분집합에 포함된다.
✓ 바른 풀이
{1, 2, 3, 4}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 의 진부분집합의 개수
24−1=152^4-1=15
확인 방법: {1}\{1\} 의 부분집합은 ∅\varnothing, {1}\{1\} 이고, 진부분집합은 ∅\varnothing 하나로 21−1=12^1-1=1 개이다.
자세히 보기펼치기외우기 카드성질 더 보기그림
개수 공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2원소마다 넣는다/넣지 않는다
부분집합의 개수=□n\text{부분집합의 개수}=\square^n
단계 1 / 2
진부분집합의 개수=2n−□\text{진부분집합의 개수}=2^n-\square
단계 1 / 2
특정 원소 k 개를 포함하는 부분집합의 개수=2n−□\text{특정 원소 }k\text{ 개를 포함하는 부분집합의 개수}=2^{n-\square}
성질검산하는 방법
원소의 개수별로 센 부분집합의 개수를 모두 더하면 2n2^n 이어야 한다.
원소가 44 개이면 원소 0, 1, 2, 3, 40,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 개인 부분집합이 각각 1, 4, 6, 4, 11,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 개이므로
1+4+6+4+1=16=241+4+6+4+1=16=2^4
원소가 rr 개인 부분집합의 개수는 조합의 수 nCr{}_{n}\mathrm{C}_{r} 이고, 이 합이 2n2^n 인 까닭은 이항정리로 설명된다.
원소가 nn 개인 집합
원소 rr 개인 부분집합의 개수
1
11
121
1331
14641
맨 아래 줄 1, 4, 6, 4, 11,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 이 원소가 44 개인 집합의 원소 0, 1, 2, 3, 40,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 개짜리 부분집합의 개수예요. 줄마다 합이 1, 2, 4, 8, 161,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 으로 2n2^n 이에요.

3특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합

성질특정한 원소 kk 개를 반드시 원소로 갖는 부분집합
원소가 nn 개인 집합에서 특정한 원소 kk 개는 「넣는다」로 이미 정해져 있다.
선택할 수 있는 원소는 나머지 n−kn-k 개뿐이고, 각각 22 가지씩 선택하므로2n−k2^{n-k}다르게 보면, 특정한 kk 개를 뺀 집합의 부분집합 하나하나에 그 kk 개를 넣은 것과 같다.
성질특정한 원소를 반드시 원소로 갖지 않는 부분집합
특정한 원소 kk 개는 「넣지 않는다」로 이미 정해져 있으므로 이 경우의 수도 2n−k2^{n-k} 이다.
특정한 원소 kk 개는 반드시 넣고, 다른 특정한 원소 mm 개는 넣지 않는 부분집합의 개수는 다음과 같다.2n−k−m2^{n-k-m}
예{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 의 부분집합
11 을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는
25−1=162^{5-1}=16
1, 21,\ 2 를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는
25−2=82^{5-2}=8
55 를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는
25−1=162^{5-1}=16
11 은 원소로 갖고 55 는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는
25−1−1=82^{5-1-1}=8
학생
「적어도 하나를 포함」은 어떻게 세요?
쌤
전체 부분집합의 개수에서 그 원소들을 하나도 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼요. {1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 에서 11 또는 22 를 포함하는 것은 25−23=242^5-2^3=24 개예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{1, 2, 3, 4}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 의 부분집합 중 11 은 원소로 갖고 44 는 원소로 갖지 않는 것의 개수는?
정해진 원소의 개수만큼 빼기
✗ 틀린 풀이
{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 에서 1, 21,\ 2 를 반드시 갖는 부분집합
25−1=162^{5-1}=16
왜 틀렸나 반드시 넣는 원소는 이미 정해졌으므로 그 개수만큼 모두 빼고 남은 원소로만 센다.
✓ 바른 풀이
{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 에서 1, 21,\ 2 를 반드시 갖는 부분집합
25−2=82^{5-2}=8
확인 방법: 1, 21,\ 2 를 넣어 둔 뒤 3, 4, 53,\ 4,\ 5 를 넣을지 말지만 정하면 23=82^3=8 가지이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기
특정한 원소에 조건이 있는 부분집합 세기
  1. 1
    반드시 넣는 원소와 넣지 않는 원소를 표시해요.
    이 원소들은 선택이 이미 끝났어요.
  2. 2
    선택이 끝나지 않은 원소의 개수를 세요.
    전체 원소의 개수에서 표시한 원소의 개수를 빼요.
  3. 3
    22 를 그 개수만큼 거듭제곱해요.
예응용
조건제시법으로 주어진 집합
A={x∣x는 12의 양의 약수}A=\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\} 의 부분집합 중 홀수를 모두 원소로 갖는 것의 개수를 구해 봐요.
A={1, 2, 3, 4, 6, 12}A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\} 이므로 n(A)=6n(A)=6 이에요.
홀수 1, 31,\ 3 의 22 개는 반드시 넣으므로
26−2=162^{6-2}=16
성질적어도 하나를 포함하는 부분집합
「11 또는 22 를 원소로 갖는」 부분집합은 전체 부분집합에서 「11 도 22 도 갖지 않는」 부분집합을 빼서 센다.
{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 에서는 다음과 같다.
25−25−2=32−8=242^5-2^{5-2}=32-8=24

4A⊂X⊂BA\subset X\subset B 인 집합 XX 의 개수

성질A⊂X⊂BA\subset X\subset B 의 뜻
A⊂XA\subset X 이므로 XX 는 AA 의 원소를 모두 원소로 갖는다.
X⊂BX\subset B 이므로 XX 의 원소는 모두 BB 의 원소이다.
따라서 XX 는 「BB 의 부분집합 중 AA 의 원소를 반드시 원소로 갖는 것」이다.
A⊂BA\subset B 일 때 그 개수는2n(B)−n(A)2^{n(B)-n(A)}
A⊂X⊂BA\subset X\subset B
B={1, 2, 3, 4, 5}B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
3, 4, 53,\ 4,\ 5 는 넣을지 골라요
XX
A={1, 2}A=\{1,\ 2\}
꼭 넣어요
XX 는 AA 를 감싸면서 BB 안에 들어가요. 고를 수 있는 원소는 BB 에만 있는 33 개라 23=82^3=8 개예요.
학생
A⊄BA\not\subset B 이면 어떻게 돼요?
쌤
그때는 AA 의 원소를 모두 가지면서 BB 에 들어가는 XX 가 없어서 개수가 00 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{1}⊂X⊂{1, 2, 3, 4}\{1\}\subset X\subset\{1,\ 2,\ 3,\ 4\} 인 집합 XX 의 개수는?
부분집합의 개수끼리 빼기
✗ 틀린 풀이
{1, 2}⊂X⊂{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2\}\subset X\subset\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 인 XX 의 개수
25−22=282^5-2^2=28
왜 틀렸나 XX 는 1, 21,\ 2 를 반드시 갖고 나머지 원소만 고르므로 지수에서 정해진 원소의 개수를 뺀다.
✓ 바른 풀이
{1, 2}⊂X⊂{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2\}\subset X\subset\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 인 XX 의 개수
25−2=82^{5-2}=8
바른 계산은 남은 원소 3, 4, 53,\ 4,\ 5 의 33 개로 232^3 을 구하는 것이다. 위의 「반드시 갖는 부분집합」과 같은 문제이다.
자세히 보기펼치기예제
예{1, 2}⊂X⊂{1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2\}\subset X\subset\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
1, 21,\ 2 는 반드시 넣고 3, 4, 53,\ 4,\ 5 는 넣을지 말지 정해요.
25−2=82^{5-2}=8
실제로 나열하면 다음 88 개예요.
{1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}\{1,\ 2\},\ \{1,\ 2,\ 3\},\ \{1,\ 2,\ 4\},\ \{1,\ 2,\ 5\}
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ \{1,\ 2,\ 3,\ 5\},\ \{1,\ 2,\ 4,\ 5\},\ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}
XX 에는 AA 자신과 BB 자신도 들어가요.
X≠AX\ne A 이고 X≠BX\ne B 인 것만 세면 8−2=68-2=6 이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1원소가 nn 개인 집합의 부분집합의 개수는 2n2^n 이다.
  2. 2진부분집합의 개수는 자기 자신을 뺀 2n−12^n-1 이다.
  3. 3특정한 원소 kk 개를 반드시 원소로 갖는(또는 갖지 않는) 부분집합의 개수는 2n−k2^{n-k} 이다.
  4. 4A⊂X⊂BA\subset X\subset B 인 집합 XX 의 개수는 2n(B)−n(A)2^{n(B)-n(A)} 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 부분집합의 개수를 2n2^n 이 아니라 2n2n 으로 계산해요.
  • 진부분집합의 개수를 구할 때 공집합까지 빼서 2n−22^n-2 로 계산해요.
  • 특정한 원소를 포함하는 부분집합이나 A⊂X⊂BA\subset X\subset B 인 XX 의 개수를 구할 때 지수가 아니라 개수끼리 빼요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    집합 {1, 2, 3, 4, 5}\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} 의 부분집합의 개수와 진부분집합의 개수를 구하시오.
  2. 예제 2
    집합 A={x∣x는 12의 양의 약수}A=\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\} 의 부분집합 중 2, 32,\ 3 은 반드시 원소로 갖고 44 는 원소로 갖지 않는 것의 개수를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 집합 A={x∣x2−3x+2=0}A=\{x \mid x^2-3x+2=0\}, B={x∣x는 6 이하의 자연수}B=\{x \mid x\text{는 }6\text{ 이하의 자연수}\} 에 대하여 A⊂X⊂BA\subset X\subset B 를 만족시키는 집합 XX 의 개수를 구하시오.

다음 공부

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← 집합의 뜻과 표현집합의 연산 →
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