일차부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀌어요. 일차부등식은

ax>b

꼴로 정리하여

a

의 부호에 따라 풀고, 연립일차부등식은 각 해의 공통 범위를 구해요.

1부등식의 뜻과 성질
2일차부등식의 풀이
3 $ax>b$ 꼴의 해
4해를 수직선에 나타내기와 연립일차부등식
5 $A<B<C$ 꼴의 부등식
6나란히 비교하고 바로잡기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (6개 · 핵심 용어 가리기)

1부등식의 뜻과 성질

정의부등식과 그 해

부등호

<,\ >,\ \le,\ \ge

를 써서 수나 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라 한다.
부등식을 참이 되게 하는

x

의 값을 그 부등식의 해라 하고, 해 전체를 구하는 것을 부등식을 푼다고 한다.

정의일차부등식

모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때

ax+b>0

(

a\ne0

)
꼴이 되는 부등식을

x

에 대한 일차부등식이라 한다. 부등호가

<,\ \ge,\ \le

인 경우도 마찬가지이다.

공식부등식의 성질 (

a,\ b,\ c

는 실수)

a>b,\ b>c

\displaystyle a>c

a>b

\displaystyle a+c>b+c,\quad a-c>b-c

방향 그대로. 이항이 이 성질이다.

a>b,\ c>0

\displaystyle ac>bc,\quad \frac{a}{c}>\frac{b}{c}

방향 그대로.

a>b,\ c<0

\displaystyle ac<bc,\quad \frac{a}{c}<\frac{b}{c}

방향이 바뀐다.

학생

부등식은 방정식과 푸는 방법이 같아요?

쌤

거의 같아요. 이항해도, 양수를 곱하거나 나눠도 부등호의 방향은 그대로예요.
딱 하나, 음수를 곱하거나 음수로 나누면 방향이 바뀌어요.

성질부등호의 방향이 바뀌는 경우

양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
등호가 들어 있는

\le,\ \ge

도 같은 성질을 따른다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

-2x\ge 8

을 풀면?

음수로 나눌 때

✗ 틀린 풀이

-3x<6

의 양변을

-3

으로 나누면

x<-2

왜 틀렸나 부등식의 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀌므로

-3

으로 나눌 때 방향을 바꾼다.

✓ 바른 풀이

-3x<6

의 양변을

-3

으로 나누면

x>-2

검산:

x=0

을 넣으면

0<6

이 참이므로

0

은 해이고, 바른 답

x>-2

에 들어 있다.

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기그림

예해인지 확인하기

2x-1>4

x=3

을 넣으면

2\cdot3-1=5

5>4

는 참이므로

x=3

은 해예요.

x=2

를 넣으면

2\cdot2-1=3

3>4

는 거짓이므로

x=2

는 해가 아니에요.

성질왜 음수를 곱하면 방향이 바뀌는가

2<5

의 양변에

-1

을 곱하면

-2

와

-5

가 된다.
수직선에서

-1

을 곱하는 것은 원점에 대하여 반대쪽으로 옮기는 것이므로 왼쪽·오른쪽 순서가 뒤집힌다.
따라서

-2>-5

식으로 보면

a>b

이면

a-b>0

이다.
여기에 음수

c

를 곱하면

(a-b)c<0

곧

ac-bc<0

이므로

ac<bc

-1

을 곱하면 순서가 뒤집혀요

2<5

의 두 수(●)에

-1

을 곱하면 원점에 대하여 반대쪽

-2,\ -5

(○)로 옮겨져요. 오른쪽에 있던

5

가 왼쪽 끝으로 가서

-2>-5

가 돼요.

⚠ 주의문자로 나눌 때

0

으로는 나눌 수 없고, 음수로 나누면 방향이 바뀌어요. 그래서 양변을 문자

a

로 나눌 때는

a

가 양수인지, 음수인지,

0

인지 먼저 따져야 해요. 이것이 「

ax>b

꼴의 해」에서 경우를 나누는 이유예요.

2일차부등식의 풀이

일차부등식은 괄호를 풀고, 분수·소수 계수는 양수를 곱해 정수로 만든 뒤, 이항해서 $ax>b$ 꼴로 정리해요.
마지막에 $a$ 로 나눌 때 $a$ 의 부호를 봐요.

예

5x-3\le 2x+9

5x-2x\le 9+3

↳◀

2x

와

-3

을 이항

3x\le 12

x\le 4

↳◀양수

3

으로 나눠 방향 그대로

4

를 포함하므로 ● 이에요.
검산:

x=4

이면 양변이 모두

17

(경계),

x=0

이면

-3\le9

로 참이에요.

계수가 음수가 될 때

2(x-4)>5x+1

2x-8>5x+1

↳◀괄호를 풀어요

2x-5x>1+8

↳◀이항해요

-3x>9

x<-3

↳◀음수로 나눠 방향이 바뀌어요

검산: 해의 범위 안의

x=-4

를 넣으면 좌변

-16

, 우변

-19

로

-16>-19

가 참이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

3(x+1)>5x-1

을 풀면?

분수 계수

\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}\ge 1

2x-3(x-1)\ge 6

↳◀양변에

6

을 곱해요

2x-3x+3\ge 6

↳◀괄호를 풀어요

-x\ge 3

x\le -3

↳◀음수로 나눠 방향이 바뀌어요

6

은 분모

3

과

2

의 최소공배수예요. 분자

x-1

은 괄호로 묶어요.

분수 계수를 없앨 때 모든 항에 곱하기

✗ 틀린 풀이

\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}\ge 1

에

6

을 곱하여

2x-3(x-1)\ge 1

왜 틀렸나 분모를 없앨 때는 양변의 모든 항에 같은 수를 곱해야 하므로 우변의

1

에도

6

을 곱한다.

✓ 바른 풀이

\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}\ge 1

에

6

을 곱하여

2x-3(x-1)\ge 6

곱한 뒤 처음 식의 항마다

6

배가 되었는지 하나씩 확인한다.

분자가 다항식일 때의 괄호

✗ 틀린 풀이

2x-3x-1\ge 6

왜 틀렸나 분자가 다항식이면 괄호로 묶어 곱해야

-3

이 분자의 모든 항에 곱해진다.

✓ 바른 풀이

2x-3(x-1)\ge 6

2x-3x+3\ge 6

바른 계산은

-\frac{x-1}{2}\times6=-3(x-1)=-3x+3

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

일차부등식을 푸는 순서

1
괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 풀어요.
2
계수에 분수나 소수가 있으면 양변에 적당한 양수(분모의 최소공배수, $10$ , $100$ 등)를 곱하여 계수를 정수로 만들어요.
양수를 곱하므로 방향은 그대로예요.
모든 항에 빠짐없이 곱해요.
3
$x$ 를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항해요.
이항은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것이므로 방향이 그대로예요.
4
양변을 정리하여 $ax>b$ 꼴로 만들어요.
부등호는 $<,\ \ge,\ \le$ 일 수도 있어요.
5
양변을 $x$ 의 계수 $a$ 로 나눠요.
$a<0$ 이면 부등호의 방향을 바꿔요.
6
검산해요. 해의 범위 안의 수 하나, 밖의 수 하나를 넣어 봐요.
경계의 수를 넣으면 양변의 값이 같아져요.

소수 계수

0.3x-0.5<0.1x+0.7

3x-5<x+7

↳◀양변에

10

을 곱해요

2x<12

↳◀이항해요

x<6

3 $ax>b$ 꼴의 해

일차부등식을 정리하면 $ax>b$ 꼴이 돼요. 양변을 $a$ 로 나누기 전에 $a$ 의 부호를 보아야 해요. 특히 계수에 문자가 있으면 $a>0$ , $a<0$ , $a=0$ 의 세 경우로 나누어 풀어요.

공식

ax>b

의 해

a>0

\displaystyle x>\frac{b}{a}

방향 그대로

a<0

\displaystyle x<\frac{b}{a}

방향이 바뀐다

a=0,\ b<0

\displaystyle 0\cdot x>b\ \text{는 항상 참}

해는 모든 실수

a=0,\ b\ge 0

\displaystyle 0\cdot x>b\ \text{는 항상 거짓}

해는 없다

$a=0$ 이면 좌변은 $x$ 에 관계없이 항상 $0$ 이므로 $0>b$ 가 참인지 거짓인지만 보면 돼요. 참이면 해는 모든 실수이고, 거짓이면 해는 없어요.

계수에 문자가 있을 때

x

에 대한 부등식

ax>2a

a>0:\ x>2

↳◀방향 그대로

a<0:\ x<2

↳◀방향이 바뀌어요

a=0:\ 0\cdot x>0

↳◀거짓이므로 해 없음

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x

에 대한 부등식

0\cdot x<3

의 해는?

자세히 보기펼치기성질 더 보기예제

성질등호가 있을 때

ax\ge b

에서

a=0

0\cdot x\ge b

는

b\le 0

이면 항상 참이다.
따라서 해는 모든 실수

b>0

이면 항상 거짓이다.
따라서 해는 없다.
등호 때문에

b=0

인 경우가 「모든 실수」 쪽으로 간다.

0\cdot x\ge 0

의 해는 모든 실수

0\cdot x>0

의 해는 없다.

x

가 없어지는 경우

2(x+1)>2x-3\ \Rightarrow\ 0\cdot x>-5

↳◀

0>-5

참: 모든 실수

3x-1\le 3(x-1)\ \Rightarrow\ 0\cdot x\le -2

↳◀

0\le-2

거짓: 해 없음

성질거꾸로 쓰기

해를 보고 계수 정하기

x

에 대한 부등식

ax+6>0

의 해가

x<3

이라 하자.

ax>-6

에서 부등호 방향이 바뀌었으므로

a<0

이다.
양변을

a

로 나누면

x<-\frac{6}{a}

따라서

-\frac{6}{a}=3

곧

a=-2

검산:

-2x+6>0

의 해는

x<3

이다.

4해를 수직선에 나타내기와 연립일차부등식

정의연립일차부등식

두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립부등식이라 하고, 각 부등식이 모두 일차부등식이면 연립일차부등식이라 한다. 두 부등식을 동시에 만족시키는

x

의 값의 범위를 연립부등식의 해라 한다.

연립부등식의 해는 각 부등식의 해의 공통 범위이에요. 어느 하나라도 만족하지 않으면 해가 아니기 때문이에요. 이 방법은 연립이차부등식에서도 그대로 써요.

예

\begin{cases} 3x-1>2 \\ 2x+3\ge 4x-5 \end{cases}

3x>3\ \Rightarrow\ x>1

↳◀첫째 부등식

-2x\ge -8\ \Rightarrow\ x\le 4

↳◀둘째: 방향이 바뀌어요

두 범위가 겹치는 부분

1<x\le4

가 해예요.

1

은 ○,

4

는 ● 예요.

학생

경계의 수는 어떻게 표시해요?

쌤

해에 포함되면 색칠한 점 ●, 포함되지 않으면 속이 빈 점 ○ 으로 나타내요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\begin{cases} x+1>3 \\ 2x\le 10 \end{cases}

의 해는?

공식공통 범위의 네 가지 모양 (

a<b

)

x>a

이고

x>b

\displaystyle x>b

큰 쪽보다 크다

x<a

이고

x<b

\displaystyle x<a

작은 쪽보다 작다

x>a

이고

x<b

\displaystyle a<x<b

두 수 사이

x<a

이고

x>b

\displaystyle \text{해는 없다}

겹치는 부분이 없다

자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기그림

부등식의 해는 수직선 위에 나타내면 한눈에 보여요. 경계의 수가 해에 포함되면 색칠한 점(●), 포함되지 않으면 속이 빈 점(○)으로 나타내요. 절댓값을 포함한 부등식도 이렇게 수직선으로 생각해요.

성질수직선 표시

x>a

a

에 ○ 를 찍고 오른쪽으로 긋는다.

x\ge a

a

에 ● 를 찍고 오른쪽으로 긋는다.

x<a

a

에 ○ 를 찍고 왼쪽으로 긋는다.

x\le a

a

에 ● 를 찍고 왼쪽으로 긋는다.

a<x\le b

a

에 ○,

b

에 ● 를 찍고 그 사이를 긋는다.

연립일차부등식을 푸는 순서

1
각 부등식을 따로 풀어요.
2
두 해를 한 수직선 위에 나타내요.
3
두 해가 겹치는 부분을 찾아요.
경계의 수는 두 부등식에서 모두 포함될 때만 포함해요.

성질해가 한 개인 경우와 해가 없는 경우

x\ge 3

과

x\le 3

을 동시에 만족시키는 수는

3

뿐이다.
따라서 해는

x=3

x>3

과

x\le 3

을 동시에 만족시키는 수는 없다.
따라서 해는 없다.
경계가 같을 때는 두 부등식 모두에 등호가 있어야 해가 한 개가 된다.

해가 한 개인 예

\begin{cases} 2x-1\ge 5 \\ x+2\le 5 \end{cases}

첫째 부등식에서

x\ge3

, 둘째에서

x\le3

이에요. 겹치는 곳은

3

하나뿐이므로 해는

x=3

이에요.

해가 없는 예

\begin{cases} x-4>0 \\ 3x\le 6 \end{cases}

첫째 부등식에서

x>4

, 둘째에서

x\le2

예요. 겹치는 부분이 없으므로 해는 없어요.

5 $A<B<C$ 꼴의 부등식

성질

A<B<C

꼴

A<B<C

는 「

A<B

이고

B<C

」라는 뜻이므로 다음 연립부등식으로 바꾸어 푼다.

\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases}

가운데 식

B

가 두 부등식에 모두 들어가야 한다.

예

x-1<3x+5\le 2x+7

x-1<3x+5\ \Rightarrow\ -2x<6

↳◀왼쪽과 가운데

x>-3

↳◀음수로 나눠 방향이 바뀌어요

3x+5\le 2x+7\ \Rightarrow\ x\le 2

↳◀가운데와 오른쪽

학생

A<C

하나만 풀면 안 돼요?

쌤

안 돼요.

A<B

와

B<C

를 둘 다 만족해야 하니까, 가운데 식

B

가 꼭 두 부등식에 들어가야 해요.

공통 범위

-3<x\le2

가 해예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

-1<2x+3<7

의 해는?

A<B<C

를 연립으로 바꿀 때

✗ 틀린 풀이

\begin{cases} A<B \\ A<C \end{cases}

왜 틀렸나

A<B<C

는

A<B

와

B<C

를 동시에 만족한다는 뜻이므로 가운데

B

를 두 번 쓴다.

✓ 바른 풀이

\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases}

A<C

는

A<B<C

에서 따라 나오는 결과일 뿐이에요.

A<C

를 쓰면

B<C

라는 조건을 잃어 해가 넓어져요.

자세히 보기펼치기성질 더 보기

성질가운데에만

x

가 있을 때

-3<2x+1\le 7

처럼 양 끝이 상수이면 세 변을 한꺼번에 계산해도 된다.
각 변에서

1

을 빼면

-4<2x\le 6

각 변을

2

로 나누면

-2<x\le 3

음수로 나눌 때는 두 부등호가 모두 바뀐다.

-1\le 5-2x<7

의 각 변에서

5

를 빼면

-6\le -2x<2

각 변을

-2

로 나누면 방향이 모두 바뀌어

3\ge x>-1

곧

-1<x\le 3

6나란히 비교하고 바로잡기

공식일차방정식과 일차부등식

이항

\displaystyle \text{둘 다 부호를 바꾸어 옮긴다}

부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

음수로 곱하기·나누기

\displaystyle \text{방정식은 그대로, 부등식은 방향이 바뀐다}

x

의 계수가

0

\displaystyle \text{해가 없거나 모든 실수}

방정식

0\cdot x=b

와 부등식

0\cdot x>b

모두

b

를 보고 정한다.

해의 모양

\displaystyle \text{방정식은 수, 부등식은 범위}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x-5<2x

를 풀면?

이항할 때는 방향을 바꾸지 않는다

✗ 틀린 풀이

x-5<2x

에서

x

를 옮기며 방향을 바꾸어

-5>x

왜 틀렸나 이항은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것이므로 부등호의 방향이 그대로이다.

✓ 바른 풀이

x-2x<5

-x<5

x>-5

방향은 음수로 곱하거나 나눌 때만 바뀐다.
검산:

x=0

을 넣으면

-5<0

이 참이고,

0

은 바른 답

x>-5

에 들어 있다.

연립부등식에서 「이고」와 「또는」

✗ 틀린 풀이

x>1

과

x\le 4

중 하나만 만족해도 된다고 보아
해는 모든 실수

왜 틀렸나 연립부등식의 해는 두 부등식을 모두 만족하는 범위이므로 두 범위의 공통부분을 구한다.

✓ 바른 풀이

두 부등식을 모두 만족해야 하므로

1<x\le 4

수직선에 두 범위를 그려 겹치는 부분을 읽으면

1<x\le 4

이다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 그대로이다. 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
2일차부등식은 괄호를 풀고 이항하여 $ax>b$ 꼴로 정리한 뒤, $x$ 의 계수 $a$ 의 부호를 보고 양변을 $a$ 로 나눈다. $a=0$ 이면 해는 모든 실수이거나 해가 없다.
3연립일차부등식의 해는 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 겹치는 부분(공통 범위)이다. 겹치는 부분이 없으면 해가 없고, 한 점에서만 겹치면 해는 한 개이다.
4 $A<B<C$ 꼴은 「 $A<B$ 이고 $B<C$ 」라는 뜻이므로 두 부등식 $A<B$ , $B<C$ 를 연립하여 푼다.