경우의 수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

어떤 사건이 일어나는 가짓수가 경우의 수예요. 동시에 일어나지 않는 두 사건 중 하나가 일어나는 경우의 수는 더하고(

m+n

), 두 사건이 함께 일어나는 경우의 수는 곱해요(

m\times n

). 한 줄로 세우기, 수 만들기, 대표 뽑기는 자리를 하나씩 채우며 곱하여 구해요.

1사건과 경우의 수
2사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수
3사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수
4한 줄로 세우기
5수 만들기
6대표 뽑기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1사건과 경우의 수

주사위 한 개를 던지면 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ 의 눈 중 하나가 나와요.
이때 「짝수의 눈이 나온다」는 결과는 $2$ , $4$ , $6$ 의 세 가지로 일어나요.

정의사건과 경우의 수

같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 나타나는 결과를 사건이라 한다.
어떤 사건이 일어나는 가짓수를 그 사건이 일어나는 경우의 수 라 한다.

공식주사위 한 개를 던질 때

짝수의 눈

\displaystyle 2,\ 4,\ 6

경우의 수

3

소수의 눈

\displaystyle 2,\ 3,\ 5

경우의 수

3

(

1

은 소수가 아니다)

3

의 배수의 눈

\displaystyle 3,\ 6

경우의 수

2

7

이상의 눈

\displaystyle \text{없음}

경우의 수

0

학생

경우의 수는 그냥 하나씩 세면 되는 거예요?

쌤

가짓수가 적으면 그래도 돼요. 다만 빠뜨리거나 두 번 세기 쉬워서, 순서를 정해 차례대로 세는 습관이 중요해요.

성질빠짐없이, 중복 없이 세기

경우의 수를 셀 때는 모든 경우를 빠짐없이, 중복되지 않게 세어야 한다.
가짓수가 많으면 표나 나뭇가지 모양의 그림(수형도)을 그려 차례대로 나열한다.
공식으로 구한 답이 맞는지 의심스러우면 작은 수로 바꾸어 직접 나열해 보는 것이 가장 확실한 검산이다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 한 개를 던질 때 소수의 눈이 나오는 경우의 수는?

2사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수

성질합의 법칙

두 사건

A

B

가 동시에 일어나지 않을 때, 사건

A

가 일어나는 경우의 수가

m

, 사건

B

가 일어나는 경우의 수가

n

이면
(사건

A

또는 사건

B

가 일어나는 경우의 수)

=m+n

이것을 합의 법칙이라 한다. 문제에 「또는」, 「~이거나」가 있으면 대개 이 경우이다.

집에서 도서관까지 버스로 가는 방법이 $3$ 가지, 지하철로 가는 방법이 $2$ 가지 있어요.
버스와 지하철을 동시에 탈 수는 없으므로 도서관에 가는 방법은
$3+2=5$
따라서 $5$ 가지예요.

학생

두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 어떻게 해요?

쌤

그대로 더하면 겹치는 경우를 두 번 세게 돼요. 겹친 경우의 수를 한 번 빼야 해요.

예주사위의 눈

주사위 한 개를 던질 때

2

이하 또는

5

이상의 눈이 나오는 경우의 수를 구해 봐요.

2

이하의 눈은

1

2

의

2

가지

5

이상의 눈은

5

6

의

2

가지
두 사건은 동시에 일어나지 않으므로

2+2=4

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 한 개를 던질 때

1

의 눈 또는

4

이상의 눈이 나오는 경우의 수는?

두 사건이 동시에 일어날 수 있을 때

✗ 틀린 풀이

1

부터

10

까지의 카드에서

2

의 배수 또는

3

의 배수

5+3=8

왜 틀렸나 두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 두 번 센 경우의 수를 한 번 빼야 한다.

✓ 바른 풀이

6

은 두 번 세었으므로 한 번 뺀다.

5+3-1=7

2

의 배수

5

개와

3

의 배수

3

개에

6

이 모두 들어 있다.
검산:

2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10

을 직접 세면

7

개이다.

1

부터

10

까지

2

의 배수 또는

3

의 배수

A 는

2

의 배수, B 는

3

의 배수예요. 겹친

6

을 한 번만 세면

5+3-1=7

이에요.

자세히 보기펼치기예제그림

예두 주사위의 눈의 합

서로 다른 두 주사위를 던질 때 나오는 눈을 순서쌍 (첫째, 둘째) 로 나타내면 아래 표의

36

칸이에요.
눈의 합이

4

인 칸은

(1,\ 3),\ (2,\ 2),\ (3,\ 1)

의

3

가지
눈의 합이

7

인 칸은

(1,\ 6)

부터

(6,\ 1)

까지 대각선의

6

가지
두 경우는 동시에 일어나지 않으므로

3+6=9

두 주사위의 눈의 합 (가로: 둘째, 세로: 첫째)

$+$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

노란 칸이 합이

4

(

3

칸) 또는

7

(

6

칸)인 경우예요.

3사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수

성질곱의 법칙

사건

A

가 일어나는 경우의 수가

m

이고, 그 각각에 대하여 사건

B

가 일어나는 경우의 수가

n

이면
(사건

A

와 사건

B

가 동시에 일어나는 경우의 수)

=m\times n

이것을 곱의 법칙이라 한다. 「동시에」, 「잇달아」, 「~하고 ~한다」처럼 두 가지를 모두 정하는 경우이다.

$A$ 지점에서 $B$ 지점으로 가는 길이 $2$ 가지, $B$ 지점에서 $C$ 지점으로 가는 길이 $3$ 가지 있어요.

A

에서

B

를 거쳐

C

로 가는 방법

ⓐ

ⓑ

ⓒ

①

ⓐ

ⓑ

ⓒ

②

A

A\to B

A\to B

A\to B

길 하나마다

B\to C

길이

3

가지씩 있으므로

2\times3=6

(가지)예요.

학생

왜 더하지 않고 곱해요?

쌤

A\to B

길 하나를 고를 때마다

B\to C

길

3

가지가 똑같이 따라와요.

3

가지가

2

번 있으니

3+3=2\times3

이에요.

공식동전과 주사위를 던질 때

동전

2

개

\displaystyle 2\times2=4

(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)

동전

1

개, 주사위

1

개

\displaystyle 2\times6=12

주사위

2

개

\displaystyle 6\times6=36

동전

3

개

\displaystyle 2\times2\times2=8

세 사건 이상도 계속 곱한다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

서로 다른 주사위

2

개를 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는?

서로 다른 동전 두 개를 던질 때

✗ 틀린 풀이

(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 뒤)

3

가지

왜 틀렸나 서로 다른 두 동전은 각각

2

가지씩 나오므로 어느 동전이 앞면인지 구별하여

2\times2

로 센다.

✓ 바른 풀이

(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)

2\times2=4

가지

확인 방법: 두 동전에 「첫째」, 「둘째」 이름을 붙여 나열하면 빠뜨리지 않는다.

공식합의 법칙과 곱의 법칙 비교

합의 법칙

\displaystyle m+n

둘 중 하나만 일어난다(또는). 동시에 일어나지 않아야 한다.

곱의 법칙

\displaystyle m\times n

둘 다 일어난다(동시에, 잇달아). 하나를 정할 때마다 다른 하나의 가짓수가 같다.

자세히 보기펼치기그림

서로 다른 동전 두 개

앞

뒤

앞

뒤

첫째

첫째 동전

2

가지마다 둘째 동전

2

가지씩, 끝이

4

개예요.

4한 줄로 세우기

공식한 줄로 세우는 경우의 수

n

명 모두

\displaystyle n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1

4

명이면

4\times3\times2\times1=24

n

명 중

2

명

\displaystyle n\times(n-1)

5

명 중

2

명이면

5\times4=20

n

명 중

3

명

\displaystyle n\times(n-1)\times(n-2)

5

명 중

3

명이면

5\times4\times3=60

A

B

C

를 한 줄로 세우기

B\,C

C\,B

A

A\,C

C\,A

B

A\,B

B\,A

C

맨 앞

3

가지, 둘째 자리

2

가지, 셋째 자리

1

가지이므로 곱의 법칙으로

3\times2\times1=6

이에요.

학생

왜 한 자리를 채울 때마다

1

씩 줄여 곱해요?

쌤

앞자리에 선 사람은 다시 설 수 없기 때문이에요. 맨 앞에

3

명 중 한 명이 서면 다음 자리에는 남은

2

명만 올 수 있어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

5

명 중

3

명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수는?

5

명 중

2

명을 뽑아 한 줄로 세울 때

✗ 틀린 풀이

5\times5=25

왜 틀렸나 한 사람은 한 자리에만 설 수 있으므로 둘째 자리는 이미 선 사람을 빼고 골라야 한다.

✓ 바른 풀이

5\times4=20

확인 방법: 자리마다 고를 수 있는 사람 수를 차례로 쓴 뒤 곱한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

자리를 채우는 순서

1
자리 수만큼 빈칸 $\square\ \square\ \square$ 을 그려요.
2
조건이 있는 자리(맨 앞, 끝 등)부터 들어갈 수 있는 가짓수를 써요.
조건이 없으면 앞자리부터 써요.
3
나머지 자리를 앞에서 쓰고 남은 사람(또는 수)의 수로 채워요.
한 자리를 채울 때마다 $1$ 씩 줄어들어요.
4
각 칸의 수를 모두 곱해요.
곱의 법칙

예특정한 사람의 자리를 정할 때

A

B

C

D

네 명을 한 줄로 세울 때

A

가 맨 앞에 서는 경우의 수를 구해 봐요.

A

를 맨 앞에 고정하면 나머지

3

명을 한 줄로 세우면 돼요.

3\times2\times1=6

이웃하여 세울 때

A

와

B

가 이웃

(AB),\ C,\ D\ \to\ 3\times2\times1=6

↳◀

A

B

를 한 묶음으로

AB,\ BA\ \to\ 2

↳◀묶음 안에서 자리 바꾸기

6\times2=12

5수 만들기

$1$ , $2$ , $3$ , $4$ 가 하나씩 적힌 카드 $4$ 장으로 정수를 만들어 봐요.

카드

1,\ 2,\ 3,\ 4

로 수 만들기

\text{십의 자리}:\ 4\text{가지}

\text{일의 자리}:\ 3\text{가지}

↳◀십의 자리에 쓴 카드를 빼요

4\times3=12

↳◀두 자리 정수

4\times3\times2=24

↳◀세 자리 정수

학생

카드에

0

이 섞여 있으면 달라져요?

쌤

네.

0

은 맨 앞자리에 올 수 없어서 맨 앞자리부터

0

을 빼고 세야 해요.

⚠ 주의0 이 적힌 카드가 있을 때

0

은 맨 앞자리(가장 높은 자리)에 올 수 없어요.

012

는 세 자리 정수가 아니에요.

0

1

2

3

이 하나씩 적힌 카드

4

장에서 두 자리 정수를 만들 때
십의 자리에는

0

을 뺀

3

가지
일의 자리에는 십의 자리에 쓴 카드를 빼고

0

을 포함한

3

가지
따라서

3\times3=9

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

0,\ 1,\ 2

가 하나씩 적힌 카드

3

장 중

2

장으로 만들 수 있는 두 자리 정수의 개수는?

0,\ 1,\ 2,\ 3

으로 두 자리 정수 만들기

✗ 틀린 풀이

4\times3=12

왜 틀렸나 두 자리 정수의 십의 자리에는

0

이 올 수 없으므로 십의 자리부터 먼저 세어야 한다.

✓ 바른 풀이

3\times3=9

확인 방법: 십의 자리

3

가지, 일의 자리는 남은

3

가지이다.

10,\ 12,\ 13,\ 20,\ \cdots

처럼 직접 나열해

9

개를 확인할 수 있다.

자세히 보기펼치기예제

홀수 만들기

1,\ 2,\ 3,\ 4

에서 두 장

\text{일의 자리}:\ 1,\ 3\ \to\ 2\text{가지}

↳◀홀수는 일의 자리가 홀수 — 조건 있는 자리부터

\text{십의 자리}:\ 3\text{가지}

↳◀일의 자리 카드를 빼요

2\times3=6

6대표 뽑기

공식대표 뽑기

자격이 다른 대표

2

명

\displaystyle n\times(n-1)

회장·부회장처럼 뽑는 순서가 의미가 있다.

자격이 같은 대표

2

명

\displaystyle \frac{n\times(n-1)}{2}

A

B

와

B

A

가 같은 경우이다.

자격이 다른 대표

3

명

\displaystyle n\times(n-1)\times(n-2)

자격이 같은 대표

3

명

\displaystyle \frac{n\times(n-1)\times(n-2)}{3\times2\times1}

뽑힌

3

명을 한 줄로 세우는

6

가지가 같은 경우이다.

학생

자격이 같은 대표는 왜

2

로 나눠요?

쌤

n\times(n-1)

로 세면

AB

와

BA

를 다른 경우로 두 번 세요. 대표

2

명은 뽑힌 두 사람이 같으면 같은 경우라서

2

로 나눠요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

6

명 중 대표

2

명을 뽑는 경우의 수는?

4

명 중 대표

2

명을 뽑을 때

✗ 틀린 풀이

4\times3=12

왜 틀렸나 대표처럼 자격이 같은 사람을 뽑을 때는 순서가 의미 없으므로 한 줄로 세우는 수를

2

로 나눈다.

✓ 바른 풀이

\frac{4\times3}{2}=6

대표

2

명은 자격이 같으므로

AB

와

BA

가 같은 경우예요.
직접 나열하면

AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD

의

6

가지예요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ 다섯 명 중에서 회장 $1$ 명, 부회장 $1$ 명을 뽑아 봐요.
회장을 먼저 뽑고, 회장을 뺀 나머지에서 부회장을 뽑으면
$5\times4=20$
이것은 $5$ 명 중 $2$ 명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수와 같아요.

이번에는 다섯 명 중에서 자격이 같은 대표 $2$ 명을 뽑아 봐요.
(회장 $A$ , 부회장 $B$ ) 와 (회장 $B$ , 부회장 $A$ ) 는 다른 경우였지만, 대표 $2$ 명으로 뽑을 때는 둘 다 $A$ , $B$ 가 뽑힌 같은 경우예요.
이렇게 같은 경우가 $2\times1=2$ 번씩 세어졌으므로
$\frac{5\times4}{2}=10$

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰의 결과를 사건이라 하고, 어떤 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라 한다.
2두 사건 $A$ , $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, $A$ 또는 $B$ 가 일어나는 경우의 수는 $m+n$ 이다.
3사건 $A$ 와 사건 $B$ 가 동시에(잇달아) 일어나는 경우의 수는 $m\times n$ 이다.
4 $n$ 명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 $n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$ 이고, 자격이 같은 대표를 뽑을 때는 순서가 바뀐 것끼리 같으므로 나누어 준다.

✗ 자주 하는 실수

서로 다른 동전 두 개를 던질 때 (앞, 뒤) 와 (뒤, 앞) 을 같은 경우로 보아 $3$ 가지로 세요.
$0$ 이 적힌 카드로 정수를 만들 때 $0$ 이 맨 앞자리에 오는 경우까지 세요.
자격이 같은 대표를 뽑을 때 회장·부회장처럼 순서를 따져 $n\times(n-1)$ 로 세요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
동전 한 개와 서로 다른 주사위 두 개를 동시에 던질 때, 다음을 구하시오.
(1) 일어나는 모든 경우의 수
(2) 동전은 앞면이 나오고 두 주사위는 같은 눈이 나오는 경우의 수
예제 2
$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 가 하나씩 적힌 카드 $5$ 장 중 세 장을 뽑아 세 자리 정수를 만들 때, 다음을 구하시오.
(1) 세 자리 정수의 개수
(2) 세 자리 정수 중 짝수의 개수
예제 3
학생 $6$ 명 중에서 다음과 같이 뽑는 경우의 수를 구하시오.
(1) 회장 $1$ 명, 부회장 $1$ 명
(2) 대표 $2$ 명
(3) 회장 $1$ 명과, 회장을 제외한 대표 $2$ 명

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설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 좌표평면과 그래프, 공통수학1 순열 (나중에), 공통수학1 조합 (나중에)중학교 2학년 목차

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