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연립이차방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
일차식과 이차식의 연립은 대입으로, 두 이차식의 연립은 한 식을 인수분해하여 풀어요. x+yx+y, xyxy 가 주어지면 t2−(x+y)t+xy=0t^2-(x+y)t+xy=0 을 이용하고, 공통근과 부정방정식(정수·실수 조건)도 다뤄요.
  1. 1연립일차방정식 다시 보기
  2. 2일차방정식과 이차방정식의 연립
  3. 3두 이차방정식의 연립
  4. 4x+yx+y, xyxy 가 주어진 연립방정식
  5. 5공통근
  6. 6부정방정식
  7. 7나란히 비교하기
  8. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1연립일차방정식 다시 보기

정의연립방정식
두 개 이상의 방정식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립방정식이라 한다. 각 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값(또는 순서쌍)을 연립방정식의 해라 한다.
미지수가 22 개인 연립방정식에서 차수가 가장 높은 방정식이 이차방정식이면 연립이차방정식이라 한다.
학생
연립일차방정식은 해가 항상 한 쌍이에요?
쌤
대부분 한 쌍이지만, 두 식이 같은 식이면 해가 무수히 많고, 두 직선이 평행하면 해가 없어요.
풀 때는 가감법이나 대입법으로 한 문자를 없애요.
공식{ax+by=ca′x+b′y=c′\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases} 의 해 (a′, b′, c′a',\ b',\ c' 는 00 이 아님)
한 쌍
aa′≠bb′\displaystyle \frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}
두 직선이 한 점에서 만난다.
해가 무수히 많다
aa′=bb′=cc′\displaystyle \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}
두 식이 같은 식이다(두 직선이 겹친다).
해가 없다
aa′=bb′≠cc′\displaystyle \frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\ne\frac{c}{c'}
두 직선이 평행하다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x+2y=32x+4y=7\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+4y=7 \end{cases} 의 해는?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질왜 그런가
{x+2y=32x+4y=6\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+4y=6 \end{cases} 에서 첫째 식에 22 를 곱하여 둘째 식을 빼면
0⋅x+0⋅y=00\cdot x+0\cdot y=0
이 식은 항상 참이므로 첫째 식을 만족하는 (x, y)(x,\ y) 는 모두 해이다.
따라서 해가 무수히 많다.

둘째 식이 2x+4y=52x+4y=5 이면 같은 방법으로
0⋅x+0⋅y=10\cdot x+0\cdot y=1
이 식은 항상 거짓이므로 해가 없다.
성질거꾸로 쓰기
해가 무수히 많을 조건
{2x+ky=4x+3y=2\begin{cases} 2x+ky=4 \\ x+3y=2 \end{cases} 의 해가 무수히 많으려면
21=k3=42\frac{2}{1}=\frac{k}{3}=\frac{4}{2}
따라서 k=6k=6
검산: 2x+6y=42x+6y=4 는 x+3y=2x+3y=2 의 양변에 22 를 곱한 식이다.

2일차방정식과 이차방정식의 연립

일차방정식과 이차방정식을 연립할 때는 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리해 이차방정식에 대입해요. 그러면 문자가 하나인 이차방정식이 돼요.

예
{x−y=1x2+y2=13\begin{cases} x-y=1 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}
y=x−1y=x-1
↳첫째 식을 yy 에 대하여
x2+(x−1)2=13x^2+(x-1)^2=13
↳둘째 식에 대입
x2−x−6=(x−3)(x+2)=0x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0
↳정리해요
x=3⇒y=2,x=−2⇒y=−3x=3\Rightarrow y=2,\quad x=-2\Rightarrow y=-3
↳짝은 y=x−1y=x-1 에서
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x+y=3x2+y2=5\begin{cases} x+y=3 \\ x^2+y^2=5 \end{cases} 의 해를 모두 구하면?
그림으로 보기
원과 직선의 교점
-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345xyO
x2+y2=13x^2+y^2=13
x-y=1(3, 2)(-2, -3)AB
x2+y2=13x^2+y^2=13 은 원, x−y=1x-y=1 은 직선이에요. 두 그래프가 만나는 점 A(3, 2)A(3,\ 2), B(−2, −3)B(-2,\ -3) 이 연립방정식의 해예요.
학생
해가 왜 두 쌍이 나와요?
쌤
원과 직선이 두 점에서 만나기 때문이에요.
직선이 원에 접하면 한 쌍, 만나지 않으면 실수인 해가 없어요.
짝을 맞추지 않기
✗ 틀린 풀이
x=3x=3 또는 x=−2x=-2
y=2y=2 또는 y=−3y=-3
해는 (3, 2), (3, −3), (−2, 2), (−2, −3)(3,\ 2),\ (3,\ -3),\ (-2,\ 2),\ (-2,\ -3)
왜 틀렸나 연립방정식의 해는 두 식을 동시에 만족하는 순서쌍이므로 xx 의 값마다 짝이 되는 yy 를 구한다.
✓ 바른 풀이
x=3x=3 일 때 y=2y=2
x=−2x=-2 일 때 y=−3y=-3
해는 (3, 2), (−2, −3)(3,\ 2),\ (-2,\ -3)
확인: 구한 순서쌍을 두 식에 모두 넣어 성립하는지 본다.
짝을 이차방정식에서 구하기
✗ 틀린 풀이
x=3x=3 을 x2+y2=13x^2+y^2=13 에 넣어
y=±2y=\pm2
왜 틀렸나 짝을 구할 때는 일차방정식에 넣어야 두 식을 모두 만족하는 yy 가 나온다.
✓ 바른 풀이
x=3x=3 을 y=x−1y=x-1 에 넣어
y=2y=2
확인: (3, 2)(3,\ 2) 를 넣으면 3−2=13-2=1, 9+4=139+4=13 으로 두 식이 모두 성립한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

일차방정식을 y=(xy=(x 의 식)) 또는 x=(yx=(y 의 식)) 꼴로 고쳐 이차방정식에 대입하면 문자가 하나인 이차방정식이 돼요. 포물선과 직선의 교점을 구할 때와 같은 방법이고, 원과 직선의 교점을 구할 때도 그대로 써요.

푸는 순서
  1. 1
    일차방정식을 한 문자에 대하여 정리해요.
    계수가 ±1\pm1 인 문자를 고르면 분수가 생기지 않아요.
  2. 2
    그 식을 이차방정식에 대입하여 이차방정식을 풀어요.
  3. 3
    구한 값을 일차방정식에 대입하여 짝이 되는 다른 문자의 값을 구해요.
    이차방정식에 대입하면 짝이 아닌 값이 섞여요.
  4. 4
    해를 순서쌍끼리 짝지어 써요.
응용
{2x+y=1x2+xy=−2\begin{cases} 2x+y=1 \\ x^2+xy=-2 \end{cases}
y=1−2xy=1-2x
↳첫째 식에서
x2+x(1−2x)=−2x^2+x(1-2x)=-2
↳둘째 식에 대입
x2−x−2=(x−2)(x+1)=0x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0
↳정리해요
x=2⇒y=−3,x=−1⇒y=3x=2\Rightarrow y=-3,\quad x=-1\Rightarrow y=3
↳짝은 일차식에서

3두 이차방정식의 연립

두 식이 모두 이차이면 한 문자를 바로 없애기 어려워요. 이때 어느 한 식이 인수분해 되면 그 식을 일차방정식 두 개로 나눠요.

성질원리
(x−y)(x−2y)=0(x-y)(x-2y)=0 이면
x=yx=y 또는 x=2yx=2y
그래서 원래 연립방정식은 다음 두 연립방정식으로 나뉜다.{x=yx2+y2=20또는{x=2yx2+y2=20\begin{cases} x=y \\ x^2+y^2=20 \end{cases}\quad \text{또는}\quad \begin{cases} x=2y \\ x^2+y^2=20 \end{cases}각각은 일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 대입하여 푼다.
예
{x2−3xy+2y2=0x2+y2=20\begin{cases} x^2-3xy+2y^2=0 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}
(x−y)(x−2y)=0(x-y)(x-2y)=0
↳첫째 식 인수분해
x=y: 2y2=20 ⇒ y=±10x=y:\ 2y^2=20\ \Rightarrow\ y=\pm\sqrt{10}
↳xx 는 같은 부호
x=2y: 5y2=20 ⇒ y=±2x=2y:\ 5y^2=20\ \Rightarrow\ y=\pm2
↳x=±4x=\pm4 (같은 부호)
해는 (10, 10)(\sqrt{10},\ \sqrt{10}), (−10, −10)(-\sqrt{10},\ -\sqrt{10}), (4, 2)(4,\ 2), (−4, −2)(-4,\ -2) 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−y2=0x^2-y^2=0 을 인수분해하여 나눈 두 식은?
자세히 보기펼치기예제
응용
{x2+xy−2y2=0x2+2y2=12\begin{cases} x^2+xy-2y^2=0 \\ x^2+2y^2=12 \end{cases}
(x−y)(x+2y)=0(x-y)(x+2y)=0
↳첫째 식 인수분해
x=y: 3y2=12x=y:\ 3y^2=12
↳y=±2y=\pm2
(2, 2), (−2, −2)(2,\ 2),\ (-2,\ -2)
x=−2y: 6y2=12x=-2y:\ 6y^2=12
↳y=±2y=\pm\sqrt2
(−22, 2), (22, −2)(-2\sqrt{2},\ \sqrt{2}),\ (2\sqrt{2},\ -\sqrt{2})
↳x, yx,\ y 부호가 반대

4x+yx+y, xyxy 가 주어진 연립방정식

성질합과 곱이 주어진 두 수
x+y=ux+y=u, xy=vxy=v 이면 x, yx,\ y 는 tt 에 대한 이차방정식t2−ut+v=0t^2-ut+v=0의 두 근이다.
예
{x+y=5xy=6\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}
t2−5t+6=0t^2-5t+6=0
↳합 55, 곱 66
(t−2)(t−3)=0 ⇒ t=2, 3(t-2)(t-3)=0\ \Rightarrow\ t=2,\ 3
(x, y)=(2, 3), (3, 2)(x,\ y)=(2,\ 3),\ (3,\ 2)
↳바꾼 순서쌍도 해
xx 와 yy 를 바꾸어도 두 식이 그대로이므로 두 순서쌍 모두 해예요.
학생
x, yx,\ y 가 왜 tt 에 대한 방정식의 두 근이에요?
쌤
(t−x)(t−y)=0(t-x)(t-y)=0 을 전개하면 t2−(x+y)t+xy=0t^2-(x+y)t+xy=0 이거든요.
근과 계수의 관계를 거꾸로 쓴 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x+y=1, xy=−6x+y=1,\ xy=-6 일 때 x, yx,\ y 를 두 근으로 하는 tt 에 대한 이차방정식은?
순서쌍 하나만 쓰기
✗ 틀린 풀이
x=2, y=3x=2,\ y=3
왜 틀렸나 합과 곱만 주어지면 두 근 중 어느 것이 xx 인지 정해지지 않으므로 순서쌍 두 개가 모두 해이다.
✓ 바른 풀이
(x, y)=(2, 3)(x,\ y)=(2,\ 3) 또는 (3, 2)(3,\ 2)
t2−5t+6=0t^2-5t+6=0 의 두 근 2, 32,\ 3 중 어느 것이 xx 인지는 정해지지 않아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

왜 그런가: 두 수 x, yx,\ y 를 근으로 하고 t2t^2 의 계수가 11 인 이차방정식은
(t−x)(t−y)=0(t-x)(t-y)=0
전개하면
t2−(x+y)t+xy=0t^2-(x+y)t+xy=0
근과 계수의 관계를 거꾸로 쓴 거예요.

성질x2+y2x^2+y^2 이 주어질 때
곱셈공식의 변형
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2=(x+y)^2-2xy
를 써서 xyxy 를 먼저 구한다.
예) x+y=4x+y=4, x2+y2=10x^2+y^2=10 이면
10=16−2xy10=16-2xy
따라서 xy=3xy=3
t2−4t+3=0t^2-4t+3=0 에서 t=1t=1 또는 t=3t=3
따라서 (x, y)=(1, 3)(x,\ y)=(1,\ 3) 또는 (3, 1)(3,\ 1)

5공통근

정의공통근
두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값을 그 방정식들의 공통근이라 한다.
학생
두 방정식의 공통근은 어떻게 구해요?
쌤
인수분해되면 각각 근을 구해 겹치는 것을 찾아요.
계수에 문자가 있으면 공통근을 α\alpha 로 놓고 두 식에 대입한 뒤, 두 식을 빼서 차수를 낮춰요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−x−2=0x^2-x-2=0 과 x2+3x+2=0x^2+3x+2=0 의 공통근은?
예
x2+kx+2=0x^2+kx+2=0, x2+2x+k=0x^2+2x+k=0 이 오직 하나의 공통근을 가질 때 kk
α2+kα+2=0,α2+2α+k=0\alpha^2+k\alpha+2=0,\quad \alpha^2+2\alpha+k=0
↳공통근 α\alpha 를 대입
(k−2)α+2−k=0(k-2)\alpha+2-k=0
↳두 식을 빼요
(k−2)(α−1)=0(k-2)(\alpha-1)=0
↳k−2k-2 로 묶어요
k≠2 ⇒ α=1k\neq2\ \Rightarrow\ \alpha=1
↳k=2k=2 이면 두 식이 같아요
1+k+2=0 ⇒ k=−31+k+2=0\ \Rightarrow\ k=-3
k=2k=2 이면 두 방정식이 x2+2x+2=0x^2+2x+2=0 으로 같아져 공통근이 두 개가 돼요.
검산: x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2=(x-1)(x-2), x2+2x−3=(x−1)(x+3)x^2+2x-3=(x-1)(x+3) 의 공통근은 11 하나예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
공통근을 구하는 방법
  1. 1
    두 방정식이 인수분해되면 각각의 근을 구하여 공통인 근을 찾아요.
    예) x2−x−2=0x^2-x-2=0 의 근 2, −12,\ -1
    x2+3x+2=0x^2+3x+2=0 의 근 −1, −2-1,\ -2
    공통근은 −1-1
  2. 2
    미정계수가 있으면 공통근을 α\alpha 로 놓고 두 식에 대입해요.
  3. 3
    두 식을 빼서 α2\alpha^2 항(최고차항)이나 상수항을 없애요.
    차수가 낮아져 α\alpha 를 구하기 쉬워져요.
  4. 4
    구한 α\alpha 를 한 식에 넣어 미정계수를 구하고, 검산해요.

6부정방정식

정의부정방정식
미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 해가 무수히 많아 하나로 정해지지 않는다. 이런 방정식을 부정방정식이라 한다. 해가 정수 또는 실수라는 조건이 붙으면 해를 정할 수 있다.
학생
정수나 실수 조건이 붙으면 어떻게 풀어요?
쌤
정수 조건은 (일차식)×(일차식)=(정수) 꼴로 바꾸어 약수 쌍을 따져요.
실수 조건은 A2+B2=0A^2+B^2=0 꼴로 바꾸어 A=0, B=0A=0,\ B=0 을 써요.
성질정수 조건
(일차식)×(일차식)=(정수) 꼴로
x, yx,\ y 가 자연수이고 xy−x−2y=1xy-x-2y=1 일 때
(x−2)(y−1)=xy−x−2y+2(x-2)(y-1)=xy-x-2y+2 이므로
(x−2)(y−1)=3(x-2)(y-1)=3
x−2, y−1x-2,\ y-1 은 곱이 33 인 정수이다.
x−2≥−1x-2\ge -1, y−1≥0y-1\ge 0 이므로 가능한 것은
x−2=1, y−1=3x-2=1,\ y-1=3
x−2=3, y−1=1x-2=3,\ y-1=1
따라서 (x, y)=(3, 4)(x,\ y)=(3,\ 4) 또는 (5, 2)(5,\ 2)
음수인 약수 쌍 따지기
✗ 틀린 풀이
(x−2)(y−1)=3(x-2)(y-1)=3 에서 1×31\times3, 3×13\times1 만 생각한다.
왜 틀렸나 곱이 33 인 정수의 짝에는 음수끼리의 곱도 있으므로 음수 쌍까지 모두 따져야 한다.
✓ 바른 풀이
1×31\times3, 3×13\times1, (−1)×(−3)(-1)\times(-3), (−3)×(−1)(-3)\times(-1) 을 모두 따진 뒤 조건에 맞는 것을 고른다.
이 문제에서는 x−2=−1x-2=-1 이면 y−1=−3y-1=-3 이 되어 y=−2y=-2 가 자연수가 아니므로 버려요.
정수 조건만 있으면 음수 쌍도 해가 돼요.
성질실수 조건
실수 A, BA,\ B 에 대하여 A2+B2=0A^2+B^2=0 이면 AA 와 BB 는 모두 0이다.
실수 조건
x2+y2−4x+6y+13=0x^2+y^2-4x+6y+13=0 (x, yx,\ y 는 실수)
(x−2)2+(y+3)2=0(x-2)^2+(y+3)^2=0
↳xx 끼리, yy 끼리 완전제곱식
x−2=0,y+3=0x-2=0,\quad y+3=0
↳실수이므로
x=2,y=−3x=2,\quad y=-3
13=4+913=4+9 로 나누어 x2−4x+4=(x−2)2x^2-4x+4=(x-2)^2, y2+6y+9=(y+3)2y^2+6y+9=(y+3)^2 을 만들어요. 그러면 실수의 제곱 두 개의 합이 00 인 꼴이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
실수 x, yx,\ y 가 (x−1)2+(y+2)2=0(x-1)^2+(y+2)^2=0 을 만족할 때 x+yx+y 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지틀리기 쉬운 곳

왜 그런가: 실수의 제곱은 00 이상이에요. 하나라도 00 이 아니면 합이 양수가 되기 때문이에요.

실수 조건이 빠지면
✗ 틀린 풀이
A2+B2=0A^2+B^2=0 이면 언제나 A=0, B=0A=0,\ B=0
왜 틀렸나 A2+B2=0A^2+B^2=0 에서 A=0, B=0A=0,\ B=0 을 이끌어 낼 수 있는 것은 A, BA,\ B 가 실수일 때뿐이다.
✓ 바른 풀이
A, BA,\ B 가 실수일 때만 A=0, B=0A=0,\ B=0
A=iA=i, B=1B=1 이면
i2+12=0i^2+1^2=0
이지만 A≠0A\ne0 이에요.

7나란히 비교하기

공식연립방정식의 꼴과 방법
일차+일차
가감법⋅대입법\displaystyle \text{가감법·대입법}
해가 무수히 많거나 없을 수 있다.
일차+이차
일차식을 정리하여 대입\displaystyle \text{일차식을 정리하여 대입}
짝은 일차식에서 구한다.
이차+이차
한 식을 인수분해\displaystyle \text{한 식을 인수분해}
일차식 두 개로 나누어 각각 연립한다.
x+yx+y, xyxy
t2−(x+y)t+xy=0\displaystyle t^2-(x+y)t+xy=0
x, yx,\ y 를 바꾼 순서쌍도 해이다.
미지수가 더 많음
정수 조건⋅실수 조건\displaystyle \text{정수 조건·실수 조건}
곱의 꼴, A2+B2=0A^2+B^2=0
학생
꼴은 달라도 공통된 목표가 있어요?
쌤
네. 한 문자를 없애 문자가 하나인 방정식으로 만드는 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x−y=2x2+y2=10\begin{cases} x-y=2 \\ x^2+y^2=10 \end{cases} 을 풀 때 먼저 할 일은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1일차방정식과 이차방정식의 연립은 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리하여 이차방정식에 대입한다.
  2. 2두 이차방정식의 연립은 인수분해되는 식을 두 일차방정식으로 나누고, 각각을 다른 식과 연립한다.
  3. 3x+y=ux+y=u, xy=vxy=v 이면 x, yx,\ y 는 tt 에 대한 이차방정식 t2−ut+v=0t^2-ut+v=0 의 두 근이다.
  4. 4방정식의 개수보다 미지수가 많으면 해가 정해지지 않는다. 이때는 정수 조건이나 실수 조건(A2+B2=0A^2+B^2=0 이면 A=0, B=0A=0,\ B=0)을 써서 해를 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 일차+이차 연립에서 짝이 되는 값을 이차방정식에서 구해 해가 아닌 순서쌍을 섞어요.
  • x+yx+y, xyxy 가 주어진 연립에서 xx 와 yy 를 바꾼 순서쌍을 빠뜨려요.
  • 부정방정식에서 음수인 약수 쌍을 빠뜨리거나, 실수 조건 없이 A2+B2=0A^2+B^2=0 에서 A=B=0A=B=0 이라고 해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    연립방정식 {2x−y=1x2+y2=13\begin{cases} 2x-y=1 \\ x^2+y^2=13 \end{cases} 을 푸시오.
  2. 예제 2
    연립방정식 {x2−xy−2y2=0x2+y2=5\begin{cases} x^2-xy-2y^2=0 \\ x^2+y^2=5 \end{cases} 를 푸시오.
  3. 예제 3
    연립방정식 {x2+y2=10xy=3\begin{cases} x^2+y^2=10 \\ xy=3 \end{cases} 을 푸시오.

다음 공부

이전 개념: 이차방정식의 풀이설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 연립일차방정식, 공통수학2 원과 직선의 위치 관계 (나중에)공통수학1 목차
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