연속확률변수와 확률밀도함수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

어떤 범위의 모든 실수 값을 가지는 확률변수를 연속확률변수라 해요. 확률밀도함수

f(x)

는

f(x)\ge 0

이고 그래프 아래 전체 넓이가

1

이며,

P(a\le X\le b)

는

x=a

부터

x=b

까지 그래프 아래의 넓이예요. 한 값의 확률은

0

이에요.

1연속확률변수
2확률밀도함수
3한 값의 확률은 0
4이산확률변수와 비교
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1연속확률변수

주사위 눈의 수처럼 셀 수 있는 값만 가지는 확률변수와 달리, 키, 몸무게, 기다리는 시간처럼 어떤 범위의 모든 실수 값을 가지는 확률변수가 있어요.
예를 들어 버스를 기다리는 시간 $X$ 분이 $0$ 이상 $10$ 이하이면 $X$ 는 $3$ , $3.5$ , $3.14\cdots$ 처럼 그 사이의 어떤 실수 값도 가질 수 있어요.

정의연속확률변수

확률변수

X

가 어떤 범위에 속하는 모든 실수 값을 가질 때,

X

를 연속확률변수 라 한다.

학생

키나 시간처럼 값이 끝없이 많으면 확률을 어떻게 나타내요?

쌤

값마다 확률을 하나씩 붙일 수가 없어요. 그래서 어떤 함수의 그래프를 그리고, 범위에 해당하는 그래프 아래의 넓이를 확률로 정해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 연속확률변수인 것은?

자세히 보기펼치기왜 그런지

연속확률변수는 값이 너무 많아 값마다 확률을 붙이는 표를 만들 수 없어요.
상대도수의 히스토그램을 생각하면, 막대의 넓이가 그 계급의 상대도수이고 넓이의 합은 $1$ 이에요.
자료를 많이 모으고 계급의 크기를 점점 작게 하면 히스토그램의 윗변은 하나의 곡선(또는 직선)에 가까워져요.
그래서 연속확률변수의 확률은 그래프 아래의 넓이로 나타내요.

2확률밀도함수

정의확률밀도함수

\alpha\le X\le\beta

의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수

X

에 대하여 함수

f(x)

(

\alpha\le x\le\beta

) 가 다음 세 성질을 만족할 때,

f(x)

를

X

의 확률밀도함수 라 한다.
(1)

f(x)\ge 0

(2)

y=f(x)

의 그래프와

x

축 및 두 직선

x=\alpha

x=\beta

로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$ 이다.
(3)

P(a\le X\le b)

는

y=f(x)

의 그래프와

x

축 및 두 직선

x=a

x=b

로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. (단,

\alpha\le a\le b\le\beta

)

예

f(x)=k

(

0\le x\le 4

)

그래프는 높이가

k

인 가로 선분이므로 전체는 직사각형이에요.

4\times k=1

k=\dfrac{1}{4}

P(1\le X\le 3)

은 가로

2

, 세로

\dfrac{1}{4}

인 직사각형의 넓이예요.

P(1\le X\le 3)=2\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=k

(

0\le x\le 5

) 가 연속확률변수

X

의 확률밀도함수일 때 상수

k

의 값은?

함숫값이 아니라 넓이로 정한다

✗ 틀린 풀이

f(x)=kx

(

0\le x\le 4

) 에서

f(4)=1

이므로

k=\dfrac{1}{4}

왜 틀렸나 확률밀도함수는 그래프와

x

축 사이의 전체 넓이가

1

이 되도록

k

를 정한다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{1}{2}\times4\times4k=1

k=\dfrac{1}{8}

확인 방법:

k=\dfrac{1}{8}

이면 밑변

4

, 높이

\dfrac{1}{2}

인 삼각형의 넓이가

1

이다.

학생

함숫값

f(x)

가 확률이에요?

쌤

아니에요. 확률은 그래프 아래의 넓이이고,

f(x)

는 그래프의 높이일 뿐이에요. 그래서 넓이 조건만 맞으면

f(x)

가

1

보다 커도 돼요.

⚠ 주의f(x) 의 값은 확률이 아니다

f(x)

의 값 자체는 확률이 아니므로

1

보다 클 수도 있어요.
예를 들어

f(x)=2

(

0\le x\le\dfrac{1}{2}

) 는 넓이가

\dfrac{1}{2}\times2=1

이므로 확률밀도함수예요.

f(x)\ge 0

만 꼭 성립해야 해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

성질 (1), (2) 는 이산확률변수의 $0\le p_i\le 1$ , $\sum p_i=1$ 에 해당해요.
확률을 「더한다」 대신 「넓이를 잰다」 로 바꾸어 생각하면 돼요.
여기서 다루는 확률밀도함수는 그래프가 직선이므로 넓이를 직사각형, 삼각형, 사다리꼴의 넓이로 구해요.
기하적 확률처럼 넓이의 비로 확률을 정하는 셈이고, 곡선 아래의 넓이는 정적분으로 구해요.

확률밀도함수로 확률을 구하는 순서

1
$y=f(x)$ 의 그래프를 주어진 범위에서만 그려요.
양 끝 $x=\alpha$ , $x=\beta$ 에서의 함숫값을 표시해요.
2
모르는 상수가 있으면 전체 넓이 $=1$ 로 놓고 구해요.
3
구하는 범위 $a\le x\le b$ 의 넓이를 도형으로 구해요.
직사각형, 삼각형, 사다리꼴로 나눠요.
4
넓이를 직접 구하기 어려우면 $1$ 에서 나머지 넓이를 빼요.

예응용

f(x)=kx

(

0\le x\le 2

)

그래프는 원점과 점

(2,\ 2k)

를 잇는 선분이므로 전체는 삼각형이에요.

\dfrac{1}{2}\times2\times2k=1

k=\dfrac{1}{2}

P(0\le X\le 1)

은 밑변

1

, 높이

f(1)=\dfrac{1}{2}

인 삼각형의 넓이예요.

P(0\le X\le 1)=\dfrac{1}{2}\times1\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}

P(1\le X\le 2)

는 윗변

f(1)=\dfrac{1}{2}

, 아랫변

f(2)=1

, 높이

1

인 사다리꼴의 넓이예요.

P(1\le X\le 2)=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\times1=\dfrac{3}{4}

검산:

1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}

3한 값의 확률은 0

$P(X=a)$ 는 $P(a\le X\le a)$ 이므로 $x=a$ 부터 $x=a$ 까지, 즉 폭이 $0$ 인 부분의 넓이예요.
폭이 $0$ 인 선분의 넓이는 $0$ 이므로 $P(X=a)=$ $0$ 이에요.

공식연속확률변수에서 같은 확률

한 값

\displaystyle P(X=a)=0

등호

\displaystyle P(a\le X\le b)=P(a<X\le b)=P(a\le X<b)=P(a<X<b)

여사건

\displaystyle P(X\ge a)=1-P(X\le a)

P(X=a)=0

이므로 겹치는 부분을 걱정하지 않아도 된다.

학생

그럼

X=a

는 절대 일어나지 않는 거예요?

쌤

그렇진 않아요. 실제로 어떤 값이든 나오긴 하지만, 셀 수 없이 많은 값 중 딱 하나일 확률이라

0

으로 봐요. 그래서 범위 끝의 등호는 확률에 영향을 주지 않아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

확률밀도함수가

f(x)=\frac{1}{2}x

(

0\le x\le 2

) 인 연속확률변수

X

에 대하여

P(X=2)

의 값은?

연속확률변수는 등호와 관계없다

✗ 틀린 풀이

P(1\le X\le 2)

는

P(1<X<2)

보다

P(X=1)+P(X=2)

만큼 크다.

왜 틀렸나 연속확률변수에서는 한 값의 확률이

0

이므로 등호가 있어도 없어도 확률이 같다.

✓ 바른 풀이

P(1\le X\le 2)=P(1<X<2)

이산확률변수에서는 등호에 따라 확률이 달라지므로 두 경우를 구별한다.

함숫값은 한 값의 확률이 아니다

✗ 틀린 풀이

f(x)=\dfrac{1}{2}x

(

0\le x\le 2

) 에서

P(X=1)=f(1)=\dfrac{1}{2}

왜 틀렸나 연속확률변수의 확률은 넓이로 구하므로 한 값

X=1

에서의 확률은

0

이다.

✓ 바른 풀이

P(X=1)=0

기억 요령:

f(x)

는 그래프의 높이이다.
폭이

0

인 직사각형의 넓이는

0

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

$P(X=a)$ 는 $P(a\le X\le a)$ 이므로 $x=a$ 부터 $x=a$ 까지, 즉 폭이 $0$ 인 부분의 넓이예요.
폭이 $0$ 인 선분의 넓이는 $0$ 이므로 $P(X=a)=$ $0$ 이에요.
그래서 연속확률변수에서는 범위의 끝에 등호가 있어도 없어도 확률이 같아요.
대표적인 연속확률분포가 정규분포예요.

4이산확률변수와 비교

공식이산확률변수와 연속확률변수

가지는 값

\displaystyle \text{이산: 셀 수 있는 값}\quad\text{연속: 범위의 모든 실수}

확률을 주는 것

\displaystyle \text{이산: } P(X=x_i)=p_i\quad\text{연속: } f(x)

확률질량함수와 확률밀도함수

전체의 합

\displaystyle \sum p_i=1\quad\text{넓이}=1

범위의 확률

\displaystyle \text{이산: 확률을 더한다}\quad\text{연속: 넓이를 구한다}

한 값의 확률

\displaystyle \text{이산: } P(X=x_i)=p_i\quad\text{연속: } P(X=a)=0

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

연속확률변수

X

의 확률

P(a\le X\le b)

를 나타내는 것은?

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1연속확률변수: 어떤 범위에 속하는 모든 실수 값을 가지는 확률변수
2확률밀도함수 $f(x)$ ( $\alpha\le x\le\beta$ )
$f(x)\ge 0$
$y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축, 두 직선 $x=\alpha$ , $x=\beta$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$
3 $P(a\le X\le b)$ 는 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$ 축, 두 직선 $x=a$ , $x=b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이
4 $P(X=a)=0$ 이므로
$P(a\le X\le b)=P(a<X<b)$

✗ 자주 하는 실수

$f(x)=kx$ ( $0\le x\le 4$ ) 에서 넓이가 아니라 $f(4)=1$ 로 놓고 상수 $k$ 를 구해요.
$P(X=1)=f(1)$ 처럼 함숫값을 확률로 생각하거나, $f(x)\le 1$ 이어야 한다고 생각해요.
연속확률변수에서도 $P(1\le X\le 2)$ 와 $P(1<X<2)$ 가 다르다고 생각해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x)=k$ ( $1\le x\le 5$ ) 일 때, 상수 $k$ 의 값과 $P(2\le X\le 4)$ 를 구하시오.
예제 2
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x)=\dfrac{1}{8}x$ ( $0\le x\le 4$ ) 일 때, $P(1\le X\le 3)$ 을 구하시오.
예제 3
연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수가 $f(x)=k(3-x)$ ( $0\le x\le 3$ ) 일 때, $P(X\ge 1)$ 을 구하시오.

다음 공부

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