이차함수와 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

이차함수

y=ax^2+bx+c

(

a\ne0

) 의 그래프는 포물선이에요.

y=a(x-p)^2+q

의 그래프는

y=ax^2

의 그래프를 평행이동한 것으로 꼭짓점이

(p,\ q)

, 축이

x=p

이에요.

a

의 부호는 볼록한 방향,

|a|

는 폭을 정해요.

1이차함수의 뜻
2 $y=ax^2$ 의 그래프
3이차함수 $y=a(x-p)^2+q$ 의 그래프
4이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프
5그래프와 $a$ , $b$ , $c$ 의 부호
6이차함수의 식 구하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1이차함수의 뜻

한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형의 넓이를 $y$ 라 하면 $y=x^2$ 이에요.
이처럼 $y$ 가 $x$ 에 대한 이차식으로 나타내어지는 함수를 생각해요.

정의이차함수

함수

y=f(x)

에서

y

가

x

에 대한 이차식

y=ax^2+bx+c

(

a

b

c

는 상수,

a\ne0

)
로 나타내어질 때, 이 함수를

x

에 대한 이차함수 라 한다.

학생

a\ne0

이라는 조건은 왜 붙어요?

쌤

a=0

이면

x^2

항이 사라져

y=bx+c

가 돼요. 그러면 더 이상 이차함수가 아니에요.

예이차함수인지 판단하기

우변을 전개하여 정리한 뒤

x^2

의 계수가

0

이 아닌지 봐요.

y=x(x-2)=x^2-2x

이므로 이차함수예요.

y=x^2-(x+1)^2=-2x-1

이므로 일차함수예요.

y=\frac{1}{x^2}

은 분모에

x

가 있으므로 이차함수가 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 이차함수인 것은?

자세히 보기펼치기예제

예함숫값

f(x)=x^2-3x+1

일 때

x=2

에서의 함숫값은

f(2)=2^2-3\times2+1=-1

2 $y=ax^2$ 의 그래프

y=x^2

위의 점

x=-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3

일 때

y=9,\ 4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4,\ 9

예요.

x

의 값을 실수 전체로 넓혀 매끄럽게 이으면 아래로 볼록한 곡선이 돼요.

정의포물선, 축, 꼭짓점

y=x^2

의 그래프와 같은 모양의 곡선을 포물선이라 한다.
포물선은 선대칭도형이고, 그 대칭축을 포물선의 축이라 한다.

정의꼭짓점

포물선과 축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라 한다.

y=x^2

의 그래프에서 축은

y

축, 꼭짓점은 원점이다.

학생

y=ax^2

의 그래프는

a

에 따라 어떻게 달라요?

쌤

a>0

이면 아래로 볼록,

a<0

이면 위로 볼록해요.

a

의 절댓값이 클수록 폭이 좁아요. 꼭짓점은 항상 원점이에요.

공식

y=ax^2

의 그래프의 성질

꼭짓점

\displaystyle (0,\ 0)

축

\displaystyle x=0

a>0

\displaystyle \text{아래로 볼록}

a<0

\displaystyle \text{위로 볼록}

폭

\displaystyle |a|\text{ 가 클수록 좁다}

예:

y=2x^2

은

y=\frac{1}{2}x^2

보다 폭이 좁다.

y=ax^2

과

y=-ax^2

\displaystyle \text{x 축에 대하여 대칭}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 그래프의 폭이 가장 좁은 것은?

자세히 보기펼치기공식 더 보기그림

공식

y=x^2

의 그래프의 성질

꼭짓점

\displaystyle (0,\ 0)

원점

축

\displaystyle x=0

y

축에 대하여 대칭이다.

모양

\displaystyle \text{아래로 볼록}

y=x^2

의 증가·감소

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$y=x^2$	↘	최소 $0$	↗

x<0

에서는 감소,

x>0

에서는 증가하고, 꼭짓점

x=0

에서 가장 작아요.

3이차함수 $y=a(x-p)^2+q$ 의 그래프

공식평행이동한 그래프

y=ax^2+q

\displaystyle \text{꼭짓점 }(0,\ q)

축은

x=0

이다.

y

축의 방향으로

q

만큼 이동한 것이다.

y=a(x-p)^2

\displaystyle \text{꼭짓점 }(p,\ 0)

축은

x=p

이다.

x

축의 방향으로

p

만큼 이동한 것이다.

y=a(x-p)^2+q

\displaystyle \text{꼭짓점 }(p,\ q)

축은

x=p

이다.

x

축의 방향으로

p

만큼,

y

축의 방향으로

q

만큼 이동한 것이다.

학생

y=a(x-p)^2

은 왜

-p

가 아니라

p

만큼 이동해요?

쌤

x=p

를 넣어야 괄호 안이

0

이 되어, 원점에 있던 꼭짓점의

y

값

0

이 나와요. 그래서 꼭짓점이

x=p

로 옮겨 가요.

y=(x+1)^2

이면

x=-1

쪽으로 가요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=2(x+3)^2-1

의 그래프의 꼭짓점은?

x

축의 방향으로의 이동

✗ 틀린 풀이

y=(x+2)^2

의 꼭짓점은

(2,\ 0)

왜 틀렸나

y=(x-p)^2

의 꼭짓점은

(p,\ 0)

이고

x+2=x-(-2)

이므로

p=-2

이다.

✓ 바른 풀이

y=(x+2)^2

의 꼭짓점은

(-2,\ 0)

괄호 안이

0

이 되는

x

의 값이 꼭짓점의

x

좌표이다.

x+2=0

에서

x=-2

이다.

성질외우는 말

「괄호 안을

0

으로 만드는

x

가 꼭짓점의

x

좌표, 뒤에 더한 수가

y

좌표」

y=-3(x+1)^2+2

의 꼭짓점은

(-1,\ 2)

이다.
축은

x=-1

이다.

x^2

의 계수가

-3<0

이므로 위로 볼록하다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? $y=2x^2+3$ 의 $y$ 의 값은 같은 $x$ 에서 $y=2x^2$ 의 값보다 항상 $3$ 만큼 커요.
그래서 $y=2x^2+3$ 의 그래프는 $y=2x^2$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 거예요.
$y=2(x-1)^2$ 은 $x$ 에 $1$ 만큼 큰 값을 넣어야 $y=2x^2$ 과 같은 값이 나와요.
그래서 $y=2(x-1)^2$ 의 그래프는 $y=2x^2$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동한 거예요.

4이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프

$y=ax^2+bx+c$ 는 완전제곱식을 이용하여 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로 고치면 꼭짓점과 축을 알 수 있어요.
이차방정식을 완전제곱식으로 풀 때와 같은 방법이에요.
이 꼴로 최댓값과 최솟값도 구할 수 있어요.

학생

어떻게 고쳐요? 순서가 헷갈려요.

쌤

x^2

의 계수로

x

항까지 묶고, 괄호 안에

x

의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼요. 뺀 수를 괄호 밖으로 꺼낼 때는 묶은 계수를 곱해요.

y=2x^2-8x+5

를

y=a(x-p)^2+q

꼴로

y=2(x^2-4x)+5

↳◀

x^2

의 계수로 묶어요

y=2(x^2-4x+4-4)+5

↳◀

\left(\frac{-4}{2}\right)^2=4

를 더하고 빼요

y=2(x-2)^2-8+5

↳◀

-4

에

2

를 곱해 밖으로

y=2(x-2)^2-3

↳◀꼭짓점

(2,\ -3)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=x^2-6x+5

를

y=(x-p)^2+q

꼴로 고친 것은?

괄호 밖으로 꺼낼 때

✗ 틀린 풀이

y=2(x^2-4x+4-4)+5=2(x-2)^2-4+5

왜 틀렸나 괄호 안의

-4

는 계수

2

와 곱해져 있으므로 밖으로 꺼낼 때

2\times(-4)=-8

이 된다.

✓ 바른 풀이

y=2(x^2-4x+4-4)+5=2(x-2)^2-8+5

확인:

x=0

을 넣으면 처음 식은

5

, 바른 식

2(0-2)^2-8+5

도

5

이다.

y=x^2-2x-3

이 축과 만나는 점

x=0\ \to\ y=-3

↳◀

y

축과

(0,\ -3)

x^2-2x-3=0

↳◀

y=0

을 넣어요

(x+1)(x-3)=0\ \to\ x=-1,\ 3

↳◀

x

축과

(-1,\ 0)

(3,\ 0)

y=x^2-2x-3

의 그래프

x

축과 만나는 점의

x

좌표는 이차방정식

x^2-2x-3=0

의 해예요.

자세히 보기펼치기공식 더 보기왜 그런지

공식

y=ax^2+bx+c

의 그래프

꼴 바꾸기

\displaystyle y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}

꼭짓점

\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)

축

\displaystyle x=-\frac{b}{2a}

y

축과 만나는 점

\displaystyle (0,\ c)

x=0

을 넣는다.

x

축과 만나는 점

\displaystyle ax^2+bx+c=0\text{ 의 해}

y=0

을 넣는다.

이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 점의 $x$ 좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 해예요.

5그래프와 $a$ , $b$ , $c$ 의 부호

공식

y=ax^2+bx+c

의 그래프에서

a

의 부호

\displaystyle \text{볼록한 방향}

아래로 볼록하면

a>0

, 위로 볼록하면

a<0

b

의 부호

\displaystyle \text{축의 위치}

축이

y

축의 왼쪽이면

a

b

는 같은 부호, 오른쪽이면 다른 부호,

y

축이면

b=0

c

의 부호

\displaystyle \text{y 절편}

y

축과 원점보다 위에서 만나면

c>0

, 아래에서 만나면

c<0

, 원점이면

c=0

학생

축의 위치로

b

의 부호를 어떻게 알아요?

쌤

축은

x=-\frac{b}{2a}

예요. 축이

y

축 왼쪽이면

-\frac{b}{2a}<0

이라

a

b

는 같은 부호, 오른쪽이면 다른 부호예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

아래로 볼록하고 축이

y

축의 오른쪽에 있는 포물선

y=ax^2+bx+c

에서

b

의 부호는?

자세히 보기펼치기예제

b

의 부호와 축의 위치 (축

x=-\frac{b}{2a}

)

-\frac{b}{2a}<0\ \Rightarrow\ \frac{b}{a}>0

↳◀양변에

-2

를 곱하면 방향이 바뀌어요 — 축이

y

축 왼쪽:

a,\ b

같은 부호

-\frac{b}{2a}>0\ \Rightarrow\ \frac{b}{a}<0

↳◀축이

y

축 오른쪽: 다른 부호

6이차함수의 식 구하기

공식주어진 조건에 따라 놓는 식

꼭짓점

(p,\ q)

와 다른 한 점

\displaystyle y=a(x-p)^2+q

한 점의 좌표를 넣어

a

를 구한다.

축

x=p

와 두 점

\displaystyle y=a(x-p)^2+q

두 점을 넣고

a

q

에 대한 연립방정식을 푼다.

x

축과 만나는 두 점

(\alpha,\ 0)

(\beta,\ 0)

과 다른 한 점

\displaystyle y=a(x-\alpha)(x-\beta)

한 점을 넣어

a

를 구한다.

세 점

\displaystyle y=ax^2+bx+c

세 점을 넣고 연립방정식을 푼다.

학생

꼴을 정한 다음에는 어떻게 해요?

쌤

모르는 계수의 개수만큼 조건을 넣어요. 꼭짓점

(p,\ q)

를 알면 모르는 것은

a

하나라서, 다른 한 점의 좌표를 넣으면

a

가 나와요.

꼭짓점

(1,\ -4)

, 점

(3,\ 4)

y=a(x-1)^2-4

↳◀꼭짓점으로 놓아요

4=4a-4\ \to\ a=2

↳◀

x=3

y=4

를 대입

y=2(x-1)^2-4

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

꼭짓점이

(2,\ 1)

이고 점

(3,\ 4)

를 지나는 포물선

y=a(x-2)^2+1

에서

a

의 값은?

x

축과 만나는 두 점이 주어질 때

✗ 틀린 풀이

(-1,\ 0)

(3,\ 0)

을 지나므로

y=(x+1)(x-3)

왜 틀렸나

x

축과

(-1,\ 0)

(3,\ 0)

에서 만나는 그래프는

y=a(x+1)(x-3)

꼴이고

a

는 따로 구한다.

✓ 바른 풀이

y=a(x+1)(x-3)

으로 놓고 다른 한 점으로

a

를 구한다.

x^2

의 계수가

1

이라는 말이 없으면

a

를 남겨 두어야 해요.
예: 점

(0,\ -6)

도 지나면

-6=-3a

이므로

a=2

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

축이 $x=1$ 이고 두 점 $(0,\ 1)$ , $(3,\ 7)$ 을 지나는 포물선을 구해 봐요. $y=a(x-1)^2+q$ 로 놓고 두 점을 넣어 연립해요.

축과 두 점

\begin{cases} a+q=1 \\ 4a+q=7 \end{cases}

↳◀

(0,\ 1)

a(0-1)^2+q=1

(3,\ 7)

a(3-1)^2+q=7

3a=6\ \to\ a=2,\ q=-1

↳◀아래 식에서 위 식을 빼고,

a=2

를 위 식에 넣어요

y=2(x-1)^2-1

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1 $y=ax^2+bx+c$ ( $a\ne0$ ) 처럼 $y$ 가 $x$ 에 대한 이차식으로 나타내어지는 함수를 이차함수라 한다.
2 $y=ax^2$ 의 그래프는 꼭짓점이 원점이고 축이 $y$ 축인 포물선이다. $a>0$ 이면 아래로 볼록, $a<0$ 이면 위로 볼록하고, $|a|$ 가 클수록 폭이 좁다.
3 $y=a(x-p)^2+q$ 의 그래프는 $y=ax^2$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다. 꼭짓점 $(p,\ q)$ , 축 $x=p$
4 $y=ax^2+bx+c$ 는 완전제곱식을 이용하여 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로 고쳐 그래프를 그린다.

✗ 자주 하는 실수

$y=(x+2)^2$ 의 꼭짓점을 $(2,\ 0)$ 으로 읽는 것처럼 $x$ 축의 방향으로의 평행이동의 부호를 거꾸로 해요.
$y=2(x^2-4x+4-4)+5$ 에서 괄호 안의 $-4$ 를 꺼낼 때 계수 $2$ 를 곱하지 않아요.
$x$ 축과 만나는 두 점만 보고 $x^2$ 의 계수를 $1$ 로 정해 버려요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
이차함수 $y=-2x^2$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $3$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동한 그래프에 대하여
(1) 이차함수의 식, 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식을 구하시오.
(2) 이 그래프가 점 $(2,\ k)$ 를 지날 때, $k$ 의 값을 구하시오.
예제 2
이차함수 $y=2x^2-8x+5$ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, $y$ 축과 만나는 점의 좌표를 구하시오.
예제 3
다음 조건을 만족하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
(1) 꼭짓점의 좌표가 $(1,\ -4)$ 이고 점 $(3,\ 4)$ 를 지난다.
(2) 세 점 $(0,\ 3)$ , $(1,\ 2)$ , $(2,\ 3)$ 을 지난다.

다음 공부

이전 개념: 이차방정식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 다항식의 계산, 중2 일차함수와 그래프, 공통수학1 이차함수의 최대·최소 (나중에), 공통수학1 이차방정식과 이차함수의 관계 (나중에), 중2 연립일차방정식중학교 3학년 목차

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개념 읽기

1이차함수의 뜻

2y=ax2y=ax^2y=ax2 의 그래프

3이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+qy=a(x−p)2+q 의 그래프

4이차함수 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 의 그래프

5그래프와 aaa, bbb, ccc 의 부호

6이차함수의 식 구하기

예제로 익히기

다음 공부

2 $y=ax^2$ 의 그래프

3이차함수 $y=a(x-p)^2+q$ 의 그래프

4이차함수 $y=ax^2+bx+c$ 의 그래프

5그래프와 $a$ , $b$ , $c$ 의 부호