수학 개념 노트전체 과목

절대부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 하고, 차가 제곱 꼴임을 보여 증명해요. a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때 a+b2≥ab\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}, 실수에서 (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2 이며, 최댓값·최솟값을 구할 때는 등호가 실제로 성립하는지 확인해요.
  1. 1절대부등식의 뜻
  2. 2부등식의 증명에 쓰는 실수의 성질
  3. 3기본 절대부등식의 증명
  4. 4산술평균과 기하평균의 관계
  5. 5코시-슈바르츠 부등식
  6. 6나란히 비교하기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1절대부등식의 뜻

정의절대부등식
부등식의 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다.
예: x2+1>0x^2+1>0
예: (a−b)2≥0(a-b)^2\ge 0
2x−1>02x-1>0 처럼 특정한 값에서만 성립하는 부등식은 절대부등식이 아니다.
예절대부등식인지 판별하기
x2−2x+1≥0x^2-2x+1\ge 0
좌변이 (x−1)2(x-1)^2 이므로 절대부등식이에요.
x2−2x+1>0x^2-2x+1>0
x=1x=1 이면 좌변이 00 이므로 절대부등식이 아니에요.
x2+x+1>0x^2+x+1>0
좌변이 (x+12)2+34\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} 이므로 절대부등식이에요.
학생
등호가 있고 없고가 왜 중요해요?
쌤
x2−2x+1x^2-2x+1 은 x=1x=1 에서 00 이 돼요. 그래서 ≥0\ge0 은 항상 성립하지만 >0>0 은 x=1x=1 에서 성립하지 않아 절대부등식이 아니에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 절대부등식인 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

절대부등식이 성립함을 보이는 것을 「부등식을 증명한다」고 해요. 특별한 말이 없으면 문자는 실수예요.
「모든 실수에 대하여 성립한다」는 「모든」이 들어 있는 명제가 참이라는 뜻이에요.

2부등식의 증명에 쓰는 실수의 성질

부등식 A≥BA\ge B 를 증명하는 기본 방법은 두 식의 차 A−BA-B 를 계산하여 00 이상임을 보이는 거예요. 차를 「(완전제곱식)++(양수)」 꼴이나 제곱의 합으로 바꾸면 00 이상임이 드러나요.

공식실수의 성질 (a, ba,\ b 는 실수)
대소와 차
a>b  ⟺  a−b>0\displaystyle a>b\iff a-b>0
제곱
a2≥0\displaystyle a^2\ge 0
등호는 a=0a=0 일 때
제곱의 합
a2+b2≥0\displaystyle a^2+b^2\ge 0
등호는 a=0, b=0a=0,\ b=0 일 때. 곧 a2+b2=0  ⟺  a=0, b=0a^2+b^2=0\iff a=0,\ b=0
절댓값
∣a∣≥a,∣a∣2=a2,∣ab∣=∣a∣∣b∣\displaystyle |a|\ge a,\quad |a|^2=a^2,\quad |ab|=|a||b|
양수의 대소
a>0, b>0 일 때 a>b  ⟺  a2>b2  ⟺  a>b\displaystyle a>0,\ b>0\ \text{일 때}\ a>b\iff a^2>b^2\iff\sqrt{a}>\sqrt{b}
학생
차가 00 이상인 걸 보이면 왜 A≥BA\ge B 가 증명돼요?
쌤
두 실수의 대소는 차의 부호로 정해지기 때문이에요. A−B≥0A-B\ge0 이면 AA 가 BB 보다 크거나 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a>ba>b 와 같은 뜻인 것은? (a, ba,\ b 는 실수)
양변을 제곱하여 비교할 때
✗ 틀린 풀이
a<ba<b 이면 a2<b2a^2<b^2
왜 틀렸나 부등식의 양변을 제곱하여 비교할 수 있는 것은 양변이 모두 00 이상일 때뿐이다.
✓ 바른 풀이
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때
a<ba<b 이면 a2<b2a^2<b^2
확인 방법: 제곱하기 전에 양변의 부호를 먼저 확인한다. 음수가 섞여 있으면 절댓값끼리 비교한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
부등식을 증명하는 순서
  1. 1
    차 A−BA-B 를 계산해요.
    근호나 절댓값이 있고 A≥0, B≥0A\ge 0,\ B\ge 0 이면 제곱의 차 A2−B2A^2-B^2 을 계산해요.
  2. 2
    완전제곱식이나 제곱의 합으로 변형해요.
  3. 3
    00 이상임을 말하고, 등호가 성립하는 조건을 찾아요.
    제곱이 모두 00 이 되는 경우가 등호 조건이에요.

3기본 절대부등식의 증명

차 a2+b2−2aba^2+b^2-2ab 를 완전제곱식으로 바꾸면 (a−b)2(a-b)^2 이고, 제곱은 00 이상이에요. 그래서 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab 가 성립해요.

a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab
a2+b2−2aba^2+b^2-2ab
↳차를 계산해요
=(a−b)2=(a-b)^2
↳완전제곱식
≥0\ge 0
↳제곱은 00 이상
따라서 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab 이고, 등호는 a−b=0a-b=0, 곧 a=ba=b 일 때 성립해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab 에서 등호가 성립하는 조건은?
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
a2+b2≥aba^2+b^2\ge ab
a2+b2−aba^2+b^2-ab
↳차를 계산해요
=(a−b2)2+34b2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2
↳aa 에 대해 완전제곱식
≥0\ge 0
↳두 항 모두 00 이상
등호는 a−b2=0a-\frac{b}{2}=0 이고 b=0b=0, 곧 a=b=0a=b=0 일 때 성립해요(두 제곱이 동시에 00).
a2+b2+c2≥ab+bc+caa^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca
  1. 1
    차에 22 를 곱하면
    2(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
    22 를 곱해야 세 개의 완전제곱식으로 나뉘어요.
  2. 2
    우변은 00 이상이므로 부등식이 성립해요.
    등호는 a=b=ca=b=c 일 때 성립해요.

절댓값이 있으면 차를 바로 정리하기 어려워요. 양변이 모두 00 이상이므로 제곱해서 비교해요.
위 표의 「양수의 대소」처럼 00 이상인 두 수는 제곱의 대소가 원래 대소와 같아요.

∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣|a|+|b|\ge |a+b|
(∣a∣+∣b∣)2=a2+2∣ab∣+b2(|a|+|b|)^2=a^2+2|ab|+b^2
↳∣a∣2=a2|a|^2=a^2, ∣a∣∣b∣=∣ab∣|a||b|=|ab|
∣a+b∣2=a2+2ab+b2|a+b|^2=a^2+2ab+b^2
↳∣a+b∣2=(a+b)2|a+b|^2=(a+b)^2
(∣a∣+∣b∣)2−∣a+b∣2=2(∣ab∣−ab)(|a|+|b|)^2-|a+b|^2=2(|ab|-ab)
↳두 식을 빼요
2(∣ab∣−ab)≥02(|ab|-ab)\ge 0
↳∣ab∣≥ab|ab|\ge ab
양변이 00 이상이라 제곱의 대소가 곧 원래 대소예요. 등호는 ∣ab∣=ab|ab|=ab, 곧 ab≥0ab\ge 0 일 때 성립해요.
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때 a+b>a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}
  1. 1
    (a+b)2−(a+b)2=a+2ab+b−(a+b)=2ab>0(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}>0
  2. 2
    양변이 양수이므로
    a+b>a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}
    양수끼리는 제곱의 대소와 원래 대소가 같아요.

4산술평균과 기하평균의 관계

성질산술평균과 기하평균의 관계
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때
a+b2≥ab\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}
등호는 a=ba=b 일 때 성립한다.
a+b2\frac{a+b}{2} 를 산술평균, ab\sqrt{ab} 를 기하평균이라 한다.

최댓값·최솟값을 구할 때는 양변에 22 를 곱한 a+b≥2aba+b\ge 2\sqrt{ab} 꼴을 주로 써요. 이 부등식은 두 수가 모두 양수 일 때만 쓸 수 있고, 등호는 두 수가 같을 때 성립해요.

공식최댓값·최솟값에 쓰는 두 가지 꼴 (a>0, b>0a>0,\ b>0)
곱이 일정할 때
a+b≥2ab\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{ab}
합 a+ba+b 의 최솟값은 2ab2\sqrt{ab}
합이 일정할 때
ab≤(a+b2)2\displaystyle ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2
곱 abab 의 최댓값은 (a+b2)2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2
예
x>0x>0 일 때 x+4xx+\frac{4}{x} 의 최솟값
x+4x≥2x⋅4xx+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}
↳두 수 모두 양수
=24=4=2\sqrt{4}=4
↳곱이 44 로 일정
x=4x, x>0x=\frac{4}{x},\ x>0
↳등호 조건
x=2x=2
↳등호가 되는 값
등호가 성립하는 x=2x=2 가 실제로 있으므로 최솟값은 44 예요.
학생
등호가 실제로 성립하는지는 왜 확인해요?
쌤
등호가 되는 값이 없으면 그 값은 최솟값이 될 수 없어요. x+4xx+\frac{4}{x} 는 x=4xx=\frac{4}{x}, 곧 x=2x=2 에서 44 가 되니까 최솟값이 44 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x>0x>0 일 때 x+9xx+\frac{9}{x} 의 최솟값은?
두 수가 양수인지 확인하기
✗ 틀린 풀이
x≠0x\ne 0 인 모든 실수 xx 에 대하여
x+1x≥2x+\frac{1}{x}\ge 2
왜 틀렸나 산술평균과 기하평균의 관계는 두 수가 모두 양수일 때만 쓸 수 있으므로 먼저 부호를 확인한다.
✓ 바른 풀이
x>0x>0 일 때만
x+1x≥2x+\frac{1}{x}\ge 2
참고: x<0x<0 일 때는 −x>0-x>0 에 같은 관계를 써서 x+1x≤−2x+\frac{1}{x}\le -2 를 얻는다.
등호 조건 확인하기
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때 (a+1b)(b+4a)\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) 의 최솟값
✗ 틀린 풀이
a+1b≥2aba+\frac{1}{b}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}
b+4a≥24bab+\frac{4}{a}\ge 2\sqrt{\frac{4b}{a}}
두 식을 곱하여 최솟값은 88
왜 틀렸나 산술평균과 기하평균의 관계로 최솟값을 구할 때는 등호가 실제로 성립하는 값이 있는지 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
전개하면
ab+4ab+5≥24+5=9ab+\frac{4}{ab}+5\ge 2\sqrt{4}+5=9
등호는 ab=2ab=2 일 때 성립하므로 최솟값은 99
검산: ab=2ab=2 인 a=1, b=2a=1,\ b=2 를 넣으면 (1+12)(2+4)=9\left(1+\frac{1}{2}\right)(2+4)=9 로 최솟값이 실제로 나온다.
자세히 보기펼치기예제 4성질 더 보기
증명
a+b2−ab\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}
↳차를 계산해요
=a−2ab+b2=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}
↳통분해요
=(a)2−2ab+(b)22=\frac{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2}{2}
↳a=(a)2a=(\sqrt{a})^2
=(a−b)22≥0=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\ge 0
↳완전제곱식
a>0, b>0a>0,\ b>0 이어야 a, b\sqrt{a},\ \sqrt{b} 를 쓸 수 있어요. 등호는 a=b\sqrt{a}=\sqrt{b}, 곧 a=ba=b 일 때 성립해요.
예계수가 바뀐 꼴
x>0x>0 일 때 2x+8x2x+\frac{8}{x} 의 최솟값
2x>02x>0 이고 8x>0\frac{8}{x}>0 이므로
2x+8x≥22x⋅8x=216=82x+\frac{8}{x}\ge 2\sqrt{2x\cdot\frac{8}{x}}=2\sqrt{16}=8
등호는 2x=8x2x=\frac{8}{x} 일 때, 곧 x=2x=2 일 때 성립해요.
따라서 최솟값은 88
합이 일정할 때
x>0, y>0x>0,\ y>0 이고 x+y=10x+y=10 일 때 xyxy 의 최댓값
x+y≥2xyx+y\ge 2\sqrt{xy}
↳두 수 모두 양수
10≥2xy10\ge 2\sqrt{xy}
↳x+y=10x+y=10 대입
xy≤5\sqrt{xy}\le 5
↳양변을 22 로 나눠요
xy≤25xy\le 25
↳양변을 제곱해요
등호는 x=y=5x=y=5 일 때 성립하므로 최댓값은 2525 예요.
계수가 있을 때
x>0, y>0x>0,\ y>0 이고 2x+3y=122x+3y=12 일 때 xyxy 의 최댓값
2x+3y≥22x⋅3y2x+3y\ge 2\sqrt{2x\cdot 3y}
↳2x>0, 3y>02x>0,\ 3y>0
12≥26xy12\ge 2\sqrt{6xy}
↳2x+3y=122x+3y=12 대입
6xy≤6\sqrt{6xy}\le 6
↳양변을 22 로 나눠요
6xy≤366xy\le 36
↳제곱해요
xy≤6xy\le 6
↳양변을 66 으로 나눠요
등호는 2x=3y=62x=3y=6, 곧 x=3, y=2x=3,\ y=2 일 때 성립하므로 최댓값은 66 이에요.
성질세 평균 사이의 관계 (참고)
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때
a+b2≥ab≥2aba+b\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}
2aba+b\frac{2ab}{a+b} 를 조화평균이라 한다. 등호는 모두 a=ba=b 일 때 성립한다.
둘째 부등식은 다음 등식에서 나온다.
ab−2aba+b=ab(a−b)2a+b≥0\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b}\ge 0

5코시-슈바르츠 부등식

성질코시-슈바르츠 부등식
a, b, x, ya,\ b,\ x,\ y 가 실수일 때
(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2
등호는 ay=bxay=bx 일 때 성립한다. x, yx,\ y 가 00 이 아니면 ax=by\frac{a}{x}=\frac{b}{y} 로 써도 된다.
학생
코시-슈바르츠 부등식은 언제 써요?
쌤
제곱의 합이 주어지고 ax+byax+by 같은 일차식의 범위를 구할 때, 또는 그 반대일 때 써요. 「계수 제곱의 합」과 「문자 제곱의 합」의 곱은 「짝지은 곱의 합」의 제곱보다 크거나 같아요.
예
실수 x, yx,\ y 에 대하여 x2+y2=5x^2+y^2=5 일 때 x+2yx+2y 의 최댓값과 최솟값
(12+22)(x2+y2)≥(x+2y)2(1^2+2^2)(x^2+y^2)\ge (x+2y)^2
↳코시-슈바르츠
(x+2y)2≤25(x+2y)^2\le 25
↳x2+y2=5x^2+y^2=5 대입
−5≤x+2y≤5-5\le x+2y\le 5
↳제곱이 2525 이하
등호는 y=2xy=2x 일 때 성립해요. x=1, y=2x=1,\ y=2 일 때 최댓값 55, x=−1, y=−2x=-1,\ y=-2 일 때 최솟값 −5-5 이고, 두 점 모두 x2+y2=5x^2+y^2=5 를 만족해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
실수 x, yx,\ y 에 대하여 x2+y2=2x^2+y^2=2 일 때 x+yx+y 의 최댓값은?
짝을 맞추기
x+2yx+2y 의 범위를 구할 때
✗ 틀린 풀이
(22+12)(x2+y2)≥(2x+y)2(2^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (2x+y)^2
왜 틀렸나 코시-슈바르츠 부등식은 구하려는 식의 계수와 문자를 짝지어 11 은 xx 와, 22 는 yy 와 곱하도록 놓는다.
✓ 바른 풀이
(12+22)(x2+y2)≥(1⋅x+2⋅y)2(1^2+2^2)(x^2+y^2)\ge (1\cdot x+2\cdot y)^2
확인 방법: 오른쪽 괄호 안을 전개하여 구하려는 식 x+2yx+2y 가 그대로 나오는지 본다.
자세히 보기펼치기예제 2
증명
(a2+b2)(x2+y2)−(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2
↳차를 계산해요
=a2y2−2abxy+b2x2=a^2y^2-2abxy+b^2x^2
↳전개하면 a2x2, b2y2a^2x^2,\ b^2y^2 이 지워져요
=(ay−bx)2≥0=(ay-bx)^2\ge 0
↳완전제곱식
등호는 ay−bx=0ay-bx=0, 곧 ay=bxay=bx 일 때 성립해요.
예거꾸로
실수 x, yx,\ y 에 대하여 3x+4y=103x+4y=10 일 때 x2+y2x^2+y^2 의 최솟값
(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2=100(3^2+4^2)(x^2+y^2)\ge (3x+4y)^2=100
25(x2+y2)≥10025(x^2+y^2)\ge 100
따라서 x2+y2≥4x^2+y^2\ge 4
등호는 3y=4x3y=4x 일 때 성립해요.
y=43xy=\frac{4}{3}x 를 3x+4y=103x+4y=10 에 넣으면 253x=10\frac{25}{3}x=10
x=65, y=85x=\frac{6}{5},\ y=\frac{8}{5} 일 때 최솟값 44

6나란히 비교하기

공식기본 절대부등식과 등호 조건
a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab
a=b\displaystyle a=b
모든 실수
a+b2≥ab\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}
a=b\displaystyle a=b
a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때만
∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣|a|+|b|\ge |a+b|
ab≥0\displaystyle ab\ge 0
모든 실수
코시-슈바르츠
ay=bx\displaystyle ay=bx
모든 실수
성질최댓값·최솟값을 구할 때 확인할 것
어떤 절대부등식을 쓸지 정한다.
그 부등식을 쓸 수 있는 조건(두 수가 양수 등)을 확인한다.
등호이 성립하는 값이 실제로 있는지 확인한다.
학생
등호 조건은 왜 따로 알아 둬야 해요?
쌤
최댓값·최솟값은 등호가 성립할 때의 값이에요. 등호 조건을 알아야 그때의 문자 값을 구하고, 그 값이 실제로 있는지도 확인할 수 있어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

표의 가운데 열은 등호가 성립하는 조건이에요. a2+b2≥2aba^2+b^2\ge 2ab 의 a, ba,\ b 대신 a, b\sqrt{a},\ \sqrt{b} 를 넣으면 산술평균과 기하평균의 관계가 돼요. 네 부등식 모두 「차가 제곱 꼴」이라는 같은 이유로 성립해요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. A≥BA\ge B 는 차 A−BA-B 가 00 이상임을 보여 증명한다.
  2. 2a>0, b>0a>0,\ b>0 일 때 a+b2≥ab\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} 이다(등호는 a=ba=b 일 때). 곱이 일정하면 합의 최솟값, 합이 일정하면 곱의 최댓값을 구할 수 있다.
  3. 3실수 a, b, x, ya,\ b,\ x,\ y 에 대하여 (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2 이다(등호는 ay=bxay=bx 일 때).
  4. 4절대부등식으로 최댓값·최솟값을 구할 때는 쓸 수 있는 조건(양수 등)과 등호가 실제로 성립하는지를 반드시 확인한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 산술평균과 기하평균의 관계를 두 수가 양수인지 확인하지 않고 써요.
  • 절대부등식을 두 번 이상 써서 곱하거나 더할 때 등호 조건이 동시에 성립하는지 확인하지 않아요.
  • 코시-슈바르츠 부등식에서 계수와 문자의 짝을 잘못 맞추거나, 최댓값을 구한 뒤 등호 조건을 확인하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    실수 a, ba,\ b 에 대하여 부등식 a2+4b2≥4aba^2+4b^2\ge 4ab 를 증명하고, 등호가 성립하는 조건을 구하시오.
  2. 예제 2
    x>0x>0 일 때 2x+18x2x+\frac{18}{x} 의 최솟값을 구하시오.
  3. 예제 3
    실수 x, yx,\ y 에 대하여 x2+y2=10x^2+y^2=10 일 때 3x+y3x+y 의 최댓값을 구하시오.

다음 공부

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