수학 개념 노트전체 과목

평행선과 선분의 길이의 비

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
삼각형의 한 변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 나누고, 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 변과 평행하며 그 길이의 12\frac{1}{2} 이에요. 각의 이등분선은 대변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 나누고, 무게중심은 중선을 2:12:1 로 나눠요.
  1. 1삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비
  2. 2삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
  3. 3평행선 사이의 선분의 길이의 비
  4. 4삼각형의 각의 이등분선과 선분의 길이의 비
  5. 5삼각형의 무게중심
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

성질삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비
△ABC\triangle ABC 에서 두 변 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 또는 그 연장선 위의 점을 각각 DD, EE 라 할 때, BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 이면
(1) AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=DE‾:BC‾\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}=\overline{DE}:\overline{BC}
(2) AD‾:DB‾=AE‾:EC‾\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC}
ABCDE
동위각 ∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC, ∠A\angle A 공통 → △ADE∽△ABC\triangle ADE\backsim\triangle ABC
학생
이런 비는 왜 성립해요?
쌤
BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 이면 동위각이 같아서 △ADE\triangle ADE 와 △ABC\triangle ABC 가 AA 닮음이에요. 닮은 삼각형은 대응하는 변의 길이의 비가 같아요.
평행선과 선분의 비
AD‾=6\overline{AD}=6, DB‾=3\overline{DB}=3, AE‾=4\overline{AE}=4, BC‾=12\overline{BC}=12
6:3=4:EC‾6:3=4:\overline{EC}
↳(2) 를 써요
6EC‾=12 → EC‾=26\overline{EC}=12\ \to\ \overline{EC}=2
↳비례식은 (바깥 두 수의 곱) == (안쪽 두 수의 곱)
6:9=2:36:9=2:3
↳(1): AB‾=6+3=9\overline{AB}=6+3=9, 기약으로 2:32:3
2:3=DE‾:12 → DE‾=82:3=\overline{DE}:12\ \to\ \overline{DE}=8
63412ABCDE
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
△ABC\triangle ABC 에서 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE}, AD‾=4\overline{AD}=4, DB‾=2\overline{DB}=2, AE‾=6\overline{AE}=6 일 때 EC‾\overline{EC} 의 길이는?
DE‾\overline{DE} 의 길이 구하기
✗ 틀린 풀이
AD‾:DB‾=DE‾:BC‾\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{DE}:\overline{BC} 로 놓고
6:3=DE‾:126:3=\overline{DE}:12
DE‾=24\overline{DE}=24
왜 틀렸나 DE‾:BC‾\overline{DE}:\overline{BC} 는 닮음비이므로 꼭짓점 AA 에서 잰 AD‾\overline{AD} 와 전체 AB‾\overline{AB} 의 비와 같다.
✓ 바른 풀이
AD‾:AB‾=DE‾:BC‾\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{DE}:\overline{BC} 이므로
6:9=DE‾:126:9=\overline{DE}:12
DE‾=8\overline{DE}=8
검산: DE‾\overline{DE} 는 BC‾\overline{BC} 보다 짧아야 하고, 8:12=6:98:12=6:9 로 비가 맞는다.
성질거꾸로
평행이 되는 조건
△ABC\triangle ABC 에서 두 변 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 또는 그 연장선 위의 점을 각각 DD, EE 라 할 때
AD‾:AB‾=AE‾:AC‾\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC} 이거나 AD‾:DB‾=AE‾:EC‾\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC} 이면
BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE}
예: AD‾=4\overline{AD}=4, DB‾=6\overline{DB}=6, AE‾=6\overline{AE}=6, EC‾=9\overline{EC}=9 이면 4:6=6:94:6=6:9 이므로 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

(1) 은 왜 그런가요? △ABC\triangle ABC 의 두 변 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 위에 점 DD, EE 가 있고 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 라 해요. 평행선의 동위각은 같으므로 ∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC 이고 ∠A\angle A 는 공통이에요.
따라서 △ADE∽△ABC\triangle ADE\backsim\triangle ABC (AA 닮음)
그래서 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응변의 비가 모두 같아요.

(2) 는 왜 그런가요? 점 EE 를 지나고 AB‾\overline{AB} 에 평행한 직선이 BC‾\overline{BC} 와 만나는 점을 FF 라 하면 □DBFE\square DBFE 는 평행사변형이므로 DB‾=EF‾\overline{DB}=\overline{EF} 예요.
△ADE∽△EFC\triangle ADE\backsim\triangle EFC (AA 닮음)이므로
AD‾:EF‾=AE‾:EC‾\overline{AD}:\overline{EF}=\overline{AE}:\overline{EC}
EF‾=DB‾\overline{EF}=\overline{DB} 를 넣으면 (2) 가 돼요.

ABCDEF
□DBFE\square DBFE 는 평행사변형이므로 DB‾=EF‾\overline{DB}=\overline{EF}, △ADE∽△EFC\triangle ADE\backsim\triangle EFC

점 DD, EE 가 점 AA 너머의 연장선 위에 있어서 DE‾\overline{DE} 와 BC‾\overline{BC} 가 AA 를 사이에 두고 마주 보는 경우에도 △ADE∽△ABC\triangle ADE\backsim\triangle ABC (엇각이 같아 AA 닮음)이므로 (1) 이 그대로 성립해요.

ABCDE
엇각 ∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC → △ADE∽△ABC\triangle ADE\backsim\triangle ABC
4669ABCDE
4:6=6:94:6=6:9 이므로 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE}

2삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

성질삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분
△ABC\triangle ABC 에서 두 변 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 의 중점을 각각 MM, NN 이라 하면
MN‾\overline{MN} 은 BC‾\overline{BC} 와 평행 하고MN‾=12BC‾\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}
ABCMN
MN‾∥BC‾\overline{MN}\parallel\overline{BC}, MN‾=12BC‾\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}
학생
이 성질은 평행선과 선분의 길이의 비와 무슨 관계예요?
쌤
AM‾:AB‾=AN‾:AC‾=1:2\overline{AM}:\overline{AB}=\overline{AN}:\overline{AC}=1:2 인 특별한 경우예요. 그래서 MN‾∥BC‾\overline{MN}\parallel\overline{BC} 이고 MN‾:BC‾=1:2\overline{MN}:\overline{BC}=1:2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
△ABC\triangle ABC 에서 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 의 중점이 MM, NN 이고 BC‾=14\overline{BC}=14 일 때 MN‾\overline{MN} 의 길이는?
사다리꼴에 그대로 쓰기
✗ 틀린 풀이
MN‾=12BC‾=5\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5
왜 틀렸나 중점 연결 정리는 삼각형에서 성립하므로 사다리꼴은 대각선으로 두 삼각형으로 나누어 각각 쓴다.
✓ 바른 풀이
대각선으로 두 삼각형으로 나누어
MN‾=MP‾+PN‾=5+3=8\overline{MN}=\overline{MP}+\overline{PN}=5+3=8
기억 요령: 사다리꼴의 두 변의 중점을 이은 선분의 길이는 윗변과 아랫변의 길이의 합의 절반이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제 2

왜 그런가요? 평행선과 선분의 비에서 DD, EE 가 두 변의 중점인 특별한 경우예요. AM‾:AB‾=AN‾:AC‾=1:2\overline{AM}:\overline{AB}=\overline{AN}:\overline{AC}=1:2 이므로 평행이 되고, 닮음비가 1:21:2 이므로 길이가 절반이 돼요.

성질거꾸로 쓰기
△ABC\triangle ABC 에서 AB‾\overline{AB} 의 중점 MM 을 지나고 BC‾\overline{BC} 에 평행한 직선이 AC‾\overline{AC} 와 만나는 점을 NN 이라 하면
AN‾=NC‾\overline{AN}=\overline{NC} 이고 MN‾=12BC‾\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}
즉 한 변의 중점에서 다른 변에 평행하게 그은 직선은 나머지 변의 중점을 지난다.
예중점으로 만든 삼각형
AB‾=8\overline{AB}=8, BC‾=10\overline{BC}=10, CA‾=12\overline{CA}=12 인 △ABC\triangle ABC 의 세 변의 중점을 이어 만든 삼각형의 세 변은 각각 44, 55, 66 이에요.
둘레의 길이는
4+5+6=154+5+6=15
원래 둘레 3030 의 12\frac{1}{2} 이에요.
81012ABC
세 변의 중점을 이은 삼각형의 변은 44, 55, 66

AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 인 사다리꼴 ABCDABCD 에서 AD‾=6\overline{AD}=6, BC‾=10\overline{BC}=10 이고 AB‾\overline{AB}, DC‾\overline{DC} 의 중점을 각각 MM, NN 이라 해요. 대각선 AC‾\overline{AC} 와 MN‾\overline{MN} 의 교점을 PP 라 하면 MN‾∥BC‾\overline{MN}\parallel\overline{BC} 예요.

사다리꼴의 두 변의 중점
MP‾=12BC‾=5\overline{MP}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5
↳△ABC\triangle ABC 에서 MM 이 중점, MP‾∥BC‾\overline{MP}\parallel\overline{BC} 이므로 PP 는 AC‾\overline{AC} 의 중점
PN‾=12AD‾=3\overline{PN}=\frac{1}{2}\overline{AD}=3
↳△ACD\triangle ACD 에서 PP, NN 이 두 변의 중점
MN‾=5+3=8\overline{MN}=5+3=8
일반적으로 MN‾=12(AD‾+BC‾)\overline{MN}=\frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC}) 예요.
610ABCDMNP
△ABC\triangle ABC 와 △ACD\triangle ACD 로 나누어 중점 연결 정리를 써요.

3평행선 사이의 선분의 길이의 비

성질평행선 사이의 선분의 길이의 비
세 직선 ll, mm, nn 이 서로 평행하고, 두 직선이 이 세 직선과 각각 AA, BB, CC 와 A′A', B′B', C′C' 에서 만나면AB‾:BC‾=A′B′‾:B′C′‾\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{A'B'}:\overline{B'C'}
평행선 사이의 선분
AB‾=6\overline{AB}=6, BC‾=9\overline{BC}=9, A′B′‾=4\overline{A'B'}=4
6:9=4:B′C′‾6:9=4:\overline{B'C'}
6B′C′‾=36 → B′C′‾=66\overline{B'C'}=36\ \to\ \overline{B'C'}=6
같은 이유로 AB‾:AC‾=A′B′‾:A′C′‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{A'B'}:\overline{A'C'} 도 성립해요.
lmn694?ABCA′B′C′
학생
삼각형이 안 보이는데도 비가 같아요?
쌤
네. 한 점을 지나고 다른 직선에 평행한 직선을 그으면 삼각형이 생기고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비를 그대로 쓸 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
l∥m∥nl\parallel m\parallel n 이고 AB‾=4\overline{AB}=4, BC‾=6\overline{BC}=6, A′B′‾=6\overline{A'B'}=6 일 때 B′C′‾\overline{B'C'} 의 길이는?
부분과 전체 섞기
✗ 틀린 풀이
AB‾:BC‾=A′B′‾:A′C′‾\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{A'B'}:\overline{A'C'}
왜 틀렸나 평행선이 만드는 비는 양쪽에서 같은 자리끼리, 부분은 부분과 전체는 전체와 비교해야 한다.
✓ 바른 풀이
AB‾:BC‾=A′B′‾:B′C′‾\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{A'B'}:\overline{B'C'}
확인 방법: 각 선분이 위에서 몇 번째 칸인지 써 놓고 같은 칸끼리 짝짓는다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

왜 그런가요? 점 AA 를 지나고 직선 A′C′A'C' 에 평행한 직선을 그어 mm, nn 과 만나는 점을 PP, QQ 라 해요.

평행선 사이의 선분의 비
AP‾=A′B′‾, PQ‾=B′C′‾\overline{AP}=\overline{A'B'},\ \overline{PQ}=\overline{B'C'}
↳평행사변형의 대변
AB‾:BC‾=AP‾:PQ‾\overline{AB}:\overline{BC}=\overline{AP}:\overline{PQ}
↳△ACQ\triangle ACQ 에서 BP‾∥CQ‾\overline{BP}\parallel\overline{CQ}
=A′B′‾:B′C′‾=\overline{A'B'}:\overline{B'C'}
lmnABCA′B′C′PQ
l∥m∥nl\parallel m\parallel n, 점선 AQAQ 는 직선 A′C′A'C' 에 평행

4삼각형의 각의 이등분선과 선분의 길이의 비

성질내각의 이등분선
△ABC\triangle ABC 에서 ∠A\angle A 의 이등분선이 BC‾\overline{BC} 와 만나는 점을 DD 라 하면AB‾:AC‾=BD‾:DC‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{DC}
내각의 이등분선
AB‾=8\overline{AB}=8, AC‾=6\overline{AC}=6, BC‾=7\overline{BC}=7
BD‾:DC‾=8:6=4:3\overline{BD}:\overline{DC}=8:6=4:3
BD‾=7×47=4\overline{BD}=7\times\frac{4}{7}=4
↳77 을 4:34:3 으로
DC‾=7×37=3\overline{DC}=7\times\frac{3}{7}=3
86ABCD
BC‾=7\overline{BC}=7
학생
각의 이등분선은 맞은편 변을 반으로 나눠요?
쌤
아니에요. 이웃한 두 변의 길이의 비로 나눠요. AB‾:AC‾=BD‾:DC‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{DC} 라서 긴 변 쪽 조각이 더 길어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
△ABC\triangle ABC 에서 ∠A\angle A 의 이등분선이 BC‾\overline{BC} 와 만나는 점이 DD 이고 AB‾=6\overline{AB}=6, AC‾=4\overline{AC}=4, BC‾=5\overline{BC}=5 일 때 BD‾\overline{BD} 의 길이는?
비의 순서
✗ 틀린 풀이
BD‾:DC‾=AC‾:AB‾=3:4\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AC}:\overline{AB}=3:4
왜 틀렸나 각의 이등분선은 대변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 나누므로 BB 쪽 조각은 BB 쪽 변과 짝이다.
✓ 바른 풀이
BD‾:DC‾=AB‾:AC‾=4:3\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AB}:\overline{AC}=4:3
검산: AB‾\overline{AB} 가 AC‾\overline{AC} 보다 길므로 BD‾\overline{BD} 가 DC‾\overline{DC} 보다 길어야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

왜 그런가요? 각의 이등분선 위의 점 DD 는 두 변 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 에서 같은 거리 hh 에 있어요. △ABD\triangle ABD 와 △ADC\triangle ADC 의 넓이의 비를 두 가지로 나타내요.

넓이의 비를 두 가지로
△ABD:△ADC=AB‾:AC‾\triangle ABD:\triangle ADC=\overline{AB}:\overline{AC}
↳높이가 hh 로 같아요
△ABD:△ADC=BD‾:DC‾\triangle ABD:\triangle ADC=\overline{BD}:\overline{DC}
↳꼭짓점 AA 에서 높이가 같아요
AB‾:AC‾=BD‾:DC‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{DC}
hh86ABCD
BD‾:DC‾=AB‾:AC‾\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AB}:\overline{AC}
성질외각의 이등분선
AB‾≠AC‾\overline{AB}\ne\overline{AC} 인 △ABC\triangle ABC 에서 ∠A\angle A 의 외각의 이등분선이 BC‾\overline{BC} 의 연장선과 만나는 점을 DD 라 하면AB‾:AC‾=BD‾:CD‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}예: AB‾=6\overline{AB}=6, AC‾=4\overline{AC}=4, BC‾=3\overline{BC}=3 이면 DD 는 CC 쪽 연장선 위에 있다. CD‾=x\overline{CD}=x 라 하면 BD‾=x+3\overline{BD}=x+3 이다.
6:4=(x+3):x6:4=(x+3):x
6x=4(x+3)6x=4(x+3)
따라서 x=6x=6
643xABCD
∠A\angle A 의 외각의 이등분선

5삼각형의 무게중심

정의중선과 무게중심
삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 한다.
중선 AD‾\overline{AD} 는 △ABC\triangle ABC 의 넓이를 이등분한다. △ABD\triangle ABD 와 △ADC\triangle ADC 는 밑변 BD‾=DC‾\overline{BD}=\overline{DC} 이고 높이가 같기 때문이다.
삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 점을 삼각형의 무게중심이라 한다. 무게중심은 보통 GG 로 나타낸다.
성질무게중심의 성질
삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2:12:1 로 나눈다.AG‾:GD‾=BG‾:GE‾=CG‾:GF‾=2:1\overline{AG}:\overline{GD}=\overline{BG}:\overline{GE}=\overline{CG}:\overline{GF}=2:1(DD, EE, FF 는 각각 BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} 의 중점)
ABCDEFG
AG‾:GD‾=BG‾:GE‾=CG‾:GF‾=2:1\overline{AG}:\overline{GD}=\overline{BG}:\overline{GE}=\overline{CG}:\overline{GF}=2:1, 점선 DE‾∥AB‾\overline{DE}\parallel\overline{AB}
학생
2:12:1 에서 어느 쪽이 22 예요? 자꾸 헷갈려요.
쌤
꼭짓점 쪽 조각이 22, 변의 중점 쪽 조각이 11 이에요. 무게중심은 꼭짓점보다 변에 더 가까이 있다고 기억해요.
무게중심과 길이
AD‾=12\overline{AD}=12
AG‾=12×23=8\overline{AG}=12\times\frac{2}{3}=8
↳꼭짓점 쪽이 22
GD‾=12×13=4\overline{GD}=12\times\frac{1}{3}=4
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
△ABC\triangle ABC 의 무게중심을 GG, 중선을 AD‾=9\overline{AD}=9 라 할 때 GD‾\overline{GD} 의 길이는?
비의 방향
✗ 틀린 풀이
AD‾=12\overline{AD}=12 이면 AG‾:GD‾=1:2\overline{AG}:\overline{GD}=1:2 로 보고
AG‾=4\overline{AG}=4
왜 틀렸나 무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 2:12:1 로 나누므로 꼭짓점 쪽 조각이 두 배이다.
✓ 바른 풀이
꼭짓점 쪽이 2 이므로
AG‾=8\overline{AG}=8
GD‾=4\overline{GD}=4
검산: AG‾+GD‾=8+4=12\overline{AG}+\overline{GD}=8+4=12 로 AD‾\overline{AD} 와 같다.
성질무게중심과 넓이
삼각형의 세 중선은 삼각형의 넓이를 6등분한다. △ABC\triangle ABC 의 넓이를 SS 라 하면
△GAF=△GFB=△GBD=△GDC=△GCE=△GEA=16S\triangle GAF=\triangle GFB=\triangle GBD=\triangle GDC=\triangle GCE=\triangle GEA=\frac{1}{6}S
△GAB=△GBC=△GCA=13S\triangle GAB=\triangle GBC=\triangle GCA=\frac{1}{3}S
예: S=36S=36 이면 △GBD=6\triangle GBD=6, △GAB=12\triangle GAB=12
자세히 보기펼치기그림왜 그런지외우기 카드
ABCD
중선 AD‾\overline{AD} 는 넓이를 이등분해요.

왜 그런가요? 중선 AD‾\overline{AD}, BE‾\overline{BE} 의 교점을 GG 라 해요. 중점 연결 정리로 DE‾∥AB‾\overline{DE}\parallel\overline{AB}, DE‾=12AB‾\overline{DE}=\frac{1}{2}\overline{AB} 예요.
엇각이 같으므로 △GAB∽△GDE\triangle GAB\backsim\triangle GDE (AA 닮음)이고 닮음비는 2:12:1 이에요.
따라서 AG‾:GD‾=2:1\overline{AG}:\overline{GD}=2:1
다른 두 중선의 교점도 같은 방법으로 AD‾\overline{AD} 를 2:12:1 로 나누므로 같은 점이에요.

ABCDEFG
여섯 조각의 넓이가 모두 16S\frac{1}{6}S
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
BC‾∥DE‾: AD‾:AB‾=AE‾:□=DE‾:□\overline{BC}\parallel\overline{DE}:\ \overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\square=\overline{DE}:\square
단계 1 / 2
중점 연결: MN‾=□ BC‾\text{중점 연결: }\overline{MN}=\square\,\overline{BC}
단계 1 / 2
각의 이등분선: BD‾:DC‾=AB‾:□\text{각의 이등분선: }\overline{BD}:\overline{DC}=\overline{AB}:\square
단계 1 / 2
무게중심: AG‾:GD‾=□:1\text{무게중심: }\overline{AG}:\overline{GD}=\square:1
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1△ABC\triangle ABC 에서 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 이면 AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=DE‾:BC‾\overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{AC}=\overline{DE}:\overline{BC}, AD‾:DB‾=AE‾:EC‾\overline{AD}:\overline{DB}=\overline{AE}:\overline{EC} 이고, 그 역도 성립한다.
  2. 2삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 나머지 한 변의 12\frac{1}{2} 이다.
  3. 3AD‾\overline{AD} 가 ∠A\angle A 의 이등분선이면 AB‾:AC‾=BD‾:DC‾\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{DC} 이다.
  4. 4세 평행선이 두 직선과 만나서 생기는 선분의 길이의 비는 같고, 삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 각각 2:12:1 로 나눈다.
✗ 자주 하는 실수
  • BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 일 때 DE‾:BC‾\overline{DE}:\overline{BC} 를 AD‾:DB‾\overline{AD}:\overline{DB} 와 같다고 놓아요(AD‾:AB‾\overline{AD}:\overline{AB} 와 같아요).
  • 각의 이등분선에서 BD‾:DC‾\overline{BD}:\overline{DC} 를 AC‾:AB‾\overline{AC}:\overline{AB} 로 거꾸로 짝지어요.
  • 무게중심이 중선을 꼭짓점으로부터 1:21:2 로 나눈다고 거꾸로 기억하거나, 사다리꼴에 중점 연결 정리를 그대로 써서 MN‾=12BC‾\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC} 로 계산해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    △ABC\triangle ABC 에서 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 위의 점 DD, EE 에 대하여 BC‾∥DE‾\overline{BC}\parallel\overline{DE} 이다. AD‾=6\overline{AD}=6, DB‾=3\overline{DB}=3, AE‾=4\overline{AE}=4, BC‾=12\overline{BC}=12 일 때, EC‾\overline{EC} 와 DE‾\overline{DE} 의 길이를 각각 구하시오.
    63412ABCDE
  2. 예제 2
    AB‾=8\overline{AB}=8, AC‾=6\overline{AC}=6, BC‾=7\overline{BC}=7 인 △ABC\triangle ABC 에서 ∠A\angle A 의 이등분선이 BC‾\overline{BC} 와 만나는 점을 DD 라 하자. △ABC\triangle ABC 의 넓이가 2828 일 때, BD‾\overline{BD} 의 길이와 △ABD\triangle ABD 의 넓이를 구하시오.
    86ABCD
    BC‾=7\overline{BC}=7
  3. 예제 3
    AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 인 사다리꼴 ABCDABCD 에서 AD‾=4\overline{AD}=4, BC‾=10\overline{BC}=10 이다. AB‾\overline{AB}, DC‾\overline{DC} 의 중점을 각각 MM, NN 이라 하고, MN‾\overline{MN} 과 대각선 AC‾\overline{AC} 의 교점을 PP 라 할 때, MP‾\overline{MP}, PN‾\overline{PN}, MN‾\overline{MN} 의 길이를 구하시오.
    410ABCDMNP

다음 공부

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