도수분포표와 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

자료를 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 도수분포다각형으로 정리하고, 상대도수

\frac{(\text{도수})}{(\text{도수의 총합})}

로 도수의 총합이 다른 두 자료를 비교해요.

1줄기와 잎 그림
2도수분포표
3히스토그램과 도수분포다각형
4상대도수
5두 자료의 비교
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (6개 · 핵심 용어 가리기)

1줄기와 잎 그림

어느 반 학생 $20$ 명의 1분 동안 줄넘기 횟수를 조사하였어요. $12,\ 15,\ 18,\ 20,\ 23,\ 23,\ 27,\ 29,\ 31,\ 34,$ $36,\ 36,\ 38,\ 39,\ 42,\ 45,\ 45,\ 47,\ 50,\ 53$

학생

수가 이렇게 많으면 어디에 많이 모였는지 어떻게 봐요?

쌤

십의 자리끼리 묶어 적으면 돼요. 십의 자리를 줄기로, 일의 자리를 잎으로 적으면 분포가 한눈에 보이고 원래 값도 그대로 남아요.

정의줄기와 잎 그림

변량을 줄기와 잎으로 구분하여 나타낸 그림을 줄기와 잎 그림이라 한다.
위 자료에서는 십의 자리 숫자가 줄기, 일의 자리 숫자가 잎이다.

\begin{array}{c|l} \text{줄기} & \text{잎} \\ \hline 1 & 2\ 5\ 8 \\ 2 & 0\ 3\ 3\ 7\ 9 \\ 3 & 1\ 4\ 6\ 6\ 8\ 9 \\ 4 & 2\ 5\ 5\ 7 \\ 5 & 0\ 3 \end{array}

(1\,|\,2

는

12

회

)

성질줄기와 잎 그림에서 알 수 있는 것

잎의 총개수가 변량의 개수이다. 위 그림에서 잎은

3+5+6+4+2=20

개이다.
줄기

3

의 잎이

6

개로 가장 많으므로

30

회대 학생이 가장 많다.
원래 변량의 값을 그대로 알 수 있으므로 가장 큰 값, 가장 작은 값, 중앙값도 바로 읽을 수 있다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

위 줄기와 잎 그림에서 줄넘기 횟수가

40

회 이상인 학생 수는?

잎을 적을 때

✗ 틀린 풀이

줄기

2

의 잎:

0\ 3\ 7\ 9

왜 틀렸나 줄기와 잎 그림에서는 같은 변량이 여러 번 나오면 잎도 그 횟수만큼 모두 적는다.

✓ 바른 풀이

줄기

2

의 잎:

0\ 3\ 3\ 7\ 9

확인 방법: 잎의 개수를 모두 더하면 변량의 개수와 같아야 한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

줄기와 잎 그림 그리는 순서

1
변량을 줄기와 잎으로 나눠요.
보통 십의 자리를 줄기, 일의 자리를 잎으로 해요.
2
세로선의 왼쪽에 줄기를 작은 수부터 세로로 써요.
줄기는 중복되는 수를 한 번만 써요.
3
세로선의 오른쪽에 각 줄기에 해당하는 잎을 작은 수부터 가로로 써요.
잎은 중복되는 수도 모두 써요.
4
「 $1\,|\,2$ 는 $12$ 회」처럼 읽는 방법을 적어요.

2도수분포표

정의계급, 도수, 도수분포표

변량을 일정한 간격으로 나눈 구간을 계급이라 하고, 구간의 너비를 계급의 크기라 한다.
각 계급에 속하는 변량의 개수를 그 계급의 도수 라 한다.
자료를 몇 개의 계급으로 나누고 각 계급의 도수를 조사하여 나타낸 표를 도수분포표라 한다.

줄넘기 자료를 계급의 크기 $10$ 회로 나누어 도수분포표로 나타내면 다음과 같아요.

횟수(회)	도수(명)
$10$ 이상 $20$ 미만	$3$
$20\sim30$	$5$
$30\sim40$	$6$
$40\sim50$	$4$
$50\sim60$	$2$
합계	$20$

학생

도수분포표는 줄기와 잎 그림이랑 뭐가 달라요?

쌤

줄기와 잎 그림에는 변량 하나하나가 그대로 남지만, 도수분포표에는 계급마다 개수만 남아요. 그래서 분포는 한눈에 보이지만 각 변량의 정확한 값은 알 수 없어요.

첫 계급은 $10$ 회 이상 $20$ 회 미만이고, 둘째 줄부터는 이상·미만을 줄여 써요.
계급의 크기는 $20-10=10$ (회) 이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중

20

이상

30

미만인 계급에 속하는 변량은?

경계에 있는 변량

✗ 틀린 풀이

20

회는

10

이상

20

미만 계급에 넣는다.

왜 틀렸나 「이상」에는 그 값이 들어가고 「미만」에는 들어가지 않으므로

20

은

20

이상인 계급에 넣는다.

✓ 바른 풀이

20

회는

20

이상

30

미만 계급에 넣는다.

기억 요령: 계급의 왼쪽 끝 값은 그 계급에 들어가고, 오른쪽 끝 값은 다음 계급에 들어간다.

⚠ 주의도수분포표의 한계

도수분포표만 보고는 각 계급 안의 변량이 정확히 얼마인지 알 수 없어요.

30

이상

40

미만의 도수가

6

이라는 것만 알 뿐,

31

인지

39

인지는 알 수 없어요.
대신 자료 전체가 어떻게 분포되어 있는지를 한눈에 볼 수 있어요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

도수분포표 만드는 순서

1
가장 작은 변량과 가장 큰 변량을 찾아요.
위 자료에서는 $12$ 와 $53$ 이에요.
2
계급의 크기를 정하고 모든 변량이 들어가도록 계급을 나눠요.
계급의 개수는 보통 $5\sim15$ 개가 알맞아요.
3
각 계급에 속하는 변량의 개수를 세어 도수를 적어요.
셀 때마다 표시하면 빠뜨리지 않아요.
4
도수의 합이 변량의 개수와 같은지 확인해요.
$3+5+6+4+2=20$

3히스토그램과 도수분포다각형

정의히스토그램

가로축에 각 계급의 양 끝 값을, 세로축에 도수를 차례로 표시하고, 각 계급의 크기를 가로, 도수를 세로로 하는 직사각형을 붙여 그린 그래프를 히스토그램이라 한다.

줄넘기 기록의 히스토그램

$10\sim20$ $10\times3=30$
$20\sim30$ $10\times5=50$
$30\sim40$ $10\times6=60$
$40\sim50$ $10\times4=40$
$50\sim60$ $10\times2=20$
합 $30+50+60+40+20=200$

직사각형 넓이

=

가로(계급의 크기

10

)

\times

세로(도수). 오른쪽은 계급별 넓이예요.

학생

히스토그램의 넓이는 무엇으로 정해져요?

쌤

직사각형의 가로가 모두 계급의 크기로 같아서, 넓이는 도수에 정비례해요. 그래서 넓이의 합은 (계급의 크기)

\times

(도수의 총합)이에요.

공식히스토그램의 넓이

직사각형 하나

\displaystyle (\text{계급의 크기})\times(\text{그 계급의 도수})

직사각형 넓이의 합

\displaystyle (\text{계급의 크기})\times(\text{도수의 총합})

10\times20=200

정의도수분포다각형

히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중앙에 점을 찍는다.
양 끝에 도수가

0

인 계급을 하나씩 더 있는 것으로 생각하여 그 중앙에도 점을 찍는다.
이 점들을 차례로 선분으로 연결하여 그린 그래프를 도수분포다각형이라 한다.
줄넘기 자료에서 연결하는 점은 다음과 같다.

(5,\ 0)

(15,\ 3)

(25,\ 5)

(35,\ 6)

(45,\ 4)

(55,\ 2)

(65,\ 0)

히스토그램 위에 그린 도수분포다각형

양 끝의 도수가

0

인 계급 중앙

(5,\ 0)

(65,\ 0)

까지 이어야 해요.

성질도수분포다각형의 넓이

도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 넓이의 합과 같다.

(\text{계급의 크기})\times(\text{도수의 총합})

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

계급의 크기가

5

, 도수의 총합이

30

인 히스토그램에서 직사각형의 넓이의 합은?

도수분포다각형의 양 끝

✗ 틀린 풀이

첫 계급

15

의 점에서 시작하여 마지막 계급

55

의 점에서 끝낸다.

왜 틀렸나 도수분포다각형은 양 끝에 도수가

0

인 계급을 하나씩 더해 그 중앙의 점까지 이어야 한다.

✓ 바른 풀이

양 끝에 도수가

0

인 계급의 중앙

(5,\ 0)

(65,\ 0)

까지 이어 가로축과 닫힌 도형을 만든다.

양 끝을 가로축까지 내리지 않으면 넓이가 히스토그램과 같아지지 않아요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

모든 직사각형의 가로가 계급의 크기로 같으므로 넓이는 도수에 정비례해요.

왜 그런가요? 이웃한 두 직사각형의 윗변 중앙을 이은 선분을 보면, 직사각형의 윗변 중앙끼리 선분으로 이으면, 직사각형에서 잘려 나가는 삼각형과 새로 더해지는 삼각형이 밑변과 높이가 같은 합동인 삼각형이 돼요.
따라서 넓이는 변하지 않고, 줄넘기 자료의 도수분포다각형의 넓이도 $200$ 이에요.

4상대도수

정의상대도수

도수분포표에서 도수의 총합에 대한 각 계급의 도수의 비율을 그 계급의 상대도수 라 한다.

(\text{어떤 계급의 상대도수})=\frac{(\text{그 계급의 도수})}{(\text{도수의 총합})}

학생

상대도수는 왜 필요해요?

쌤

도수를 전체에 대한 비율로 바꾼 값이라서, 그 계급이 전체에서 얼마나 차지하는지 바로 보여요. 상대도수를 모두 더하면

1

이에요.

줄넘기 자료에 상대도수를 더하여 상대도수의 분포표를 만들면 다음과 같아요.

횟수(회)	도수(명)	상대도수
$10$ 이상 $20$ 미만	$3$	$0.15$
$20\sim30$	$5$	$0.25$
$30\sim40$	$6$	$0.3$
$40\sim50$	$4$	$0.2$
$50\sim60$	$2$	$0.1$
합계	$20$	$1$

예를 들어 노란 칸, $30$ 이상 $40$ 미만 계급의 상대도수는 $\frac{6}{20}=0.3$ 이에요.
상대도수는 확률을 구할 때 다시 써요.

공식상대도수의 성질과 변형

범위

\displaystyle 0\le(\text{상대도수})\le1

합

\displaystyle (\text{상대도수의 총합})=1

모든 계급의 도수를 더하면 도수의 총합이 되기 때문이다.

도수 구하기

\displaystyle (\text{도수})=(\text{상대도수})\times(\text{도수의 총합})

0.15\times40=6

총합 구하기

\displaystyle (\text{도수의 총합})=\frac{(\text{도수})}{(\text{상대도수})}

\frac{12}{0.3}=40

백분율

\displaystyle (\text{상대도수})\times100\ (\%)

0.3

은 전체의

30\,\%

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

도수의 총합이

40

이고 어떤 계급의 상대도수가

0.25

일 때, 이 계급의 도수는?

도수의 총합 구하기

✗ 틀린 풀이

도수가

12

, 상대도수가

0.3

이면

(\text{총합})=12\times0.3=3.6

왜 틀렸나 상대도수는 도수를 도수의 총합으로 나눈 값이므로 총합은 도수를 상대도수로 나누어 구한다.

✓ 바른 풀이

도수가

12

, 상대도수가

0.3

이면

(\text{총합})=\frac{12}{0.3}=40

확인 방법: 총합은 그 계급의 도수보다 크거나 같아야 한다.

\frac{12}{40}=0.3

으로 되돌려 확인한다.

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기

줄넘기 횟수가

30

회 이상인 학생은 전체의 몇 %인가

0.3+0.2+0.1=0.6

↳◀

30

회 이상 세 계급의 상대도수

0.6\ \to\ 60\,\%

\frac{6+4+2}{20}=\frac{12}{20}=0.6

↳◀도수로 검산

성질상대도수의 분포를 나타낸 그래프

상대도수의 분포표를 히스토그램이나 도수분포다각형 모양으로 나타낼 수 있다. 이때 세로축에는 도수 대신 상대도수를 쓴다.
이 그래프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

(\text{계급의 크기})\times(\text{상대도수의 총합})=(\text{계급의 크기})\times1

이므로 계급의 크기와 같다.

5두 자료의 비교

A반 $20$ 명과 B반 $25$ 명의 줄넘기 횟수를 조사하였더니 $30$ 회 이상 $40$ 회 미만인 학생이 두 반 모두 $6$ 명이었어요.

	A반	B반
$30\sim40$ 회 도수	$6$	$6$
도수의 총합	$20$	$25$
상대도수	$\frac{6}{20}=0.3$	$\frac{6}{25}=0.24$

학생

두 반 모두

6

명인데 왜 차지하는 비율이 달라요?

쌤

전체 학생 수가 달라서예요. A반은

20

명 중

6

명, B반은

25

명 중

6

명이라 같은

6

명이 차지하는 몫이 달라요.

성질도수의 총합이 다른 두 자료 비교

도수의 총합이 다른 두 자료는 도수를 그대로 비교하면 안 되고 상대도수로 비교한다.
두 자료의 상대도수의 분포를 나타낸 그래프를 함께 그리면 분포를 한눈에 비교할 수 있다.
그래프가 전체적으로 오른쪽으로 치우친 자료일수록 변량이 큰 편이다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

전체

50

명인 A반과 전체

40

명인 B반에서 어떤 계급의 도수가 모두

10

명이에요. 이 계급의 비율을 바르게 비교한 것은?

두 반의 비율 비교

✗ 틀린 풀이

A반, B반 모두 도수가

6

이므로 비율이 같다.

왜 틀렸나 전체 학생 수가 다른 두 집단의 비율은 도수가 아니라 상대도수로 비교해야 한다.

✓ 바른 풀이

A반 상대도수

\frac{6}{20}=0.3

B반 상대도수

\frac{6}{25}=0.24

따라서 A반의 비율이 더 높다.

전체 학생 수가 다르면 같은

6

명이라도 차지하는 비율이 달라요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

도수는 같지만 반 전체에서 차지하는 비율은 A반이 $0.3$ , B반이 $0.24$ 로 A반이 더 높아요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1줄기와 잎 그림은 변량을 줄기(큰 자리)와 잎(작은 자리)으로 나누어 나타낸 그림으로, 변량의 실제 값을 모두 알 수 있다.
2변량을 일정한 간격으로 나눈 구간을 계급, 그 간격을 계급의 크기, 각 계급에 속하는 변량의 개수를 도수라 하고, 이를 표로 나타낸 것이 도수분포표이다.
3히스토그램의 직사각형 넓이의 합과 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 넓이는 모두 $(\text{계급의 크기})\times(\text{도수의 총합})$ 이다.
4상대도수는 $\frac{(\text{그 계급의 도수})}{(\text{도수의 총합})}$ 이고 그 합은 $1$ 이다. 도수의 총합이 다른 두 자료는 상대도수로 비교한다.

✗ 자주 하는 실수

계급의 경계에 있는 변량(예: $20$ )을 「미만」 쪽 계급에 넣어요.
도수의 총합을 구할 때 (도수)÷(상대도수) 대신 (도수)×(상대도수)를 계산해요.
도수의 총합이 다른 두 반을 상대도수가 아닌 도수 그대로 비교해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
다음은 어느 반 학생 $25$ 명의 키를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. $A$ 의 값과 키가 $150$ cm 이상 $160$ cm 미만인 계급의 상대도수를 구하시오. $\begin{array}{c|c} \text{키(cm)} & \text{도수(명)} \\ \hline 140\,{\small\text{이상}}\sim150\,{\small\text{미만}} & 4 \\ 150\sim160 & A \\ 160\sim170 & 10 \\ 170\sim180 & 2 \\ \hline \text{합계} & 25 \end{array}$
예제 2
어떤 자료에서 도수가 $12$ 인 계급의 상대도수가 $0.3$ 이다. 이 자료에서 상대도수가 $0.15$ 인 계급의 도수를 구하시오.
예제 3
수학 점수가 $80$ 점 이상인 학생이 A반은 $25$ 명 중 $7$ 명, B반은 $40$ 명 중 $10$ 명이다. $80$ 점 이상인 학생의 비율은 어느 반이 더 높은지 구하시오.

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