수학 개념 노트전체 과목

절댓값을 포함한 일차부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
a>0a>0 일 때 ∣x∣<a|x|<a 이면 −a<x<a-a<x<a, ∣x∣>a|x|>a 이면 x<−ax<-a 또는 x>ax>a 이에요. 절댓값이 여러 개이면 절댓값 기호 안의 식이 00 이 되는 값을 경계로 구간을 나누어 풀어요.
  1. 1절댓값의 뜻과 기본 부등식
  2. 2∣ax+b∣<c|ax+b|<c, ∣ax+b∣>c|ax+b|>c 꼴
  3. 3구간을 나누어 풀기
  4. 4나란히 비교하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1절댓값의 뜻과 기본 부등식

정의절댓값
실수 xx 의 절댓값은∣x∣={x(x≥0)−x(x<0)|x|=\begin{cases} x & (x\ge 0) \\ -x & (x<0) \end{cases}수직선에서 ∣x∣|x| 는 원점과 xx 를 나타내는 점 사이의 거리이다. 따라서 ∣x∣≥0|x|\ge 0 이다.

∣x∣<3|x|<3 은 「원점과의 거리가 33 보다 작은 xx」라는 뜻이에요. 수직선에서 원점으로부터 33 보다 가까운 점은 −3-3 과 33 사이에 있어요.

∣x∣<3|x|<3
원점에서 거리가 33 보다 작은 점
−3<x<3-3<x<3
-5-4-3-2-1012345
±3\pm3 은 거리가 꼭 33 이라 포함하지 않으므로 ○ 예요.

∣x∣>a|x|>a 의 해는 두 범위 중 어느 하나만 만족하면 되므로 x<−ax<-a 또는 x>ax>a 로 써요. 두 범위를 동시에 만족하는 수는 없으므로 「이고」로 쓰면 안 돼요.

∣x∣>3|x|>3
원점에서 거리가 33 보다 큰 점
x<−3x<-3
x>3x>3
-5-4-3-2-1012345
바깥 두 범위 중 하나에 있으면 되므로 「또는」으로 이어요.
공식절댓값을 포함한 기본 부등식 (a>0a>0)
∣x∣<a|x|<a
−a<x<a\displaystyle -a<x<a
사이
∣x∣≤a|x|\le a
−a≤x≤a\displaystyle -a\le x\le a
∣x∣>a|x|>a
x<−a  또는  x>a\displaystyle x<-a\ \text{ 또는 }\ x>a
바깥
∣x∣≥a|x|\ge a
x≤−a  또는  x≥a\displaystyle x\le -a\ \text{ 또는 }\ x\ge a
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣x∣≥2|x|\ge 2 의 해는?
∣x∣>3|x|>3 의 해
✗ 틀린 풀이
−3>x>3-3>x>3
왜 틀렸나 ∣x∣>3|x|>3 은 「x<−3x<-3 또는 x>3x>3」이므로 떨어진 두 범위를 「또는」으로 따로 써야 한다.
✓ 바른 풀이
x<−3x<-3 또는 x>3x>3
수직선에 그리면 해는 −3-3 의 왼쪽과 33 의 오른쪽으로 떨어진 두 범위이다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기공식 더 보기
성질기본 꼴 (a>0a>0)
∣x∣<a  ⟺  −a<x<a|x|<a \iff -a<x<a
원점과의 거리가 aa 보다 작으므로 −a-a 와 aa 사이에 있다.
∣x∣>a  ⟺  x<−a|x|>a \iff x<-a 또는 x>ax>a
원점과의 거리가 aa 보다 크므로 −a-a 의 왼쪽 또는 aa 의 오른쪽에 있다.
≤, ≥\le,\ \ge 이면 경계 ±a\pm a 도 해에 들어간다.
공식우변이 00 이하일 때
∣x∣<−2|x|<-2
해는 없다\displaystyle \text{해는 없다}
∣x∣≥0|x|\ge 0 이므로 음수보다 작을 수 없다.
∣x∣>−2|x|>-2
모든 실수\displaystyle \text{모든 실수}
∣x∣≥0>−2|x|\ge 0>-2 는 항상 참이다.
∣x∣<0|x|<0
해는 없다\displaystyle \text{해는 없다}
∣x∣≤0|x|\le 0
x=0\displaystyle x=0
∣x∣=0|x|=0 인 경우뿐이다.
∣x∣>0|x|>0
x≠0\displaystyle x\ne 0
∣x∣≥0|x|\ge 0
모든 실수\displaystyle \text{모든 실수}

2∣ax+b∣<c|ax+b|<c, ∣ax+b∣>c|ax+b|>c 꼴

절댓값 기호 안이 일차식이어도 그 식을 한 덩어리 □\square 로 보면 기본 꼴과 같아요.

공식틀로 다시 쓰기 (c>0c>0)
사이
∣□∣<c  ⟺  −c<□<c\displaystyle |\square|<c\iff -c<\square<c
□=ax+b\square=ax+b
바깥
∣□∣>c  ⟺  □<−c  또는  □>c\displaystyle |\square|>c\iff \square<-c\ \text{ 또는 }\ \square>c
학생
∣2x−1∣<5|2x-1|<5 를 바꾸면 바로 xx 의 범위가 나와요?
쌤
아니에요. −5<2x−1<5-5<2x-1<5 는 2x−12x-1 의 범위예요.
세 변에 11 을 더하고 22 로 나누어야 xx 의 범위 −2<x<3-2<x<3 이 나와요.
예
∣2x−1∣<5|2x-1|<5
−5<2x−1<5-5<2x-1<5
↳□=2x−1\square=2x-1 의 사이 꼴
−4<2x<6-4<2x<6
↳각 변에 11 을 더해요
−2<x<3-2<x<3
↳각 변을 22 로 나눠요
검산: x=3x=3 이면 ∣5∣=5|5|=5 로 경계에서 등호, x=0x=0 이면 ∣−1∣=1<5|-1|=1<5 로 참이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣x−3∣<2|x-3|<2 의 해는?
절댓값 기호만 지우기
✗ 틀린 풀이
∣2x−1∣<5|2x-1|<5
2x−1<52x-1<5
따라서 x<3x<3
왜 틀렸나 ∣A∣<5|A|<5 는 −5<A<5-5<A<5 이므로 AA 가 음수인 경우까지 함께 풀어야 한다.
✓ 바른 풀이
−5<2x−1<5-5<2x-1<5
따라서 −2<x<3-2<x<3
검산: x=−1x=-1 은 ∣−3∣=3<5|-3|=3<5 이므로 해이고, 바른 답 −2<x<3-2<x<3 에 들어 있다.
「또는」을 「이고」로 쓰기
✗ 틀린 풀이
∣x−1∣>2|x-1|>2
x−1<−2x-1<-2 이고 x−1>2x-1>2
따라서 해는 없다
왜 틀렸나 ∣A∣>2|A|>2 는 A<−2A<-2 또는 A>2A>2 이므로 두 범위를 「이고」가 아니라 「또는」으로 잇는다.
✓ 바른 풀이
x−1<−2x-1<-2 또는 x−1>2x-1>2
따라서 x<−1x<-1 또는 x>3x>3
바깥 꼴은 두 범위 중 하나만 만족하면 돼요.
⚠ 주의우변이 음수이면
∣x−3∣<−1|x-3|<-1 은 −(−1)<x−3<−1-(-1)<x-3<-1 처럼 바꾸면 안 돼요. 사이 꼴은 우변이 양수일 때만 써요.
∣x−3∣≥0|x-3|\ge 0 이므로 음수보다 작을 수 없어요.
따라서 해는 없어요.
자세히 보기펼치기예제 2그림성질 더 보기
응용
∣3−2x∣≥7|3-2x|\ge 7
3−2x≤−7 또는 3−2x≥73-2x\le -7\ \text{또는}\ 3-2x\ge 7
↳바깥 꼴, 경계 포함
−2x≤−10 ⇒ x≥5-2x\le -10\ \Rightarrow\ x\ge 5
↳음수로 나눠 방향이 바뀌어요
−2x≥4 ⇒ x≤−2-2x\ge 4\ \Rightarrow\ x\le -2
↳음수로 나눠 방향이 바뀌어요
x≤−2x\le-2
x≥5x\ge5
-4-3-2-101234567
「또는」이므로 두 범위를 합쳐 x≤−2x\le-2 또는 x≥5x\ge5 예요.
응용
∣x+2∣≤4|x+2|\le 4
−4≤x+2≤4-4\le x+2\le 4
↳사이 꼴
−6≤x≤2-6\le x\le 2
↳각 변에서 22 를 빼요
성질거리로 보기
∣x−a∣<r|x-a|<r
∣x−a∣|x-a| 는 수직선에서 xx 와 aa 사이의 거리이다.
따라서 ∣x−a∣<r|x-a|<r 는 「aa 로부터 거리가 rr 보다 작은 xx」이다.
a−r<x<a+ra-r<x<a+r
예) ∣x−2∣<3|x-2|<3 의 해는 22 를 중심으로 양쪽으로 33 만큼
−1<x<5-1<x<5
∣x−2∣<3|x-2|<3
22 에서 거리가 33 보다 작은 점
−1<x<5-1<x<5
33
33
-2-10123456
중심
중심 22 에서 양쪽으로 33 만큼 가면 −1-1 과 55 예요. 거꾸로 범위 −1<x<5-1<x<5 에서 중심(중점)과 거리를 읽으면 ∣x−2∣<3|x-2|<3 이에요.
성질거꾸로 쓰기
범위를 절댓값으로
−1<x<5-1<x<5 를 ∣x−a∣<r|x-a|<r 꼴로 나타내 보자.
가운데 수(중점)가 aa 이다.
a=−1+52=2a=\frac{-1+5}{2}=2
중점에서 끝까지의 거리가 rr 이다.
r=5−(−1)2=3r=\frac{5-(-1)}{2}=3
따라서 ∣x−2∣<3|x-2|<3

3구간을 나누어 풀기

절댓값이 두 개 이상이거나 절댓값 밖에도 xx 가 있으면 위의 틀을 바로 쓸 수 없어요. 이때는 절댓값 기호를 포함한 방정식을 풀 때처럼 절댓값의 뜻으로 돌아가 절댓값 기호를 없애요. 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 xx 의 값을 경계로 구간을 나누면, 각 구간에서 안의 식의 부호가 정해져요.

절댓값이 두 개
∣x+1∣+∣x−2∣<5|x+1|+|x-2|<5
x<−1: −2x+1<5 ⇒ −2<x<−1x<-1:\ -2x+1<5\ \Rightarrow\ -2<x<-1
↳둘 다 −- 를 붙여요
−1≤x<2: 3<5-1\le x<2:\ 3<5
↳항상 참: 구간 전체
x≥2: 2x−1<5 ⇒ 2≤x<3x\ge 2:\ 2x-1<5\ \Rightarrow\ 2\le x<3
↳둘 다 그대로
①
②
③
-3-2-101234
경계 x=−1, 2x=-1,\ 2 로 나눈 세 구간의 해 ①, ②, ③ 을 합치면 −2<x<3-2<x<3 이에요.
양 끝 x=−2, 3x=-2,\ 3 에서는 좌변이 55 가 되어 포함하지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣x−1∣+∣x+2∣<5|x-1|+|x+2|<5 를 풀 때 구간을 나누는 경계값은?

구간을 나누어 얻은 해는 그 구간 안에서만 의미가 있어요. 그래서 각 구간에서 나온 해는 반드시 그 구간과의 공통 범위을 구한 뒤에 합쳐요.

구간과의 공통 범위를 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
x<−1x<-1 일 때 x>−2x>-2
−1≤x<2-1\le x<2 일 때 모든 실수
x≥2x\ge 2 일 때 x<3x<3
따라서 해는 모든 실수
왜 틀렸나 구간을 나누어 푼 해는 그 구간과의 공통 범위만 해로 삼은 뒤 모두 합쳐야 한다.
✓ 바른 풀이
−2<x<−1-2<x<-1
−1≤x<2-1\le x<2
2≤x<32\le x<3
따라서 −2<x<3-2<x<3
검산: 바른 답 밖의 x=10x=10 을 넣으면 11+8=19<511+8=19<5 가 거짓이므로 해가 아니다.
경계값을 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
x<−1x<-1
−1<x<2-1<x<2
x>2x>2
세 구간으로 나눈다.
왜 틀렸나 구간을 나눌 때는 경계값 x=−1x=-1, x=2x=2 를 어느 한 구간에 반드시 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
x<−1x<-1
−1≤x<2-1\le x<2
x≥2x\ge 2
세 구간으로 나눈다.
확인: ∣x+1∣+∣x−2∣<5|x+1|+|x-2|<5 에서 x=−1x=-1, x=2x=2 는 좌변이 33 이므로 해이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기그림
구간을 나누어 푸는 순서
  1. 1
    절댓값 기호 안의 식이 00 이 되는 xx 의 값을 구해요.
    ∣x+1∣|x+1| 이면 x=−1x=-1
  2. 2
    그 값을 경계로 구간을 나눠요.
    경계값은 어느 한 구간에만 넣어요.
    예) x<−1x<-1, −1≤x<2-1\le x<2, x≥2x\ge 2
  3. 3
    각 구간에서 절댓값 기호를 없애요.
    안의 식이 00 이상이면 그대로, 음수이면 −- 를 붙여 괄호째 꺼내요.
  4. 4
    각 구간에서 부등식을 풀고, 그 구간과의 공통 범위를 구해요.
  5. 5
    각 구간에서 얻은 해를 모두 합쳐요.
성질절댓값 밖에 xx 가 있을 때
∣x−2∣<2x+1|x-2|<2x+1
x−2=0x-2=0 인 x=2x=2 를 경계로 나눈다.

x≥2x\ge 2 일 때
x−2<2x+1x-2<2x+1
따라서 x>−3x>-3
x≥2x\ge 2 와의 공통 범위는 x≥2x\ge 2

x<2x<2 일 때
−(x−2)<2x+1-(x-2)<2x+1
−x+2<2x+1-x+2<2x+1
따라서 x>13x>\frac{1}{3}
x<2x<2 와의 공통 범위는 13<x<2\frac{1}{3}<x<2

두 해를 합치면
x>13x>\frac{1}{3}
구간마다 구한 해를 합치기
∣x−2∣<2x+1|x-2|<2x+1
x<2x<2 일 때 13<x<2\frac13<x<2
x≥2x\ge2 일 때 x≥2x\ge2
-101234
13\frac13
22
두 구간의 해가 x=2x=2 에서 이어지므로 합치면 x>13x>\frac13 이에요.
성질거리로 보기
∣x+1∣+∣x−2∣|x+1|+|x-2|
∣x+1∣+∣x−2∣|x+1|+|x-2| 는 수직선에서 xx 와 −1-1 사이의 거리와 xx 와 22 사이의 거리의 합이다.
xx 가 −1-1 과 22 사이에 있으면 합은 언제나 두 점 사이의 거리 33 이다.
그래서 가운데 구간에서 xx 가 없어진 것이다.
해가 없거나 모든 실수인 경우
∣x−1∣+∣x−3∣<2|x-1|+|x-3|<2
x<1: −2x+4<2 ⇒ x>1x<1:\ -2x+4<2\ \Rightarrow\ x>1
↳공통 범위 없음
1≤x<3: 2<21\le x<3:\ 2<2
↳거짓
x≥3: 2x−4<2 ⇒ x<3x\ge 3:\ 2x-4<2\ \Rightarrow\ x<3
↳공통 범위 없음
따라서 해는 없어요. 같은 방법으로 ∣x−1∣+∣x−3∣≥2|x-1|+|x-3|\ge 2 의 해는 모든 실수예요.

4나란히 비교하기

공식방정식과 부등식 (a>0a>0)
∣x∣=a|x|=a
x=−a  또는  x=a\displaystyle x=-a\ \text{ 또는 }\ x=a
거리가 꼭 aa 인 두 점
∣x∣<a|x|<a
−a<x<a\displaystyle -a<x<a
두 점 사이
∣x∣>a|x|>a
x<−a  또는  x>a\displaystyle x<-a\ \text{ 또는 }\ x>a
두 점 바깥
공식언제 어떤 방법을 쓰는가
∣ax+b∣<c|ax+b|<c (cc 는 양수)
−c<ax+b<c\displaystyle -c<ax+b<c
틀을 바로 쓴다.
∣ax+b∣>c|ax+b|>c (cc 는 양수)
ax+b<−c  또는  ax+b>c\displaystyle ax+b<-c\ \text{ 또는 }\ ax+b>c
틀을 바로 쓴다.
절댓값 두 개, 밖에 xx
구간을 나누어 푼다\displaystyle \text{구간을 나누어 푼다}
경계값은 한 구간에만 넣고, 구간과의 공통 범위를 택한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∣2x+1∣>3|2x+1|>3 의 해는?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1∣x∣|x| 는 수직선에서 원점과 xx 사이의 거리이다. a>0a>0 일 때
    ∣x∣<a  ⟺  −a<x<a|x|<a \iff -a<x<a
    ∣x∣>a  ⟺  x<−a|x|>a \iff x<-a 또는 x>ax>a
  2. 2∣ax+b∣<c|ax+b|<c, ∣ax+b∣>c|ax+b|>c 꼴은 ax+bax+b 를 한 덩어리로 보고 위 성질을 그대로 쓴다.
  3. 3절댓값이 두 개 이상이거나 절댓값 밖에 xx 가 있으면, 절댓값 기호 안의 식이 00 이 되는 xx 의 값을 기준으로 구간을 나누어 푼다.
  4. 4각 구간에서 구한 해는 그 구간과의 공통 범위만 택하고, 마지막에 모든 구간의 해를 합친다.
✗ 자주 하는 실수
  • ∣ax+b∣<c|ax+b|<c 에서 절댓값 기호만 지우고 ax+b<cax+b<c 만 풀어 음수 쪽 범위를 빠뜨려요.
  • ∣x∣>a|x|>a 의 해를 −a>x>a-a>x>a 처럼 「이고」로 묶어 해가 없다고 하거나, 사이 꼴로 바꿔요.
  • 구간을 나누어 풀 때 경계값을 어느 구간에도 넣지 않거나, 각 구간의 해를 구간과의 공통 범위 없이 합쳐요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    부등식 ∣2x−3∣≤5|2x-3|\le 5 를 푸시오.
  2. 예제 2
    부등식 ∣5−3x∣>4|5-3x|>4 를 푸시오.
  3. 예제 3
    부등식 ∣x+2∣+∣x−1∣≤5|x+2|+|x-1|\le 5 를 푸시오.

다음 공부

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