수학 개념 노트전체 과목

근과 계수의 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 하면 α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a} 이에요. 이를 이용하여 근을 직접 구하지 않고 대칭식의 값을 구하고, 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 만들고, 이차식을 복소수 범위에서 인수분해해요.
  1. 1근과 계수의 관계
  2. 2두 근의 대칭식의 값
  3. 3두 수를 근으로 하는 이차방정식
  4. 4이차식의 인수분해(복소수 범위)
  5. 5켤레근의 성질
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1근과 계수의 관계

성질근과 계수의 관계
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 하면
두 근의 합은 −ba-\frac{b}{a} 이고, 두 근의 곱은 ca\frac{c}{a} 이다.α+β=−ba,αβ=ca\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}근이 허근이거나 중근이어도 성립한다(중근이면 α=β\alpha=\beta).
삼차방정식에도 같은 관계가 있다.
공식근과 계수의 관계
두 근의 합
α+β=−ba\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a}
부호가 바뀐다.
두 근의 곱
αβ=ca\displaystyle \alpha\beta=\frac{c}{a}
부호가 그대로이다.
두 근의 차
(α−β)2=b2−4aca2\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}
(α−β)2=(α+β)2−4αβ=b2a2−4ca(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a} 를 통분한 것이다.
두 근이 실수이면 ∣α−β∣=D∣a∣|\alpha-\beta|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}
학생
이 관계는 어디서 나온 거예요?
쌤
근의 공식으로 구한 두 근을 직접 더하고 곱해 보면 이렇게 나와요.
기본형
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0
α+β=−−51=5\alpha+\beta=-\frac{-5}{1}=5
↳두 근의 합
αβ=61=6\alpha\beta=\frac{6}{1}=6
↳두 근의 곱
2+3=5,2⋅3=62+3=5,\quad 2\cdot3=6
↳실제 두 근 2, 32,\ 3 으로 검산 ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3x2−6x+2=03x^2-6x+2=0 의 두 근의 합과 곱은?
합의 부호
✗ 틀린 풀이
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 에서
α+β=−5\alpha+\beta=-5
왜 틀렸나 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 에서 두 근의 합은 −ba-\frac{b}{a} 이므로 −- 를 붙여야 한다.
✓ 바른 풀이
α+β=−−51=5\alpha+\beta=-\frac{-5}{1}=5
확인: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3) 이므로 두 근 2, 32,\ 3 의 합은 55 이다.
x2x^2 의 계수로 나누기
✗ 틀린 풀이
2x2−6x+3=02x^2-6x+3=0 에서
α+β=6\alpha+\beta=6
αβ=3\alpha\beta=3
왜 틀렸나 두 근의 합은 −ba-\frac{b}{a}, 곱은 ca\frac{c}{a} 이므로 x2x^2 의 계수 aa 로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
α+β=62=3\alpha+\beta=\frac{6}{2}=3
αβ=32\alpha\beta=\frac{3}{2}
양변을 22 로 나누어 x2−3x+32=0x^2-3x+\frac32=0 으로 바꾼 뒤 읽어도 된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3성질 더 보기

왜 그런가: 근의 공식으로 구한 두 근을 더하고, 합차 공식 (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B)=A^2-B^2 으로 곱해 봐요. D=b2−4acD=b^2-4ac 로 줄여 써요.

두 근 −b±D2a\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} 의 합과 곱
α+β=−b+D2a+−b−D2a\alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}
↳근호 부분이 지워져요
=−2b2a=−ba=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}
αβ=(−b)2−(D)24a2=b2−D4a2\alpha\beta=\frac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2}=\frac{b^2-D}{4a^2}
↳합차 공식
=4ac4a2=ca=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}
↳b2−D=4acb^2-D=4ac

다른 방법으로도 확인할 수 있어요. α\alpha, β\beta 가 두 근이면 ax2+bx+cax^2+bx+c 는 x−αx-\alpha, x−βx-\beta 를 인수로 가지므로 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)(x−α)(x−β)(x-\alpha)(x-\beta) 는 x2x^2 의 계수가 11 이므로, x2x^2 의 계수 aa 를 맞추려고 앞에 aa 를 곱해요.
우변을 전개하면
a(x−α)(x−β)=ax2−a(α+β)x+aαβa(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta

양변의 계수를 비교하면
b=−a(α+β)b=-a(\alpha+\beta)
c=aαβc=a\alpha\beta
따라서 α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a}

성질틀로 외우기
□x2+△x+◯=0\square x^2+\triangle x+\bigcirc=0 이면
두 근의 합 =−△□=-\frac{\triangle}{\square}
두 근의 곱 =◯□=\frac{\bigcirc}{\square}
규칙 문장: 「합은 마이너스 aa 분의 bb, 곱은 aa 분의 cc」
분모는 둘 다 x2x^2 의 계수이고, 마이너스는 합에만 붙는다.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2부호에 주의
α+β=□ba\alpha+\beta=\square\frac{b}{a}
단계 1 / 2
αβ=□a\alpha\beta=\frac{\square}{a}
예계수가 바뀐 꼴
2x2+3x−4=02x^2+3x-4=0
α+β=−32\alpha+\beta=-\frac{3}{2}
αβ=−42=−2\alpha\beta=\frac{-4}{2}=-2
근을 구하지 않아도 합과 곱을 알 수 있어요.
허근인 경우
x2+2x+5=0x^2+2x+5=0
α+β=−2,αβ=5\alpha+\beta=-2,\quad \alpha\beta=5
↳근과 계수의 관계
(−1+2i)+(−1−2i)=−2(-1+2i)+(-1-2i)=-2
↳실제 두 근으로 검산 ✓
(−1+2i)(−1−2i)=1+4=5(-1+2i)(-1-2i)=1+4=5
↳검산 ✓

2두 근의 대칭식의 값

정의대칭식
α\alpha 와 β\beta 를 서로 바꾸어도 변하지 않는 식을 α\alpha, β\beta 의 대칭식이라 한다.
대칭식은 항상 α+β\alpha+\beta 와 αβ\alpha\beta 로 나타낼 수 있다.
공식대칭식의 변형
제곱의 합
α2+β2=(α+β)2−2αβ\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
차의 제곱
(α−β)2=(α+β)2−4αβ\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
(α−β)2=α2+β2−2αβ(\alpha-\beta)^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta 에 위의 식을 넣은 것이다.
역수의 합
1α+1β=α+βαβ\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}
통분한다.
세제곱의 합
α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
(α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3 에서 3αβ(α+β)3\alpha\beta(\alpha+\beta) 를 뺀 것이다.
분수 꼴
βα+αβ=α2+β2αβ\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}
공통인수
α2β+αβ2=αβ(α+β)\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\alpha\beta(\alpha+\beta)
학생
이 변형은 외워야 해요?
쌤
곱셈공식을 거꾸로 쓴 거라서 만들 수 있어요.
(α+β)2=α2+2αβ+β2(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2 에서 2αβ2\alpha\beta 를 빼면 α2+β2\alpha^2+\beta^2 이에요.
x2−3x+1=0x^2-3x+1=0 의 두 근 α\alpha, β\beta
α+β=3,αβ=1\alpha+\beta=3,\quad \alpha\beta=1
↳① 합과 곱
α2+β2=32−2⋅1=7\alpha^2+\beta^2=3^2-2\cdot1=7
↳제곱의 합
(α−β)2=32−4⋅1=5(\alpha-\beta)^2=3^2-4\cdot1=5
↳차의 제곱
1α+1β=31=3\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{3}{1}=3
↳역수의 합
α3+β3=33−3⋅1⋅3=18\alpha^3+\beta^3=3^3-3\cdot1\cdot3=18
↳세제곱의 합
순서: ① α+β\alpha+\beta, αβ\alpha\beta 를 구하고 ② 구하는 식을 위 변형 표로 합과 곱의 식으로 고친 뒤 ③ 값을 넣어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−4x+2=0x^2-4x+2=0 의 두 근을 α, β\alpha,\ \beta 라 할 때 α2+β2\alpha^2+\beta^2 의 값은?
제곱의 합
✗ 틀린 풀이
α2+β2=(α+β)2\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2
=9=9
왜 틀렸나 (α+β)2(\alpha+\beta)^2 에는 2αβ2\alpha\beta 가 들어 있으므로 제곱의 합은 그만큼 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
=9−2=7=9-2=7
α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta 는 자주 쓰므로 공식으로 기억한다.
세제곱의 합
✗ 틀린 풀이
α3+β3=(α+β)3−3αβ\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta
=27−3=24=27-3=24
왜 틀렸나 (α+β)3(\alpha+\beta)^3 에서 빼는 항은 3α2β+3αβ2=3αβ(α+β)3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2=3\alpha\beta(\alpha+\beta) 이다.
✓ 바른 풀이
α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
=27−9=18=27-9=18
확인: α=1, β=2\alpha=1,\ \beta=2 를 넣으면 1+8=91+8=9, 27−3⋅2⋅3=927-3\cdot2\cdot3=9 로 같다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질검산
실제 두 근 3±52\frac{3\pm\sqrt5}{2} 로 확인할 수 있다.
(3+52)2=7+352\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{7+3\sqrt5}{2}
(3−52)2=7−352\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{7-3\sqrt5}{2}
두 값을 더하면 77 ✓
근을 직접 넣는 것보다 근과 계수의 관계가 훨씬 간단하다.

3두 수를 근으로 하는 이차방정식

성질두 수를 근으로 하는 이차방정식
두 수 α\alpha, β\beta 를 근으로 하고 x2x^2 의 계수가 11 인 이차방정식은x2−(α+β)x+αβ=0x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0즉 x2−(두 근의 합)x+(두 근의 곱)=0x^2-(\text{두 근의 합})x+(\text{두 근의 곱})=0 이다.
x2x^2 의 계수가 aa 이면 a{x2−(α+β)x+αβ}=0a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}=0 이다.
학생
이 식은 어디서 나온 거예요?
쌤
(x−α)(x−β)=0(x-\alpha)(x-\beta)=0 을 전개한 식이에요.
x=αx=\alpha 나 x=βx=\beta 를 넣으면 00 이 되니까 둘 다 근이에요.
기본형
2+32+\sqrt3, 2−32-\sqrt3 을 두 근으로
(2+3)+(2−3)=4(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4
↳두 근의 합
(2+3)(2−3)=4−3=1(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1
↳두 근의 곱
x2−4x+1=0x^2-4x+1=0
↳x2−(합)x+(곱)=0x^2-(\text{합})x+(\text{곱})=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3, −53,\ -5 를 두 근으로 하고 x2x^2 의 계수가 11 인 이차방정식은?
합 앞의 부호
✗ 틀린 풀이
2±32\pm\sqrt3 을 두 근으로 하는 이차방정식은
x2+4x+1=0x^2+4x+1=0
왜 틀렸나 두 근을 갖는 이차방정식은 x2−(합)x+(곱)=0x^2-(\text{합})x+(\text{곱})=0 이므로 xx 의 계수에 −- 를 붙인다.
✓ 바른 풀이
x2−4x+1=0x^2-4x+1=0
합 44, 곱 (2+3)(2−3)=1(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1 을 넣는다.
확인: 바른 식에 x=2+3x=2+\sqrt3 을 넣으면 00 이 된다.
자세히 보기펼치기예제 2
계수가 바뀐 꼴
1+2i1+2i, 1−2i1-2i 를 두 근으로 하고 x2x^2 의 계수가 22
(1+2i)+(1−2i)=2(1+2i)+(1-2i)=2
↳두 근의 합
(1+2i)(1−2i)=1+4=5(1+2i)(1-2i)=1+4=5
↳두 근의 곱
2(x2−2x+5)=02(x^2-2x+5)=0
↳x2x^2 의 계수 22 를 곱해요
2x2−4x+10=02x^2-4x+10=0
근이 식으로 주어진 꼴
α2\alpha^2, β2\beta^2 을 두 근으로
α2+β2=(α+β)2−2αβ=7\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7
↳새 두 근의 합
α2β2=(αβ)2=1\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=1
↳새 두 근의 곱
x2−7x+1=0x^2-7x+1=0
α, β\alpha,\ \beta 는 x2−3x+1=0x^2-3x+1=0 의 두 근이에요(α+β=3\alpha+\beta=3, αβ=1\alpha\beta=1). 구하는 방정식의 x2x^2 의 계수는 11 이에요.

4이차식의 인수분해(복소수 범위)

성질이차식의 인수분해
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 하면 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)앞에서 본 것처럼 우변을 전개하면 ax2−a(α+β)x+aαβ=ax2+bx+cax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=ax^2+bx+c 가 된다.
복소수 범위에서는 이차방정식이 항상 두 근을 가지므로, 모든 이차식은 일차식의 곱으로 인수분해된다.
예기본형
x2+4x^2+4
x2+4=0x^2+4=0 의 근은 x=±2ix=\pm2i
따라서 x2+4=(x−2i)(x+2i)x^2+4=(x-2i)(x+2i)
학생
x2x^2 의 계수가 11 이 아니면요?
쌤
그 계수 aa 를 앞에 꼭 곱해요.
2x2−2x+1=2(x−1+i2)(x−1−i2)2x^2-2x+1=2\left(x-\frac{1+i}{2}\right)\left(x-\frac{1-i}{2}\right) 처럼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+9x^2+9 를 복소수 범위에서 인수분해하면?
x2x^2 의 계수 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
2x2−2x+1=(x−1+i2)(x−1−i2)2x^2-2x+1=\left(x-\frac{1+i}{2}\right)\left(x-\frac{1-i}{2}\right)
왜 틀렸나 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) 이므로 x2x^2 의 계수 aa 를 앞에 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
2x2−2x+1=2(x−1+i2)(x−1−i2)2x^2-2x+1=2\left(x-\frac{1+i}{2}\right)\left(x-\frac{1-i}{2}\right)
확인: 바른 식의 우변을 전개하면 2(x2−x+12)=2x2−2x+12\left(x^2-x+\frac12\right)=2x^2-2x+1 이다.
x−αx-\alpha 의 부호
✗ 틀린 풀이
x2+2x+5x^2+2x+5 의 두 근이 −1±2i-1\pm2i 이므로
x2+2x+5=(x−1−2i)(x−1+2i)x^2+2x+5=(x-1-2i)(x-1+2i)
왜 틀렸나 인수 x−αx-\alpha 에는 근을 괄호째 넣으므로 α=−1+2i\alpha=-1+2i 이면 x+1−2ix+1-2i 이다.
✓ 바른 풀이
x2+2x+5=(x+1−2i)(x+1+2i)x^2+2x+5=(x+1-2i)(x+1+2i)
확인: x=−1+2ix=-1+2i 를 넣으면 인수 x+1−2ix+1-2i 가 00 이 된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
인수분해하는 순서
  1. 1
    이차식 =0=0 으로 놓고 두 근 α\alpha, β\beta 를 구해요.
    근의 공식(짝수 공식)을 써요.
  2. 2
    a(x−α)(x−β)a(x-\alpha)(x-\beta) 꼴로 써요.
    x2x^2 의 계수 aa 를 앞에 반드시 곱해요.
예무리수 근
x2−2x−1x^2-2x-1
x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 의 근은 x=1±2x=1\pm\sqrt2
따라서 x2−2x−1=(x−1−2)(x−1+2)x^2-2x-1=(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)
예계수가 바뀐 꼴
2x2−2x+12x^2-2x+1
2x2−2x+1=02x^2-2x+1=0 의 근은 x=1±i2x=\frac{1\pm i}{2}
x2x^2 의 계수 22 를 앞에 곱해요.
2x2−2x+1=2(x−1+i2)(x−1−i2)2x^2-2x+1=2\left(x-\frac{1+i}{2}\right)\left(x-\frac{1-i}{2}\right)

5켤레근의 성질

성질계수가 실수일 때
a, b, ca,\ b,\ c 가 실수일 때, 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 한 근이 p+qip+qi (p, qp,\ q 는 실수, q≠0q\ne0) 이면 다른 한 근은 p−qip-qi 이다.
즉 허근은 서로 켤레복소수 인 두 수로 짝을 지어 나온다.
x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 (a, ba,\ b 는 실수) 의 한 근이 1+2i1+2i
다른 한 근=1−2i\text{다른 한 근}=1-2i
↳계수가 실수라 켤레근
(1+2i)+(1−2i)=2=−a ⇒ a=−2(1+2i)+(1-2i)=2=-a\ \Rightarrow\ a=-2
↳두 근의 합
(1+2i)(1−2i)=5=b(1+2i)(1-2i)=5=b
↳두 근의 곱
학생
왜 켤레끼리 짝을 지어 나와요?
쌤
D<0D<0 이면 두 근이 −b±−D i2a\frac{-b\pm\sqrt{-D}\,i}{2a} 이고, −b, 2a, −D-b,\ 2a,\ \sqrt{-D} 가 모두 실수라서 서로 켤레예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 (a, ba,\ b 는 실수) 의 한 근이 2−i2-i 일 때 bb 의 값은?
「실수」 조건이 없으면
✗ 틀린 풀이
x2−ix=0x^2-ix=0 의 한 근이 ii 이므로
다른 한 근은 −i-i 이다.
왜 틀렸나 켤레근의 성질은 계수가 모두 실수일 때만 쓸 수 있으므로 인수분해로 근을 직접 구한다.
✓ 바른 풀이
x(x−i)=0x(x-i)=0
따라서 두 근은 00, ii
확인: 두 근 0, i0,\ i 의 합 ii 는 −−i1-\frac{-i}{1} 과 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제

이유 1: D<0D<0 이면 두 근은 −b±−D i2a\frac{-b\pm\sqrt{-D}\,i}{2a} 이고, −b-b, 2a2a, −D\sqrt{-D} 가 모두 실수이므로 두 근은 서로 켤레복소수예요.
이유 2: α\alpha 가 근이면 aα2+bα+c=0a\alpha^2+b\alpha+c=0
양변의 켤레복소수를 생각하면 a, b, ca,\ b,\ c 가 실수이므로 aα‾2+bα‾+c=0a\overline{\alpha}^2+b\overline{\alpha}+c=0따라서 α‾\overline{\alpha} 도 근이에요.

성질계수가 유리수일 때
a, b, ca,\ b,\ c 가 유리수일 때, 이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 한 근이 p+qmp+q\sqrt m (p, qp,\ q 는 유리수, q≠0q\ne0, m\sqrt m 은 무리수) 이면 다른 한 근은 p−qmp-q\sqrt m 이다.
이유: 두 근 −b±D2a\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} 에서 −b-b, 2a2a 가 유리수이므로, 무리수 부분은 ±\pm 로 짝을 이룬다.
x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 (a, ba,\ b 는 유리수) 의 한 근이 2+32+\sqrt3
다른 한 근=2−3\text{다른 한 근}=2-\sqrt3
↳계수가 유리수
4=−a ⇒ a=−44=-a\ \Rightarrow\ a=-4
↳두 근의 합
4−3=1=b4-3=1=b
↳두 근의 곱
「유리수」 조건이 없으면
✗ 틀린 풀이
x2−23x+2=0x^2-2\sqrt3x+2=0 의 한 근이 1+31+\sqrt3 이므로
다른 한 근은 1−31-\sqrt3 이다.
왜 틀렸나 p+q3p+q\sqrt{3} 꼴의 켤레근 성질은 계수가 모두 유리수일 때만 쓸 수 있다.
✓ 바른 풀이
두 근은 3+1\sqrt3+1, 3−1\sqrt3-1 이다.
확인: 두 근 3+1\sqrt3+1, 3−1\sqrt3-1 의 합은 232\sqrt3, 곱은 22 로 계수와 맞는다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 하면 α+β=−ba\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, αβ=ca\alpha\beta=\frac{c}{a} 이다.
  2. 2α2+β2\alpha^2+\beta^2, 1α+1β\frac1\alpha+\frac1\beta 같은 대칭식은 α+β\alpha+\beta 와 αβ\alpha\beta 로 고쳐서 값을 구한다.
  3. 3두 수 α\alpha, β\beta 를 근으로 하고 x2x^2 의 계수가 11 인 이차방정식은 x2−(α+β)x+αβ=0x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0 이고, ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) 이다.
  4. 4계수가 실수이면 p+qip+qi 와 p−qip-qi, 계수가 유리수이면 p+qmp+q\sqrt m 과 p−qmp-q\sqrt m 이 짝을 지어 근이 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 두 근의 합을 ba\frac{b}{a} 로 써서 부호를 틀리거나, x2x^2 의 계수 aa 로 나누는 것을 잊어요.
  • α2+β2=(α+β)2\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2, α3+β3=(α+β)3−3αβ\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta 처럼 대칭식 변형에서 항을 빠뜨려요.
  • 계수가 실수(유리수)라는 조건을 확인하지 않고 켤레근을 쓰거나, 복소수 범위 인수분해에서 x2x^2 의 계수 aa 를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    이차방정식 2x2+4x−3=02x^2+4x-3=0 의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 할 때, α2+β2\alpha^2+\beta^2 과 1α+1β\frac1\alpha+\frac1\beta 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    두 수 2+i2+i, 2−i2-i 를 근으로 하고 x2x^2 의 계수가 33 인 이차방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    이차방정식 x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 의 한 근이 3−2i3-2i 일 때, 실수 aa, bb 의 값을 구하시오.

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