수학 개념 노트전체 과목

피타고라스 정리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같아요(a2+b2=c2a^2+b^2=c^2). 거꾸로 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 이면 직각삼각형이고, 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교하면 예각·둔각삼각형을 판별할 수 있어요.
  1. 1피타고라스 정리
  2. 2피타고라스 정리의 증명
  3. 3직각삼각형이 되는 조건
  4. 4삼각형의 변의 길이와 각의 크기
  5. 5피타고라스 정리의 활용
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1피타고라스 정리

성질피타고라스 정리
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 aa, bb 라 하고, 빗변의 길이를 cc 라 하면a2+b2=c2a^2+b^2=c^2빗변은 직각의 대변이고, 직각삼각형에서 가장 긴 변이다.
abcABC
빗변 cc 는 직각의 대변: a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
학생
피타고라스 정리는 아무 삼각형에서나 써도 돼요?
쌤
아니요. 직각삼각형에서만 성립해요. 세 변이 4, 5, 64,\ 5,\ 6 인 삼각형은 42+52=414^2+5^2=41, 62=366^2=36 으로 같지 않아요.
공식틀로 기억하기
정리
□2+△2=(빗변)2\displaystyle \square^2+\triangle^2=(\text{빗변})^2
□\square, △\triangle 는 직각을 낀 두 변
빗변 구하기
(빗변)2=□2+△2\displaystyle (\text{빗변})^2=\square^2+\triangle^2
다른 한 변 구하기
□2=(빗변)2−△2\displaystyle \square^2=(\text{빗변})^2-\triangle^2
빗변의 제곱에서 뺀다.
∠C=90∘\angle C=90^\circ, AC‾=8\overline{AC}=8, BC‾=15\overline{BC}=15
AB‾2=82+152=64+225=289\overline{AB}^2=8^2+15^2=64+225=289
↳빗변은 AB‾\overline{AB}
289=172 → AB‾=17289=17^2\ \to\ \overline{AB}=17
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∠C=90∘\angle C=90^\circ, AB‾=10\overline{AB}=10, AC‾=6\overline{AC}=6 일 때 BC‾\overline{BC} 의 길이는?
빗변을 잘못 잡기
✗ 틀린 풀이
∠A=90∘\angle A=90^\circ, AB‾=6\overline{AB}=6, BC‾=10\overline{BC}=10 일 때
AC‾2=62+102=136\overline{AC}^2=6^2+10^2=136
왜 틀렸나 빗변은 직각의 대변이므로, 빗변을 알 때는 빗변의 제곱에서 다른 변의 제곱을 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
∠A=90∘\angle A=90^\circ 이므로 빗변은 BC‾\overline{BC} 이다.
AC‾2=102−62=64\overline{AC}^2=10^2-6^2=64
AC‾=8\overline{AC}=8
검산: 구한 변 88 은 빗변 1010 보다 짧아야 한다. 62+82=100=1026^2+8^2=100=10^2 이다.
공식자주 쓰는 세 자연수(피타고라스 수)
3,4,53, 4, 5
32+42=52\displaystyle 3^2+4^2=5^2
6,8,106, 8, 10 처럼 배수도 성립한다.
5,12,135, 12, 13
52+122=132\displaystyle 5^2+12^2=13^2
8,15,178, 15, 17
82+152=172\displaystyle 8^2+15^2=17^2
7,24,257, 24, 25
72+242=252\displaystyle 7^2+24^2=25^2
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

예를 들어 직각을 낀 두 변의 길이가 33, 44 인 직각삼각형을 그려 빗변을 재면 55 이에요.
32+42=9+16=25=523^2+4^2=9+16=25=5^2
두 변이 55, 1212 이면 빗변은 1313 이고, 이때도
52+122=25+144=169=1325^2+12^2=25+144=169=13^2

435ABC
32+42=523^2+4^2=5^2
적용 순서
  1. 1
    직각인 꼭짓점을 찾아요.
    ∠A=90∘\angle A=90^\circ 이면 빗변은 BC‾\overline{BC}, ∠C=90∘\angle C=90^\circ 이면 빗변은 AB‾\overline{AB} 이에요.
  2. 2
    직각의 대변을 빗변으로 정하고 등식을 세워요.
    ∠A=90∘\angle A=90^\circ 이면 AB‾2+AC‾2=BC‾2\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2
  3. 3
    제곱을 계산하고, 제곱하여 그 값이 되는 양수를 찾아요.
    길이는 양수예요.
∠A=90∘\angle A=90^\circ, BC‾=13\overline{BC}=13, AB‾=5\overline{AB}=5
AC‾2=132−52=169−25=144\overline{AC}^2=13^2-5^2=169-25=144
↳빗변은 BC‾\overline{BC}
144=122 → AC‾=12144=12^2\ \to\ \overline{AC}=12
815?513?(1)(2)ABCA B C

직각을 낀 두 변이 22, 44 이면 빗변을 xx 라 할 때
x2=22+42=20x^2=2^2+4^2=20
2020 은 자연수의 제곱이 아니므로 xx 는 자연수가 아니에요. 이런 수는 제곱근으로 나타내요. 여기서는 x2x^2 의 값까지 구해요.
직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그리면, 두 작은 정사각형의 넓이의 합은 가장 큰 정사각형의 넓이와 같아요(9+16=259+16=25).

16925
9+16=259+16=25

2피타고라스 정리의 증명

넓이를 두 가지로 나누어 증명해요. 직각을 낀 두 변이 aa, bb, 빗변이 cc 인 직각삼각형 44 개와 한 변이 a+ba+b 인 정사각형 두 개를 준비해요.

c²a²b²abcab
  • 왼쪽네 귀퉁이에 직각삼각형을 놓으면 가운데에 한 변이 cc 인 사각형이 남아요. 각이 180∘−90∘=90∘180^\circ-90^\circ=90^\circ (두 예각의 합이 90∘90^\circ)라 정사각형, 넓이 c2c^2
  • 오른쪽직각삼각형을 두 개씩 붙여 직사각형 22 개로 놓으면 한 변이 aa, bb 인 정사각형이 남아요. 넓이 a2+b2a^2+b^2
  • 따라서큰 정사각형도, 빼낸 직각삼각형 44 개도 같으므로 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
두 정사각형에서 직각삼각형 4개를 빼면 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
학생
그림에서 어떻게 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 이 나와요?
쌤
한 변이 a+ba+b 인 두 정사각형은 넓이가 같아요. 똑같은 직각삼각형 44 개를 빼면 한쪽에는 c2c^2, 다른 쪽에는 a2+b2a^2+b^2 이 남으니 둘이 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 변이 77 인 정사각형에서 직각을 낀 두 변이 33, 44 인 직각삼각형 44 개를 빼면 남는 넓이는?
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지그림
숫자로 확인하기
a=3a=3, b=4b=4
72=497^2=49
↳큰 정사각형
4×6=244\times6=24
↳직각삼각형 44 개
49−24=25=5249-24=25=5^2
↳첫째 정사각형에 남은 넓이
32+42=9+16=253^2+4^2=9+16=25
↳둘째 정사각형에 남은 넓이

닮음으로도 증명할 수 있어요. ∠A=90∘\angle A=90^\circ 인 △ABC\triangle ABC 에서 AH‾⊥BC‾\overline{AH}\perp\overline{BC} 이면 닮음에서 얻는 두 식을 더해요.

닮음으로 증명하기
AB‾2=BH‾×BC‾\overline{AB}^2=\overline{BH}\times\overline{BC}
AC‾2=CH‾×BC‾\overline{AC}^2=\overline{CH}\times\overline{BC}
AB‾2+AC‾2=(BH‾+CH‾)×BC‾\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=(\overline{BH}+\overline{CH})\times\overline{BC}
↳두 식을 더해요
=BC‾2=\overline{BC}^2
↳BH‾+CH‾=BC‾\overline{BH}+\overline{CH}=\overline{BC}
ABCH
AB‾2=BH‾×BC‾\overline{AB}^2=\overline{BH}\times\overline{BC}, AC‾2=CH‾×BC‾\overline{AC}^2=\overline{CH}\times\overline{BC}

3직각삼각형이 되는 조건

성질피타고라스 정리의 역
세 변의 길이가 aa, bb, cc 인 △ABC\triangle ABC 에서a2+b2=c2a^2+b^2=c^2이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 cc 인 직각삼각형이다. 이때 ∠C=90∘\angle C=90^\circ 이다.
학생
세 변 중 어느 변을 cc 로 놓아요?
쌤
반드시 가장 긴 변을 cc 로 놓아요. 빗변은 직각삼각형에서 가장 긴 변이고, 이때 cc 와 마주 보는 각이 직각이에요.
직각삼각형 판별
52+122=169=1325^2+12^2=169=13^2
↳5, 12, 135,\ 12,\ 13: 직각삼각형
62=36,42+52=416^2=36,\quad 4^2+5^2=41
↳4, 5, 64,\ 5,\ 6: 같지 않아요
4, 5, 64,\ 5,\ 6 은 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합이 달라 직각삼각형이 아니에요.
13125654
왼쪽은 직각삼각형, 오른쪽은 직각삼각형이 아니에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

왜 그런가요? 직각을 낀 두 변이 aa, bb 인 직각삼각형을 따로 그리면 그 빗변의 제곱은 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 이므로 빗변이 cc 예요.
두 삼각형은 세 변이 같아 SSS 합동이므로 ∠C=90∘\angle C=90^\circ 예요.

abc?abABCA′B′C′
두 삼각형은 SSS 합동 → ∠C=90∘\angle C=90^\circ

4삼각형의 변의 길이와 각의 크기

성질예각삼각형과 둔각삼각형
△ABC\triangle ABC 에서 가장 긴 변의 길이가 cc 이고 나머지 두 변의 길이가 aa, bb 일 때
c2<a2+b2c^2<a^2+b^2 이면 예각삼각형
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 이면 직각삼각형
c2>a2+b2c^2>a^2+b^2 이면 둔각삼각형
공식판별표 (cc 는 가장 긴 변)
c2<a2+b2c^2<a^2+b^2
예각삼각형\displaystyle \text{예각삼각형}
∠C<90∘\angle C<90^\circ
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
직각삼각형\displaystyle \text{직각삼각형}
∠C=90∘\angle C=90^\circ
c2>a2+b2c^2>a^2+b^2
둔각삼각형\displaystyle \text{둔각삼각형}
∠C>90∘\angle C>90^\circ
abc²<a²+b²c²=a²+b²c²>a²+b²CB
∠C\angle C 가 클수록 마주 보는 변 cc 가 길어져요.
학생
왜 c2c^2 이 더 작으면 예각이에요?
쌤
두 변 aa, bb 를 그대로 두고 그 사이 각을 벌리면 맞은편 변 cc 가 길어져요. 직각일 때가 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 이니, 그보다 작으면 예각, 크면 둔각이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
세 변의 길이가 5, 6, 85,\ 6,\ 8 인 삼각형은?
가장 긴 변이 아닌 변으로 비교하기
✗ 틀린 풀이
세 변이 44, 55, 77 일 때
42<52+724^2<5^2+7^2 이므로 예각삼각형이다.
왜 틀렸나 삼각형의 모양은 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교하여 판별한다.
✓ 바른 풀이
가장 긴 변 77 로 비교하면
72=497^2=49
42+52=414^2+5^2=41
49>4149>41 이므로 둔각삼각형이다.
확인 방법: 먼저 삼각형이 되는지(가장 긴 변 << 나머지 두 변의 합) 확인하고, 가장 긴 변 하나로만 비교한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

왜 그런가요? 두 변 aa, bb 의 길이를 그대로 두고 그 끼인각 ∠C\angle C 를 벌리면 마주 보는 변 cc 가 길어져요. ∠C=90∘\angle C=90^\circ 일 때 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 이므로, 각이 그보다 작으면 c2c^2 이 더 작고, 크면 c2c^2 이 더 커요.
이 관계를 식으로 정확히 나타낸 것이 코사인법칙이에요.

삼각형의 모양 판별
92=81<62+72=859^2=81<6^2+7^2=85
↳6, 7, 96,\ 7,\ 9: 예각삼각형
102=100>52+72=7410^2=100>5^2+7^2=74
↳5, 7, 105,\ 7,\ 10: 둔각삼각형
9761075
왼쪽: 81<8581<85 예각삼각형 / 오른쪽: 100>74100>74 둔각삼각형

5피타고라스 정리의 활용

공식대각선과 높이
직사각형의 대각선
d2=a2+b2\displaystyle d^2=a^2+b^2
가로 aa, 세로 bb
정사각형의 대각선
d2=a2+a2=2a2\displaystyle d^2=a^2+a^2=2a^2
한 변 aa
직육면체의 대각선
d2=a2+b2+c2\displaystyle d^2=a^2+b^2+c^2
가로 aa, 세로 bb, 높이 cc
두 점 사이의 거리
AB‾2=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2)
학생
대각선이나 높이를 구할 때 왜 피타고라스 정리를 써요?
쌤
대각선이나 높이를 그으면 직각삼각형이 생기기 때문이에요. 직각삼각형만 찾으면 어디서든 쓸 수 있어서, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리도 같은 방법으로 구해요.
직사각형의 대각선
가로 88, 세로 66
d2=82+62=100d^2=8^2+6^2=100
d=10d=10
d86
성질좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
두 점 A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2) 사이의 거리는AB‾2=(x2−x1)2+(y2−y1)2\overline{AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2제곱하므로 빼는 순서를 바꾸어도 결과는 같다.
두 점 사이의 거리
A(1, 2)A(1,\ 2), B(4, 6)B(4,\ 6)
AB‾2=(4−1)2+(6−2)2\overline{AB}^2=(4-1)^2+(6-2)^2
↳가로 33, 세로 44
=9+16=25=9+16=25
AB‾=5\overline{AB}=5
-1123456-11234567xyOABC
가로 33, 세로 44 인 직각삼각형의 빗변
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(1, 1)A(1,\ 1), B(4, 5)B(4,\ 5) 사이의 거리는?
좌표의 차를 그대로 더하기
✗ 틀린 풀이
A(1,2)A(1, 2), B(4,6)B(4, 6) 에서
AB‾=(4−1)+(6−2)=7\overline{AB}=(4-1)+(6-2)=7
왜 틀렸나 두 점 사이의 거리는 가로와 세로를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리로 구한다.
✓ 바른 풀이
AB‾2=32+42=25\overline{AB}^2=3^2+4^2=25
AB‾=5\overline{AB}=5
검산: 빗변 55 는 가로 33, 세로 44 의 합보다 짧고 둘 중 긴 쪽보다 길다.
자세히 보기펼치기예제 2그림왜 그런지
직육면체의 대각선
2, 3, 62,\ 3,\ 6
l2=22+32=13l^2=2^2+3^2=13
↳밑면의 대각선
d2=l2+62=13+36=49d^2=l^2+6^2=13+36=49
↳밑면의 대각선 ll 과 높이 66 이 직각을 이뤄요
d=7d=7
dl236
밑면의 대각선 ll 과 높이는 직각을 이뤄요.

AB‾=AC‾=13\overline{AB}=\overline{AC}=13, BC‾=10\overline{BC}=10 인 이등변삼각형에서 꼭짓점 AA 에서 BC‾\overline{BC} 에 내린 수선의 발 HH 는 BC‾\overline{BC} 의 중점이에요. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하기 때문이에요.

이등변삼각형의 높이
BH‾=5\overline{BH}=5
↳HH 는 BC‾\overline{BC} 의 중점
AH‾2=132−52=144\overline{AH}^2=13^2-5^2=144
↳△ABH\triangle ABH 는 직각삼각형
AH‾=12\overline{AH}=12
?1313ABCH
BC‾=10\overline{BC}=10, BH‾=CH‾=5\overline{BH}=\overline{CH}=5

왜 그런가요? AA 를 지나 xx 축에 평행한 직선과 BB 를 지나 yy 축에 평행한 직선의 교점을 CC 라 하면 △ABC\triangle ABC 는 ∠C=90∘\angle C=90^\circ 인 직각삼각형이에요.
가로의 길이는 x2−x1x_2-x_1 의 절댓값, 세로의 길이는 y2−y1y_2-y_1 의 절댓값이므로 피타고라스 정리에서 위 식이 나와요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
∠C=90∘: a2+b2=□2\angle C=90^\circ:\ a^2+b^2=\square^2
단계 1 / 1
c2>a2+b2 (c 가 가장 긴 변)=□삼각형c^2>a^2+b^2\ (c\text{ 가 가장 긴 변})=\square\text{삼각형}
단계 1 / 2
AB‾2=(x2−x1)2+□\overline{AB}^2=(x_2-x_1)^2+\square
단계 1 / 2
직육면체의 대각선 d2=a2+b2+□\text{직육면체의 대각선 } d^2=a^2+b^2+\square
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 aa, bb, 빗변의 길이를 cc 라 하면 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 이다.
  2. 2거꾸로 세 변의 길이가 aa, bb, cc 인 삼각형에서 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 cc 인 직각삼각형이다.
  3. 3가장 긴 변의 길이가 cc 일 때 c2<a2+b2c^2<a^2+b^2 이면 예각삼각형, c2>a2+b2c^2>a^2+b^2 이면 둔각삼각형이다.
  4. 4좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2) 에 대하여 AB‾2=(x2−x1)2+(y2−y1)2\overline{AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 직각의 위치를 확인하지 않고 주어진 두 변을 무조건 더해 빗변의 제곱으로 계산해요(빗변을 알 때는 빼야 해요).
  • 예각·둔각삼각형을 판별할 때 가장 긴 변이 아닌 변의 제곱과 비교해요.
  • 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 좌표의 차를 그대로 더해 구하거나, 제곱한 값 AB‾2\overline{AB}^2 을 거리로 답해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    (1) ∠C=90∘\angle C=90^\circ 인 직각삼각형 ABCABC 에서 AC‾=8\overline{AC}=8, BC‾=15\overline{BC}=15 일 때, AB‾\overline{AB} 의 길이를 구하시오.
    (2) ∠A=90∘\angle A=90^\circ 인 직각삼각형 ABCABC 에서 BC‾=13\overline{BC}=13, AB‾=5\overline{AB}=5 일 때, AC‾\overline{AC} 의 길이를 구하시오.
    815?513?(1)(2)ABCA B C
  2. 예제 2
    세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형이 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형 중 어느 것인지 말하시오.
    (1) 77, 2424, 2525
    (2) 66, 77, 99
    (3) 55, 77, 1010
    252479761075(1)(2)(3)
  3. 예제 3
    좌표평면 위의 두 점 A(−2,1)A(-2, 1), B(4,9)B(4, 9) 사이의 거리를 구하시오.
    -3-2-112345-112345678910xyOAB

다음 공부

이전 개념: 도형의 닮음설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 좌표평면과 그래프, 중3 제곱근과 실수 (나중에), 중1 작도와 삼각형의 합동, 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이 (나중에), 중1 정수와 유리수, 공통수학2 두 점 사이의 거리 (나중에)중학교 2학년 목차
← 평행선과 선분의 길이의 비경우의 수 →
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