수학 개념 노트전체 과목

이차방정식과 이차함수의 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차함수 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 의 그래프와 xx 축의 교점의 xx 좌표는 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 실근이에요. 그래서 판별식 DD 의 부호로 그래프와 xx 축의 위치 관계를 알 수 있어요.
  1. 1이차함수의 그래프 다시 보기 — 완전제곱식
  2. 2그래프와 xx 축의 교점
  3. 3판별식과 그래프와 xx 축의 위치 관계
  4. 4나란히 비교하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1이차함수의 그래프 다시 보기 — 완전제곱식

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 꼴로 주어지면 완전제곱식으로 고쳐야 꼭짓점이 보여요. 꼭짓점은 최대·최소를 구할 때도 써요.

공식y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 의 그래프
꼭짓점
(−b2a, −b2−4ac4a)\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)
꼭짓점의 yy 좌표는 −D4a-\frac{D}{4a} 이다.
축
x=−b2a\displaystyle x=-\frac{b}{2a}
볼록
a>0 아래로 볼록,a<0 위로 볼록\displaystyle a>0\ \text{아래로 볼록},\quad a<0\ \text{위로 볼록}
yy 절편
(0, c)\displaystyle (0,\ c)
x=0x=0 을 넣은 값이다.
완전제곱식으로 고치기
y=2x2−8x+5y=2x^2-8x+5
y=2(x2−4x)+5y=2(x^2-4x)+5
↳x2, xx^2,\ x 항만 22 로 묶어요
=2(x2−4x+4−4)+5=2(x^2-4x+4-4)+5
↳완전제곱식이 되게 44 를 더하고 빼요(절반 −2-2 의 제곱)
=2(x−2)2−8+5=2(x-2)^2-8+5
↳꺼낸 −4-4 에 22 를 곱해요
=2(x−2)2−3=2(x-2)^2-3
↳꼭짓점 (2, −3)(2,\ -3)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+6x+5y=x^2+6x+5 의 그래프의 꼭짓점은?
괄호 밖으로 꺼낼 때 계수 곱하기
✗ 틀린 풀이
2(x2−4x+4)−4+52(x^2-4x+4)-4+5
=2(x−2)2+1=2(x-2)^2+1
왜 틀렸나 괄호 안에서 뺀 44 는 계수 22 와 곱해져 있으므로 밖으로 꺼낼 때 2×4=82\times4=8 을 뺀다.
✓ 바른 풀이
2(x2−4x+4)−8+52(x^2-4x+4)-8+5
=2(x−2)2−3=2(x-2)^2-3
검산: x=0x=0 을 넣으면 처음 식은 55, 바른 식은 8−3=58-3=5 로 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 의 그래프는 y=ax2y=ax^2 의 그래프를 xx 축 방향으로 pp 만큼, yy 축 방향으로 qq 만큼 평행이동한 포물선이에요.
꼭짓점은 (p, q)(p,\ q), 축은 직선 x=px=p 이에요.
a>0a>0 이면 아래로 볼록, a<0a<0 이면 위로 볼록이고, ∣a∣|a| 가 클수록 폭이 좁아요.

꼭짓점이 이렇게 나오는 까닭: 일반적으로 y=a(x2+bax)+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4ay=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}xx 의 계수의 절반 b2a\frac{b}{2a} 를 제곱해 더하고 뺀 거예요.

계수가 음수일 때
y=−x2+4x+1y=-x^2+4x+1
y=−(x2−4x)+1y=-(x^2-4x)+1
↳−1-1 로 묶어요
=−(x2−4x+4)+4+1=-(x^2-4x+4)+4+1
↳꺼낸 −4-4 는 +4+4
=−(x−2)2+5=-(x-2)^2+5
↳꼭짓점 (2, 5)(2,\ 5), 위로 볼록

2그래프와 xx 축의 교점

xx 축 위의 점은 yy 좌표가 00 이에요. 그래서 그래프와 xx 축의 교점을 구하려면 y=0y=0 을 놓아요.
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0
이 이차방정식의 실근이 바로 교점의 xx 좌표예요.

y=x2−2x−3y=x^2-2x-3
x2−2x−3=0x^2-2x-3=0
↳y=0y=0 을 놓아요
(x+1)(x−3)=0(x+1)(x-3)=0
↳인수분해
x=−1 또는 x=3x=-1\ \text{또는}\ x=3
↳교점 (−1, 0), (3, 0)(-1,\ 0),\ (3,\ 0)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2−x−6y=x^2-x-6 의 그래프와 xx 축의 교점의 xx 좌표는?
공식같은 것을 두 가지로 읽기
방정식
ax2+bx+c=0 의 실근 α, β\displaystyle ax^2+bx+c=0\ \text{의 실근}\ \alpha,\ \beta
그래프
y=ax2+bx+c 와 x축의 교점 (α,0), (β,0)\displaystyle y=ax^2+bx+c\ \text{와}\ x\text{축의 교점}\ (\alpha,0),\ (\beta,0)
식
y=a(x−α)(x−β)\displaystyle y=a(x-\alpha)(x-\beta)
교점(두 근)을 알면 그래프의 식을 이렇게 쓸 수 있다.
예: xx 축과 (−1,0), (3,0)(-1,0),\ (3,0) 에서 만나고 a=2a=2 이면 y=2(x+1)(x−3)=2x2−4x−6y=2(x+1)(x-3)=2x^2-4x-6
자세히 보기펼치기예제성질 더 보기
계수가 바뀐 경우
y=2x2−3x−2y=2x^2-3x-2
2x2−3x−2=02x^2-3x-2=0
↳y=0y=0 을 놓아요
(2x+1)(x−2)=0(2x+1)(x-2)=0
↳인수분해
x=−12 또는 x=2x=-\frac12\ \text{또는}\ x=2
↳교점의 xx 좌표
교점의 xx 좌표는 분수일 수도 있어요.
성질xx 축이 잘라내는 선분의 길이
두 교점의 xx 좌표를 α, β\alpha,\ \beta 라 하면 근의 공식에서 ∣α−β∣=b2−4ac∣a∣=D∣a∣|\alpha-\beta|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}=\frac{\sqrt{D}}{|a|}예: y=x2−2x−3y=x^2-2x-3 에서 D=4+12=16D=4+12=16 이므로 두 교점 사이의 거리는 161=4\frac{\sqrt{16}}{1}=4
실제로 3−(−1)=43-(-1)=4 이다.

3판별식과 그래프와 xx 축의 위치 관계

이차방정식의 실근의 개수는 판별식 D=b2−4acD=b^2-4ac 의 부호로 정해져요. 실근의 개수가 곧 교점의 개수이므로 그래프와 xx 축의 위치 관계도 DD 의 부호로 정해져요.

정의접한다
그래프와 xx 축이 한 점에서만 만날 때 그래프는 xx 축에 접한다 고 하고, 그 점을 접점이라 한다. 이때 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 은 중근을 가지며 D=0D=0 이다.
공식y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 와 xx 축의 위치 관계 (D=b2−4acD=b^2-4ac)
D>0D>0
서로 다른 두 점에서 만난다\displaystyle \text{서로 다른 두 점에서 만난다}
서로 다른 두 실근
D=0D=0
한 점에서 만난다(접한다)\displaystyle \text{한 점에서 만난다(접한다)}
중근 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 가 접점의 xx 좌표이다. 꼭짓점이 xx 축 위에 있다.
D<0D<0
만나지 않는다\displaystyle \text{만나지 않는다}
서로 다른 두 허근(실근이 없다)
D≥0D\ge0
만난다\displaystyle \text{만난다}
접하는 경우까지 포함한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+4x+ky=x^2+4x+k 의 그래프가 xx 축에 접할 때 kk 의 값은?
⚠ 주의「만난다」와 「서로 다른 두 점에서 만난다」
「만난다」는 접하는 경우까지 포함하므로 D≥0D\ge0 이에요.
「서로 다른 두 점에서 만난다」는 D>0D>0 이에요.
또 문제에서 이차함수라고 했으면 이차항의 계수는 00 이 아니에요.
D4\frac{D}{4} 를 쓸 때
y=x2−6x+ky=x^2-6x+k
✗ 틀린 풀이
D4=(−6)2−k=36−k\frac{D}{4}=(-6)^2-k=36-k
왜 틀렸나 D4=b′2−ac\frac{D}{4}=b'^2-ac 의 b′b' 은 xx 의 계수의 절반이므로 −6-6 의 절반 −3-3 을 제곱한다.
✓ 바른 풀이
D4=(−3)2−k=9−k\frac{D}{4}=(-3)^2-k=9-k
확인: D=36−4kD=36-4k 를 44 로 나누면 9−k9-k 가 된다.
부호를 놓친 대입
y=−x2+2x−3y=-x^2+2x-3
✗ 틀린 풀이
D4=12−(−1)⋅3=4>0\frac{D}{4}=1^2-(-1)\cdot3=4>0
왜 틀렸나 음수 계수는 괄호째 넣으므로 a=−1, c=−3a=-1,\ c=-3 이면 ac=(−1)(−3)=3ac=(-1)(-3)=3 이다.
✓ 바른 풀이
D4=12−(−1)(−3)=−2<0\frac{D}{4}=1^2-(-1)(-3)=-2<0
확인: y=−(x−1)2−2y=-(x-1)^2-2 는 위로 볼록하고 꼭짓점이 xx 축 아래에 있으므로 xx 축과 만나지 않는다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기왜 그런지예제
성질왜 그런가
꼭짓점의 높이로 보기
꼭짓점의 yy 좌표는 −D4a-\frac{D}{4a} 이다. a>0a>0 (아래로 볼록)일 때
D>0D>0 이면 꼭짓점이 xx 축 아래에 있어 그래프가 xx 축을 두 번 지난다.
D=0D=0 이면 꼭짓점이 xx 축 위에 놓여 한 점에서 닿는다.
D<0D<0 이면 꼭짓점이 xx 축 위쪽에 떠 있어 만나지 않는다.
a<0a<0 (위로 볼록)이면 위아래가 뒤집히지만 결론은 같다.
위치 관계를 조사하는 순서
  1. 1
    y=0y=0 을 놓아 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 꼴로 정리해요.
    우변을 00 으로 만든 뒤 a, b, ca,\ b,\ c 를 읽어요.
  2. 2
    판별식을 계산해요.
    xx 의 계수가 짝수 2b′2b' 이면 D4=b′2−ac\frac{D}{4}=b'^2-ac 를 쓰면 편해요.
  3. 3
    DD 의 부호로 판정해요.
    양수 → 두 점, 00 → 접해요, 음수 → 만나지 않아요
세 가지 경우
y=x2−4x+4: D4=4−4=0y=x^2-4x+4:\ \frac{D}{4}=4-4=0
↳접해요, 접점 (2, 0)(2,\ 0)
y=−x2+2x−3: D4=1−3=−2<0y=-x^2+2x-3:\ \frac{D}{4}=1-3=-2<0
↳만나지 않아요
y=3x2+5x+1: D=25−12=13>0y=3x^2+5x+1:\ D=25-12=13>0
↳두 점에서 만나요
y=−x2+2x−3y=-x^2+2x-3 은 D4=12−(−1)(−3)\frac{D}{4}=1^2-(-1)(-3) 처럼 음수 계수를 괄호째 넣어요.

거꾸로 쓰는 방향: 위치 관계가 주어지면 판별식에 대한 조건이 돼요. 예를 들어 y=x2+4x+ky=x^2+4x+k 의 그래프가 xx 축과 만나려면(접하는 경우 포함) D≥0D\ge0 이어야 해요.
D4=22−k≥0\frac{D}{4}=2^2-k\ge0
따라서 k≤4k\le4

4나란히 비교하기

학생
결국 방정식과 그래프는 어떤 관계예요?
쌤
방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 실근이 그래프와 xx 축의 교점의 xx 좌표예요.
허근은 그래프에 나타나지 않아서, D<0D<0 이면 그래프가 xx 축과 만나지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2−2x+5y=x^2-2x+5 의 그래프와 xx 축의 교점의 개수는?

교점의 개수(위치 관계)만 물으면 방정식을 풀 필요 없이 판별식의 부호만 보면 돼요. 교점의 좌표까지 물을 때 방정식을 실제로 풀어요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

이 생각은 직선과의 위치 관계와 이차부등식에서 그대로 쓰여요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 는 y=a(x+b2a)2−b2−4ac4ay=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} 로 고칠 수 있다.
    꼭짓점은 (−b2a, −b2−4ac4a)\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{b^2-4ac}{4a}\right), 축은 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 이다.
  2. 2그래프와 xx 축의 교점의 xx 좌표는 y=0y=0 을 놓은 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 실근이다.
  3. 3D=b2−4acD=b^2-4ac 가 D>0D>0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D=0D=0 이면 접하고, D<0D<0 이면 만나지 않는다.
  4. 4거꾸로 「xx 축에 접한다」, 「xx 축과 만나지 않는다」 같은 조건은 판별식에 대한 등식·부등식이 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 완전제곱식으로 고칠 때 괄호 밖으로 꺼내는 수에 이차항의 계수를 곱하지 않아요.
  • D4\frac{D}{4} 를 쓰면서 xx 의 계수를 반으로 나누지 않고 그대로 제곱해요.
  • 「xx 축과 만난다」를 D>0D>0 으로만 써서 접하는 경우(D=0D=0)를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    이차함수 y=x2−5x+6y=x^2-5x+6 의 그래프와 xx 축의 교점의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    이차함수 y=x2−2kx+k+6y=x^2-2kx+k+6 의 그래프가 xx 축에 접할 때, 상수 kk 의 값을 모두 구하시오.
  3. 예제 3
    이차함수 y=−2x2+4x+ky=-2x^2+4x+k 의 그래프가 xx 축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 kk 의 값의 범위를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 →다음 개념: 이차함수의 최대·최소 →다음 개념: 이차부등식 →
이전 개념: 이차방정식의 판별식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 이차함수와 그래프, 중1 좌표평면과 그래프공통수학1 목차
← 근과 계수의 관계이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 →
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