수학 개념 노트전체 과목

확률과 그 기본 성질

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
모든 경우가 일어날 가능성이 같을 때 사건 AA 의 확률은 an\frac{a}{n} 이고 0≤p≤10\le p\le 1 이에요. 일어나지 않을 확률은 1−p1-p, 동시에 일어나지 않는 두 사건 중 하나가 일어날 확률은 p+qp+q, 서로 영향을 끼치지 않는 두 사건이 함께 일어날 확률은 p×qp\times q 이에요.
  1. 1확률의 뜻
  2. 2확률의 기본 성질
  3. 3어떤 사건이 일어나지 않을 확률
  4. 4확률의 덧셈
  5. 5확률의 곱셈
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1확률의 뜻

정의확률
어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 일어나는 모든 경우의 수를 nn, 사건 AA 가 일어나는 경우의 수를 aa 라 하면 사건 AA 가 일어날 확률은p=(사건 A가 일어나는 경우의 수)(모든 경우의 수)=anp=\frac{(\text{사건 } A \text{가 일어나는 경우의 수})}{(\text{모든 경우의 수})}=\frac{a}{n}
학생
「각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때」라는 조건은 왜 붙어요?
쌤
가능성이 다르면 경우의 수로 나누는 게 맞지 않아요. 동전 두 개에서 (앞, 뒤)와 (뒤, 앞)을 한 경우로 묶으면 세 경우의 가능성이 같지 않아서 13\frac{1}{3} 같은 틀린 값이 나와요.
서로 다른 동전 두 개를 던질 때 모두 앞면일 확률
✗ 틀린 풀이
경우는 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 뒤) 이므로
13\frac{1}{3}
왜 틀렸나 확률은 일어날 가능성이 같은 경우로 세어야 하므로 두 동전을 구별하여 모든 경우를 센다.
✓ 바른 풀이
경우는 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤) 이므로
14\frac{1}{4}
확인 방법: 모든 경우의 수는 2×2=42\times2=4 이고, 그중 모두 앞면은 (앞, 앞) 하나이다.
서로 다른 동전 두 개
앞
뒤
앞
앞
뒤
뒤
12\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
끝 44 개의 경우가 모두 같은 가능성이므로 (앞, 앞) 의 확률은 14\frac{1}{4} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 던질 때 33 의 배수의 눈이 나올 확률은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

예를 들어 주사위 한 개를 던질 때 11 부터 66 까지의 눈은 어느 것이나 나올 가능성이 같아요.
짝수의 눈은 66 가지 중 33 가지이므로, 짝수의 눈이 나올 가능성을
36=12\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
로 나타낼 수 있어요.

같은 실험을 여러 번 반복할 때 사건 AA 가 일어난 상대도수는 반복 횟수가 많아질수록 일정한 값에 가까워져요. 이 값도 사건 AA 가 일어날 확률로 볼 수 있어요.
예를 들어 동전을 아주 많이 던지면 앞면이 나온 상대도수는 12\frac{1}{2} 에 가까워져요.

확률을 구하는 순서
  1. 1
    일어나는 모든 경우의 수 nn 을 구해요.
    각 경우가 일어날 가능성이 같은지 확인해요.
  2. 2
    사건 AA 가 일어나는 경우의 수 aa 를 구해요.
    합·곱의 법칙을 써요.
  3. 3
    an\frac{a}{n} 을 계산하고 기약분수로 나타내요.

2확률의 기본 성질

성질확률의 성질
어떤 사건이 일어날 확률을 pp 라 하면 0≤p≤10\le p\le 1
반드시 일어나는 사건의 확률은 11 이다.
절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 00 이다.
학생
왜 확률은 11 보다 클 수 없어요?
쌤
사건이 일어나는 경우의 수는 모든 경우의 수보다 클 수 없어요. 분자가 분모보다 크지 않으니 확률은 11 이하이고, 경우의 수는 음수가 아니니 00 이상이에요.
확률의 범위
0≤p≤10\le p\le 1
0
12\frac{1}{2}
1
p=0p=0
짝수 눈
p=1p=1
  • p=0p=0절대로 일어나지 않아요(주사위에서 77 의 눈).
  • 0<p<10<p<1일어날 수도 있어요(짝수의 눈 12\frac12).
  • p=1p=1반드시 일어나요(66 이하의 눈).
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 던질 때 77 의 눈이 나올 확률은?
확률의 값 확인하기
✗ 틀린 풀이
확률을 계산했더니 76\frac{7}{6} 이 나왔다.
왜 틀렸나 확률은 00 이상 11 이하이므로 11 보다 큰 값이 나오면 계산을 처음부터 다시 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
확률은 11 보다 클 수 없다.
경우를 중복하여 세었는지 다시 확인한다.
분자(사건의 경우의 수)는 분모(모든 경우의 수)보다 클 수 없어요. 계산한 확률이 00 과 11 사이에 있는지 보는 것이 첫 번째 검산이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? 주사위 한 개를 던질 때
77 이상의 눈이 나올 확률은 06=0\frac{0}{6}=0
66 이하의 눈이 나올 확률은 66=1\frac{6}{6}=1
사건이 일어나는 경우의 수 aa 는 0≤a≤n0\le a\le n 이므로 각 변을 nn 으로 나누면 0≤an≤10\le \frac{a}{n}\le 1 이에요.

3어떤 사건이 일어나지 않을 확률

성질일어나지 않을 확률
사건 AA 가 일어날 확률을 pp 라 하면
(사건 AA 가 일어나지 않을 확률) == 1−p1-p
사건이 일어나는 경우의 수가 aa 이면 일어나지 않는 경우의 수는 n−an-a 이므로 n−an=1−an\frac{n-a}{n}=1-\frac{a}{n} 이다.
학생
pp 와 1−p1-p 를 더하면 왜 11 이에요?
쌤
사건 AA 는 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나예요. 두 경우를 합치면 모든 경우이고, 모든 경우가 일어날 확률은 11 이에요.
성질「적어도 하나는 ~일」 확률
「적어도 하나는 AA 이다」가 일어나지 않는 것은 「모두 AA 가 아니다」이다.
(적어도 하나는 AA 일 확률) =1−=1-(모두 AA 가 아닐 확률)
직접 세면 경우를 여러 개로 나누어야 하지만, 반대쪽은 한 가지뿐이어서 쉽게 구할 수 있다.
동전 세 개
적어도 한 개는 앞면
2×2×2=82\times2\times2=8
↳모든 경우의 수
모두 뒷면: 1가지\text{모두 뒷면}:\ 1\text{가지}
↳「적어도 한 개 앞면」의 반대
1−18=781-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
서로 다른 동전 22 개를 던질 때 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은?
「적어도」의 반대
✗ 틀린 풀이
적어도 한 개 앞면의 반대를 「모두 앞면」으로 보아
1−181-\frac{1}{8} 을 한 번 더 빼거나 엉뚱한 값을 쓴다.
왜 틀렸나 「적어도 한 개」의 반대 사건은 「하나도 없다」이므로 모두 뒷면일 확률을 11 에서 뺀다.
✓ 바른 풀이
적어도 한 개 앞면의 반대는 「앞면이 하나도 없다」, 즉 「모두 뒷면」이다.
검산: 동전 세 개에서 모두 뒷면은 (뒤, 뒤, 뒤) 한 가지뿐이고, 나머지 77 가지는 모두 앞면이 적어도 한 개 있다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? 주머니에 빨간 공 33 개, 파란 공 55 개가 있어요. 한 개를 꺼낼 때
빨간 공일 확률은 38\frac{3}{8}
빨간 공이 아닐 확률은 58\frac{5}{8}
두 확률의 합은 11 이에요. 빨간 공이 나오는 경우와 나오지 않는 경우를 합하면 모든 경우가 되기 때문이에요.
「일어나지 않는」 사건을 여사건이라 해요.

4확률의 덧셈

성질확률의 덧셈
두 사건 AA, BB 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 AA 가 일어날 확률을 pp, 사건 BB 가 일어날 확률을 qq 라 하면
(사건 AA 또는 사건 BB 가 일어날 확률) == p+qp+q
경우의 수의 합의 법칙 m+nm+n 의 양변을 모든 경우의 수로 나눈 것이다.
학생
두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 어떻게 해요?
쌤
그냥 더하면 겹치는 경우를 두 번 세게 돼요. 경우의 수를 다시 세어 겹친 부분을 한 번만 넣은 다음 확률을 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 던질 때 11 의 눈 또는 66 의 눈이 나올 확률은?
동시에 일어날 수 있는 두 사건
✗ 틀린 풀이
11 부터 1010 까지의 카드에서 22 의 배수 또는 33 의 배수일 확률
510+310=45\frac{5}{10}+\frac{3}{10}=\frac{4}{5}
왜 틀렸나 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 확률을 그냥 더하지 않고 겹치는 경우를 한 번 빼고 센다.
✓ 바른 풀이
66 이 두 번 세어졌으므로 경우의 수는 5+3−1=75+3-1=7
710\frac{7}{10}
검산: 해당하는 카드 2, 3, 4, 6, 8, 9, 102,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10 을 직접 세면 77 장이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? 주사위 한 개를 던질 때 22 이하 또는 55 이상의 눈이 나올 확률을 구해 봐요.
22 이하의 눈이 나올 확률은 26\frac{2}{6}
55 이상의 눈이 나올 확률은 26\frac{2}{6}
두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 경우의 수 2+22+2 를 66 으로 나눈 것과 같아요.
26+26=46=23\frac{2}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

5확률의 곱셈

성질확률의 곱셈
두 사건 AA, BB 가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 사건 AA 가 일어날 확률을 pp, 사건 BB 가 일어날 확률을 qq 라 하면
(두 사건 AA, BB 가 동시에 일어날 확률) == pqpq
경우의 수의 곱의 법칙에서 분모와 분자를 각각 곱한 것과 같다.
학생
「서로 영향을 끼치지 않는다」는 게 무슨 뜻이에요?
쌤
한 사건의 결과가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻이에요. 동전에서 무엇이 나오든 주사위의 확률은 그대로예요. 꺼낸 공을 다시 넣지 않으면 두 번째 확률이 바뀌니 주의해요.
⚠ 주의꺼낸 것을 다시 넣을 때와 넣지 않을 때
흰 공 33 개, 검은 공 22 개가 든 주머니에서 공을 한 개씩 두 번 꺼낼 때 두 번 모두 흰 공일 확률을 구해 봐요.
첫 번째 공을 다시 넣으면 두 번째도 처음과 같은 상태이므로
35×35=925\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}
첫 번째 공을 다시 넣지 않으면 두 번째에는 흰 공 22 개, 공 44 개가 남으므로
35×24=310\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}
공식확률의 덧셈과 곱셈 비교
덧셈
p+q\displaystyle p+q
「또는」: 둘 중 하나가 일어난다. 두 사건이 동시에 일어나지 않아야 한다.
곱셈
p×q\displaystyle p\times q
「동시에」, 「그리고」: 둘 다 일어난다. 서로 영향을 끼치지 않아야 한다.
일어나지 않을 확률
1−p\displaystyle 1-p
「적어도 하나」는 1−1-(모두 아닐 확률)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
동전 한 개와 주사위 한 개를 던질 때 동전은 앞면, 주사위는 짝수의 눈이 나올 확률은?
두 사건이 모두 일어날 확률
✗ 틀린 풀이
35+35=65\frac{3}{5}+\frac{3}{5}=\frac{6}{5}
왜 틀렸나 두 사건이 서로 영향을 주지 않고 잇달아 모두 일어날 확률은 각 확률을 곱하여 구한다.
✓ 바른 풀이
35×35=925\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{25}
검산: 두 번 모두 일어날 확률은 한 번 일어날 확률 35\frac{3}{5} 보다 작아야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

왜 그런가요? 동전 한 개와 주사위 한 개를 던질 때 동전은 앞면, 주사위는 33 의 배수의 눈이 나올 확률을 구해 봐요.
동전의 결과는 주사위의 결과에 영향을 주지 않아요.
모든 경우의 수는 2×6=122\times6=12, 사건이 일어나는 경우의 수는 앞면 11 가지와 33 의 배수 3, 63,\ 6 의 22 가지를 곱한 1×2=21\times2=2 이므로
1×22×6=12×26=16\frac{1\times2}{2\times6}=\frac{1}{2}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{6}

AA 가 목표물을 맞힐 확률은 34\frac{3}{4}, BB 가 맞힐 확률은 23\frac{2}{3} 이에요. 두 사람이 한 번씩 쏴요.

명중률
가지를 따라 곱하기
BB ○ →12\to\frac{1}{2}
BB × →14\to\frac{1}{4}
AA ○
BB ○ →16\to\frac{1}{6}
BB × →112\to\frac{1}{12}
AA ×
23\frac{2}{3}
13\frac{1}{3}
23\frac{2}{3}
13\frac{1}{3}
34\frac{3}{4}
14\frac{1}{4}
○ 는 맞힘, × 는 못 맞힘이에요. 두 사람 모두 맞힐 확률은 34×23=12\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}, 모두 못 맞힐 확률은 14×13=112\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}, 적어도 한 사람은 맞힐 확률은 1−112=11121-\frac{1}{12}=\frac{11}{12} 이에요.
다시 넣지 않을 때
흰 →310\to\frac{3}{10}
검
흰
흰
검
검
24\frac{2}{4}
24\frac{2}{4}
34\frac{3}{4}
14\frac{1}{4}
35\frac{3}{5}
25\frac{2}{5}
두 번째 가지의 분모가 44 로 줄어요(공이 하나 빠졌으니까요). 주황 길을 따라 곱하면 35×24=310\frac35\times\frac24=\frac{3}{10} 이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1모든 경우가 일어날 가능성이 같을 때, 일어나는 모든 경우의 수가 nn, 사건 AA 가 일어나는 경우의 수가 aa 이면 사건 AA 가 일어날 확률은 p=anp=\frac{a}{n} 이다.
  2. 2어떤 사건이 일어날 확률 pp 는 0≤p≤10\le p\le 1 이고, 반드시 일어나는 사건의 확률은 11, 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 00 이다.
  3. 3사건 AA 가 일어날 확률이 pp 이면 일어나지 않을 확률은 1−p1-p 이다. 「적어도 하나」는 1−1-(모두 아닐 확률) 로 구한다.
  4. 4동시에 일어나지 않는 두 사건은 확률을 더하고(p+qp+q), 서로 영향을 끼치지 않는 두 사건이 함께 일어날 확률은 곱한다(p×qp\times q).
✗ 자주 하는 실수
  • 서로 다른 동전 두 개를 던질 때 (앞, 뒤) 와 (뒤, 앞) 을 하나로 묶어 가능성이 같지 않은 경우로 확률을 구해요.
  • 「두 번 모두」처럼 동시에 일어날 확률을 더하여 11 보다 큰 값을 답으로 써요.
  • 「적어도 한 개는 앞면」의 반대 사건을 「모두 앞면」으로 잘못 잡아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    11 부터 2020 까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 2020 장 중에서 한 장을 뽑을 때, 다음을 구하시오.
    (1) 소수가 적힌 카드가 나올 확률
    (2) 소수가 아닌 수가 적힌 카드가 나올 확률
  2. 예제 2
    서로 다른 두 주사위를 동시에 던질 때, 다음을 구하시오.
    (1) 두 눈의 수의 차가 33 이상일 확률
    (2) 적어도 한 개는 홀수의 눈이 나올 확률
  3. 예제 3
    내일 비가 올 확률은 25\frac{2}{5}, 모레 비가 올 확률은 13\frac{1}{3} 이다. 두 날의 날씨가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 다음을 구하시오.
    (1) 이틀 모두 비가 올 확률
    (2) 이틀 중 하루만 비가 올 확률

다음 공부

이전 개념: 경우의 수설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 도수분포표와 그래프, 확률과 통계 확률의 덧셈정리와 여사건 (나중에), 확률과 통계 사건의 독립과 종속 (나중에)중학교 2학년 목차
← 경우의 수
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