수학 개념 노트전체 과목

작도와 삼각형의 합동

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 선분과 각을 옮기는 작도를 익히고, 삼각형이 하나로 정해지는 조건과 삼각형의 합동 조건(SSS, SAS, ASA)을 이해해요.
  1. 1작도
  2. 2삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계
  3. 3삼각형의 작도와 하나로 정해지는 조건
  4. 4도형의 합동과 삼각형의 합동 조건
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1작도

정의작도
눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라 한다.
눈금 없는 자: 두 점을 잇는 선분을 긋거나 선분을 연장할 때 쓴다.
컴퍼스: 원을 그리거나, 주어진 선분의 길이를 재어 다른 곳으로 옮길 때 쓴다.
⚠ 주의작도에서 하지 않는 것
자의 눈금으로 길이를 재지 않아요(눈금이 없어요).
각도기로 각을 재지 않아요.
길이와 각은 오직 컴퍼스로 「옮겨서」 같게 만들어요.
길이가 같은 선분의 작도
AB‾\overline{AB} 와 길이가 같은 PQ‾\overline{PQ}
lABPQ
  • ①눈금 없는 자로 직선 ll 을 긋고, 그 위에 점 PP 를 잡아요.
  • ②컴퍼스로 AB‾\overline{AB} 의 길이를 재요. (컴퍼스의 침을 AA 에, 연필 끝을 BB 에 맞춰요.)
  • ③점 PP 를 중심으로 반지름이 AB‾\overline{AB} 인 원을 그려 직선 ll 과 만나는 점을 QQ 라 해요. (PQ‾=AB‾\overline{PQ}=\overline{AB})
학생
눈금 없는 자로 어떻게 같은 길이를 그려요?
쌤
컴퍼스를 선분 ABAB 의 길이만큼 벌린 뒤, 그대로 점 PP 에 대고 원을 그려요. 그 원이 직선과 만나는 점을 QQ 라 하면 PQ‾=AB‾\overline{PQ}=\overline{AB} 예요.
크기가 같은 각의 작도
∠XOY\angle XOY 와 크기가 같은 각을 PQ→\overrightarrow{PQ} 를 한 변으로 하여 그리기
OXYABPQCD
  • ①점 OO 를 중심으로 원을 그려 OX→\overrightarrow{OX}, OY→\overrightarrow{OY} 와 만나는 점을 각각 AA, BB 라 해요.
  • ②점 PP 를 중심으로 반지름이 OA‾\overline{OA} 인 원을 그려 PQ→\overrightarrow{PQ} 와 만나는 점을 CC 라 해요. (PC‾=OA‾\overline{PC}=\overline{OA})
  • ③컴퍼스로 AB‾\overline{AB} 의 길이를 재요.
  • ④점 CC 를 중심으로 반지름이 AB‾\overline{AB} 인 원을 그려 앞의 원과 만나는 점을 DD 라 해요. (CD‾=AB‾\overline{CD}=\overline{AB})
  • ⑤PD→\overrightarrow{PD} 를 그으면 ∠DPC=∠XOY\angle DPC=\angle XOY 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
작도에서 선분의 길이를 다른 곳으로 옮길 때 쓰는 도구는?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

왜 같은 각이 될까요?
OA‾=PC‾\overline{OA}=\overline{PC}, OB‾=PD‾\overline{OB}=\overline{PD}, AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD} 이에요.
세 변의 길이가 각각 같으므로 △OAB\triangle OAB 와 △PCD\triangle PCD 는 완전히 포개져요(SSS 합동).
따라서 대응하는 각인 ∠AOB\angle AOB 와 ∠CPD\angle CPD 의 크기가 같아요.

OABPCD
△OAB≡△PCD\triangle OAB\equiv\triangle PCD (SSS 합동) 이므로 ∠AOB=∠CPD\angle AOB=\angle CPD
예평행선의 작도 (크기가 같은 각의 작도를 이용)
직선 ll 밖의 한 점 PP 를 지나고 ll 에 평행한 직선을 그려요.
점 PP 를 지나는 직선을 그어 ll 과 만나는 점을 QQ 라 해요.
직선 PQPQ 와 직선 ll 이 점 QQ 에서 이루는 각과 크기가 같은 각을, 점 PP 에서 동위각(또는 엇각)의 위치에 작도해요.
동위각(엇각)의 크기가 같으면 두 직선은 평행해요.
lQP
점 PP 에서 동위각의 크기를 같게 작도하면 파란 직선은 ll 과 평행해요.

2삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계

정의삼각형의 기호
세 꼭짓점이 AA, BB, CC 인 삼각형을 기호로 △ABC\triangle ABC 와 같이 나타낸다.
∠A\angle A 와 마주 보는 변 BC‾\overline{BC} 를 ∠A\angle A 의 대변, ∠A\angle A 를 BC‾\overline{BC} 의 대각이라 한다.
∠A\angle A, ∠B\angle B, ∠C\angle C 의 대변의 길이를 흔히 aa, bb, cc 로 나타낸다.
abcABC
∠A\angle A 의 대변은 BC‾\overline{BC} (길이 aa)
성질세 변의 길이 사이의 관계
삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작다.a<b+c,b<c+a,c<a+ba<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b세 부등식을 모두 확인하지 않아도 된다. 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다. 이것 하나만 성립하면 삼각형이 된다.
세 수로 확인하기 (가장 긴 변 << 나머지 두 변의 합)
6348343, 4, 6: 삼각형이 된다3, 4, 8: 두 원이 만나지 않는다
  • 3, 4, 63,\ 4,\ 66<3+46<3+4 → 삼각형이 된다
  • 3, 4, 73,\ 4,\ 77=3+47=3+4 → 같으면 세 점이 한 직선 위, 삼각형이 되지 않는다
  • 3, 4, 83,\ 4,\ 88>3+48>3+4 → 두 원이 만나지 않아 삼각형이 되지 않는다
학생
왜 가장 긴 변 하나만 확인해도 돼요?
쌤
짧은 변은 나머지 두 변의 합보다 당연히 작아요. 그 두 변 안에 가장 긴 변이 들어 있으니까요. 그래서 조건이 깨질 수 있는 건 가장 긴 변 하나뿐이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
세 선분의 길이가 다음과 같을 때 삼각형을 만들 수 있는 것은?
가장 긴 변을 잘못 고르기
✗ 틀린 풀이
3, 4, 83,\ 4,\ 8 에서 3<4+83<4+8 이므로 삼각형이 된다.
왜 틀렸나 삼각형이 되기 위해서는 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.
✓ 바른 풀이
가장 긴 변 88 과 나머지 두 변의 합 3+4=73+4=7 을 비교한다.
8>78>7 이므로 삼각형이 되지 않는다.
짧은 변으로 비교하면 항상 성립하므로 아무것도 확인하지 못해요. 반드시 가장 긴 변으로 비교해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

이유: 두 점 BB, CC 사이를 잇는 선 중 가장 짧은 것은 선분 BCBC 이에요. 점 AA 를 거쳐 가는 길 BA‾+AC‾\overline{BA}+\overline{AC} 는 이보다 길어요.
따라서 a<b+ca<b+c 이에요.
두 변의 길이의 합이 나머지 한 변과 같으면 세 점이 한 직선 위에 놓여 삼각형이 되지 않아요.

xx 와 88 중 어느 쪽이 가장 긴 변인지 아직 모르므로, 두 경우의 조건을 모두 만족해야 삼각형이 돼요.

한 변이 xx 일 때
세 변의 길이가 xx, 55, 88
x<5+8 ⇒ x<13x<5+8\ \Rightarrow\ x<13
↳xx 가 가장 긴 변이면
8<x+5 ⇒ x>38<x+5\ \Rightarrow\ x>3
↳88 이 가장 긴 변이면
두 조건을 함께 만족하는 xx
3<x<133<x<13
0123456789101112131415
33
1313
(두 변의 차)<x<(두 변의 합)(\text{두 변의 차})<x<(\text{두 변의 합}) 으로 기억해도 돼요.

3삼각형의 작도와 하나로 정해지는 조건

삼각형을 작도할 수 있으려면 모양과 크기가 하나로 정해져야 해요.

학생
삼각형이 하나로 정해진다는 게 무슨 뜻이에요?
쌤
주어진 조건대로 그리면 누가 그려도 모양과 크기가 똑같은 삼각형이 딱 하나 나온다는 뜻이에요. 어떤 조건이 주어지면 그런지 차례로 봐요.
정의끼인각
두 변이 함께 가진 꼭짓점의 각, 즉 두 변 사이에 있는 각을 두 변의 끼인각이라 한다.
AB‾\overline{AB}, BC‾\overline{BC} 의 끼인각은 ∠B\angle B 이다.
공식삼각형이 하나로 정해지는 경우
세 변의 길이
AB‾, BC‾, CA‾\displaystyle \overline{AB},\ \overline{BC},\ \overline{CA}
단, 가장 긴 변 << 나머지 두 변의 합
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기
AB‾, BC‾, ∠B\displaystyle \overline{AB},\ \overline{BC},\ \angle B
∠B\angle B 는 두 변 AB‾\overline{AB}, BC‾\overline{BC} 사이에 있는 각
한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기
BC‾, ∠B, ∠C\displaystyle \overline{BC},\ \angle B,\ \angle C
단, ∠B+∠C<180∘\angle B+\angle C<180^\circ
두 변과 그 끼인각으로 작도
AB‾=c\overline{AB}=c, BC‾=a\overline{BC}=a, ∠B\angle B
acBCAXY
  • ①∠B\angle B 와 크기가 같은 각 ∠XBY\angle XBY 를 작도해요.
  • ②BX→\overrightarrow{BX} 위에 BC‾=a\overline{BC}=a 인 점 CC 를 잡아요.
  • ③BY→\overrightarrow{BY} 위에 BA‾=c\overline{BA}=c 인 점 AA 를 잡고 AC‾\overline{AC} 를 그어요.
성질하나로 정해지지 않는 경우
세 변의 길이가 삼각형의 조건을 만족하지 않을 때: 삼각형이 생기지 않는다.
두 변과 끼인각이 아닌 다른 각이 주어질 때: 삼각형이 두 개 생기거나 생기지 않을 수 있다.
예: AB‾=5\overline{AB}=5, BC‾=4\overline{BC}=4, ∠A=30∘\angle A=30^\circ 이면 점 CC 가 될 수 있는 곳이 두 곳이라 삼각형이 두 개 생긴다.
세 각의 크기만 주어질 때: 모양은 같고 크기가 다른 삼각형이 무수히 많다.
한 변과 양 끝 각에서 두 각의 합이 180∘180^\circ 이상일 때: 삼각형이 생기지 않는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 △ABC\triangle ABC 가 하나로 정해지는 것은?
54430°ABCC′
점 CC 가 될 수 있는 곳이 두 곳(CC, C′C')이라 삼각형이 두 개 생겨요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

이 중 「두 변의 길이와 그 끼인각의 크기」가 가장 자주 헷갈려요. 각이 두 변 「사이」에 있어야 해요. 두 변과 끼인각이 아닌 다른 각이 주어지면 삼각형이 하나로 정해지지 않아요.

예한 변과 두 각이 주어졌는데 양 끝 각이 아닐 때
BC‾=6\overline{BC}=6, ∠A=70∘\angle A=70^\circ, ∠B=60∘\angle B=60^\circ 가 주어지면
∠C=180∘−70∘−60∘=50∘\angle C=180^\circ-70^\circ-60^\circ=50^\circ
이제 BC‾\overline{BC} 와 양 끝 각 ∠B\angle B, ∠C\angle C 를 아는 것과 같으므로 삼각형이 하나로 정해져요.
670°60°?ABC

4도형의 합동과 삼각형의 합동 조건

정의합동
모양과 크기가 같아서 완전히 포갤 수 있는 두 도형을 서로 합동이라 한다.
△ABC\triangle ABC 와 △DEF\triangle DEF 가 합동이면 기호로 △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF 와 같이 나타낸다.
포개어지는 꼭짓점·변·각을 각각 대응점·대응변·대응각이라 한다.
성질합동인 도형의 성질
대응변의 길이는 서로 같다.
대응각의 크기는 서로 같다.
기호 ≡\equiv 를 쓸 때는 대응점을 같은 순서로 쓴다. △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF 이면 AA 와 DD, BB 와 EE, CC 와 FF 가 대응점이다.
== 와 ≡\equiv
✗ 틀린 풀이
△ABC=△DEF\triangle ABC=\triangle DEF 는 두 삼각형이 합동이라는 뜻이다.
왜 틀렸나 두 삼각형이 합동임을 나타낼 때는 합동 기호 ≡\equiv 를 써서 △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF 로 쓴다.
✓ 바른 풀이
△ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF 가 합동을 나타낸다.
△ABC=△DEF\triangle ABC=\triangle DEF 는 두 삼각형의 넓이가 같다는 뜻으로 써요. 넓이가 같아도 합동이 아닐 수 있어요.
공식삼각형의 합동 조건
SSS 합동
AB‾=DE‾, BC‾=EF‾, CA‾=FD‾\displaystyle \overline{AB}=\overline{DE},\ \overline{BC}=\overline{EF},\ \overline{CA}=\overline{FD}
대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때
SAS 합동
AB‾=DE‾, BC‾=EF‾, ∠B=∠E\displaystyle \overline{AB}=\overline{DE},\ \overline{BC}=\overline{EF},\ \angle B=\angle E
대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
ASA 합동
BC‾=EF‾, ∠B=∠E, ∠C=∠F\displaystyle \overline{BC}=\overline{EF},\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F
대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때
SAS 합동
ABCDEF
학생
합동 조건은 왜 하필 이 세 가지예요?
쌤
삼각형이 하나로 정해지는 조건과 똑같기 때문이에요. 세 변, 두 변과 그 끼인각, 한 변과 그 양 끝 각이 같으면 그 조건으로 그린 삼각형은 하나뿐이라 두 삼각형이 완전히 포개져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AB‾=DE‾\overline{AB}=\overline{DE}, BC‾=EF‾\overline{BC}=\overline{EF} 일 때, 어떤 조건을 더하면 △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF (SAS 합동)가 될까요?
합동이 아닌 경우
✗ 틀린 풀이
AB‾=DE‾\overline{AB}=\overline{DE}, BC‾=EF‾\overline{BC}=\overline{EF}, ∠A=∠D\angle A=\angle D 이므로 SAS 합동이다.
왜 틀렸나 SAS 합동은 두 변과 그 끼인각이 같을 때이고, AB‾\overline{AB}, BC‾\overline{BC} 의 끼인각은 ∠B\angle B 이다.
✓ 바른 풀이
∠A\angle A 는 AB‾\overline{AB} 와 BC‾\overline{BC} 의 끼인각이 아니므로 SAS 가 아니다. 합동이라고 할 수 없다.
기억 요령: 끼인각은 두 변이 함께 가진 꼭짓점의 각이다.
두 변의 이름에 공통으로 들어 있는 글자를 찾으면 된다.
30°30°ABCDEF
두 변과 끼인각이 아닌 한 각이 같아도 모양이 달라요.
세 각이 같을 때
✗ 틀린 풀이
세 대응각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.
왜 틀렸나 합동이 되기 위해서는 크기까지 같아야 하므로 세 각만으로는 안 되고 대응하는 변의 길이도 같아야 한다.
✓ 바른 풀이
세 각만 같으면 모양은 같지만 크기가 다를 수 있어 합동이 아니다.
세 변이 33, 44, 55 인 삼각형과 66, 88, 1010 인 삼각형은 세 각의 크기가 같지만 합동이 아니에요.
3456810
세 각은 같지만 크기가 달라 합동이 아니에요.
자세히 보기펼치기예제그림왜 그런지
예순서를 읽어 대응변 찾기
△ABC≡△FED\triangle ABC\equiv\triangle FED 이면 대응점은
AA 와 FF
BB 와 EE
CC 와 DD
따라서 AB‾\overline{AB} 의 대응변은 FE‾\overline{FE}, BC‾\overline{BC} 의 대응변은 ED‾\overline{ED}, CA‾\overline{CA} 의 대응변은 DF‾\overline{DF} 이에요.
ABCFED
△ABC≡△FED\triangle ABC\equiv\triangle FED: 같은 표시끼리 대응변
SSS 합동
ABCDEF
ASA 합동
ABCDEF

외우는 장치: 합동 조건의 이름에서 S 는 변, A 는 각을 나타내요. 합동 조건은 「삼각형이 하나로 정해지는 조건」과 똑같아요. 같은 조건으로 그린 삼각형은 하나뿐이므로 포개면 완전히 겹쳐요. 모양은 같고 크기만 다를 수 있는 관계는 닮음이에요.
가운데 글자가 양쪽 사이에 끼어 있다는 뜻이에요. SAS 의 A 는 두 변 사이의 각, ASA 의 S 는 두 각 사이의 변이에요.

성질두 각과 한 변이 같을 때
한 변과 그 변의 양 끝이 아닌 각이 같아도, 두 각이 같으면 나머지 각도 같다(삼각형의 세 각의 합 180∘180^\circ).
그래서 대응하는 한 변과 두 각이 같으면 ASA 합동으로 볼 수 있다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써서 도형을 그리는 것이다. 자는 선을 긋는 데, 컴퍼스는 원을 그리거나 길이를 옮기는 데 쓴다.
  2. 2세 선분으로 삼각형이 만들어지는 조건은 (가장 긴 변의 길이) << (나머지 두 변의 길이의 합) 이다.
  3. 3삼각형은 「세 변」, 「두 변과 그 끼인각」, 「한 변과 그 양 끝 각」이 주어지면 하나로 정해진다.
  4. 4두 삼각형은 세 변(SSS), 두 변과 끼인각(SAS), 한 변과 양 끝 각(ASA)이 각각 같으면 합동이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 세 변으로 삼각형이 되는지 확인할 때 가장 긴 변이 아닌 변으로 비교하거나, 「같아도 된다」고 생각해요.
  • 두 변과 끼인각이 아닌 각이 같은데도 SAS 합동이라고 해요.
  • △ABC≡△DEF\triangle ABC\equiv\triangle DEF 의 대응점 순서를 무시하고 대응변을 엉뚱하게 짝지어요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    세 변의 길이가 xx, 55, 88 인 삼각형이 있다. xx 의 값의 범위를 구하고, xx 가 될 수 있는 자연수의 개수를 구하시오.
    8x5
  2. 예제 2
    세 변의 길이가 xx, x+2x+2, x+5x+5 인 삼각형이 있다. xx 의 값의 범위를 구하시오. (단, x>0x>0)
    x+5x+2x
  3. 예제 3
    사각형 ABCDABCD 에서 AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD}, AD‾=CB‾\overline{AD}=\overline{CB} 이다. 대각선 BDBD 를 그을 때 합동인 두 삼각형과 합동 조건을 말하고, ∠ABD=35∘\angle ABD=35^\circ 일 때 ∠CDB\angle CDB 의 크기를 구하시오.
    35°?ABCD

다음 공부

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