수학 개념 노트전체 과목

정수와 유리수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
양의 정수·00·음의 정수를 정수, 분수 ab\frac{a}{b} (aa, bb 는 정수, b≠0b\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 해요. 수직선에서 원점까지의 거리가 절댓값이고, 오른쪽에 있는 수일수록 커요.
  1. 1양수와 음수
  2. 2정수와 유리수
  3. 3수직선
  4. 4절댓값
  5. 5수의 대소 관계
  6. 6부등호를 사용하여 나타내기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1양수와 음수

「영상 3∘C3^\circ\mathrm{C}」와 「영하 3∘C3^\circ\mathrm{C}」, 「50005000 원 이익」과 「50005000 원 손해」처럼 서로 반대되는 성질을 가진 양이 있어요. 기준을 00 으로 정하고, 한쪽은 ++, 반대쪽은 −- 를 붙여 나타내요.
영상 3∘C3^\circ\mathrm{C} 는 +3∘C+3^\circ\mathrm{C}
영하 3∘C3^\circ\mathrm{C} 는 −3∘C-3^\circ\mathrm{C}

정의양수와 음수
00 보다 큰 수에 양의 부호 ++ 를 붙인 수를 양수, 00 보다 작은 수에 음의 부호 −- 를 붙인 수를 음수라 한다.
+2+2 는 「플러스 22」 또는 「양의 22」, −2-2 는 「마이너스 22」 또는 「음의 22」라고 읽는다.
양수의 ++ 부호는 생략할 수 있다. +2=2+2=2
00 은 양수도 아니고 음수도 아니다.
공식반대되는 말과 부호
++
영상, 이익, 증가, 해발,  후\displaystyle \text{영상, 이익, 증가, 해발, ~후}
예) 33 일 후 →\to +3+3 일
−-
영하, 손해, 감소, 해저,  전\displaystyle \text{영하, 손해, 감소, 해저, ~전}
예) 33 일 전 →\to −3-3 일
학생
기준이 되는 00 은 어떻게 정해요?
쌤
상황마다 기준을 정해요. 해발·해저는 바다 높이, 「~후」·「~전」은 지금이 기준이에요. 기준보다 많거나 뒤이면 ++, 적거나 앞이면 −- 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「해저 200200 m」를 부호를 써서 나타내면?

2정수와 유리수

정의정수
자연수에 양의 부호를 붙인 수 +1,+2,+3,…+1, +2, +3, \dots 를 양의 정수, 음의 부호를 붙인 수 −1,−2,−3,…-1, -2, -3, \dots 를 음의 정수라 한다.
양의 정수, 00, 음의 정수를 통틀어 정수 라 한다.
양의 정수는 자연수와 같다.
정의유리수
분자, 분모가 정수인 분수 ab\frac{a}{b} (b≠0b\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수 라 한다.
양의 유리수: +12+\frac{1}{2}, +3+3 처럼 00 보다 큰 유리수
음의 유리수: −23-\frac{2}{3}, −5-5 처럼 00 보다 작은 유리수
유리수의 분류
유리수
정수
양의 정수
+1, +2, …+1,\ +2,\ \dots (자연수)
00
양수도 음수도 아님
음의 정수
−1, −2, …-1,\ -2,\ \dots
정수가 아닌 유리수
+12, −23, 0.7, −2.5+\frac{1}{2},\ -\frac{2}{3},\ 0.7,\ -2.5
정수는 유리수 안에 들어 있어요. 정수가 아닌 유리수는 분수로는 나타낼 수 있지만 정수가 아닌 수예요.
학생
정수도 유리수예요?
쌤
네. 모든 정수는 3=313=\frac31 처럼 분모가 11 인 분수로 나타낼 수 있어서 유리수에 들어가요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 정수가 아닌 것은?
겉모양이 분수인 정수
✗ 틀린 풀이
62\frac{6}{2} 와 −84-\frac{8}{4} 는 분수이므로 정수가 아니다.
왜 틀렸나 분수 꼴로 쓰인 수도 약분하여 분모가 11 이 되면 정수이므로 먼저 약분해 본다.
✓ 바른 풀이
62=3\frac{6}{2}=3, −84=−2-\frac{8}{4}=-2 이므로 정수이다.
확인 방법: 6÷2=36\div2=3, −8÷4=−2-8\div4=-2 처럼 나눗셈을 해 보아 나누어떨어지는지 본다.
00 의 분류
✗ 틀린 풀이
00 은 양수이다.
왜 틀렸나 00 은 양수와 음수를 나누는 기준이 되는 수이므로 양수도 음수도 아닌 정수이다.
✓ 바른 풀이
00 은 양수도 음수도 아닌 정수이다.
양의 정수는 +1+1 부터 시작해요. 00 은 자연수도 아니에요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질정수도 유리수이다
모든 정수는 분모가 11 인 분수로 나타낼 수 있다.
3=313=\frac{3}{1}
−2=−21-2=\frac{-2}{1}
0=010=\frac{0}{1}
소수 0.50.5, −2.5-2.5 도 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.
0.5=120.5=\frac{1}{2}
−2.5=−52-2.5=-\frac{5}{2}

3수직선

정의수직선
직선 위에 기준이 되는 점을 잡아 00 을 대응시키고, 같은 간격으로 오른쪽에 양수, 왼쪽에 음수를 대응시킨 직선을 수직선이라 한다.
기준이 되는 점을 원점이라 한다.
학생
분수는 수직선 어디에 찍어요?
쌤
소수로 바꿔 보면 쉬워요. −52=−2.5-\frac52=-2.5 는 −3-3 과 −2-2 의 한가운데, 43=1.33⋯\frac43=1.33\cdots 은 11 과 22 사이에서 11 쪽에 가까워요.
수직선 위의 유리수
-4-3-2-10123
−52-\frac{5}{2}
43\frac{4}{3}
−52=−2.5-\frac{5}{2}=-2.5 는 −3-3 과 −2-2 의 한가운데, 43\frac{4}{3} 은 11 과 22 사이에서 11 쪽에 있어요.
성질수직선 위의 두 점 사이의 거리
수직선에서 −3-3 과 22 를 나타내는 두 점 사이에는 −3-3 부터 00 까지 33 칸, 00 부터 22 까지 22 칸이 있다.
따라서 두 점 사이의 거리는 3+2=53+2=5
−3-3 과 22 사이의 거리
33 칸
22 칸
-4-3-2-10123
−3-3
22
원점을 사이에 두고 3+2=53+2=5 칸 떨어져 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수직선에서 −4-4 와 11 을 나타내는 두 점 사이의 거리는?

4절댓값

정의절댓값
수직선에서 원점과 어떤 수를 나타내는 점 사이의 거리를 그 수의 절댓값이라 하고, 기호 ∣ ∣|\ | 를 써서 나타낸다.
∣+3∣=3|+3|=3
∣−3∣=3|-3|=3
∣0∣=0|0|=0
학생
절댓값은 그냥 부호를 떼면 돼요?
쌤
결과는 그래요. 원래 뜻은 원점에서 떨어진 거리라서 절댓값은 항상 00 이상이에요. ∣−3∣=3|-3|=3 이에요.
성질절댓값의 성질
양수와 음수의 절댓값은 그 수에서 부호를 뗀 수이다.
절댓값은 거리이므로 항상 00 또는 양수이다.
절댓값이 가장 작은 수는 00 이다.
절댓값이 aa (a>0a>0) 인 수는 +a+a, −a-a 두 개이다.
원점에서 멀리 떨어질수록 절댓값이 크다.
절댓값이 33 인 수
거리 33
거리 33
-4-3-2-101234
−3-3
+3+3
원점에서 왼쪽과 오른쪽으로 33 만큼 떨어진 점이 둘이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣−7∣+∣3∣|-7|+|3| 의 값은?
절댓값은 거리
✗ 틀린 풀이
∣−5∣=−5|-5|=-5
왜 틀렸나 절댓값은 수직선에서 원점까지의 거리이고 거리는 음수가 될 수 없으므로 ∣−5∣=5|-5|=5 이다.
✓ 바른 풀이
∣−5∣=5|-5|=5
확인 방법: 수직선에서 −5-5 와 원점 사이의 칸을 세어 보면 55 칸이다.
절댓값이 33 인 수
✗ 틀린 풀이
절댓값이 33 인 수는 33
왜 틀렸나 절댓값이 33 인 수는 원점에서 거리가 33 인 점이므로 오른쪽과 왼쪽에 하나씩 있다.
✓ 바른 풀이
절댓값이 33 인 수는 +3+3, −3-3
확인 방법: ∣+3∣=3|+3|=3, ∣−3∣=3|-3|=3 이 모두 성립한다.
단, 절댓값이 00 인 수는 00 하나뿐이다.

5수의 대소 관계

성질대소를 정하는 규칙
수직선에서 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수보다 크다. 그래서
① (음수) <0<<0< (양수)
② 양수끼리는 절댓값이 큰 수가 크다.
③ 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다.
예) +5>+2+5>+2
예) −5<−2-5<-2
오른쪽에 있을수록 큰 수
-6-5-4-3-2-10123456
−5-5
−2-2
+2+2
+5+5
−5<−2<0<+2<+5-5<-2<0<+2<+5 예요. 음수는 원점에서 멀수록(절댓값이 클수록) 작아요.
학생
−5-5 가 −2-2 보다 절댓값이 큰데 왜 더 작아요?
쌤
절댓값은 원점에서 떨어진 거리예요. 음수는 원점에서 멀수록 왼쪽에 있으니 더 작아요. 영하 55 도가 영하 22 도보다 더 춥죠.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 가장 작은 수는?
음수끼리의 대소
✗ 틀린 풀이
∣−5∣>∣−2∣|-5|>|-2| 이므로 −5>−2-5>-2
왜 틀렸나 두 음수에서는 절댓값이 큰 수가 수직선에서 더 왼쪽에 있으므로 더 작은 수이다.
✓ 바른 풀이
−5<−2-5<-2
−5-5 는 −2-2 보다 왼쪽에 있어요.
영하 55 도가 영하 22 도보다 더 춥다고 생각하면 쉬워요.
자세히 보기펼치기예제
분수가 섞인 수의 대소
−34-\frac{3}{4} 와 −23-\frac{2}{3}
34=912,23=812\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\quad \frac{2}{3}=\frac{8}{12}
↳음수끼리는 절댓값으로 비교하니 절댓값을 통분해요
∣−34∣>∣−23∣\left|-\frac{3}{4}\right|>\left|-\frac{2}{3}\right|
↳절댓값은 −34-\frac34 가 커요
−34<−23-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}
↳음수는 절댓값이 크면 작아요

6부등호를 사용하여 나타내기

공식네 가지 말과 부등호
초과
x>2\displaystyle x>2
xx 는 22 보다 크다.
22 는 포함하지 않는다.
미만
x<2\displaystyle x<2
xx 는 22 보다 작다.
22 는 포함하지 않는다.
이상
x≥2\displaystyle x\ge 2
xx 는 22 보다 크거나 같다.
「xx 는 22 보다 작지 않다」와 같다.
이하
x≤2\displaystyle x\le 2
xx 는 22 보다 작거나 같다.
「xx 는 22 보다 크지 않다」와 같다.
학생
「이상」과 「초과」를 헷갈리지 않는 방법이 있어요?
쌤
그 수가 xx 의 값이 될 수 있는지 물어보면 돼요. 될 수 있으면 등호가 붙은 ≥\ge, ≤\le 이고, 될 수 없으면 >>, << 예요. 이 부등호는 일차부등식에서도 그대로 써요.

예를 들어 「xx 는 22 이상」이면 x=2x=2 가 될 수 있으므로 x≥2x\ge2 예요.

예두 조건을 함께 나타내기
「xx 는 −2-2 이상 33 미만이다」
−2≤x<3-2\le x<3
이 범위의 정수 xx 는 −2, −1, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 로 55 개예요.
−2-2 는 포함하고 33 은 포함하지 않아요.
−2≤x<3-2\le x<3
−2≤x<3-2\le x<3
-4-3-2-1012345
−2-2
33
● 는 포함, ○ 는 포함하지 않아요. 이 사이의 정수는 −2, −1, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「xx 는 −1-1 초과 22 이하」를 부등호로 나타내면?
「작지 않다」
✗ 틀린 풀이
xx 는 22 보다 작지 않다.
x>2x>2
왜 틀렸나 「작지 않다」는 「크거나 같다」는 뜻이므로 부등호 ≥\ge 를 써서 x=2x=2 도 포함한다.
✓ 바른 풀이
xx 는 22 보다 작지 않다.
x≥2x\ge2
확인 방법: x=2x=2 를 넣어 「22 는 22 보다 작지 않다」가 참인지 본다.
참이므로 등호가 들어간다.
자세히 보기펼치기틀리기 쉬운 곳
⚠ 주의검산
경계의 수를 직접 넣어 봐요.
「−2-2 이상 33 미만」에 x=−2x=-2 를 넣으면 −2≤−2-2\le-2 가 참이므로 포함
x=3x=3 을 넣으면 3<33<3 이 거짓이므로 제외
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1서로 반대되는 성질을 가진 양을 ++ (양의 부호)와 −- (음의 부호)로 나타낸다. 00 은 양수도 음수도 아니다.
  2. 2양의 정수, 00, 음의 정수를 통틀어 정수라 하고, 분수 ab\frac{a}{b} (aa, bb 는 정수, b≠0b\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다. 정수도 유리수이다.
  3. 3수직선에서 원점과 어떤 수를 나타내는 점 사이의 거리를 그 수의 절댓값이라 하고 ∣a∣|a| 로 나타낸다.
  4. 4수직선에서 오른쪽에 있는 수가 크다. 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다. 부등호 ≥\ge 는 「이상」, >> 는 「초과」, ≤\le 는 「이하」, << 는 「미만」이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 62\frac{6}{2}, −84-\frac{8}{4} 처럼 분수 꼴로 쓰인 정수를 정수가 아니라고 생각해요.
  • 음수끼리 비교할 때 절댓값이 큰 수가 크다고 생각해요(−5>−2-5>-2 로 잘못 써요).
  • 「작지 않다」를 x>2x>2 로 써서 경계의 수를 빠뜨리거나, 절댓값이 aa 인 수를 하나만 찾아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 수에 대하여 물음에 답하시오.−3,62,0,−14,2.5,+7-3,\quad \frac{6}{2},\quad 0,\quad -\frac{1}{4},\quad 2.5,\quad +7(1) 정수를 모두 고르시오.
    (2) 정수가 아닌 유리수를 모두 고르시오.
  2. 예제 2
    절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 수직선 위에 나타내었더니 두 점 사이의 거리가 1010 이었다. 두 수를 구하시오.
  3. 예제 3
    세 수 −23-\frac{2}{3}, −34-\frac{3}{4}, −0.7-0.7 을 작은 수부터 차례로 나열하시오.

다음 공부

다음 개념: 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차부등식 (나중에)중학교 1학년 목차
← 최대공약수와 최소공배수정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈 →
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