이차방정식 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 근의 공식 으로 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c b 2 − 4 a c b^2-4ac b 2 − 4 a c
이전 개념 정의 판별식
계수가 실수인 이차방정식 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 D = b 2 − 4 a c D=b^2-4ac D = b 2 − 4 a c 판별식 이라 한다. 서로 다른 두 실근 \displaystyle \text{서로 다른 두 실근} 서로 다른 두 실근 왜? 이유 보기
중근(서로 같은 두 실근) \displaystyle \text{중근(서로 같은 두 실근)} 중근 ( 서로 같은 두 실근 ) 왜? 이유 보기
서로 다른 두 허근 \displaystyle \text{서로 다른 두 허근} 서로 다른 두 허근 왜? 이유 보기
실근 \displaystyle \text{실근} 실근 D > 0 D>0 D > 0 D = 0 D=0 D = 0 x 2 − 4 x + 3 = 0 : D = 16 − 12 = 4 > 0 x^2-4x+3=0:\ D=16-12=4>0 x 2 − 4 x + 3 = 0 : D = 16 − 12 = 4 > 0 x 2 − 4 x + 4 = 0 : D = 16 − 16 = 0 x^2-4x+4=0:\ D=16-16=0 x 2 − 4 x + 4 = 0 : D = 16 − 16 = 0 x 2 − 4 x + 5 = 0 : D = 16 − 20 = − 4 < 0 x^2-4x+5=0:\ D=16-20=-4<0 x 2 − 4 x + 5 = 0 : D = 16 − 20 = − 4 < 0 오른쪽은 실제로 풀어 얻은 근이에요.
D D D 의 부호와 근의 종류가 맞아요.
중근도 실근이에요. 그래서 「실근을 갖는다」는 「서로 다른 두 실근 또는 중근을 갖는다」이고, 조건은 D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x 2 − 2 x + 5 = 0 x^2-2x+5=0 x 2 − 2 x + 5 = 0 서로 다른 두 실근 중근 서로 다른 두 허근
음수 계수의 부호
✗ 틀린 풀이
x 2 + 3 x − 2 = 0 x^2+3x-2=0 x 2 + 3 x − 2 = 0 D = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 D=3^2-4\cdot1\cdot2=1 D = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 1 왜 틀렸나 판별식에는 계수를 부호까지 넣으므로 c = − 2 c=-2 c = − 2 − 4 a c = + 8 -4ac=+8 − 4 a c = + 8 ↓ ✓ 바른 풀이
D = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) D=3^2-4\cdot1\cdot(-2) D = 3 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) = 9 + 8 = 17 =9+8=17 = 9 + 8 = 17 계수는 ( − 2 ) (-2) ( − 2 ) a , c a,\ c a , c D D D + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 성질 더 보기 쌤 − b -b − b 2 a 2a 2 a ± D \pm\sqrt{D} ± D 1 − b + D 2 a \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} 2 a − b + D − b − D 2 a \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} 2 a − b − D 2 두 근이 모두 − b 2 a -\frac{b}{2a} − 2 a b 3 두 근 − b ± − D i 2 a \frac{-b\pm\sqrt{-D}\,i}{2a} 2 a − b ± − D i 이전 개념 계수가 바뀐 꼴 − 2 x 2 + 3 x − 5 = 0 -2x^2+3x-5=0 − 2 x 2 + 3 x − 5 = 0 a = − 2 , b = 3 , c = − 5 a=-2,\ b=3,\ c=-5 a = − 2 , b = 3 , c = − 5 ↳ ◀ 부호까지 계수
D = 3 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 5 ) D=3^2-4\cdot(-2)\cdot(-5) D = 3 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 5 ) ↳ ◀ 괄호째 넣어요
= 9 − 40 = − 31 < 0 =9-40=-31<0 = 9 − 40 = − 31 < 0 ↳ ◀ 서로 다른 두 허근
성질 검산
판별한 결과는 실제로 풀어서 확인할 수 있다.x 2 + 3 x − 2 = 0 x^2+3x-2=0 x 2 + 3 x − 2 = 0 x = − 3 ± 17 2 x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2} x = 2 − 3 ± 17 D = 17 > 0 D=17>0 D = 17 > 0 무리수 )이다.D D D 이전 개념 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 D = b 2 − 4 a c \displaystyle D=b^2-4ac D = b 2 − 4 a c 왜? 이유 보기
a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 ax^2+2b'x+c=0 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 D 4 = b ′ 2 − a c \displaystyle \frac{D}{4}=b'^2-ac 4 D = b ′2 − a c b ′ b' b ′ x x x 4 4 4 b b b b ′ b' b ′ 왜? 이유 보기
x x x D 4 \frac{D}{4} 4 D = b ′ 2 − a c =b'^2-ac = b ′2 − a c
학생 D 4 \frac{D}{4} 4 D 쌤 네. b = 2 b ′ b=2b' b = 2 b ′ D = 4 ( b ′ 2 − a c ) D=4(b'^2-ac) D = 4 ( b ′2 − a c ) D D D D 4 \frac{D}{4} 4 D x 2 − 6 x + 9 = 0 x^2-6x+9=0 x 2 − 6 x + 9 = 0 ↳ ◀ − 6 = 2 ⋅ ( − 3 ) -6=2\cdot(-3) − 6 = 2 ⋅ ( − 3 ) D 4 = ( − 3 ) 2 − 1 ⋅ 9 = 0 \frac{D}{4}=(-3)^2-1\cdot9=0 4 D = ( − 3 ) 2 − 1 ⋅ 9 = 0 ↳ ◀ 중근
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x 2 + 4 x + 7 = 0 x^2+4x+7=0 x 2 + 4 x + 7 = 0 D 4 \frac{D}{4} 4 D D/4 에 b 를 그대로 넣기
✗ 틀린 풀이
x 2 − 6 x + 5 = 0 x^2-6x+5=0 x 2 − 6 x + 5 = 0 D 4 = ( − 6 ) 2 − 5 = 31 \frac{D}{4}=(-6)^2-5=31 4 D = ( − 6 ) 2 − 5 = 31 왜 틀렸나 D 4 = b ′ 2 − a c \frac{D}{4}=b'^2-ac 4 D = b ′2 − a c x x x b ′ b' b ′ b ′ = − 3 b'=-3 b ′ = − 3 ↓ ✓ 바른 풀이
b ′ = − 3 b'=-3 b ′ = − 3 D 4 = ( − 3 ) 2 − 1 ⋅ 5 = 4 \frac{D}{4}=(-3)^2-1\cdot5=4 4 D = ( − 3 ) 2 − 1 ⋅ 5 = 4 확인: D = ( − 6 ) 2 − 4 ⋅ 5 = 16 D=(-6)^2-4\cdot5=16 D = ( − 6 ) 2 − 4 ⋅ 5 = 16 16 4 = 4 \frac{16}{4}=4 4 16 = 4 성질 a a a c c c a , b , c a,\ b,\ c a , b , c a c < 0 ac<0 a c < 0 − 4 a c > 0 -4ac>0 − 4 a c > 0 b 2 ≥ 0 b^2\ge0 b 2 ≥ 0 D = b 2 − 4 a c > 0 D=b^2-4ac>0 D = b 2 − 4 a c > 0 b b b − x 2 + 5 x + 7 = 0 -x^2+5x+7=0 − x 2 + 5 x + 7 = 0 a c = − 7 < 0 ac=-7<0 a c = − 7 < 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 성질 더 보기 외우기 카드 왜 그런가: x x x b = 2 b ′ b=2b' b = 2 b ′ D = ( 2 b ′ ) 2 − 4 a c = 4 ( b ′ 2 − a c ) D=(2b')^2-4ac=4(b'^2-ac) D = ( 2 b ′ ) 2 − 4 a c = 4 ( b ′2 − a c ) 4 > 0 4>0 4 > 0 D D D b ′ 2 − a c b'^2-ac b ′2 − a c D D D D 4 = b ′ 2 − a c \frac{D}{4}=b'^2-ac 4 D = b ′2 − a c
성질 틀로 외우기
□ x 2 + △ x + ◯ = 0 \square x^2+\triangle x+\bigcirc=0 □ x 2 + △ x + ◯ = 0 D = △ 2 − 4 □ ◯ D=\triangle^2-4\square\bigcirc D = △ 2 − 4 □ ◯ △ \triangle △ D 4 = ( △ 2 ) 2 − □ ◯ \frac{D}{4}=\left(\frac{\triangle}{2}\right)^2-\square\bigcirc 4 D = ( 2 △ ) 2 − □ ◯ b b b 4 a c 4ac 4 a c a c ac a c 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2 근의 공식의 근호 안
a x 2 + b x + c = 0 = D = b 2 − □ a c ax^2+bx+c=0=D=b^2-\square ac a x 2 + b x + c = 0 = D = b 2 − □ a c 정답 보기
단계 1 / 2
a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 = D 4 = b ′ 2 − □ ax^2+2b'x+c=0=\frac{D}{4}=b'^2-\square a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 = 4 D = b ′2 − □ 정답 보기
계수가 바뀐 꼴 3 x 2 + 4 x + 5 = 0 3x^2+4x+5=0 3 x 2 + 4 x + 5 = 0 D 4 = 2 2 − 3 ⋅ 5 = − 11 < 0 \frac{D}{4}=2^2-3\cdot5=-11<0 4 D = 2 2 − 3 ⋅ 5 = − 11 < 0 ↳ ◀ 서로 다른 두 허근
계수에 문자 k k k D D D k k k 범위 를 구해요. 판별식을 거꾸로 쓰는 방향이에요. 이차함수의 그래프와 x x x 의 위치 관계를 판단할 때도 그대로 써요.
이전 개념 x 2 − 4 x + k = 0 x^2-4x+k=0 x 2 − 4 x + k = 0 D 4 = ( − 2 ) 2 − 1 ⋅ k = 4 − k \frac{D}{4}=(-2)^2-1\cdot k=4-k 4 D = ( − 2 ) 2 − 1 ⋅ k = 4 − k 4 − k > 0 ⇒ k < 4 4-k>0\ \Rightarrow\ k<4 4 − k > 0 ⇒ k < 4 ↳ ◀ 서로 다른 두 실근
4 − k = 0 ⇒ k = 4 4-k=0\ \Rightarrow\ k=4 4 − k = 0 ⇒ k = 4 ↳ ◀ 중근
4 − k < 0 ⇒ k > 4 4-k<0\ \Rightarrow\ k>4 4 − k < 0 ⇒ k > 4 ↳ ◀ 서로 다른 두 허근
두 실근
두 허근
1 2 3 4 5 6 7 중근
실근을 가질 조건은
k ≤ 4 k\le4 k ≤ 4 예요. 중근도 실근이므로
4 4 4 를 포함해요.
「실근을 갖는다」의 조건
✗ 틀린 풀이
x 2 − 4 x + k = 0 x^2-4x+k=0 x 2 − 4 x + k = 0 4 − k > 0 4-k>0 4 − k > 0 k < 4 k<4 k < 4 왜 틀렸나 실근에는 중근도 포함되므로 「실근을 갖는다」의 조건은 등호가 있는 D ≥ 0 D\ge0 D ≥ 0 ↓ ✓ 바른 풀이
4 − k ≥ 0 4-k\ge0 4 − k ≥ 0 k ≤ 4 k\le4 k ≤ 4 k = 4 k=4 k = 4 x = 2 x=2 x = 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x 2 + 2 x + k = 0 x^2+2x+k=0 x 2 + 2 x + k = 0 k k k ⚠ 주의 이차방정식이라는 조건
「( k − 1 ) x 2 + 2 x + 1 = 0 (k-1)x^2+2x+1=0 ( k − 1 ) x 2 + 2 x + 1 = 0 D 4 = 1 2 − ( k − 1 ) ⋅ 1 = 2 − k > 0 \frac{D}{4}=1^2-(k-1)\cdot1=2-k>0 4 D = 1 2 − ( k − 1 ) ⋅ 1 = 2 − k > 0 k < 2 k<2 k < 2 x 2 x^2 x 2 0 0 0 k − 1 ≠ 0 k-1\ne0 k − 1 = 0 k ≠ 1 k\ne1 k = 1 k < 2 k<2 k < 2 k ≠ 1 k\ne1 k = 1 k = 1 k=1 k = 1 2 x + 1 = 0 2x+1=0 2 x + 1 = 0 성질 완전제곱식이 될 조건
x x x a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c ⟺ \iff ⟺ a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 ⟺ \iff ⟺ D = b 2 − 4 a c = 0 D=b^2-4ac=0 D = b 2 − 4 a c = 0 쌤 완전제곱식 a ( x − p ) 2 a(x-p)^2 a ( x − p ) 2 0 0 0 x = p x=p x = p D = 0 D=0 D = 0 D = 0 D=0 D = 0 a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 a x 2 + b x + c = a ( x + 2 a b ) 2 완전제곱식 이에요.
예 기본형
D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0 D=6^2-4\cdot1\cdot9=0 D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0 x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) 2 x^2+6x+9=(x+3)^2 x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3 ) 2 문자가 있는 꼴 x 2 − 2 k x + k + 6 x^2-2kx+k+6 x 2 − 2 k x + k + 6 D 4 = ( − k ) 2 − ( k + 6 ) = 0 \frac{D}{4}=(-k)^2-(k+6)=0 4 D = ( − k ) 2 − ( k + 6 ) = 0 k 2 − k − 6 = ( k − 3 ) ( k + 2 ) = 0 k^2-k-6=(k-3)(k+2)=0 k 2 − k − 6 = ( k − 3 ) ( k + 2 ) = 0 ↳ ◀ 인수분해
k = 3 또는 k = − 2 k=3\ \text{또는}\ k=-2 k = 3 또는 k = − 2 검산:
k = 3 k=3 k = 3 이면
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 x^2-6x+9=(x-3)^2 x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 ✓,
k = − 2 k=-2 k = − 2 이면
x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 x^2+4x+4=(x+2)^2 x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 ✓
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x 2 − 8 x + k x^2-8x+k x 2 − 8 x + k k k k + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 왜 그런가: a ≠ 0 a\ne0 a = 0 a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 − D 4 a ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a} a x 2 + b x + c = a ( x + 2 a b ) 2 − 4 a D D = 0 D=0 D = 0 a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 a x 2 + b x + c = a ( x + 2 a b ) 2 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 D = 0 D=0 D = 0
예 계수가 바뀐 꼴
4 x 2 − 12 x + 9 4x^2-12x+9 4 x 2 − 12 x + 9 D 4 = ( − 6 ) 2 − 4 ⋅ 9 = 0 \frac{D}{4}=(-6)^2-4\cdot9=0 4 D = ( − 6 ) 2 − 4 ⋅ 9 = 0 4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x − 3 ) 2 4x^2-12x+9=(2x-3)^2 4 x 2 − 12 x + 9 = ( 2 x − 3 ) 2 판별식을 쓰기 전에 a , b , c a,\ b,\ c a , b , c 실수 인지 먼저 확인해요. 근의 종류를 묻는 문제에 「k k k
쌤 허수는 양수·음수를 말할 수 없어서 D D D 계수에 허수가 있을 때
✗ 틀린 풀이
x 2 − i x = 0 x^2-ix=0 x 2 − i x = 0 D = ( − i ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0 = − 1 < 0 D=(-i)^2-4\cdot1\cdot0=-1<0 D = ( − i ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0 = − 1 < 0 왜 틀렸나 판별식으로 실근과 허근을 가르는 것은 계수가 모두 실수일 때만 할 수 있다.
↓ ✓ 바른 풀이
x ( x − i ) = 0 x(x-i)=0 x ( x − i ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 x = i x=i x = i 계수에 허수가 있으면 인수분해나 근의 공식으로 근을 직접 구한다. 이 식의 근 0 0 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 계수에 허수가 있으면 D D D D D D − b -b − b 2 a 2a 2 a