좌표평면과 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

순서쌍으로 좌표평면 위의 점을 나타내고, 좌표의 부호로 사분면을 판단해요. 두 양의 관계를 나타낸 그래프의 모양에서 증가·감소·멈춤 등 변화를 읽어요.

1수직선과 좌표평면
2사분면
3그래프로 변화 읽기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1수직선과 좌표평면

수직선 위의 한 점에는 수 하나가 대응해요. 점 $A$ 가 $-2$ 에 있으면 이 수를 점 $A$ 의 좌표라 하고 $A(-2)$ 로 나타내요.
평면 위의 점은 수 하나로는 위치를 정할 수 없어요. 극장 좌석을 「 $5$ 열 $3$ 번」처럼 두 수로 나타내는 것과 같이, 평면에서도 두 수가 필요해요.

정의좌표평면

두 수직선을 점

O

에서 서로 수직으로 만나게 그린다.
가로의 수직선을

x

축, 세로의 수직선을

y

축이라 하고, 두 축을 함께 좌표축이라 한다.
두 좌표축이 만나는 점

O

를 원점이라 한다.
좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라 한다.

정의순서쌍과 점의 좌표

두 수의 순서를 정하여 짝 지어 나타낸 것을 순서쌍이라 한다.
좌표평면 위의 점

P

에서

x

축,

y

축에 각각 수선을 그어 만나는 점의 눈금이

a,\ b

일 때

P(a,\ b)

로 나타내고,

a

를 점

P

의

x

좌표,

b

를

y

좌표라 한다.

점

(3,\ -2)

를 좌표평면에 나타내기

원점에서

x

좌표

3

만큼 오른쪽,

y

좌표

-2

이므로 아래로

2

만큼 가서 점

A(3,\ -2)

를 찍어요. 먼저 가로(

x

), 다음 세로(

y

)예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

점

(-3,\ 1)

을 찍는 방법은?

순서쌍의 순서

✗ 틀린 풀이

점

(-2,\ 3)

을 찍을 때

x

축 방향으로

3

y

축 방향으로

-2

왜 틀렸나 순서쌍에서는 앞의 수가

x

좌표, 뒤의 수가

y

좌표이므로

x

축 방향으로

-2

만큼 간다.

✓ 바른 풀이

점

(-2,\ 3)

을 찍을 때

x

축 방향으로

-2

y

축 방향으로

3

기억 요령: 알파벳 순서처럼

x

가 먼저,

y

가 나중이다.

(-2,\ 3)

과

(3,\ -2)

는 다른 점이다.

좌표축 위의 점

원점 $O(0,\ 0)$
$x$ 축 위 $(a,\ 0)$ : $y$ 좌표가 $0$ (예: $A(5,\ 0)$ )
$y$ 축 위 $(0,\ b)$ : $x$ 좌표가 $0$ (예: $B(0,\ 3)$ )

x

축 위의 점

✗ 틀린 풀이

x

축 위에 있고 원점에서 오른쪽으로

5

만큼 떨어진 점

(0,\ 5)

왜 틀렸나

x

축 위의 점은

y

좌표가

0

이므로 오른쪽으로

5

만큼 간 점은

(5,\ 0)

이다.

✓ 바른 풀이

x

축 위에 있고 원점에서 오른쪽으로

5

만큼 떨어진 점

(5,\ 0)

확인 방법: 원점에서

x

축 방향으로

5

y

축 방향으로

0

만큼 가서 점을 찍어 본다.

자세히 보기펼치기그림예제

수직선 위의 점

A(-2)

수직선 위의 점은 수 하나로 위치가 정해져요.

P(3,\ 2)

x

좌표

3

y

좌표

2

P(-2,\ 3)

과

Q(3,\ -2)

는 서로 다른 점이에요.

예좌표평면 위의 도형의 넓이

세 점

A(-2,\ 1)

B(3,\ 1)

C(1,\ 4)

를 꼭짓점으로 하는 삼각형

ABC

A

B

의

y

좌표가 같으므로 변

AB

는

x

축에 평행해요.
밑변

AB

의 길이는

x

좌표의 차예요.

3-(-2)=5

높이는 점

C

와 변

AB

의

y

좌표의 차예요.

4-1=3

넓이는

\frac{1}{2}\times5\times3=\frac{15}{2}

2사분면

정의사분면

좌표평면은 좌표축에 의하여 네 부분으로 나뉜다. 각 부분을 사분면이라 하고, 오른쪽 위에서부터 시곗바늘이 도는 반대 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라 한다.
좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.

사분면과 좌표의 부호

제1 $(+,\ +)$ 예: $(3,\ 2)$
제2 $(-,\ +)$ 예: $(-3,\ 2)$
제3 $(-,\ -)$ 예: $(-3,\ -2)$
제4 $(+,\ -)$ 예: $(3,\ -2)$
축 위 $(0,\ 3)$ , $(5,\ 0)$ 은 어느 사분면에도 속하지 않아요.

학생

제2사분면은 왜 왼쪽 위로 정해요?

쌤

제1사분면에서 시작해 시곗바늘이 도는 반대 방향으로 돌며 차례로 번호를 붙이기로 약속했기 때문이에요. 그 순서대로 돌면

x

좌표의 부호가 먼저 바뀌고(제2), 다음에

y

좌표의 부호가 바뀌어요(제3).

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

점

(3,\ -5)

는 어느 사분면 위의 점일까요?

축 위의 점

✗ 틀린 풀이

(0,\ 3)

은 제1사분면 위의 점

왜 틀렸나 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않으므로

y

축 위의 점

(0,\ 3)

도 그렇다.

✓ 바른 풀이

(0,\ 3)

은 어느 사분면에도 속하지 않는다

x

좌표

0

은 양수도 음수도 아니에요.

y

축 위의 점이에요.

성질대칭인 점의 좌표 (점

(a,\ b)

에 대하여)

x

축에 대하여 대칭인 점:

(a,\ -b)

y

좌표의 부호만 바뀐다.

y

축에 대하여 대칭인 점:

(-a,\ b)

x

좌표의 부호만 바뀐다.
원점에 대하여 대칭인 점:

(-a,\ -b)

두 좌표의 부호가 모두 바뀐다.

P(2,\ 3)

과

x

축 대칭

Q(2,\ -3)

y

축 대칭

R(-2,\ 3)

, 원점 대칭

S(-2,\ -3)

x

축에 대하여 대칭인 점

✗ 틀린 풀이

점

(2,\ 3)

과

x

축에 대하여 대칭인 점

(-2,\ 3)

왜 틀렸나

x

축에 대하여 대칭이면

x

좌표는 그대로이고

y

좌표의 부호만 바뀐다.

✓ 바른 풀이

점

(2,\ 3)

과

x

축에 대하여 대칭인 점

(2,\ -3)

확인 방법: 모눈종이에서

x

축을 접는 선으로 하여 접으면

(2,\ 3)

이

(2,\ -3)

에 겹친다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

외우는 방법: 제1사분면에서 출발하여 시곗바늘이 도는 반대 방향으로 돌며 $x$ 좌표의 부호가 먼저 바뀌고(제2), 다음에 $y$ 좌표의 부호가 바뀌고(제3), 다시 $x$ 좌표의 부호가 바뀌어요(제4).

예부호로 사분면 판단하기

점

(a,\ b)

가 제2사분면 위의 점이면

a<0

b>0

이에요.
점

(b,\ a)

는

b>0

a<0

이므로

(+,\ -)

, 제4사분면
점

(-a,\ b)

는

a<0

이면

-a>0

이므로

(+,\ +)

, 제1사분면
점

(ab,\ b-a)

는

ab

가 (음수)

\times

(양수)

<0

b-a

가 (양수)

-

(음수)

>0

이므로 제2사분면

3그래프로 변화 읽기

정의변수와 그래프

x

y

와 같이 여러 가지로 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라 한다.
두 변수 사이의 관계를 만족시키는 순서쌍

(x,\ y)

를 좌표평면 위에 모두 나타낸 것을 그래프 라 한다.
그래프는 점, 직선, 곡선 등으로 나타난다.

그래프의 모양과 변화

증가오른쪽 위로: $x$ 가 증가할 때 $y$ 도 증가
변화 없음수평: $x$ 가 증가해도 $y$ 는 그대로
감소오른쪽 아래로: $x$ 가 증가할 때 $y$ 는 감소
가파름더 가파를수록 $y$ 가 더 빠르게 변해요.
반복관람차의 높이처럼 같은 변화가 되풀이돼요(주기적 변화).

학생

그래프는 어떻게 읽어요?

쌤

먼저 가로축과 세로축이 무엇인지 확인해요. 그다음 오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가면 증가, 내려가면 감소, 수평이면 변화가 없다는 뜻이에요.

예꺾은선 그래프 읽기

자전거를 탄 지

x

분 후 출발점으로부터의 거리를

y

km 라 해요. 그래프가 다음 네 점을 차례로 이은 꺾은선이에요.

(0,\ 0),\ (10,\ 2),\ (20,\ 2),\ (30,\ 5)

구간마다 오른쪽 그림 옆 설명처럼 읽어요.

0~10분 $y$ 가 $0$ 에서 $2$ 로 증가 → $2$ km 를 갔어요.
10~20분수평 → 거리가 그대로, 멈추어 있었어요.
20~30분 $3$ km 를 갔어요. 같은 $10$ 분에 더 많이 갔으니 처음보다 빨라요(더 가파름).

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

일정한 빠르기로 물통의 물을 빼낼 때, 시간에 따른 남은 물의 양을 나타낸 그래프의 모양은?

수평인 부분의 뜻 (시간–거리 그래프)

✗ 틀린 풀이

그래프가 수평이면 같은 빠르기로 계속 달리고 있다

왜 틀렸나 시간–거리 그래프에서 수평인 부분은 시간이 흘러도 거리가 변하지 않으므로 멈추어 있다는 뜻이다.

✓ 바른 풀이

그래프가 수평이면 거리가 변하지 않으므로 멈추어 있다

세로축이 무엇인지 먼저 확인해요.
세로축이 「거리」이면 수평은 이동하지 않았다는 뜻이에요.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림

예: 물통에 물을 넣기 시작한 지 $x$ 분 후의 물의 높이를 $y$ cm 라 해요. 매분 $2$ cm 씩 높아지면 순서쌍은
$(0,\ 0),\ (1,\ 2),\ (2,\ 4),\ (3,\ 6)$
이에요. 이 점들을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 위로 향하는 한 직선 위에 놓여요. 이런 관계를 정비례라 해요.

거꾸로 쓰는 방향: 상황을 보고 그래프의 모양을 고를 수 있어야 해요.
일정한 빠르기로 물을 빼면 물의 양은 일정하게 줄어들므로 오른쪽 아래로 향하는 직선이에요.
검산 방법: 그래프에서 읽은 값을 순서쌍으로 적어 보고, 상황과 맞는지 하나씩 확인해요.

일정하게 줄어든다 → 오른쪽 아래로 향하는 직선

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 수의 순서를 정하여 짝 지어 나타낸 것을 순서쌍이라 한다. $(2,\ 3)$ 과 $(3,\ 2)$ 는 서로 다르다.
2좌표평면 위의 점 $P$ 의 위치는 순서쌍 $(a,\ b)$ 로 나타낸다. $a$ 는 $x$ 좌표, $b$ 는 $y$ 좌표이다. 원점은 $O(0,\ 0)$ 이다.
3좌표축은 좌표평면을 네 부분으로 나눈다. 제1사분면 $(+,+)$ , 제2사분면 $(-,+)$ , 제3사분면 $(-,-)$ , 제4사분면 $(+,-)$ 이고, 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
4두 양 사이의 관계를 좌표평면 위에 점이나 선으로 나타낸 것을 그래프라 한다. 그래프의 모양으로 변화를 읽는다.

✗ 자주 하는 실수

순서쌍의 앞뒤를 바꾸어 $(-2,\ 3)$ 을 $x$ 축 방향 $3$ , $y$ 축 방향 $-2$ 로 찍어요.
$(0,\ 3)$ 처럼 좌표축 위의 점을 어느 사분면에 속한다고 답해요.
$x$ 축에 대하여 대칭인 점을 구할 때 $x$ 좌표의 부호를 바꿔요(바른 것은 $y$ 좌표의 부호예요).

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
점 $A(a-1,\ 2a+4)$ 가 $y$ 축 위의 점일 때, 점 $A$ 의 좌표를 구하시오.
예제 2
점 $(a,\ b)$ 가 제4사분면 위의 점일 때, 점 $(-a,\ ab)$ 는 제 몇 사분면 위의 점인지 구하시오.
예제 3
세 점 $A(-3,\ -1)$ , $B(2,\ -1)$ , $C(0,\ 3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 구하시오.

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