수학 개념 노트전체 과목

인수분해

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
다항식을 인수의 곱으로 나타내는 것이 인수분해예요. 공통인수를 먼저 묶고, 곱셈 공식을 거꾸로 쓴 인수분해 공식 a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b), x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b), acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) 로 끝까지 인수분해해요.
  1. 1인수와 인수분해
  2. 2공통인수로 묶기
  3. 3인수분해 공식 — 완전제곱식과 제곱의 차
  4. 4인수분해 공식 — 이차식
  5. 5끝까지 인수분해하기와 검산
  6. 6인수분해 공식을 이용한 수의 계산
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1인수와 인수분해

정의인수와 인수분해
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 곱해진 각각의 식을 처음 식의 인수라 한다.
하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해 한다고 한다.
학생
인수분해는 전개랑 뭐가 달라요?
쌤
방향이 반대예요. 전개는 곱을 합으로 펼치고, 인수분해는 합을 곱으로 묶어요. 그래서 인수분해한 결과를 전개하면 처음 식이 나와야 해요.
전개를 거꾸로 읽기
(x+1)(x+2)=x2+3x+2(x+1)(x+2)=x^2+3x+2
↳전개
x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
↳거꾸로 읽으면 인수분해
넓이로 보는 x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
xx
22
xx
x2x^2
2x2x
11
xx
22
네 조각 x2x^2, 2x2x, xx, 22 를 모은 넓이 x2+3x+2x^2+3x+2 는 가로 x+2x+2, 세로 x+1x+1 인 직사각형 하나의 넓이예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3) 일 때 x2+5x+6x^2+5x+6 의 인수가 아닌 것은?
자세히 보기펼치기예제성질 더 보기
예인수 찾기
x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2+3x+2=(x+1)(x+2) 이므로 x2+3x+2x^2+3x+2 의 인수는
11, x+1x+1, x+2x+2, (x+1)(x+2)(x+1)(x+2)
x2+3x+2x^2+3x+2 를 나누어떨어지게 하는 식이 인수예요.
성질전개와 인수분해
전개는 곱 (x+1)(x+2)(x+1)(x+2) 를 합 x2+3x+2x^2+3x+2 로 바꾸는 것이다.
인수분해는 합 x2+3x+2x^2+3x+2 를 곱 (x+1)(x+2)(x+1)(x+2) 로 바꾸는 것이다.
두 계산은 서로 반대 방향이므로 인수분해한 결과를 전개하면 처음 식이 나와야 한다. 이것으로 검산한다.

2공통인수로 묶기

정의공통인수
다항식의 각 항에 공통으로 들어 있는 인수를 공통인수 라 한다.
분배법칙을 거꾸로 쓰면 공통인수를 괄호 밖으로 묶어 낼 수 있다.
ma+mb=m(a+b)ma+mb=m(a+b)
학생
공통인수는 수만 묶어요, 문자도 묶어요?
쌤
둘 다 묶어요. 수는 최대공약수만큼, 문자는 모든 항에 공통으로 들어 있는 만큼 남김없이 묶어요. 인수분해할 때는 항상 공통인수부터 확인해요.
공통인수로 묶기
2x2−6x=2x(x−3)2x^2-6x=2x(x-3)
↳공통인수 2x2x
3x2y−6xy2=3xy(x−2y)3x^2y-6xy^2=3xy(x-2y)
↳공통인수 3xy3xy
a(x+1)−b(x+1)=(x+1)(a−b)a(x+1)-b(x+1)=(x+1)(a-b)
↳다항식도 한 덩어리로
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3x2+6x3x^2+6x 를 인수분해한 것은?
공통인수를 모두 묶어야 한다
✗ 틀린 풀이
2x2−6x=2(x2−3x)2x^2-6x=2(x^2-3x)
왜 틀렸나 공통인수는 수와 문자를 모두 살펴 남김없이 묶어야 하므로 2x2x 로 묶는다.
✓ 바른 풀이
2x2−6x=2x(x−3)2x^2-6x=2x(x-3)
확인: 묶은 뒤 괄호 안 x−3x-3 에 공통인수가 더 없는지 본다.

3인수분해 공식 — 완전제곱식과 제곱의 차

정의완전제곱식
다항식의 제곱으로 된 식 또는 이 식에 상수를 곱한 식을 완전제곱식이라 한다.
공식인수분해 공식 1
완전제곱식 (합)
a2+2ab+b2=(a+b)2\displaystyle a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
완전제곱식 (차)
a2−2ab+b2=(a−b)2\displaystyle a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
제곱의 차
a2−b2=(a+b)(a−b)\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)
두 항이 모두 제곱이고 사이가 빼기일 때
학생
주어진 식이 완전제곱식인지는 어떻게 알아봐요?
쌤
첫째 항과 끝 항이 제곱이고, 가운데 항이 두 수의 곱의 22 배인지 봐요. 맞으면 (a±b)2(a\pm b)^2 꼴로 묶여요. 가운데 항 없이 a2−b2a^2-b^2 이면 (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) 예요.
완전제곱식인지 알아보기
4x2−12x+94x^2-12x+9
4x2=(2x)2,9=324x^2=(2x)^2,\quad 9=3^2
↳첫째 항과 끝 항이 제곱
2×2x×3=12x2\times2x\times3=12x
↳가운데 항이 곱의 22 배
4x2−12x+9=(2x−3)24x^2-12x+9=(2x-3)^2
↳가운데 항의 부호를 붙여요
성질완전제곱식이 되는 조건
x2+ax+bx^2+ax+b 가 완전제곱식이 되는 조건은
b=(a2)2b=\left(\frac{a}{2}\right)^2
곧 상수항은 xx 의 계수의 절반을 제곱한 것이다.
예: x2+kx+16x^2+kx+16 이 완전제곱식이면 16=4216=4^2 이므로
x2+kx+16=(x±4)2=x2±8x+16x^2+kx+16=(x\pm4)^2=x^2\pm8x+16 에서 k=8k=8 또는 k=−8k=-8
(x+4)2(x+4)^2 과 (x−4)2(x-4)^2 의 두 경우가 모두 있다.
제곱의 차
x2−9=x2−32=(x+3)(x−3)x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)
9x2−16y2=(3x)2−(4y)29x^2-16y^2=(3x)^2-(4y)^2
↳두 항이 모두 제곱
=(3x+4y)(3x−4y)=(3x+4y)(3x-4y)
x4−1=(x2+1)(x2−1)x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)
↳더 되는 인수는 계속
=(x2+1)(x+1)(x−1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−25x^2-25 를 인수분해한 것은?
제곱의 차와 완전제곱식
✗ 틀린 풀이
x2−9=(x−3)2x^2-9=(x-3)^2
왜 틀렸나 가운데 항이 없는 a2−b2a^2-b^2 꼴은 합과 차의 곱 (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) 로 인수분해한다.
✓ 바른 풀이
x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9=(x+3)(x-3)
확인: (x+3)(x−3)(x+3)(x-3) 을 전개하면 x2−9x^2-9 이다.
x2+9x^2+9 처럼 두 제곱의 합은 이 공식으로 인수분해할 수 없다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? 곱셈 공식 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 의 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식이 돼요.
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

4인수분해 공식 — 이차식

공식인수분해 공식 2
x2x^2 의 계수가 11
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\displaystyle x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
곱이 상수항, 합이 xx 의 계수
x2x^2 의 계수가 11 이 아님
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\displaystyle acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
대각선으로 곱해 더한 값이 xx 의 계수
학생
공식에서 aa, bb 는 어떻게 찾아요?
쌤
곱하여 상수항, 더하여 xx 의 계수가 되는 두 수를 찾아요. x2−x−12x^2-x-12 는 곱이 −12-12, 합이 −1-1 인 33 과 −4-4 라서 (x+3)(x−4)(x+3)(x-4) 예요.
x2−x−12x^2-x-12 를 인수분해하기
(1, −12), (2, −6), (3, −4)(1,\,-12),\ (2,\,-6),\ (3,\,-4)
↳곱하여 −12-12
(−1, 12), (−2, 6), (−3, 4)(-1,\,12),\ (-2,\,6),\ (-3,\,4)
↳곱하여 −12-12
3+(−4)=−13+(-4)=-1
↳합이 −1-1 인 짝
x2−x−12=(x+3)(x−4)x^2-x-12=(x+3)(x-4)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+2x−15x^2+2x-15 를 인수분해한 것은?
곱과 합을 모두 확인한다
✗ 틀린 풀이
x2−x−12=(x−3)(x+4)x^2-x-12=(x-3)(x+4)
왜 틀렸나 곱이 −12-12 이고 합이 −1-1 인 두 수를 찾아야 하므로 두 수는 33 과 −4-4 이다.
✓ 바른 풀이
x2−x−12=(x+3)(x−4)x^2-x-12=(x+3)(x-4)
확인: (x+3)(x−4)(x+3)(x-4) 를 전개하면 x2−x−12x^2-x-12 이다. 곱과 합을 모두 맞춘다.

x2x^2 의 계수가 11 이 아니면 아래 그림처럼 대각선으로 곱해 더하는 방법을 쓰면 편리해요.

6x2+x−26x^2+x-2 를 인수분해하기
2x2x−1-1→−3x\to -3x3x3x22→4x\to 4x
xx (더하면 가운데 항)
6x2+x−2=(2x−1)(3x+2)6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)
  • ①x2x^2 의 계수 66 을 2×32\times3 으로, 상수항 −2-2 를 (−1)×2(-1)\times2 로 나눠 세로로 써요.
  • ②대각선으로 곱해 더해요: (−1)×3x+2×2x=x(-1)\times3x+2\times2x=x
  • ③xx 의 계수 11 과 같으면 가로로 읽어 (2x−1)(3x+2)(2x-1)(3x+2)
대각선 곱의 합이 맞지 않으면 짝을 바꾸어 다시 해 봐요.
대각선 곱의 합을 확인한다
✗ 틀린 풀이
6x2+x−2=(2x+1)(3x−2)6x^2+x-2=(2x+1)(3x-2)
왜 틀렸나 대각선으로 곱한 두 값의 합이 xx 의 계수 +1+1 과 부호까지 같아야 한다.
✓ 바른 풀이
6x2+x−2=(2x−1)(3x+2)6x^2+x-2=(2x-1)(3x+2)
확인: (2x−1)(3x+2)=6x2+4x−3x−2=6x2+x−2(2x-1)(3x+2)=6x^2+4x-3x-2=6x^2+x-2 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제외우기 카드

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 이므로
x2x^2 의 계수가 11 인 이차식은 곱하여 상수항, 더하여 xx 의 계수가 되는 두 정수를 찾으면 돼요.
인수분해는 이차방정식을 풀 때 바로 써요.

다른 문자가 섞인 경우
x2+xy−6y2x^2+xy-6y^2
3y×(−2y)=−6y23y\times(-2y)=-6y^2
↳곱하여 −6y2-6y^2
3y+(−2y)=y3y+(-2y)=y
↳더하여 yy
x2+xy−6y2=(x+3y)(x−2y)x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y)
인수분해 공식 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
a2+2ab+b2=(a+b)□a^2+2ab+b^2=(a+b)^{\square}
단계 1 / 2
a2−b2=(a+b)(a □ b)a^2-b^2=(a+b)(a\ \square\ b)
단계 1 / 2곱은 상수항, 합은 x의 계수
x2+(a+b)x+ab=(x+□)(x+□)x^2+(a+b)x+ab=(x+\square)(x+\square)
단계 1 / 2
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+□)(cx+□)acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+\square)(cx+\square)

5끝까지 인수분해하기와 검산

인수분해하는 순서
  1. 1
    공통인수가 있으면 먼저 묶어요.
  2. 2
    남은 식의 꼴을 보고 알맞은 공식을 써요.
    두 항이면 제곱의 차, 세 항이면 완전제곱식이나 이차식의 공식
  3. 3
    인수분해되는 인수가 남아 있으면 계속해요.
  4. 4
    전개하여 처음 식이 나오는지 확인해요.
학생
공통인수를 묶었으면 끝난 거 아니에요?
쌤
아니에요. 남은 식에 공식을 또 쓸 수 있는지 꼭 확인해요. 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 해야 끝이에요.
공통인수를 묶은 뒤 공식 쓰기
2x2−82x^2-8
2x2−8=2(x2−4)2x^2-8=2(x^2-4)
↳공통인수 22 먼저
=2(x+2)(x−2)=2(x+2)(x-2)
↳제곱의 차
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3x2−123x^2-12 를 끝까지 인수분해한 것은?
더 인수분해할 수 있는지 확인한다
✗ 틀린 풀이
2x2−8=2(x2−4)2x^2-8=2(x^2-4)
왜 틀렸나 공통인수로 묶은 뒤 괄호 안이 다시 인수분해되면 끝까지 인수분해해야 한다.
✓ 바른 풀이
2x2−8=2(x+2)(x−2)2x^2-8=2(x+2)(x-2)
괄호 안 x2−4x^2-4 는 x2−22x^2-2^2 이므로 합과 차의 곱으로 한 번 더 인수분해한다.

6인수분해 공식을 이용한 수의 계산

수의 계산도 인수분해 공식을 쓰면 간단해져요.
특히 두 제곱의 차는 합과 차의 곱으로 바꾸면 계산이 쉬워요.

공식수의 계산
공통인수
17×35+17×65=17×(35+65)=1700\displaystyle 17\times35+17\times65=17\times(35+65)=1700
제곱의 차
512−492=(51+49)(51−49)=200\displaystyle 51^2-49^2=(51+49)(51-49)=200
제곱의 차
992−1=(99+1)(99−1)=9800\displaystyle 99^2-1=(99+1)(99-1)=9800
완전제곱식
982+4×98+4=(98+2)2=10000\displaystyle 98^2+4\times98+4=(98+2)^2=10000
학생
어떤 공식을 쓸지는 어떻게 정해요?
쌤
식의 모양을 봐요. 같은 수가 곱해진 항이 있으면 공통인수, 두 제곱의 뺄셈이면 제곱의 차, 982+4×98+498^2+4\times98+4 처럼 세 항이면 완전제곱식이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
532−47253^2-47^2 의 값은?
자세히 보기펼치기예제
식의 값
x=2+1x=\sqrt{2}+1 일 때 x2−2x+1x^2-2x+1
x2−2x+1=(x−1)2x^2-2x+1=(x-1)^2
↳먼저 인수분해
x−1=2x-1=\sqrt{2}
↳x=2+1x=\sqrt2+1 에서 11 을 빼요
(x−1)2=(2)2=2(x-1)^2=(\sqrt{2})^2=2
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 한다. 인수분해는 전개의 반대 과정이다.
  2. 2공통인수가 있으면 먼저 묶는다. ma+mb=m(a+b)ma+mb=m(a+b)
  3. 3완전제곱식은 a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2 이고, 제곱의 차는 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b) 로 인수분해한다.
  4. 4이차식은 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 와 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) 를 이용한다.
✗ 자주 하는 실수
  • x2−9=(x−3)2x^2-9=(x-3)^2 처럼 제곱의 차와 완전제곱식을 혼동해요.
  • x2−x−12x^2-x-12 를 인수분해할 때 곱만 맞추고 합을 확인하지 않아 (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) 처럼 부호를 바꾸어 써요.
  • 2x2−8=2(x2−4)2x^2-8=2(x^2-4) 처럼 공통인수만 묶고 더 인수분해할 수 있는 인수를 남겨요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 식을 인수분해하시오.
    (1) 3x2y−6xy23x^2y-6xy^2
    (2) 9x2−12x+49x^2-12x+4
    (3) 2x2−182x^2-18
  2. 예제 2
    다음 식을 인수분해하시오.
    (1) x2−2x−15x^2-2x-15
    (2) 3x2−10x+83x^2-10x+8
    (3) x2+xy−6y2x^2+xy-6y^2
  3. 예제 3
    (1) x2+kx+16x^2+kx+16 이 완전제곱식이 되도록 하는 상수 kk 의 값을 모두 구하시오.
    (2) 인수분해 공식을 이용하여 582−422\sqrt{58^2-42^2} 을 계산하시오.

다음 공부

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