조합
STEP 1
개념 읽기
번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.
이 개념에서 배울 것
서로 다른 개에서 순서를 생각하지 않고 개를 택하는 조합의 수는 이에요.
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어
1조합의 뜻과 조합의 수
정의조합
공식조합의 수 공식
순열의 수로
계승으로
에서 성립한다.
약속
학생
조합은 순열이랑 뭐가 달라요?
쌤
순열은 뽑아서 나열하는 것, 조합은 순서 없이 뽑기만 하는 거예요.
뽑은 개를 나열하는 가지가 모두 같은 조합이라서, 순열의 수를 로 나눠요.
뽑은 개를 나열하는 가지가 모두 같은 조합이라서, 순열의 수를 로 나눠요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
의 값은?
순열과 조합 구별하기
✗ 틀린 풀이
명 중 대표 명을 뽑는 방법
왜 틀렸나 뽑힌 순서가 의미 없는 대표 선출은 조합이므로 로 센다.
✓ 바른 풀이
명 중 대표 명을 뽑는 방법
대표 명은 뽑힌 순서가 의미 없으므로 조합이에요.
반장 명, 부반장 명처럼 역할이 다르면 순서가 있으므로 순열 이에요.
반장 명, 부반장 명처럼 역할이 다르면 순서가 있으므로 순열 이에요.
분모의 계승
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 의 분모는 택한 개를 나열하는 수 이므로 로 나눈다.
✓ 바른 풀이
확인: 결과는 을 으로 나눈 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림성질 더 보기
위 식이 나오는 이유
에서 개를 택하는 조합은 의 가지예요.
조합 하나, 예를 들어 를 일렬로 나열하는 방법은 가지예요.
그래서 이에요.
일반적으로 개를 택한 뒤(조합) 그 개를 나열하면 순열이 되므로 이고, 양변을 로 나누면 위 식이 돼요. 같은 것을 여러 번 택할 수 있으면 중복조합이 돼요.
조합 가지마다 나열 가지
| 조합 | 나열하면 |
|---|---|
순열 가지가 조합 줄로 개씩 묶여요. 그래서 예요.
성질틀로 외우기
분자는 □ 부터 씩 줄여 가며 △ 개를 곱한다(순열의 수).
분모는 △ 이다(택한 것끼리의 순서를 없앤다).
분자와 분모의 곱하는 수의 개수가 같다는 것으로 검산한다.
분모는 △ 이다(택한 것끼리의 순서를 없앤다).
분자와 분모의 곱하는 수의 개수가 같다는 것으로 검산한다.
성질 로 정하는 이유
이 일 때도 성립하려면
이어야 하므로 로 정한다.
또 개에서 개를 모두 택하는 방법은 한 가지이므로 이다.
이어야 하므로 로 정한다.
또 개에서 개를 모두 택하는 방법은 한 가지이므로 이다.
공식 외우기 — 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2순열에서 순서를 없앤다
단계 1 / 2
단계 1 / 2
2조합의 수의 성질
성질
개에서 개를 택하는 것은 택하지 않고 남길 개를 택하는 것과 같다.
식으로도 확인할 수 있다. 가 의 절반보다 크면 로 바꾸어 계산이 간단해진다.
식으로도 확인할 수 있다. 가 의 절반보다 크면 로 바꾸어 계산이 간단해진다.
공식조합의 수의 성질
남길 것을 택하기
특정한 것으로 나누기
같은 값이 되는 조건
학생
처럼 이 크면 이 성질을 어떻게 써요?
쌤
로 바꾸면 두 수만 곱하면 돼요.
또 이면 또는 이에요.
또 이면 또는 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
의 값은?
을 만족시키는 자연수
↳◀
↳◀인수분해
↳◀ 인 자연수
같은 값이 되는 조건
✗ 틀린 풀이
이면
왜 틀렸나 이므로 뿐 아니라 인 경우도 있다.
✓ 바른 풀이
이면 또는
처럼 인 경우도 있어요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기그림예제
성질 ()
개 중 특정한 하나 를 생각한다.
를 포함하는 경우는 를 뺀 나머지 개에서 개를 택하므로
를 포함하지 않는 경우는 를 뺀 개에서 개를 택하므로
두 경우는 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙에 의해 성립한다.
이 성질로 파스칼의 삼각형이 만들어진다.
예를 들어
를 포함하는 경우는 를 뺀 나머지 개에서 개를 택하므로
를 포함하지 않는 경우는 를 뺀 개에서 개를 택하므로
두 경우는 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙에 의해 성립한다.
이 성질로 파스칼의 삼각형이 만들어진다.
예를 들어
파스칼 삼각형
맨 위가 째 줄
위 줄의 이웃한 두 칸을 더하면 바로 아래 칸이 돼요. 노란 칸: , 곧
성질검산하는 방법
조합의 수는 항상 자연수이다. 계산 결과가 분수이면 잘못 계산한 것이다.
로 바꾸어 다시 계산해 보면 실수를 찾을 수 있다.
로 바꾸어 다시 계산해 보면 실수를 찾을 수 있다.
응용
↳◀성립할 수 없어요 ✗
↳◀ 쪽
검산: 이에요.
3특정한 것을 포함하거나 제외하고 뽑기
특정한 것을 꼭 포함할 때는 그것을 미리 뽑아 두고, 남은 것 중에서 모자란 수만큼 뽑아요. 제외할 때는 처음부터 빼 두고 뽑아요.
어느 쪽이든 전체 개수에서도 꼭 빼요.
에서 개를 택할 때
↳◀ 포함: 를 뽑아 두고
↳◀ 모두 포함
↳◀ 제외: 를 빼 두고
↳◀ 포함, 제외
검산: 를 포함하는 경우와 제외하는 경우를 더하면 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
명 중 명을 뽑을 때 특정한 명을 반드시 포함하는 방법의 수는?
미리 뽑은 것을 전체에서 빼기
✗ 틀린 풀이
를 포함하여 개를 택하는 방법
왜 틀렸나 특정한 것을 미리 뽑아 두면 택할 개수와 전체 개수에서 모두 그것을 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
를 포함하여 개를 택하는 방법
를 빼고 남은 개에서 개를 택하므로 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
서로 다른 개에서 개를 택할 때
- 1특정한 개를 포함하는 경우개를 미리 뽑아 두고, 남은 개에서 개를 택해요.
- 2특정한 개를 제외하는 경우개를 처음부터 빼 두고, 남은 개에서 개를 택해요.
- 3포함과 제외가 함께 있는 경우포함할 것은 미리 뽑고 제외할 것은 빼 둔 뒤, 남은 것에서 모자란 개수만큼 택해요.
4뽑아서 나열하기
「무엇을 뽑을지」에 조건이 있고 뽑은 것을 나열해야 할 때는 먼저 조합으로 뽑고, 뽑은 것을 나열해요.
조건이 없으면 이므로 순열과 같아요. 조합은 확률을 계산할 때 가장 많이 쓰여요.
남학생 4 명, 여학생 3 명 중 남학생 2 명, 여학생 1 명을 뽑아 일렬로 세우기
↳◀뽑기(조합)
↳◀뽑은 명 세우기
↳◀곱의 법칙
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
명 중 명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수는?
나열을 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
뽑아서 일렬로 세우는 방법
왜 틀렸나 「일렬로 세운다」는 순서가 있으므로 뽑은 명을 나열하는 을 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
뽑아서 일렬로 세우는 방법
「뽑는다」는 조합, 「세운다」는 나열이다. 문제의 말을 보고 두 단계를 나누어 센다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
뽑아서 나열하는 순서
- 1조건에 맞게 뽑는 방법의 수를 조합으로 구해요.종류별로 따로 뽑으면 곱의 법칙으로 곱해요.
- 2뽑은 개를 나열하는 방법의 수를 구해요.
- 3두 수를 곱해요.곱의 법칙
5도형의 개수
성질어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 개의 점
서로 다른 두 점은 하나의 직선을 결정하므로 직선의 개수는 이다.
한 직선 위에 있지 않은 세 점은 삼각형 하나를 결정하므로 삼각형의 개수는 이다.
볼록 각형의 대각선의 개수는 꼭짓점 개를 잇는 선분 개에서 변 개를 뺀 이다.
한 직선 위에 있지 않은 세 점은 삼각형 하나를 결정하므로 삼각형의 개수는 이다.
볼록 각형의 대각선의 개수는 꼭짓점 개를 잇는 선분 개에서 변 개를 뺀 이다.
학생
점 세 개를 고르면 왜 항상 삼각형이 돼요?
쌤
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으니까요.
한 직선 위에 있는 세 점은 삼각형을 만들지 못해서, 그런 점이 있으면 그 경우를 따로 빼요.
한 직선 위에 있는 세 점은 삼각형을 만들지 못해서, 그런 점이 있으면 그 경우를 따로 빼요.
원 위의 서로 다른 6 개의 점
↳◀두 점 → 직선
↳◀세 점 → 삼각형
↳◀대각선(점선)
두 점을 잇는 선분 개 중 육각형의 변 개를 빼면 대각선 개가 남아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 개의 점으로 만들 수 있는 삼각형의 개수는?
한 직선 위의 점으로 만든 직선
✗ 틀린 풀이
직선의 개수
왜 틀렸나 한 직선 위의 점 개로도 직선이 개 생기므로 뺀 뒤 을 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
직선의 개수
한 직선 위에 있는 점끼리 고른 가지는 모두 같은 직선 하나이다.
자세히 보기펼치기예제
응용
한 직선 위에 3 개의 점이 있을 때
↳◀직선의 개수
↳◀삼각형의 개수
평면 위의 개의 점 중 개만 한 직선 위에 있어요.
그 개에서 개를 택한 가지는 모두 같은 직선 개예요. 그 개로는 삼각형이 생기지 않아요.
그 개에서 개를 택한 가지는 모두 같은 직선 개예요. 그 개로는 삼각형이 생기지 않아요.
6분할과 분배
정의분할과 분배
서로 다른 것들을 몇 개의 묶음으로 나누는 것을 분할이라 한다.
분할한 묶음을 사람이나 장소에 나누어 주는 것을 분배 라 한다.
분할한 묶음을 사람이나 장소에 나누어 주는 것을 분배 라 한다.
학생
물건을 몇 묶음으로 나누는 방법은 어떻게 세요?
쌤
묶음을 차례로 조합으로 뽑아 곱해요.
그런데 크기가 같은 묶음은 이름이 없어서 순서만 바뀐 것이 여러 번 세어지니까, 같은 크기 묶음 개수의 계승으로 나눠요.
그런데 크기가 같은 묶음은 이름이 없어서 순서만 바뀐 것이 여러 번 세어지니까, 같은 크기 묶음 개수의 계승으로 나눠요.
서로 다른 개 를 개씩 두 묶음으로
↳◀첫 묶음을 택하면
↳◀같은 분할
↳◀ 번씩 세었어요
크기가 같은 두 묶음에는 이름이 없어서 순서만 바뀐 것은 같은 분할이에요.
실제로 의 가지예요.
실제로 의 가지예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
서로 다른 개를 개씩 두 묶음으로 나누는 방법의 수는?
공식서로 다른 개를 개의 세 묶음으로 나누는 방법()
가 모두 다를 때
두 수만 같을 때
같은 크기의 묶음 개의 순서를 없앤다.
세 수가 모두 같을 때
세 사람에게 분배
분할한 세 묶음을 세 사람에게 나누어 주는 방법이 이다.
같은 크기의 묶음
✗ 틀린 풀이
권을 권씩 세 묶음으로 나누는 방법
왜 틀렸나 크기가 같은 묶음은 묶음끼리 순서를 바꾸어도 같으므로 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
권을 권씩 세 묶음으로 나누는 방법
은 세 사람에게 권씩 나누어 주는 분배의 수이다.
자세히 보기펼치기예제 2
서로 다른 책 6 권을 세 묶음으로 나누기
↳◀ 권
↳◀ 권씩
↳◀ 권
크기가 같은 묶음이 개이면 로 나눠요.
세 사람에게 분배하기
↳◀ 권씩 나누어 주기
↳◀ 권으로 나누어 주기
분할한 세 묶음을 세 사람에게 주는 방법이 이에요.
7대진표 짜기
토너먼트 대진표는 팀을 두 묶음으로 나누고, 각 묶음을 다시 두 묶음으로 나누는 분할을 되풀이해서 만들어요.
성질대진표의 수
① 전체 팀을 대진표 모양에 맞게 두 묶음으로 나눈다.
② 각 묶음을 다시 두 묶음으로 나누기를 한 경기가 될 때까지 되풀이한다.
③ 각 단계에서 나누는 방법의 수를 모두 곱한다.
크기가 같은 묶음 개로 나눌 때는 로 나눈다.
② 각 묶음을 다시 두 묶음으로 나누기를 한 경기가 될 때까지 되풀이한다.
③ 각 단계에서 나누는 방법의 수를 모두 곱한다.
크기가 같은 묶음 개로 나눌 때는 로 나눈다.
팀의 토너먼트 대진표
↳◀ 팀씩 두 묶음
팀 묶음은 그대로 한 경기이므로 대진표는 가지예요.
학생
부전승이 있으면 어떻게 세요?
쌤
부전승 팀이 있는 묶음은 팀 수가 홀수예요.
그 묶음에서 부전승으로 올라갈 팀 하나를 고르는 방법의 수를 더 곱해요.
그 묶음에서 부전승으로 올라갈 팀 하나를 고르는 방법의 수를 더 곱해요.
팀, 부전승 팀
↳◀ 팀씩 두 묶음
↳◀묶음마다 부전승 팀 고르기
따라서 대진표는 가지예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
팀이 토너먼트로 경기할 때 대진표의 수는?
자세히 보기펼치기예제
팀, 부전승 팀
↳◀ 팀 묶음과 팀 묶음
↳◀ 팀 묶음에서 부전승 팀 고르기
팀 묶음과 팀 묶음은 크기가 달라서 로 나누지 않아요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
- 1서로 다른 개에서 순서를 생각하지 않고 개를 택하는 조합의 수는 이다.
- 2 이고, 이다.
- 3특정한 것을 포함하면 미리 뽑아 두고, 제외하면 처음부터 빼 둔 뒤 나머지에서 뽑는다.
- 4뽑아서 나열하면 (조합의 수)(나열하는 수)이고, 크기가 같은 묶음으로 나눌 때는 그 묶음 수의 계승으로 나눈다.
✗ 자주 하는 실수
- 을 계산할 때 로 나누지 않거나, 역할이 정해진 선택처럼 순서가 있는 상황에 조합을 써요.
- 특정한 것을 포함하여 뽑을 때, 미리 뽑은 것을 전체 개수에서 빼지 않아요.
- 크기가 같은 묶음으로 나눌 때 묶음 수의 계승으로 나누지 않거나, 분배할 때 묶음을 나누어 주는 방법의 수를 곱하지 않아요.
STEP 2
예제로 익히기
풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.
- 예제 1남학생 명, 여학생 명 중에서 남학생 명, 여학생 명을 대표로 뽑는 방법의 수를 구하시오.
- 예제 2부터 까지의 자연수 중에서 서로 다른 개를 택할 때, 과 는 포함하고 은 포함하지 않는 방법의 수를 구하시오.
- 예제 3서로 다른 책 권을 세 사람에게 권씩 나누어 주는 방법의 수를 구하시오.
다음 공부
이전 개념: 순열설명에서 참고한 다른 과목 개념: 확률과 통계 중복조합 (나중에), 확률과 통계 이항정리 (나중에), 확률과 통계 확률의 뜻 (나중에), 중1 다각형공통수학1 목차