정의 이차부등식
부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때a x 2 + b x + c > 0 , a x 2 + b x + c < 0 , a x 2 + b x + c ≥ 0 , a x 2 + b x + c ≤ 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c<0,\quad ax^2+bx+c\ge0,\quad ax^2+bx+c\le0\ (a\ne0) a x 2 + b x + c > 0 , a x 2 + b x + c < 0 , a x 2 + b x + c ≥ 0 , a x 2 + b x + c ≤ 0 ( a = 0 ) x x x 이차부등식 이라 한다. 부등식을 참이 되게 하는 x x x 성질 이차부등식의 해와 그래프
f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x x x x x x f ( x ) < 0 f(x)<0 f ( x ) < 0 x x x 아래쪽 에 있는 x x x f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 학생 f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 쌤 그래프 위의 점 ( x , f ( x ) ) (x,\ f(x)) ( x , f ( x )) f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 y y y x x x
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
아래로 볼록한 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x = 1 , 4 x=1,\ 4 x = 1 , 4 x x x f ( x ) < 0 f(x)<0 f ( x ) < 0 1 < x < 4 1<x<4 1 < x < 4 x < 1 x<1 x < 1 x > 4 x>4 x > 4 1 ≤ x ≤ 4 1\le x\le4 1 ≤ x ≤ 4 + 펼치기 접기 왜 그런지 왜 그런가: 그래프 위의 점 ( x , f ( x ) ) (x,\ f(x)) ( x , f ( x )) f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 y y y x x x
x x x x = α , x = β x=\alpha,\ x=\beta x = α , x = β α < β \alpha<\beta α < β a ( x − α ) ( x − β ) > 0 ⟺ x < α 또는 x > β \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)>0 \iff x<\alpha \text{ 또는 } x>\beta a ( x − α ) ( x − β ) > 0 ⟺ x < α 또는 x > β 두 근의 바깥쪽
왜? 이유 보기
a ( x − α ) ( x − β ) ≥ 0 ⟺ x ≤ α 또는 x ≥ β \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)\ge0 \iff x\le\alpha \text{ 또는 } x\ge\beta a ( x − α ) ( x − β ) ≥ 0 ⟺ x ≤ α 또는 x ≥ β 왜? 이유 보기
a ( x − α ) ( x − β ) < 0 ⟺ α < x < β \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)<0 \iff \alpha<x<\beta a ( x − α ) ( x − β ) < 0 ⟺ α < x < β 두 근 사이
왜? 이유 보기
a ( x − α ) ( x − β ) ≤ 0 ⟺ α ≤ x ≤ β \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)\le0 \iff \alpha\le x\le\beta a ( x − α ) ( x − β ) ≤ 0 ⟺ α ≤ x ≤ β 왜? 이유 보기
성질 틀로 외우기
( x − □ ) ( x − △ ) (x-□)(x-△) ( x − □ ) ( x − △ ) □ < △ □<△ □ < △ 「작다(< 0 <0 < 0 > 0 >0 > 0 ( x − □ ) ( x − △ ) < 0 (x-□)(x-△)<0 ( x − □ ) ( x − △ ) < 0 사이 인 □ < x < △ □<x<△ □ < x < △ ( x − □ ) ( x − △ ) > 0 (x-□)(x-△)>0 ( x − □ ) ( x − △ ) > 0 x < □ x<□ x < □ x > △ x>△ x > △ ≤ \le ≤ ≥ \ge ≥ x 2 x^2 x 2 학생 D > 0 D>0 D > 0 쌤 아니에요. D = 0 D=0 D = 0 D < 0 D<0 D < 0 x x x D > 0 D>0 D > 0 x 2 − x − 6 < 0 x^2-x-6<0 x 2 − x − 6 < 0 x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 ) x^2-x-6=(x+2)(x-3) x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 ) x 2 − x − 6 < 0 ⇒ − 2 < x < 3 x^2-x-6<0\ \Rightarrow\ -2<x<3 x 2 − x − 6 < 0 ⇒ − 2 < x < 3 ↳ ◀ 작다는 사이
x 2 − x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 2 또는 x ≥ 3 x^2-x-6\ge0\ \Rightarrow\ x\le-2\ \text{또는}\ x\ge3 x 2 − x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 2 또는 x ≥ 3 ↳ ◀ 크다는 바깥
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x 2 − 2 x − 8 ≥ 0 x^2-2x-8\ge0 x 2 − 2 x − 8 ≥ 0 − 2 ≤ x ≤ 4 -2\le x\le4 − 2 ≤ x ≤ 4 x ≤ − 2 x\le-2 x ≤ − 2 x ≥ 4 x\ge4 x ≥ 4 x ≤ − 4 x\le-4 x ≤ − 4 x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2
+ 펼치기 접기 왜 그런지 공식 더 보기 예제 3 x 2 x^2 x 2 a a a 아래로 볼록 해요. 이차방정식 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 D = b 2 − 4 a c D=b^2-4ac D = b 2 − 4 a c D D D x x x 위치 관계 가 정해지고 해도 정해져요.a > 0 a>0 a > 0
이전 개념 x = α x=\alpha x = α x x x a ( x − α ) 2 > 0 ⟺ x ≠ α \displaystyle a(x-\alpha)^2>0 \iff x\ne\alpha a ( x − α ) 2 > 0 ⟺ x = α x = α x=\alpha x = α 0 0 0 a ( x − α ) 2 ≥ 0 ⟺ 모든 실수 \displaystyle a(x-\alpha)^2\ge0 \iff \text{모든 실수} a ( x − α ) 2 ≥ 0 ⟺ 모든 실수 왜? 이유 보기
a ( x − α ) 2 < 0 ⟺ 해는 없다 \displaystyle a(x-\alpha)^2<0 \iff \text{해는 없다} a ( x − α ) 2 < 0 ⟺ 해는 없다 왜? 이유 보기
a ( x − α ) 2 ≤ 0 ⟺ x = α \displaystyle a(x-\alpha)^2\le0 \iff x=\alpha a ( x − α ) 2 ≤ 0 ⟺ x = α 왜? 이유 보기
x x x x x x a x 2 + b x + c > 0 ⟺ 모든 실수 \displaystyle ax^2+bx+c>0 \iff \text{모든 실수} a x 2 + b x + c > 0 ⟺ 모든 실수 왜? 이유 보기
a x 2 + b x + c < 0 ⟺ 해는 없다 \displaystyle ax^2+bx+c<0 \iff \text{해는 없다} a x 2 + b x + c < 0 ⟺ 해는 없다 왜? 이유 보기
계수가 바뀐 경우 2 x 2 + x − 3 ≥ 0 2x^2+x-3\ge0 2 x 2 + x − 3 ≥ 0 2 x 2 + x − 3 = ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1) 2 x 2 + x − 3 = ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) ↳ ◀ 인수분해
x = − 3 2 , x = 1 x=-\frac32,\ \ x=1 x = − 2 3 , x = 1 ↳ ◀ 두 근
x ≤ − 3 2 또는 x ≥ 1 x\le-\frac32\ \text{또는}\ x\ge1 x ≤ − 2 3 또는 x ≥ 1 ↳ ◀ 크다는 바깥, 경계 포함
x 2 x^2 x 2 의 계수
2 2 2 가 양수이므로 틀을 그대로 써요.
근은
2 x + 3 = 0 2x+3=0 2 x + 3 = 0 에서
x = − 3 2 x=-\frac32 x = − 2 3 이에요.
x = − 3 x=-3 x = − 3 으로 읽지 않아요.
D = 0 D=0 D = 0 x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 x^2-6x+9=(x-3)^2 x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 ( x − 3 ) 2 > 0 (x-3)^2>0 ( x − 3 ) 2 > 0 ( x − 3 ) 2 ≥ 0 (x-3)^2\ge0 ( x − 3 ) 2 ≥ 0 ↳ ◀ 모든 실수
( x − 3 ) 2 < 0 (x-3)^2<0 ( x − 3 ) 2 < 0 ↳ ◀ 해는 없어요
( x − 3 ) 2 ≤ 0 (x-3)^2\le0 ( x − 3 ) 2 ≤ 0 그래프가
x = 3 x=3 x = 3 에서
x x x 축에 접하고, 나머지 모든 점에서는
x x x 축 위쪽이에요.
( x − 3 ) 2 > 0 (x-3)^2>0 ( x − 3 ) 2 > 0 0 1 2 3 4 5 6 접점
x = 3 x=3 x = 3 에서만
( x − 3 ) 2 = 0 (x-3)^2=0 ( x − 3 ) 2 = 0 이라 그 점 하나만 빠져요(○). 나머지 실수는 모두 해예요.
D 4 = 1 − 3 = − 2 < 0 \frac{D}{4}=1-3=-2<0 4 D = 1 − 3 = − 2 < 0 x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge2 x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 ↳ ◀ 항상 양수
x 2 + 2 x + 3 > 0 x^2+2x+3>0 x 2 + 2 x + 3 > 0 ↳ ◀ 모든 실수
x 2 + 2 x + 3 < 0 x^2+2x+3<0 x 2 + 2 x + 3 < 0 ↳ ◀ 해는 없어요
근이 무리수여도 방법은 같아요.x 2 − 2 x − 1 < 0 x^2-2x-1<0 x 2 − 2 x − 1 < 0 근의 공식 으로 x 2 − 2 x − 1 = 0 x^2-2x-1=0 x 2 − 2 x − 1 = 0 x = 1 ± 2 x=1\pm\sqrt2 x = 1 ± 2 1 − 2 < x < 1 + 2 1-\sqrt2<x<1+\sqrt2 1 − 2 < x < 1 + 2
이전 개념 이차부등식을 풀 때는 먼저 모든 항을 좌변으로 옮기고, x 2 x^2 x 2 − 1 -1 − 1
− x 2 + x + 6 > 0 -x^2+x+6>0 − x 2 + x + 6 > 0 x 2 − x − 6 < 0 x^2-x-6<0 x 2 − x − 6 < 0 ( x + 2 ) ( x − 3 ) < 0 (x+2)(x-3)<0 ( x + 2 ) ( x − 3 ) < 0 ↳ ◀ 인수분해
검산: 해 안의
x = 0 x=0 x = 0 이면
6 > 0 6>0 6 > 0 으로 참, 해 밖의
x = 4 x=4 x = 4 이면
− 6 > 0 -6>0 − 6 > 0 으로 거짓이에요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
− x 2 + 4 x − 3 > 0 -x^2+4x-3>0 − x 2 + 4 x − 3 > 0 x < 1 x<1 x < 1 x > 3 x>3 x > 3 − 3 < x < − 1 -3<x<-1 − 3 < x < − 1 1 < x < 3 1<x<3 1 < x < 3 ✗ 틀린 풀이
− x 2 + x + 6 > 0 -x^2+x+6>0 − x 2 + x + 6 > 0 ( x + 2 ) ( x − 3 ) > 0 (x+2)(x-3)>0 ( x + 2 ) ( x − 3 ) > 0 x < − 2 x<-2 x < − 2 x > 3 x>3 x > 3 왜 틀렸나 x 2 x^2 x 2 − 1 -1 − 1 ↓ ✓ 바른 풀이
− x 2 + x + 6 > 0 -x^2+x+6>0 − x 2 + x + 6 > 0 − 1 -1 − 1 x 2 − x − 6 < 0 x^2-x-6<0 x 2 − x − 6 < 0 − 2 < x < 3 -2<x<3 − 2 < x < 3 확인: x = 0 x=0 x = 0 6 > 0 6>0 6 > 0 0 0 0 − 2 < x < 3 -2<x<3 − 2 < x < 3 ✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 x 2 < 4 x^2<4 x 2 < 4 ( x + 2 ) ( x − 2 ) < 0 (x+2)(x-2)<0 ( x + 2 ) ( x − 2 ) < 0 ↓ ✓ 바른 풀이
x 2 − 4 < 0 x^2-4<0 x 2 − 4 < 0 ( x + 2 ) ( x − 2 ) < 0 (x+2)(x-2)<0 ( x + 2 ) ( x − 2 ) < 0 − 2 < x < 2 -2<x<2 − 2 < x < 2 확인: x = − 3 x=-3 x = − 3 9 < 4 9<4 9 < 4 − 2 -2 − 2 2 2 2 ✗ 틀린 풀이
x 2 > 3 x x^2>3x x 2 > 3 x x x x x > 3 x>3 x > 3 왜 틀렸나 x x x x x x ↓ ✓ 바른 풀이
x 2 − 3 x > 0 x^2-3x>0 x 2 − 3 x > 0 x ( x − 3 ) > 0 x(x-3)>0 x ( x − 3 ) > 0 x < 0 x<0 x < 0 x > 3 x>3 x > 3 x x x x = 0 x=0 x = 0 x = − 1 x=-1 x = − 1 1 > − 3 1>-3 1 > − 3 ✗ 틀린 풀이
( x − 1 ) 2 > 0 (x-1)^2>0 ( x − 1 ) 2 > 0 왜 틀렸나 ( x − 1 ) 2 (x-1)^2 ( x − 1 ) 2 x = 1 x=1 x = 1 0 0 0 ( x − 1 ) 2 > 0 (x-1)^2>0 ( x − 1 ) 2 > 0 x = 1 x=1 x = 1 ↓ ✓ 바른 풀이
( x − 1 ) 2 > 0 (x-1)^2>0 ( x − 1 ) 2 > 0 x ≠ 1 x\ne1 x = 1 ( x − 1 ) 2 ≥ 0 (x-1)^2\ge0 ( x − 1 ) 2 ≥ 0 ( x − 1 ) 2 > 0 (x-1)^2>0 ( x − 1 ) 2 > 0 x ≠ 1 x\ne1 x = 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 이차부등식 풀기
1 x 2 > 3 x x^2>3x x 2 > 3 x x x x x x x 2 3 인수분해가 되면 인수분해, 안 되면 근의 공식. 판별식으로 근이 몇 개인지 먼저 볼 수도 있어요.
4 틀(작다는 사이, 크다는 바깥)이나 판별식 표로 해를 써요.
등호가 있으면 경계를 넣어요.
5 검산: 해 안의 값 하나, 밖의 값 하나를 처음 부등식에 넣어 봐요.
안의 값은 참, 밖의 값은 거짓이어야 해요.
− x 2 + x + 6 > 0 -x^2+x+6>0 − x 2 + x + 6 > 0 x 2 x^2 x 2 − 1 -1 − 1 인수분해 해요.
이전 개념 공식 해 → 이차부등식 (x 2 x^2 x 2 1 1 1 두 근 사이
α < x < β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) < 0 \displaystyle \alpha<x<\beta \iff (x-\alpha)(x-\beta)<0 α < x < β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) < 0 전개하면 x 2 − ( α + β ) x + α β < 0 x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta<0 x 2 − ( α + β ) x + α β < 0 두 근 바깥
x < α 또는 x > β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) > 0 \displaystyle x<\alpha \text{ 또는 } x>\beta \iff (x-\alpha)(x-\beta)>0 x < α 또는 x > β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) > 0 전개하면 x 2 − ( α + β ) x + α β > 0 x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta>0 x 2 − ( α + β ) x + α β > 0 등호 포함
α ≤ x ≤ β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) ≤ 0 \displaystyle \alpha\le x\le\beta \iff (x-\alpha)(x-\beta)\le0 α ≤ x ≤ β ⟺ ( x − α ) ( x − β ) ≤ 0 학생 x 2 x^2 x 2 1 1 1 쌤 돼요. 양변에 양수 a a a a ( x − α ) ( x − β ) < 0 a(x-\alpha)(x-\beta)<0 a ( x − α ) ( x − β ) < 0 a > 0 a>0 a > 0 해가 1 < x < 4 1<x<4 1 < x < 4 ( x − 1 ) ( x − 4 ) < 0 (x-1)(x-4)<0 ( x − 1 ) ( x − 4 ) < 0 x 2 − 5 x + 4 < 0 x^2-5x+4<0 x 2 − 5 x + 4 < 0 ↳ ◀ 전개해요
해가
x < 1 x<1 x < 1 또는
x > 4 x>4 x > 4 이면 부등호만 바뀐
x 2 − 5 x + 4 > 0 x^2-5x+4>0 x 2 − 5 x + 4 > 0 이에요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
해가 − 1 < x < 3 -1<x<3 − 1 < x < 3 x 2 x^2 x 2 1 1 1 x 2 − 2 x − 3 < 0 x^2-2x-3<0 x 2 − 2 x − 3 < 0 x 2 − 2 x − 3 > 0 x^2-2x-3>0 x 2 − 2 x − 3 > 0 x 2 + 2 x − 3 < 0 x^2+2x-3<0 x 2 + 2 x − 3 < 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 성질 더 보기 예제 거꾸로, 해를 보고 이차부등식을 만들 수 있어요. 위의 틀을 반대 방향으로 읽으면 돼요. 두 수를 근으로 하는 이차방정식 을 만드는 것과 같아요.
이전 개념 해가 α < x < β \alpha<x<\beta α < x < β a x 2 + b x + c > 0 ax^2+bx+c>0 a x 2 + b x + c > 0 − 1 -1 − 1 < 0 <0 < 0 x 2 x^2 x 2 a < 0 a<0 a < 0 a x 2 + b x + c > 0 ax^2+bx+c>0 a x 2 + b x + c > 0 a ( x − α ) ( x − β ) > 0 a(x-\alpha)(x-\beta)>0 a ( x − α ) ( x − β ) > 0 a x 2 + b x + c = a ( x − α ) ( x − β ) ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) a x 2 + b x + c = a ( x − α ) ( x − β ) a x 2 + b x + 6 > 0 ax^2+bx+6>0 a x 2 + b x + 6 > 0 − 2 < x < 3 -2<x<3 − 2 < x < 3 a , b a,\ b a , b a x 2 + b x + 6 = a ( x + 2 ) ( x − 3 ) = a x 2 − a x − 6 a ax^2+bx+6=a(x+2)(x-3)=ax^2-ax-6a a x 2 + b x + 6 = a ( x + 2 ) ( x − 3 ) = a x 2 − a x − 6 a − 6 a = 6 ⇒ a = − 1 -6a=6\ \Rightarrow\ a=-1 − 6 a = 6 ⇒ a = − 1 ↳ ◀ 상수항 비교
그래프가 위로 볼록해야 두 근 사이에서
x x x 축 위쪽에 있어요.
검산:
− x 2 + x + 6 > 0 -x^2+x+6>0 − x 2 + x + 6 > 0 에
− 1 -1 − 1 을 곱하면
x 2 − x − 6 < 0 x^2-x-6<0 x 2 − x − 6 < 0 , 해는
− 2 < x < 3 -2<x<3 − 2 < x < 3 ✓
공식 모든 실수 x x x a ≠ 0 a\ne0 a = 0 D = b 2 − 4 a c D=b^2-4ac D = b 2 − 4 a c a x 2 + b x + c > 0 ⟺ a > 0 , D < 0 \displaystyle ax^2+bx+c>0 \iff a>0,\ D<0 a x 2 + b x + c > 0 ⟺ a > 0 , D < 0 왜? 이유 보기
a x 2 + b x + c ≥ 0 ⟺ a > 0 , D ≤ 0 \displaystyle ax^2+bx+c\ge0 \iff a>0,\ D\le0 a x 2 + b x + c ≥ 0 ⟺ a > 0 , D ≤ 0 왜? 이유 보기
a x 2 + b x + c < 0 ⟺ a < 0 , D < 0 \displaystyle ax^2+bx+c<0 \iff a<0,\ D<0 a x 2 + b x + c < 0 ⟺ a < 0 , D < 0 왜? 이유 보기
a x 2 + b x + c ≤ 0 ⟺ a < 0 , D ≤ 0 \displaystyle ax^2+bx+c\le0 \iff a<0,\ D\le0 a x 2 + b x + c ≤ 0 ⟺ a < 0 , D ≤ 0 왜? 이유 보기
「모든 실수 x x x a x 2 + b x + c > 0 ax^2+bx+c>0 a x 2 + b x + c > 0 모든 실수 라는 뜻이에요.
학생 왜 a > 0 a>0 a > 0 D < 0 D<0 D < 0 쌤 그래프 전체가 x x x x x x D ≤ 0 D\le0 D ≤ 0 항상 성립 x 2 + 2 k x + k + 2 > 0 x^2+2kx+k+2>0 x 2 + 2 k x + k + 2 > 0 D 4 = k 2 − ( k + 2 ) < 0 \frac{D}{4}=k^2-(k+2)<0 4 D = k 2 − ( k + 2 ) < 0 ( k + 1 ) ( k − 2 ) < 0 (k+1)(k-2)<0 ( k + 1 ) ( k − 2 ) < 0 ↳ ◀ 인수분해
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
모든 실수 x x x x 2 + 4 x + k > 0 x^2+4x+k>0 x 2 + 4 x + k > 0 k ≥ 4 k\ge4 k ≥ 4 k > 4 k>4 k > 4 k < 4 k<4 k < 4 해가 없을 조건의 등호
✗ 틀린 풀이
x 2 − 4 x + k < 0 x^2-4x+k<0 x 2 − 4 x + k < 0 D 4 = 4 − k < 0 \frac{D}{4}=4-k<0 4 D = 4 − k < 0 k > 4 k>4 k > 4 왜 틀렸나 D = 0 D=0 D = 0 f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < 0 f(x)<0 f ( x ) < 0 ↓ ✓ 바른 풀이
x 2 − 4 x + k < 0 x^2-4x+k<0 x 2 − 4 x + k < 0 D 4 = 4 − k ≤ 0 \frac{D}{4}=4-k\le0 4 D = 4 − k ≤ 0 k ≥ 4 k\ge4 k ≥ 4 확인: k = 4 k=4 k = 4 ( x − 2 ) 2 < 0 (x-2)^2<0 ( x − 2 ) 2 < 0 ⚠ 주의 x 2 x^2 x 2 「모든 실수 x x x k x 2 + 2 x + 1 > 0 kx^2+2x+1>0 k x 2 + 2 x + 1 > 0 x 2 x^2 x 2 k = 0 k=0 k = 0 k = 0 k=0 k = 0 2 x + 1 > 0 2x+1>0 2 x + 1 > 0 x > − 1 2 x>-\frac12 x > − 2 1 k ≠ 0 k\ne0 k = 0 k > 0 k>0 k > 0 D < 0 D<0 D < 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 성질 더 보기 예제 이렇게 x x x 절대부등식 이라고 해요.
이전 개념 성질 해가 없을 조건은 「반대 부등식이 항상 성립」
a x 2 + b x + c < 0 ax^2+bx+c<0 a x 2 + b x + c < 0 x x x a x 2 + b x + c ≥ 0 ax^2+bx+c\ge0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a > 0 , D ≤ 0 a>0,\ D\le0 a > 0 , D ≤ 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 ax^2+bx+c\le0 a x 2 + b x + c ≤ 0 x x x a x 2 + b x + c > 0 ax^2+bx+c>0 a x 2 + b x + c > 0 a > 0 , D < 0 a>0,\ D<0 a > 0 , D < 0 해가 없을 조건 x 2 − 4 x + k < 0 x^2-4x+k<0 x 2 − 4 x + k < 0 D 4 = 4 − k ≤ 0 \frac{D}{4}=4-k\le0 4 D = 4 − k ≤ 0 ↳ ◀ 모든 x x x x 2 − 4 x + k ≥ 0 x^2-4x+k\ge0 x 2 − 4 x + k ≥ 0 k = 4 k=4 k = 4 이면
( x − 2 ) 2 < 0 (x-2)^2<0 ( x − 2 ) 2 < 0 이 되어 정말로 해가 없어요. 그래서 등호가 들어가요.
공식 f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + b x + c a > 0 a>0 a > 0 그래프와 x 축의 교점의 x 좌표 \displaystyle \text{그래프와 }x\text{축의 교점의 }x\text{좌표} 그래프와 x 축의 교점의 x 좌표 이차방정식의 실근. 부등식 해의 경계가 된다.
그래프가 x 축보다 위쪽인 x 의 범위 \displaystyle \text{그래프가 }x\text{축보다 위쪽인 }x\text{의 범위} 그래프가 x 축보다 위쪽인 x 의 범위 왜? 이유 보기
그래프가 x 축보다 아래쪽인 x 의 범위 \displaystyle \text{그래프가 }x\text{축보다 아래쪽인 }x\text{의 범위} 그래프가 x 축보다 아래쪽인 x 의 범위 왜? 이유 보기
D > 0 , D = 0 , D < 0 \displaystyle D>0,\ D=0,\ D<0 D > 0 , D = 0 , D < 0 교점 2개, 접점 1개, 만나지 않음. 해의 모양을 정한다.
학생 이차방정식과 이차부등식은 어떻게 연결돼요?
쌤 방정식 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 x x x f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 f ( x ) < 0 f(x)<0 f ( x ) < 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
f ( x ) = x 2 − 1 f(x)=x^2-1 f ( x ) = x 2 − 1 f ( x ) ≤ 0 f(x)\le0 f ( x ) ≤ 0 x ≤ − 1 x\le-1 x ≤ − 1 x ≥ 1 x\ge1 x ≥ 1 x ≤ 1 x\le1 x ≤ 1 − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le1 − 1 ≤ x ≤ 1