수학 개념 노트전체 과목

연립이차부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
연립이차부등식은 각 부등식의 해를 구한 뒤 수직선에서 공통부분을 찾아요. 이차방정식의 두 근의 부호 조건은 판별식과 근과 계수의 관계로 나타내요.
  1. 1연립이차부등식의 뜻
  2. 2일차부등식과 이차부등식의 연립
  3. 3이차부등식과 이차부등식의 연립
  4. 4정수해의 개수
  5. 5이차방정식의 근의 조건
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1연립이차부등식의 뜻

정의연립이차부등식
두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립부등식이라 한다. 연립부등식에서 차수가 가장 높은 부등식이 이차부등식일 때, 이것을 연립이차부등식이라 한다.
예를 들어 다음은 모두 연립이차부등식이다.{2x−1>3x2−5x+4≤0{x2−x−6<0x2−1≥0\begin{cases} 2x-1>3 \\ x^2-5x+4\le0 \end{cases}\qquad \begin{cases} x^2-x-6<0 \\ x^2-1\ge0 \end{cases}

연립부등식의 해는 두 부등식을 동시에 참이 되게 하는 xx 의 값의 범위예요. 그러므로 각 부등식의 해를 구한 뒤 그 공통부분을 찾아요. 공통부분은 교집합과 같은 생각이에요.

학생
공통부분은 어떻게 찾아요?
쌤
두 해를 한 수직선 위에 함께 나타내면 겹치는 부분이 한눈에 보여요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x>1x>1 과 −2<x<3-2<x<3 을 연립한 해는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

두 해를 수직선 위에 함께 나타내면 겹치는 부분이 한눈에 보여요.

연립이차부등식 풀기
  1. 1
    각 부등식을 따로 풀어요.
    일차부등식은 일차부등식대로, 이차부등식은 「작다는 사이, 크다는 바깥」으로.
  2. 2
    두 해를 하나의 수직선 위에 나타내요.
    경계값은 작은 수부터 차례로 수직선에 찍어요. 등호가 있으면 ●, 없으면 ○.
  3. 3
    두 범위가 모두 겹치는 부분을 읽어요.
    겹치는 부분이 두 조각이면 「또는」으로 이어요. 겹치지 않으면 해는 없어요.
  4. 4
    경계값마다 두 부등식에 넣어 보고 등호를 확인해요.
    두 부등식을 모두 만족할 때만 경계값이 해에 들어가요.

2일차부등식과 이차부등식의 연립

일차부등식과 이차부등식이 섞여 있으면 각각 따로 풀어요. 이차부등식은 「작다는 사이, 크다는 바깥」으로 풀어요.
그다음 겹치는 부분을 읽어요.

{2x−1>3x2−5x+4≤0\begin{cases} 2x-1>3 \\ x^2-5x+4\le0 \end{cases}
2x>4 ⇒ x>22x>4\ \Rightarrow\ x>2
↳첫째 부등식
(x−1)(x−4)≤0 ⇒ 1≤x≤4(x-1)(x-4)\le0\ \Rightarrow\ 1\le x\le4
↳둘째: 작다는 사이
x>2x>2
1≤x≤41\le x\le4
012345
겹치는 부분 2<x≤42<x\le4 가 해예요.
x=2x=2 는 첫째 부등식이 3>33>3 으로 거짓이라 빠지고, x=4x=4 는 두 부등식을 모두 만족해 들어가요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x−1≥0x2−4<0\begin{cases} x-1\ge0 \\ x^2-4<0 \end{cases} 의 해는?
공통부분과 합치기
✗ 틀린 풀이
x>2x>2 와 1≤x≤41\le x\le4 를 합쳐서
x≥1x\ge1
왜 틀렸나 연립부등식은 두 부등식을 동시에 만족해야 하므로 두 범위가 겹치는 부분만 해이다.
✓ 바른 풀이
x>2x>2 와 1≤x≤41\le x\le4 의 공통부분
2<x≤42<x\le4
수직선에 두 범위를 그려 겹치는 부분을 읽는다. 경계 22 는 빈 점, 44 는 찬 점이다.

3이차부등식과 이차부등식의 연립

이차부등식끼리 연립할 때 한 부등식의 해가 「바깥」 꼴이면 공통부분이 두 조각으로 나뉠 수 있어요. 각 조각을 「또는」으로 이어 써요.

{x2−x−6<0x2−1≥0\begin{cases} x^2-x-6<0 \\ x^2-1\ge0 \end{cases}
(x+2)(x−3)<0 ⇒ −2<x<3(x+2)(x-3)<0\ \Rightarrow\ -2<x<3
↳첫째: 사이
(x+1)(x−1)≥0 ⇒ x≤−1 또는 x≥1(x+1)(x-1)\ge0\ \Rightarrow\ x\le-1\ \text{또는}\ x\ge1
↳둘째: 바깥
−2<x<3-2<x<3
x≤−1x\le-1
x≥1x\ge1
-3-2-101234
겹치는 부분이 두 조각이에요. 따라서 −2<x≤−1-2<x\le-1 또는 1≤x<31\le x<3
학생
두 조각의 경계값은 들어가는지 어떻게 정해요?
쌤
그 경계를 만든 부등식의 등호를 따라요.
이 예에서 −2, 3-2,\ 3 은 등호가 없는 첫째 부등식의 경계라 빠지고, −1, 1-1,\ 1 은 등호가 있는 둘째 부등식의 경계라 들어가요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x2−9<0x2−4x>0\begin{cases} x^2-9<0 \\ x^2-4x>0 \end{cases} 의 해는?
경계값의 등호
✗ 틀린 풀이
−2≤x≤−1-2\le x\le-1 또는 1≤x≤31\le x\le3
왜 틀렸나 경계값을 해에 넣을지는 그 경계를 만든 부등식에 등호가 있는지에 따라 정한다.
✓ 바른 풀이
−2<x≤−1-2<x\le-1 또는 1≤x<31\le x<3
확인: x=−2x=-2 를 첫째 부등식에 넣으면 4+2−6<04+2-6<0, 곧 0<00<0 이 되어 거짓이다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기틀리기 쉬운 곳
성질A<B<CA<B<C 꼴의 부등식
A<B<CA<B<C 는 「A<BA<B 이고 B<CB<C」라는 뜻이다. 따라서 다음 연립부등식으로 바꾸어 푼다.{A<BB<C\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases}예) 2x−3<x2≤x+62x-3<x^2\le x+6 을 연립하여 풀면
2x−3<x22x-3<x^2 에서 x2−2x+3>0x^2-2x+3>0 이고, x2−2x+3=(x−1)2+2>0x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0 이므로 해는 모든 실수
x2≤x+6x^2\le x+6 에서 (x+2)(x−3)≤0(x+2)(x-3)\le0 이므로 −2≤x≤3-2\le x\le3
따라서 −2≤x≤3-2\le x\le3
A<B<CA<B<C 를 A<CA<C 로 줄이기
✗ 틀린 풀이
2x−3<x2≤x+62x-3<x^2\le x+6 에서
가운데를 빼고 2x−3<x+62x-3<x+6
따라서 x<9x<9
왜 틀렸나 A<B<CA<B<C 는 A<BA<B 와 B<CB<C 를 연립한 것이므로 가운데 식을 빼면 조건을 잃는다.
✓ 바른 풀이
{2x−3<x2x2≤x+6\begin{cases} 2x-3<x^2 \\ x^2\le x+6 \end{cases} 을 연립하여 풀면
−2≤x≤3-2\le x\le3
확인: 바른 답 안의 x=0x=0 은 −3<0≤6-3<0\le6 으로 두 부등식을 모두 만족한다.

4정수해의 개수

정수해를 묻는 문제는 먼저 연립부등식을 끝까지 푼 뒤, 공통부분 안에 있는 정수를 하나씩 적어 세요.
특히 경계값이 정수이면 등호가 있는지 꼭 확인해요.

{x2−x−6<0x2−1≥0\begin{cases} x^2-x-6<0 \\ x^2-1\ge0 \end{cases} 의 정수해
−2<x≤−1-2<x\le-1
1≤x<31\le x<3
-3-2-101234
정수해
정수해
정수해
두 조각 안의 정수는 −1, 1, 2-1,\ 1,\ 2 로 33 개예요. −2-2 와 33 은 등호가 없어 빠져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1<x≤41<x\le4 를 만족하는 정수 xx 의 개수는?

5이차방정식의 근의 조건

공식두 근의 부호 조건 (두 근 α, β\alpha,\ \beta 가 실수)
두 근이 모두 양수
D≥0,α+β>0,αβ>0\displaystyle D\ge0,\quad \alpha+\beta>0,\quad \alpha\beta>0
두 실수가 모두 양수   ⟺  \iff 합도 양수, 곱도 양수.
두 근이 모두 음수
D≥0,α+β<0,αβ>0\displaystyle D\ge0,\quad \alpha+\beta<0,\quad \alpha\beta>0
곱은 양수(부호가 같다), 합은 음수.
두 근이 서로 다른 부호
αβ<0\displaystyle \alpha\beta<0
곱이 음수이면 D>0D>0 은 저절로 성립한다.
성질왜 판별식 조건이 필요한가
근과 계수의 관계만 보면 허근도 「합 양수, 곱 양수」가 될 수 있다.
예) x2−2x+5=0x^2-2x+5=0 은 두 근의 합이 22, 곱이 55 이지만 D4=1−5=−4<0\frac{D}{4}=1-5=-4<0 이라 허근이다.
허수에는 양수·음수가 없으므로, 먼저 D≥0D\ge0 으로 두 근이 실수 임을 보장해야 한다.
「서로 다른 두 근」이라고 하면 D≥0D\ge0 대신 D>0D>0 을 쓴다.
x2−2kx+k+6=0x^2-2kx+k+6=0 의 두 근이 모두 양수일 때 kk 의 범위
D4=k2−(k+6)=(k+2)(k−3)≥0\frac{D}{4}=k^2-(k+6)=(k+2)(k-3)\ge0
↳두 근이 실수
k≤−2 또는 k≥3k\le-2\ \text{또는}\ k\ge3
α+β=2k>0 ⇒ k>0\alpha+\beta=2k>0\ \Rightarrow\ k>0
↳합이 양수
αβ=k+6>0 ⇒ k>−6\alpha\beta=k+6>0\ \Rightarrow\ k>-6
↳곱이 양수
D≥0D\ge0
D≥0D\ge0
합·곱 >0>0
-7-6-5-4-3-2-1012345
합과 곱의 조건을 함께 만족하는 범위는 k>0k>0 이에요. 세 조건이 모두 겹치는 부분은 k≥3k\ge3 이에요.
검산: k=3k=3 이면 (x−3)2=0(x-3)^2=0 이므로 근 33 (중근)은 양수예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
이차방정식 x2+2x+k−3=0x^2+2x+k-3=0 의 두 근의 부호가 서로 다를 조건은?
판별식을 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
2k>02k>0, k+6>0k+6>0 만 연립하여
k>0k>0
왜 틀렸나 두 근이 모두 양수일 조건에는 합·곱의 조건과 함께 실근을 가질 조건 D≥0D\ge0 이 필요하다.
✓ 바른 풀이
D≥0D\ge0 까지 세 조건을 연립하여
k≥3k\ge3
바른 계산은 D4=k2−k−6≥0\frac{D}{4}=k^2-k-6\ge0 에서 k≤−2k\le-2 또는 k≥3k\ge3 을 얻어 나머지 조건과 연립한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제

계수가 실수인 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 두 근을 α, β\alpha,\ \beta 라 하면
판별식 D=b2−4acD=b^2-4ac
α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a}
αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a}
두 근의 부호에 대한 조건은 이 세 값의 부호에 대한 연립부등식이 돼요.

성질부호가 다를 때 판별식이 필요 없는 이유
αβ=ca<0\alpha\beta=\frac{c}{a}<0 이면 aa 와 cc 의 부호가 달라 ac<0ac<0 이다.
따라서 D=b2−4acD=b^2-4ac 에서 b2≥0b^2\ge0, −4ac>0-4ac>0 이므로 D>0D>0
즉 곱이 음수이기만 하면 서로 다른 두 실근이 저절로 생긴다.
예두 근의 부호가 서로 다를 조건
x2+(k−3)x+k−5=0x^2+(k-3)x+k-5=0 의 두 근의 부호가 서로 다르려면
αβ=k−5<0\alpha\beta=k-5<0
따라서 k<5k<5
판별식 조건은 따로 쓸 필요가 없어요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1연립이차부등식의 해는 각 부등식의 해를 따로 구한 뒤, 수직선 위에서 모두 겹치는 부분(공통부분)이다.
  2. 2A<B<CA<B<C 꼴은 {A<BB<C\begin{cases} A<B \\ B<C \end{cases} 로 나누어 푼다. A<CA<C 로 줄이면 안 된다.
  3. 3경계값은 등호가 있는 부등식 쪽에서만 해에 들어간다. 정수해는 공통부분 안의 정수를 하나씩 센다.
  4. 4이차방정식의 두 근이 모두 양수이려면 D≥0D\ge0, α+β>0\alpha+\beta>0, αβ>0\alpha\beta>0 이어야 하고, 두 근의 부호가 서로 다르려면 αβ<0\alpha\beta<0 이면 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 두 부등식의 해를 합쳐(합집합) 써서 한쪽만 만족하는 범위까지 답에 넣어요.
  • A<B<CA<B<C 꼴을 A<CA<C 로 줄여서 풀어요. 반드시 A<BA<B, B<CB<C 로 나누어 연립해요.
  • 두 근이 모두 양수일 조건에서 판별식 조건 D≥0D\ge0 을 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    연립부등식 {3x−2≥x+2x2−6x+5<0\begin{cases} 3x-2\ge x+2 \\ x^2-6x+5<0 \end{cases} 을 푸시오.
  2. 예제 2
    연립부등식 {x2−2x−8≤02x2−5x+2>0\begin{cases} x^2-2x-8\le0 \\ 2x^2-5x+2>0 \end{cases} 의 해와 정수해의 개수를 구하시오.
  3. 예제 3
    이차방정식 x2+2kx+2k+3=0x^2+2kx+2k+3=0 의 두 근이 모두 음수일 때, 실수 kk 의 값의 범위를 구하시오.

다음 공부

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