수학 개념 노트전체 과목

제곱근과 실수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
제곱하여 aa 가 되는 수가 aa 의 제곱근이며, 양수 aa 의 제곱근은 ±a\pm\sqrt{{a}} 이에요. A2\sqrt{A^2} 은 AA 의 부호에 따라 AA 또는 −A-A 이고, 순환하지 않는 무한소수인 무리수와 유리수를 합한 실수는 수직선을 빈틈없이 메워요.
  1. 1제곱근의 뜻
  2. 2근호를 사용한 제곱근의 표현
  3. 3제곱근의 성질
  4. 4제곱근의 대소 관계
  5. 5무리수와 실수
  6. 6실수와 수직선
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1제곱근의 뜻

정의제곱근
어떤 수 xx 를 제곱하여 aa 가 될 때, 즉
x2=ax^2=a
일 때 xx 를 aa 의 제곱근이라 한다.
학생
99 의 제곱근은 33 하나 아니에요?
쌤
32=93^2=9 이고 (−3)2=9(-3)^2=9 라서 33 과 −3-3 두 개예요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없으니 음수의 제곱근은 없어요.
공식제곱근의 개수
양수 aa
x2=a 인 x 가 2 개\displaystyle x^2=a \text{ 인 } x \text{ 가 } 2 \text{ 개}
양수 하나, 음수 하나이고 절댓값이 같다.
00
x2=0 인 x 는 0\displaystyle x^2=0 \text{ 인 } x \text{ 는 } 0
00 의 제곱근은 00 하나뿐이다.
음수
없다\displaystyle \text{없다}
어떤 수를 제곱해도 음수가 되지 않는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1616 의 제곱근은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

예를 들어 32=93^2=9 이고 (−3)2=9(-3)^2=9 이에요.
따라서 제곱하여 99 가 되는 수는 33 과 −3-3 의 두 개예요.
제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제곱근은 없어요.

2근호를 사용한 제곱근의 표현

제곱하여 22 가 되는 수는 정수나 분수로 나타낼 수 없어요. 그래서 새로운 기호를 써요.

정의근호
기호 a\sqrt{\phantom{a}} 를 근호 라 하고 「제곱근」 또는 「루트」라 읽는다.
양수 aa 의 제곱근 중 양수인 것을 양의 제곱근이라 하고 a\sqrt{a} 로 나타낸다.
음수인 것을 음의 제곱근이라 하고 −a-\sqrt{a} 로 나타낸다.
두 제곱근을 한꺼번에 ±a\pm\sqrt{a} 로 나타내기도 한다.
학생
근호를 없앨 수 있는 수도 있어요?
쌤
네. 4=224=2^2 처럼 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 없앨 수 있어요. 4=2\sqrt{4}=2 이고, 44 의 제곱근은 ±2\pm2 예요.
공식제곱근 구하기
77 의 제곱근
±7\displaystyle \pm\sqrt{7}
44 의 제곱근
±4=±2\displaystyle \pm\sqrt{4}=\pm2
근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 쓰지 않고 나타낸다.
0.090.09 의 제곱근
±0.3\displaystyle \pm0.3
0.32=0.090.3^2=0.09
49\frac{4}{9} 의 제곱근
±23\displaystyle \pm\frac{2}{3}
(23)2=49\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「제곱근 2525」는?
「aa 의 제곱근」과 「제곱근 aa」
✗ 틀린 풀이
제곱근 99 는 ±3\pm3 이다.
왜 틀렸나 「제곱근 aa」는 a\sqrt{a} 하나만 뜻하므로 「제곱근 99」는 9=3\sqrt{9}=3 이다.
✓ 바른 풀이
99 의 제곱근은 ±3\pm3 이다.
제곱근 99 는 9=3\sqrt{9}=3 이다.
기억 요령: 「aa 의 제곱근」처럼 「의」가 있으면 ±\pm 두 개, 「제곱근 aa」는 a\sqrt{a} 하나이다.
16\sqrt{16} 의 제곱근
✗ 틀린 풀이
±4\pm4
왜 틀렸나 16\sqrt{16} 은 44 이므로 16\sqrt{16} 의 제곱근은 44 의 제곱근을 구하는 것이다.
✓ 바른 풀이
16=4\sqrt{16}=4 이므로 44 의 제곱근을 구한다.
±2\pm2
근호가 있는 수의 제곱근을 구할 때는 먼저 그 수를 간단히 해요.

3제곱근의 성질

공식제곱근의 성질 (a>0a>0)
제곱근을 제곱
(a)2=a,(−a)2=a\displaystyle (\sqrt{a})^2=a,\quad (-\sqrt{a})^2=a
예: (5)2=5(\sqrt{5})^2=5, (−5)2=5(-\sqrt{5})^2=5
제곱의 양의 제곱근
a2=a,(−a)2=a\displaystyle \sqrt{a^2}=a,\quad \sqrt{(-a)^2}=a
예: 32=3\sqrt{3^2}=3, (−3)2=3\sqrt{(-3)^2}=3
학생
(−3)2\sqrt{(-3)^2} 은 −3-3 아니에요?
쌤
아니에요. 근호가 붙은 값은 항상 00 이상이라서 (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3 이에요. 근호 안 식이 음수이면 부호를 바꿔서 꺼내요.
성질A2\sqrt{A^2} 의 성질
A2\sqrt{A^2} 은 A2A^2 의 양의 제곱근이므로 항상 00 이상이다.
A≥0A\ge0 이면 A2=A\sqrt{A^2}=A
A<0A<0 이면 A2=−A\sqrt{A^2}=-A
예를 들어 a<0a<0 이면 a2=\sqrt{a^2}= −a-a 이다. a=−3a=-3 이면 (−3)2=3=−(−3)\sqrt{(-3)^2}=3=-(-3) 이다.
문자가 있는 경우
x<2x<2 일 때 (x−2)2\sqrt{(x-2)^2}
x−2<0x-2<0
↳x<2x<2 이므로 음수
(x−2)2=−(x−2)\sqrt{(x-2)^2}=-(x-2)
↳음수이면 −A-A
=−x+2=-x+2
↳검산: x=0x=0 이면 둘 다 22
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x<1x<1 일 때 (x−1)2\sqrt{(x-1)^2} 을 간단히 하면?
음수의 제곱의 제곱근
✗ 틀린 풀이
(−3)2=−3\sqrt{(-3)^2}=-3
왜 틀렸나 a\sqrt{\phantom{a}} 가 붙은 값은 00 이상이므로 (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3 이다.
✓ 바른 풀이
(−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3
먼저 근호 안을 계산하여 (−3)2=9(-3)^2=9 로 만든 뒤 근호를 없앤다.
부호를 판단하지 않은 경우
✗ 틀린 풀이
x<2x<2 일 때
(x−2)2=x−2\sqrt{(x-2)^2}=x-2
왜 틀렸나 aa 가 음수이면 a2=−a\sqrt{a^2}=-a 이므로 x−2<0x-2<0 일 때 −(x−2)-(x-2) 가 된다.
✓ 바른 풀이
x<2x<2 일 때
(x−2)2=−(x−2)=−x+2\sqrt{(x-2)^2}=-(x-2)=-x+2
확인: x=0x=0 을 넣으면 (0−2)2=2\sqrt{(0-2)^2}=2 이고 −0+2=2-0+2=2 로 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

왜 그런가요? a\sqrt{a} 와 −a-\sqrt{a} 는 제곱하여 aa 가 되는 수이므로 제곱하면 aa 가 돼요.
또 a2a^2 의 양의 제곱근은 aa (a>0a>0) 이에요.
제곱근은 이차방정식을 풀 때 바로 쓰여요.

제곱근의 성질 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1음의 제곱근도 제곱하면 aa
(−a)2=□(-\sqrt{a})^2=\square
단계 1 / 1a\sqrt{\phantom{a}} 는 항상 00 이상
(−a)2=□\sqrt{(-a)^2}=\square
A2\sqrt{A^2} 꼴을 간단히 하는 순서
  1. 1
    근호 안에서 제곱되어 있는 식 AA 를 찾아요.
  2. 2
    주어진 조건으로 AA 의 부호를 판단해요.
    x<2x<2 이면 x−2<0x-2<0
  3. 3
    A≥0A\ge0 이면 AA, A<0A<0 이면 −A-A 로 근호를 없애요.
    −A-A 는 괄호를 쳐서 −(x−2)-(x-2) 처럼 써요.
  4. 4
    괄호를 풀어 정리해요.

4제곱근의 대소 관계

성질제곱근의 대소 관계
a>0a>0, b>0b>0 일 때
a<ba<b 이면 a<b\sqrt{a}<\sqrt{b}
a<b\sqrt{a}<\sqrt{b} 이면 a<ba<b
a<ba<b 이면 −a>−b-\sqrt{a}>-\sqrt{b}
학생
근호가 없는 수 33 과 10\sqrt{10} 은 어떻게 비교해요?
쌤
3=93=\sqrt{9} 처럼 근호가 없는 수도 근호를 씌운 꼴로 바꿔요. 9<109<10 이므로 3<103<\sqrt{10} 이에요.
근호가 없는 수와 비교하기
3=9<103=\sqrt{9}<\sqrt{10}
↳근호를 씌운 꼴로 바꿔요
2=4<5 ⇒ −5<−22=\sqrt{4}<\sqrt{5}\ \Rightarrow\ -\sqrt{5}<-2
↳음수는 방향이 바뀌어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 가장 작은 수는?
음수끼리 비교
✗ 틀린 풀이
3>23>2 이므로 −3>−2-\sqrt{3}>-\sqrt{2}
왜 틀렸나 음수는 절댓값이 클수록 작으므로 3>2\sqrt{3}>\sqrt{2} 이면 −3<−2-\sqrt{3}<-\sqrt{2} 이다.
✓ 바른 풀이
3>2\sqrt{3}>\sqrt{2} 이므로 −3<−2-\sqrt{3}<-\sqrt{2}
수직선에서 −3-\sqrt{3} 은 −2-\sqrt{2} 보다 왼쪽에 있다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

왜 그런가요? 넓이가 aa, bb 인 정사각형의 한 변의 길이는 각각 a\sqrt{a}, b\sqrt{b} 이에요.
넓이가 넓을수록 한 변의 길이도 길므로 a<ba<b 이면 a<b\sqrt{a}<\sqrt{b} 이에요.

제곱근을 포함한 부등식
2<x<32<\sqrt{x}<3
4<x<94<x<9
↳세 수가 모두 양수이므로 각 변을 제곱해도 순서가 그대로
x=5, 6, 7, 8x=5,\ 6,\ 7,\ 8
↳자연수
4<x<94<x<9 인 자연수
4<x<94<x<9
345678910
44
99
44 와 99 는 포함하지 않으므로 ○, 그 사이의 자연수 5, 6, 7, 85,\ 6,\ 7,\ 8 이 답이에요.

5무리수와 실수

정수, 유한소수, 순환소수는 모두 분수 ab\frac{a}{b} (aa, bb 는 정수, b≠0b\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 유리수예요.
그런데 2=1.41421356⋯\sqrt{2}=1.41421356\cdots 은 소수점 아래의 숫자가 순환하지 않고 끝없이 이어져요.

정의무리수와 실수
유리수가 아닌 수, 즉 순환하지 않는 무한소수를 무리수 라 한다. 2\sqrt{2}, −3-\sqrt{3}, π\pi 등이 무리수이다.
유리수와 무리수를 통틀어 실수 라 한다.
학생
무한소수는 다 무리수예요?
쌤
아니에요. 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있어 유리수예요. 2=1.41421356⋯\sqrt{2}=1.41421356\cdots 처럼 순환하지 않는 무한소수만 무리수예요.
실수의 분류
실수
유리수
정수
3, 0, −2, 43,\ 0,\ -2,\ \sqrt{4}
정수가 아닌 유리수
13, 0.5, 0.1˙2˙\frac13,\ 0.5,\ 0.\dot{1}\dot{2}
무리수
2, −5, π\sqrt{2},\ -\sqrt{5},\ \pi
4=2\sqrt4=2 처럼 근호를 없앨 수 있으면 유리수예요. 유한소수·순환소수는 유리수, 순환하지 않는 무한소수는 무리수예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 무리수인 것은?
근호가 있으면 무리수인가
✗ 틀린 풀이
9\sqrt{9} 는 근호가 있으므로 무리수이다.
왜 틀렸나 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 근호를 없앨 수 있으므로 유리수이다.
✓ 바른 풀이
9=3\sqrt{9}=3 이므로 유리수이다.
무리수인지 판단하기 전에 근호를 없앨 수 있는지 먼저 확인한다.
무한소수는 모두 무리수인가
✗ 틀린 풀이
0.1˙2˙0.\dot{1}\dot{2} 는 무한소수이므로 무리수이다.
왜 틀렸나 순환하는 무한소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이고, 순환하지 않는 무한소수만 무리수이다.
✓ 바른 풀이
0.1˙2˙=1299=4330.\dot{1}\dot{2}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33} 이므로 유리수이다.
확인: 433\frac{4}{33} 을 소수로 고치면 0.121212⋯0.121212\cdots 가 된다.

6실수와 수직선

한 변의 길이가 11 인 정사각형의 대각선 길이는 2\sqrt{2} 예요. 원점을 중심으로 이 길이를 반지름으로 하는 원을 그리면 2\sqrt{2} 를 수직선 위에 나타낼 수 있어요.

수직선 위의 2\sqrt{2} 와 −2-\sqrt{2}
반지름 2\sqrt2
반지름 2\sqrt2
-3-2-10123
OO
−2-\sqrt{2}
2\sqrt{2}
점 OO 를 중심으로 반지름이 OB‾=2\overline{OB}=\sqrt{2} 인 원을 그리면 수직선과 만나는 두 점이 2\sqrt{2} 와 −2-\sqrt{2} 예요.
학생
왜 −2-\sqrt{2} 도 함께 생겨요?
쌤
원은 수직선과 원점의 오른쪽, 왼쪽 두 점에서 만나요. 오른쪽 점이 2\sqrt{2}, 왼쪽 점이 −2-\sqrt{2} 예요.
성질실수와 수직선
모든 실수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응하고, 수직선 위의 한 점에는 한 실수가 대응한다.
서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다.
유리수만으로는(또는 무리수만으로는) 수직선을 완전히 메울 수 없지만, 실수로는 수직선을 완전히 메울 수 있다.
공식실수의 대소 관계
부호가 다를 때
(음수)<0<(양수)\displaystyle (\text{음수})<0<(\text{양수})
양수끼리
절댓값이 큰 수가 크다\displaystyle \text{절댓값이 큰 수가 크다}
음수끼리
절댓값이 큰 수가 작다\displaystyle \text{절댓값이 큰 수가 작다}
a−b>0a-b>0
a>b\displaystyle a>b
a−b<0a-b<0 이면 a<ba<b
차를 이용한 비교
3+1\sqrt{3}+1 과 33
(3+1)−3=3−2(\sqrt{3}+1)-3=\sqrt{3}-2
↳두 수의 차
3<4=2 ⇒ 3−2<0\sqrt{3}<\sqrt{4}=2\ \Rightarrow\ \sqrt{3}-2<0
↳차가 음수
3+1<3\sqrt{3}+1<3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수직선 위의 점 22 를 중심으로 반지름이 2\sqrt{2} 인 원을 그릴 때, 수직선과 만나는 오른쪽 점이 나타내는 수는?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

수직선 위에 원점 OO 와 11 을 나타내는 점 AA 를 잡고, OA‾\overline{OA} 를 한 변으로 하는 정사각형 OABCOABC 를 그려요. 대각선 OBOB 의 길이를 피타고라스 정리로 구해요.

대각선 OBOB 의 길이
OB‾2=12+12=2\overline{OB}^2=1^2+1^2=2
OB‾=2\overline{OB}=\sqrt{2}
기준점이 11 일 때
반지름 2\sqrt{2}
−2-\sqrt2
+2+\sqrt2
-10123
1−21-\sqrt{2}
11
1+21+\sqrt{2}
기준점의 수 11 에 반지름을 더하면 오른쪽 점 1+21+\sqrt{2}, 빼면 왼쪽 점 1−21-\sqrt{2} 예요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1x2=ax^2=a 일 때 xx 를 aa 의 제곱근이라 한다. 양수 aa 의 제곱근은 a\sqrt{a} 와 −a-\sqrt{a} 의 두 개이고, 00 의 제곱근은 00, 음수의 제곱근은 없다.
  2. 2a>0a>0 일 때 (a)2=a(\sqrt{a})^2=a, (−a)2=a(-\sqrt{a})^2=a, a2=a\sqrt{a^2}=a, (−a)2=a\sqrt{(-a)^2}=a 이다. 일반적으로 A2\sqrt{A^2} 은 A≥0A\ge0 이면 AA, A<0A<0 이면 −A-A 이다.
  3. 3a>0a>0, b>0b>0 일 때 a<ba<b 이면 a<b\sqrt{a}<\sqrt{b} 이다.
  4. 4순환하지 않는 무한소수를 무리수라 하고, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라 한다. 모든 실수는 수직선 위의 한 점에 대응한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 「99 의 제곱근」과 「제곱근 99」를 구별하지 않고 제곱근 99 를 ±3\pm3 이라 해요.
  • (−3)2=−3\sqrt{(-3)^2}=-3 처럼 근호 안의 수가 음수의 제곱일 때 부호를 그대로 꺼내요.
  • 9\sqrt{9} 처럼 근호가 있으면 모두 무리수라고 생각하거나, 순환소수를 무한소수라서 무리수라고 생각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음을 구하시오.
    (1) 0.360.36 의 제곱근
    (2) 81\sqrt{81} 의 제곱근
    (3) (−5)2(-5)^2 의 양의 제곱근
  2. 예제 2
    a<0<ba<0<b 일 때, a2+(−b)2−(a−b)2\sqrt{a^2}+\sqrt{(-b)^2}-\sqrt{(a-b)^2} 을 간단히 하시오.
  3. 예제 3
    다음 두 수의 대소를 비교하시오.
    (1) 5+1\sqrt{5}+1, 33
    (2) 2−32-\sqrt{3}, 11

다음 공부

다음 개념: 근호를 포함한 식의 계산 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 유리수와 순환소수, 중1 정수와 유리수, 공통수학1 음수의 제곱근 (나중에), 중2 피타고라스 정리중학교 3학년 목차
근호를 포함한 식의 계산 →
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